Trắc địa - Phần 3 Lưới khống chế trắc địa - Chương 6 doc

1
Phần thứ 3

Lới khống chế trắc địa

Chơng 6
Lới khống chế mặt phẳng
I. Khái niệm
I.1. Khái niệm về lới khống chế mặt phẳng
Lới khống chế mặt phẳng trắc địa (gọi tắt là lới khống chế) là một hệ
thống các điểm khống chế trắc địa, đợc liên kết với nhau theo một dạng hình
học nhất định và đợc đánh dấu ở thực địa bằng các dấu mốc đặc biệt.
Nguyên tắc chung để thành lập lới là : Từ toàn diện đến cục bộ, từ độ
chính xác cao đến độ chính xác thấp, cấp trên làm cơ sở để xây dựng cấp dới,
cấp cuối cùng phải đủ độ chính xác để đo vẽ chi tiết địa hình.
I.2. Phân loại lới khống chế mặt phẳng
* Lới khống chế mặt phẳng đợc tăng dày theo 2 giai đoạn:
- Giai đoạn 1: Xây dựng lới toạ độ nhà nớc bao gồm 4 hạng: I, II, III,IV.
Điểm gốc toạ độ quốc gia đặt tại Tổng cục Địa chính. Độ chính xác giảm dần từ
hạng I đến hạng IV.
- Giai đoạn 2: Xây dựng lới toạ độ tăng dầy bao gồm:
- Lới khống chế khu vực: Do các bộ, các ngành xây dựng, trong ngành địa
chính gọi là lới toạ độ địa chính phục vụ thành lập bản đồ địa chính trong
ngành trăc địa địa hình, lới khống chế khu vực có hai cấp là: Lới giải tích cấp1
và lới giải tích cấp 2.
+ Lới khống chế đo vẽ: Phục vụ trực tiếp đo vẽ bản đồ.
+ Tăng dày lới trạm đo: Tăng dầy thêm mật độ điểm phục vụ đo chi tiết địa hình.
I.3. Các phơng pháp xây dựng lới khống chế mặt phẳng
Lới khống chế mặt phẳng đợc xây dựng theo các phơng pháp sau.
- Lới tam giác.

- Lới đờng chuyền.
- Giao hội xác định điểm.
Trong phần này giới thiệu thành lập lới khống chế đo vẽ bao gồm: Đờng
chuyền kinh vĩ, giao hội xác định điểm, phơng pháp tam giác nhỏ, còn công tác
tăng dày lới trạm đo giới thiệu ở phần đo vẽ bản đồ địa chính.
Hình dạng lới của từng ph
ơng pháp đợc giới thiệu trong các phần tơng
ứng.


2
II. Phơng pháp đờng chuyền kinh vĩ
II.1. Khái niệm
Bố trí các điểm khống chế phân bố đều trong khu vực đo đạc, nối các điểm
đó lại thành các tuyến gãy khúc hở hay kín gọi lá đờng chuyền.
Trong đờng chuyền ngời ta đo tất cả các góc ở đỉnh và các cạnh của
đờng chuyền. Dựa vào phơng vị đầu và toạ độ điểm đầu để tính chuyền toạ độ
cho tất cả các điểm của đờng chuyền.
Hình dạng của đờng chuyền bố trí theo hình 6-1 (a, b, c, d).









Chú thích:
: Điểm và cạnh đã biết ( cạnh gốc).

: Điểm cần tính toạ độ.
Trong đó : Hình 6-1a: Đờng chuyền nút.
Hình 6- 1b: Đờng chuyền khép kín.
Hình 6- 1c: Đờng chuyền phù hợp .
Hình 6- 1d: Đờng chuyền treo.
- Khi chọn đỉnh đờng chuyền cần đạt các yêu cầu sau:
+ Điểm đờng chuyền phải đặt ở nơi có tầm nhìn bao quát, đo đợc nhiều
điểm chi tiết. Tại một điểm phải nhìn thấy hai điểm bên cạnh.
+ Thuận lợi cho công tác đo chiều dài cạnh.
Các cạnh kề nhau của đờng chuyền độ dài không chênh lệch nhau quá 1,5 lần.
- Theo độ chính xác đờng chuyền chia ra các loại:
+ Trong lới toạ độ địa chính gọi là đờng chuyền cấp I, cấp II.
+ Trong lới khống chế đo vẽ gọi là đờng chuyền kinh vĩ cấp 1, cấp 2.
II.2. Phơng pháp đo
Đo góc: Thông thờng đo góc đo theo phơng pháp đo đơn giản máy đo, số
lần đo, sai số đo với từng cấp đờng chuyền theo quy định của quy phạm.
Đo cạnh : áp dụng các phơng pháp đo và dụng cụ đo nào đó nhng phải
đảm bảo độ chính xác theo yêu cầu đo cạnh của từng cấp đờng chuyền.
d
b
c
a
Hình 6-1

3
Đo chênh cao: Có thể áp dụng phơng pháp đo thuỷ chuẩn hình học hay
thuỷ chuẩn lợng giác.
II.3. Tính toán bình sai gần đúng
Trớc khi tính toán bình sai phải kiểm tra sổ đo góc, đo cạnh. Nếu kết quả đạt
yêu cầu thì tính giá trị trung bình trị đo góc, trị đo cạnh, vẽ sơ đồ đờng chuyền, ghi

kết quả vừa tính và các số liệu khởi tính của đờng chuyền rồi tiến hành bình sai.
Đờng chuyền cấp I, cấp II bình sai chặt chẽ.
Đờng chuyền kinh vĩ cấp 1, cấp 2 bình gần đúng. ở đây chỉ giới thiệu bình
sai gần đúng.
II.3.1. Bình sai đờng chuyền kinh vĩ khép kín.
Đờng chuyền kinh vĩ khép kín là đờng chuyền đợc có hình dạng nh
hình 6-2.
Trong đó: Hình 6-2 a,b là đờng chuyền kinh vĩ khép kín dựa vào hai điểm
khống chế cấp cao.
Hình 6-2c đờng chuyền kinh vĩ không liên hệ với điểm khống chế cấp cao
còn gọi là đờng chuyền kinh vĩ độc lập, lúc đó ta phải đo thêm góc định hớng

, và giả định toạ độ một điểm đầu của cạnh đó.









Ví dụ: Bình sai đờngchuyền kinh vĩ khép kín: hình 6-2c.
II.3.1.1. Sơ đồ số liệu tính toán
Giả sử ta có sơ đồ số liệu đờng truyền kinh vĩ khép kín nh hình vẽ (62c).
Trong đó:

i
(
i =1,2, ,n

) là các góc đo của đờng chuyền.
S
i
(
i = 1, 2, ,n
) là các cạnh đo.
i (
i = 1,2, ,n
) là các đỉnh của đờng chuyền.
Tài liệu gốc là: Toạ độ điểm 1(X
1,
Y
1
) góc định hớng cạnh 1-2 là
1

.
Trình tự bình sai gồm các bớc sau:
Bớc 1:
Bình sai góc.
- Tính sai số khép góc
do
f

theo công thức:

)16(

=
ltdodo
f





1





S
S
S
S
S
S
5
4
3
2
1

X
S
3
2

1
B
A


1



S
S
S

X
X
1
3
S

1

S


S
S
4
5
6
2

S
S



a
b c
Hình 6-2

4
Trong đó:
do

- tổng các góc đo trong đờng chuyền.

)2(180
0
= n
lt

- tổng các góc trong đờng chuyền theo lý
thuyết.

n
- số góc của đờng chuyền.
Đến đây ta đặt điều kiện:

cpdo
ff

mà: )26(5,1 = ntf
cp


hay:
)36(

= nmf
cpcp



thì mới đợc bình sai.
Trong đó:
t - Độ chính xác của máy.

n - Số góc.

cp
m


- SSTP đo góc cho phép quy định trong quy phạm.
Ví dụ: Một đờng chuyền khép kín có 8 góc, tổng số các góc đo là:



=
8
1

0
9,75180
do

Máy đo có 03



=
t , tính
cp
do
ff


,
Ta có:
1,2)2(1809,751079
00

=

== nf
ltdodo




8,28.5,1.5,1

=== tntf
cp


- Tính số hiệu chỉnh cho các góc đo
do

theo công thức:

n
f
V
do



=
(6-4)
Khi

V lẻ ta có thể làm tròn nhng phải đảm bảo điều kiện kiểm tra là:

)56(0
1
=+

n
do
fV

Tính trị số góc đã bình sai theo công thức:

)66(
/

+
=



V
idochi

Bớc 2:
Tính góc định hớng

các cạnh theo góc định hớng đầu
1

và các
góc nằm ngang đã bình sai .
Nếu ta gọi
n

- góc định hớng cạnh cần tính (cạnh tiếp theo).

1n

- góc định hớng cạnh đã biết (cạnh trớc).

Ta có:
phnn

+=

0
1
180
nếu góc nằm bên phải đờng đo.

0
1
180+=
trnn

nếu góc đo nằm bên trái đờng đo.
Bớc 3:
Bình sai số gia toạ độ:
- Dựa vào góc định hớng và chiều dài cạnh đo, tính số gia toạ độ theo công
thức:

5


CosSX .
=

SinSY .
=


- Tính sai số khép số gia toạ độ.
Trong các đa giác khép kín, tổng các số gia toạ độ theo lý thuyết phải bằng
không nghĩa là:

0
1
=

n
lt
X

0
1
=

n
lt
Y
Nhng thực tế
YX , đợc tính theo chiều dài cạnh đo còn sai số nên


n
X
1

tính và


n
Y
1
tính sẽ khác với trị số lý thuyết, nghĩa là khác 0 trị số khác
này chính là sai số khép số gia toạ độ gọi là f
x
và f
y
tức là:


=
n
x
Xf
1
tính


=
n
y
Yf
1
tính
Nếu gọi f
s

là sai số khép chiều dài đờng chuyền thì:

)86(
22
+=
yxs
fff

Nếu gọi
[]
s
f
s
là sai số khép tơng đối của đờng chuyền và ký hiệu là thì:

[] []
)96()
1
(
1
][
1
=== cp
T
f
s
f
s
f
f

s
f
T
ss
s
s
s

cp
T
)
1
( là giá trị cho phép đối với đờng chuyền kinh vĩ, theo quy phạm thì:
Với đờng chuyền kinh vĩ 2, thành lập bản đồ tỷ lệ 1:500, 1:1000, 1:2000 là:

2500
1
)
1
( =cp
T

Với đờng chuyền kinh vĩ 1:
4000
1
)
1
( =cp
T

Khi điều kiện trên thoả mãn ta bình sai số gia toạ độ.
- Số hiệu chỉnh số gia toạ độ tính theo công thức:
do
T
)
1
(
(6-7)

6

Si
s
f
VSi
s
f
V
y
Yi
x
xi
][
;
][

=

=

(6-10)
- Tính số gia toạ độ đã hiệu chỉnh theo công thức:

xi
nhit
ihc
VXXi


+

=



iynhitihc
VYYi


+

=

(6-11)
Bớc 4:
Tính toạ độ:
Dựa vào toạ độ một điểm đã biết và số gia toạ độ đã hiệu chỉnh, tính chuyền
toạ độ cho các đỉnh đờng chuyền theo công thức:

1,1 ++

+
=
iiii
XXX


1,1 ++

+
=
iiiy
YYY
(6-12)
Chú ý: - Bình sai đờng chuyền khu vực khép kín hình 6-2a giống hình 6-2c.
- Bình sai đờng chuyền khép kín hình 6-2b thì:
+ Bình sai góc giống bình sai đờng chuyền kinh vĩ khép kín.
+ Bình sai số gia toạ độ giống nh bình sai đờng chuyền kinh vĩ phù hợp.
II.3.2. Bình sai đờng chuyền kinh vĩ phù hợp
II.3.2.1. Sơ đồ số liệu tính toán
Đờng chuyền kinh vĩ phù hợp là đờng chuyền mà hai đầu của nó liên hệ
với điểm khống chế trắc điạ cấp cao (hình 6-3). Theo hình vẽ ta có:
Các đỉnh đờng chuyền kinh vĩ
BA, DC ,5,4,3,2,1


.
Các góc
()
, 2,1=i

i


Các cạnh đo
()
5, ,2,1=iS
i
.
Tài liệu gốc.
Các đỉnh A,B,C,D đã biết toạ độ,
d

là góc định hớng cạnh AB,
c

là
góc định hớng cạnh CD, B là điểm đầu,
C là điểm cuối.
II.3.2.2. Trình tự bình sai gồm các bớc sau
Bớc 1:
Bình sai góc:
- Tính sai số khép góc theo công thức:


=
ltdodo
f

Trong đó:

do

là tổng số các góc đo.

lt

đợc tính theo góc bên phải hay bên trái đờng chuyền.

A
B

1

1

2
2
3
4

3

4

5
C

5

D

c
Hình 6-3

đ

7

()
136180.
0
+=

n
cdphailt



()
146180.
0
+=

n
dctrailt


Trong đó: n số góc của đờng chuyền.
Nếu

cpdo
ff


ta tiến hành bình sai góc nh đờng chuyền khép kín.
Ví dụ: Một đờng chuyền kinh vĩ phù hợp có số góc n =7, tổng các góc đo
bên trái đờng tính là:

.5,8141;5,6313,03021232
000

=

=

=

dcdo


Sai số trung phơng đo góc cho phép là
,06


=


cp
m

tính sai số khép góc
do
f

và xem có đạt yêu cầu ?

811232180.75,81415,6313180.
00000

=+



=+=

n
dclt



03281123203021232
00

+=



==

ltdodo
f




8328158157067



=

=

=

=
cpcp
mf


So sánh:
832032

<

đạt yêu cầu.
Bớc 2:
Tính góc định hớng các cạnh: Tơng tự trong đờng chuyền kinh vĩ
khép kín.

Bớc 3:
Bình sai số gia toạ độ:
- Tính số gia toạ độ: Tơng tự nh làm trong đờng chuyền kinh vĩ khép kín.
- Tính sai số khép số gia toạ độ.

()
dc
n
tinhx
XXXf =

1


()
dc
n
tinhy
YYYf =

1

- Tính sai số khép tơng đối chiều dài đờng chuyền: Tơng tự nh trong
đờng chuyền kinh vĩ khép kín.
- Tính số hiệu chỉnh số gia toạ độ: Tơng tự nh trong đờng chuyền kinh
vĩ khép kín.
- Tính số gia toạ độ đã hiệu chỉnh: Tơng tự nh trong đờng chuyền kinh
vĩ khép kín.
Bớc 4:
Tính toạ độ các đỉnh của đờng chuyền: Tơng tự nh trong đờng

chuyền kinh vĩ khép kín.

(6-15)

8
II.3.3. Ví dụ mẫu
Một đờng chuyền kinh vĩ có sơ đồ số liệu nh hình 6-4, hãy bình sai
đờng chuyền và tính toạ độ các điểm của đờng chuyền, biết rằng:

2000
11
=






cp
T
,
nf
cp
06

=

Hình (6-4)
II.3.3.1. Bình sai góc
(
)
(
)
549000313121044426152211040180.5
00000

=+





=+=
MNPQdodo
f




cpdocp

fff <

=

= ,413506

Đạt yêu cầu.

(
)
9
5
54

+=


=

=
n
f
V
do



II.3.3.2. Tính chuyền góc định hớng theo công thức:

0

1
180+=
trainn


II.3.3.3. Bình sai số gia toạ độ: Tính theo bảng (trang bên):
X
N
= 5839,62m.
Y
N
= 4354,07m.

PQ
=261
0
4440
X
P
=5629,64m
Y
P
=4673,97m

MN
=121
0
3130

9

B¶ng ngang

10
II.3.4. Lới đờng chuyền có một điểm nút
II.3.4.1. Sơ đồ số liệu tính toán
- Sơ đồ số liệu tính toán.












Giả sử có lới đờng chuyền kinh vĩ có một điểm nút nh hình 6-5.
Trong đó:
+ Tài liệu đã biết: A, B, C, D, E, F là điểm cấp cao đã biết toạ độ.
+ Tài liệu đo:
()
., 2,1 ni
i
=

- là các góc đo tại đỉnh đờng chuyền.

i
S - chiều dài cạnh đo đợc.
+
()
., 2,1 nii = - là đỉnh đờng chuyền cần tính toạ độ.
Trong đó điểm 2 gọi là điểm nút.
Ta ký hiệu (I), (II), (III), là ký hiệu đờng đo từ điểm đã biết đến điểm nút.
II.3.4.2. Trình tự bình sai
Bớc 1:
Bình sai góc.
+ Tính góc định hớng cạnh nút: Chọn cạnh 2-3 có liên quan đến điểm nút
gọi là cạnh nút, tính góc định hớng
i

của cạnh 2-3 theo các đờng đo.

()
166][.180
0
+=
iiigoci
n


ở đây:
EFCDABgoci

,,
=


i
n - số góc đa vào tổng
i
][

của đờng chuyền thứ i (i = 1,2,3).
+ Kiểm tra chất lợng đo góc theo các đờng đo.
Từ các kết quả
321
,,



theo đờng (1), (2), (3) tìm sai số khép góc
do
f

,
chọn hai đờng có số góc ít nhất.
Sai số khép góc:
()
1221

=
+
do
f


()
3332




=
+
do
f
(6-17)
Yêu cầu các sai số khép này phải nằm trong phạm 6 cho phép mới đợc
bình sai tiếp.
Đối với đờng chuyền kinh vĩ thì:

A
C
D

D
S
5

5

2

6

1
B

B
S
1
S
2


2
S
6
S
7
S
3
S
4
S
F

4

3

5

F
E
4
3
2
1
5
6
Hình 6-5
(1)
(2)
(3)

11

+ Tính trọng số cho các góc định hớng
321
,,



của cạnh 2-3.

i
i
n

c
P =
(6-18)
Trong đó: c - hằng số tuỳ chọn.
n
i
- số góc tham gia tính chuyền của đờng thứ i (i=1,2,3)
+ Tính góc định hớng cạnh 2-3 theo số trung bình cộng tổng quát.

()
][
][
][
][
0
321
332211
32
P
P
P
P
PPP
PPP





+==

++
++
=

(6-19)
+ Tính sai số khép góc cho các đờng đo (1), (2), (3).

()
(
)
3,2,1,
32
=

=

if
idoi



(6-20)
Yêu cầu:
icpido
nff 06

=

( n
i

- số góc trong đờng đo thứ i)
+ Phân phối sai số khép góc và tính góc định hớng cho các cạnh của mỗi
đờng đo.

i
ido
i
n
f
V


= (i = 1,2,3)
Ví dụ ở đây: Đờng đo (1):
3
1
1

f
V

=

Đờng đo (2):
4
2
2

f
V

=

Đờng đo (3):
3
3
3

f
V =

Đánh giá độ chính xác:
+ Tính sai số trung phơng trọng số đơn vị:


[
]
1
2

=
N
Pf


(6-21)
Trong đó: N - số đờng đo (ở đây N=3).

i
i

n
c
P =
; c - hằng số trong công thức tính.
n
i
-

số góc trong đờng đo thứ i.

Đối với đờng (I) và (II)
Đối với đờng (II) và (III)
()
()
3232
2121
06
06
nnf
nnf
cp
cp
+

=
+

=
+
+

12
+ Tính sai số trung phơng đo góc một lần đo của mỗi đờng đo:

c
m

=
(6-22)
Bớc 2:
Tính và bình sai số gia toạ độ:
+ Tính số gia toạ độ mỗi cạnh và tổng số gia toạ độ của mỗi đờng đo.
+ Tính toạ độ điểm nút 2 theo các đờng đo.

igocii
igocii
YYY
XXX
][
][
+=

+
=
(i = 1,2,3) (6-23)
+ Kiểm tra chất lợng đo chiều dài cạnh: Chọn hai đờng đo có tổng chiều
dài ngắn nhất để tính sai số khép số gia toạ độ.

)21(
2
)21(
2
)21(21)21(21)21(
;;
+
+
+++
+=== yfxffsYYfyXXfx (6-24)
Yêu cầu:
cp
T
cp
Ts
fs













+

+
11
][
)21(
)21(
- quy định trong quy phạm kỹ thuật.
+ Tính trọng số cho toạ độ điểm nút 2:

=
i
i
i
s
s
c
P ][
][
tổng chiều dài đờng đo thứ i.
+ Tính toạ độ điểm nút 2 theo số trung bình cộng tổng quát:

][
][
][
][
][
][
][
][
0
321

332211
2
0
331
332211
2
P
P
Y
P
PY
PPP
YPYPYp
Y
p
P
X
P
PX
PPP
XPXPXP
X
YiI
Xi


+==
++
++
=

+==
++
+
+
=
(6-25)
*Trong đó:
0
0
YY
XX
iYi
iXi
=

=


(X
0
,Y
0
-giá trị toạ độ gần đúng của điểm 2)
+ Tính sai số khép số gia toạ độ theo các đờng đo:

(
)
3,2,1;;
22
=

=

=
iYYfyXXfx
iiii
(6-26)
+ Phân phối sai số khép số gia toạ độ và tính toạ độ cho các đỉnh đờng chuyền.
Đổi dấu sai số khép số gia toạ độ rồi phân phối cho các số gia toạ độ trong
các đờng đo tơng ứng với tỉ lệ chiều dài cạnh nh đối với đờng chuyền kinh
vĩ phù hợp. Dựa vào số gia toạ độ đã đợc hiệu chỉnh tính toạ độ cho các đỉnh
đờng chuyền.
- Ví dụ mẫu: Theo sơ đồ số liệu nh hình vẽ.
Hãy bình sai tính góc định hớng cạnh nút, và toạ độ điểm nút ?
X
B
= 2.113482,35m X
D
= 2.112475,40m X
F
= 2.112948,84m
Y
B
= 18583345,62m Y
D
= 18.583226,24m Y
F
= 18484610,60m

13

B¶ng tÝnh gi¸ trÞ gãc ®Þnh h−íng c¹nh nót 2-3:
TT
§−êng
chuyÒn
α ε n


(n=12)
P.ε F
β

KiÓm tra sai sè
cho phÐp
1 102
0
43’48” +2’06” 3 4 +8’24” 1’12”
2 102
0
42’12” +0”30” 4 3 +1’30” +0’24”
3 102
0

41’42” 0 3 4 0 +0’54”
α
0
102
0
41’42” 11 +9’54”






B¶ng tÝnh to¹ ®é ®iÓm nót 2:
TT
§−êng
chuyÒn
X
(
m)

ε
x

(cm)
Pε
x
(cm)
F
x
(cm)

S
(Km)

C=1
F
y

Pε
y
(cm)
ε
x

(cm)
Y
(m)

1 2113025,43 +1 30,4 -1 0,62 1,6 +17 +52,8 33 18583770,57
2 2113025,65 +41 49,2 +21 0,80 1,2 -16 0 0 18583770,24
3 2113025,24 0 0 -20 0,85 1,2 -5 +13,2 11 18583770,35
X
0
2113025,24 79,6 4,0 66,0 Y
0
18.583770,24

H×nh 6-6
n
C
P =

()
"362
7"60
"30"12'42102"42'41102
"36'2
7"60"60
"36'1"48'43102"12'42102
'
32)32(
00
2332
21)21(
00
12)21(
±=
=±=+±=
=−=
=−=
±=
=±=+±=
−=−=
=−=
−
−
−
−
nnf
f
nnf
f

CP
CP
β
β
β
β
αα
αα
[
]
[]
"36"42102
11
"54'9
"42'41102
.
00
032
=+=+=
−
P
P
ε
αα
s
c
P =
[
]
[]

)(44,2113025
4
796,0
24,2113025
.
0
m
P
P
XX
X
=+=+=
ε
[
]
[]
)(40,583770.18
4
66,0
24,583770.18
.
0
m
P
P
YY
Y
=+=+=
ε

14

1


1

2

2
III
B
A
C
P
Hình 6-8
III. Phơng pháp giao hội kinh vĩ
Giao hội là hình thức tăng dày thêm điểm khống chế vào giữa các điểm khống
chế cấp cao hơn. Tuỳ theo cách đo ngời ta chia làm các phơng pháp sau đây:
a - giao hội thuận
b - giao hội kết hợp - điểm đã biết toạ độ
c - giao hội nghịch. - điểm cần tìm toạ độ
cạnh đo đi, đo về ; cạnh đo theo một hớng.
III.1. Giao hội kinh vĩ phía trớc (giao hội thuận)
III.1.1. Đồ hình đo ngắm
Giao hội kinh vĩ phía trớc có dạng nh hình vẽ 6-8.
Trong đó:
1
,
1

,
2
,
2
là các góc đo.
A, B, C là điểm đã biết toạ độ.
P là điểm cần tìm toạ độ.



III.1.2. Tính toán
Theo công thức Iung.
- Tính toạ độ điểm P theo tam giác I:

11
11
11
11
cotcot
cotcot
cotcot
cotcot





gg
XXgYgY
Yp

gg
YYgXgX
Xp
BABA
I
BABA
I
+
++
=
+
+

+
=
(6-27)
Tính toạ độ điểm P theo tam giác II:

22
22
22
22
cotcot
cotcot
cotcot
cotcot

gg
XXgYgY
Yp
gg
YYgXgX
Xp
CBCB
II
CBCB
II
+
++
=
+
+

+
=
(6-28)
Tính trị trung bình toạ độ điểm P:
2
2
III
III
YpYp
Yp
XpXp
Xp
+

=
+
=
(6-29)
A
P
C
A
B
P
B
C
B
A
P
C
D
b
a
c
Hình 6-7

15
III.2. Giao hội kinh vĩ cạnh sờn (giao hội kết hợp)
III.2.1. Đồ hình đo ngắm
Giao hội kinh vĩ kết hợp có dạng nh hình 6-9.
Trong đó:

,, - là các góc đo.
A, B, C - là điểm đã biết toạ độ.
P - là điểm cần tìm toạ độ.

III.2.2. Tính toán
Tính góc
)(180:
0

+=
Tính toạ độ điểm P theo công thức I ung:





gg
XXgYgY
Yp
gg
YYgXgX
Xp
BABA
BABA
cotcot
cotcot
cotcot
cotcot
+
++

=
+
++
=
6-30)
II.2.3. Tính kiểm tra
Tính góc định hớng
PCPB
va


theo bài toán trắc địa nghịch.

PC
PC
PC
PC
PC
PB
PB
PB
PB
PB
XX
YY
X
Y
tg
XX
YY

X
Y
tg


=


=


=


=


(6-31)
Tính góc
tính
:
PCPBtinh




=

Tính góc

kiểm tra:

cpkt
dotinhkiemta





=

III.3. Ví dụ mẫu
Ví dụ 1:
Tính toạ độ điểm giao hội thuận:
- Đồ hình đo ngắm: (theo hình 6-10).
- Số liệu đã biết (toạ độ các điểm A, B, C)
số liệu đo (góc
2211
,,,




và trình tự tính toán
nêu trong bảng tính toạ độ điểm P.

Bảng tính toạ độ điểm P:

PC

C



B
P

PB


A
Hình 6-9
P
A

1



2

2

1
I II

2

1

B
C
Hình 6-10
Yêu cầu:

16
§iÓm khëi tÝnh
§iÓm khëi tÝnh
§iÓm giao héi
Gãc α
Gãc β
Gãc γ
X Khëi tÝnh
X Khëi tÝnh
X
P
( m)
Cotgβ
Cotgα
Y Khëi tÝnh
Y Khëi tÝnh
Y
P
(m)

A
B

P
α
1
.37
0
51’
β
1
. 100
0
14’
γ
1
. 41
0
55’
920547,8
915474,6
913847,0
-0,18053
+1,28687
1,10634
507523,4
506638,6
511079,8
B
C
P
α
2

. 57
0
47’
β
2
. 29
0
03’
γ
2
. 93
0
10’
915474,6
905964,2
913847,5
+1,80034
+0,63014
+2,43048
506638,6
508676,8
511080,0
Tung b×nh X
P (TB)
913847,2 Y
TB
511079,9
Ng−êi tÝnh :
Ng−êi kiÓm tra:
VÝ dô 2: TÝnh to¹ ®é ®iÓm giao héi kÕt hîp.

- §å h×nh ®o ng¾m (theo h×nh 6-11).
- Sè liÖu khëi tÝnh.






B¶ng tÝnh to¹ ®é:
Tªn ®iÓm Gãc X(m) Cotg Y(m)
P
A
B
γ. 44
0
15’30”
α. 31
0
18’45”
β. 104
0
25’45”
X
P
: 85997,0
X
A
: 80204,0
X
B

: 82336,2
+1,026230
+1,643903
- 0,257299
Y
P
: 398480,9
Y
A
: 394651,0
Y
B
: 399178,5
Σ 180
0
00
’
00 +1,386604
B¶ng tÝnh kiÓm tra:

)(mSpc
Ypc
X
pc
PC
α
Δ
Δ

-6736,4
+4791,2
144
0
34
’
41
”

8862,48

PB
PB
PB
Y
X
α
Δ
Δ


-3660,8
+697,6
192
0
12
’
40
”

''
KT
do
tinh
ε
ε
ε
Δ


24
0
37
’
59
”


24
0
37
’
20
”

+39
”
Ng−êi tÝnh:
Ng−êi kiÓm tra:

III.4. Giao héi kinh vÜ phÝa sau (giao héi nghÞch)
Tªn ®iÓm
CÊp X(m) Y(m)
A
B
C
Gi¶i tÝch 2
Gi¶i tÝch 2
Gi¶i tÝch 2
80204,0
82336,2
79260,6
394651,0
399178,5
403272,1
β
PB
β
PC
γ

ε
α
β
P
A
B
C
H×nh 6-11

17
III.4.1. Đồ hình đo ngắm
Giao hội nghịch có dạng nh hình 6-12:
Trong đó: Đặt máy tại P là điểm giao hội cần
xác định toạ độ, ngắm về các điểm đã biết toạ độ là
A, B, C, K đo góc :



,, .
II.4.2. Tính toán
- Theo toạ độ các điểm A, B, C giải bài toán
trắc địa nghịch để tính chiều dài và góc định hớng
cạnh AC, BC và tính góc C.
+ Trớc hết ta tính:

)(
2
1
180)(
2
1
0
C++=+

( 6-31)
+ Tính tg

Sinb
Sinb
2
1
= ( 6-32)
+ Sau đó tính :

2
).45(cot
2
0





+
+=

tggtg
hay:






+
+=+
2

).45(cot)(
2
1
0


tggarctg (6-33)
Giải hệ phơng trình (6-31) và (6-33) ta tìm đợc góc bổ trợ và .
Tính chiều dài và góc định hớng các cạnh AP và BP.
Tính toạ độ điểm P theo bài toán trắc địa thuận.
Tính kiểm tra:
Tính góc

nh giao hội liên hợp:
Tính
:KT



CPKT
donhitKT






=

Chú ý:
Gọi vòng tròn đi qua 3 điểm A, B, C là vòng tròn
nguy hiểm thì cần đặt điểm P cách xa vòng tròn
nguy hiểm khoảng 1/5 bán kính của nó. Tốt nhất là
điểm P nên bố trí ở trong tam giác ABC hoặc ở trong
góc kẹp giữa 2 cạnh tam giác đó, không nên đặt điểm
P ở trong phạm vi gạch chéo nh hình 6-13.
A
K
P
B
C

p
1

b
2
b
1
p
1






c

P
3


Hình 6-12
A
C
B
P
K
Hình 6-13

18
IV. Phơng pháp tam giác nhỏ
IV.1. Khái niệm
Bố trí các điểm khống chế phân bố đều trong khu đo, nối các điểm đó thành
từng hình tam giác, các tam giác này lại liên kết tạo thành một lới gọi là lới
tam giác. Lới khống chế đo vẽ bố trí theo phơng pháp tam giác gọi là phơng
pháp tam giác nhỏ. Để xác định toạ độ các điểm của lới, cần biết trớc tối thiểu
là góc định hớng và chiều dài của một cạnh, toạ độ một điểm của cạnh đó và tất
cả các góc đo trong lới. Nhờ định lý hàm số sin trong tam giác ta tính đợc tất cả
các cạnh của lới, dựa vào bài toán trắc địa thuận để tính toạ độ các điểm của lới.
Phơng pháp tam giác nhỏ thờng đợc bố trí theo một số hình dạng
thờng gặp nh hình vẽ sau:





a - Tứ giác trắc địa b - Chuỗi tam giác đơn c - Tam giác trung tâm

d - Khoá tam giác hình tuyến e - Hình quạt
Hình 6-14.
* Chú thích : Điểm và cạnh đã biết.
Điểm cần tính tộa độ.
IV.2. Nội dung công tác xây dựng lới
IV.2.1. Công tác chuẩn bị
- Thu thập tài liệu có liên quan nh: Các bản đồ đã có, số liệu và sơ đồ. Các
điểm khống chế cấp cao ở trong hay gần khu đo.
- Khảo sát khu đo, xác định ranh giới đo vẽ, tìm mốc trắc địa theo tài liệu
thu thập đợc, dự kiến bố trí lới hình dạng khống chế.
IV.2.2. Thiết kế lới tam giác nhỏ
- Thiết kế các hình dạng lới trên bản đồ địa hình đã có. Các chỉ tiêu kỹ
thuật khi thiết kế theo quy phạm quy định. Cụ thể góc trong tam giác không nhỏ
hơn 20
0
, không lớn hơn 140
0
, cạnh tam giác không ngắn hơn 150m, số tam giác
giữa hai cạnh khởi tính không nhiều hơn 10 tam giác. Sau đó lập luận chứng
kinh tế kỹ thuật và trình duyệt.

19
IV.2.3. Chọn điểm, chôn mốc, dựng tiêu
Sau khi luận chứng kinh tế kỹ thuật đã đợc phê chuẩn tiến hành xác định
vị trí từng điểm khống chế ở bản thiết kế ra thực địa. Các điểm khống chế đặt ở
nơi cao, đất cứng, quang đãng, tầm nhìn thông suốt. Sau đó chôn mốc và dựng

tiêu theo quy định của quy phạm.
IV.2.4. Đo góc, đo cạnh trong lới
- Đối với lới bố trí dựa vào điểm khống chế cấp cao thì đo góc ngang.
- Đối với lới độc lập (không liên hệ với điểm khống chế cấp cao) thì đo góc
ngang, đo cạnh đáy, đo góc phơng vị từ bằng địa bàn gắn trên máy kinh vĩ.
Nếu lới xác định độ cao bằng thuỷ chuẩn lợng giác thì đo góc đứng cùng
với góc ngang. Số lần đo góc ngang, góc đứng các quy định kỹ thuật đo góc theo
quy phạm quy định.
IV.2.5. Tính toán bình sai
Sau khi kết thúc công tác đo đạc phải tiến hành kiểm tra sổ sách thực địa, nếu
đạt yêu cầu thì tính trị trung bình kết quả đo, vẽ sơ đồ lới và tiến hành bình sai.
IV.3. Bình sai đơn giản tam giác nhỏ.
Trong công tác bình sai đợc chia ra: Bình sai chặt chẽ và bình sai đơn giản.
Trong bình sai chặt chẽ việc giải các phơng trình để tìm các số hiệu chỉnh
có sự liên quan ràng buộc với nhau giữa các phơng trình đó.
Còn bình sai đơn giản ta có thể chia các phơng trình thành các nhóm,
trong quá trình bình sai giải quyết tuần tự và tách biệt từng nhóm, nhóm tiếp
theo không làm phá vỡ sự cân bằng của nhóm trớc.
Đối với lới tam giác nhỏ tiến hành bình sai đơn giản.
IV.3.1. Các dạng phơng trình điều kiện trong lới
Giả sử ta có lới trung tâm nh hình 6-15.
Ký hiệu: i [1,2,3 ] là giá trị góc đo.
(i) [(1), (2), (3), ] số hiệu chỉnh tơng ứng

, )3,2,1(

i giá trị góc đã bình sai.
i Sai số khép hay số hạng tự do,
ta có:
).(

_
ii
i
+= (6-34)
Ta xác định các phơng trình điều kiện sau:
IV.3.1.1. Phơng trình điều kiện hình
Điều kiện hình là điều kiện tổng các góc của
mỗi tam giác sau bình sai phải bằng 180
0
.

0
180321 =++

(6-35)
O
Q
P
1
P
2
P
3
P
j-1
P
j
P
n-1

I
3
I
2
1
4

6
5
7
9

C
C

j
J
8
A
j
B
j
A
B

N
II
III
Hình 6-15

I

I

20
Thay (6-34) vào (6-35) ta có phơng trình điều kiện hình.
(1) + (2) +(3) +
1
= 0 (6-36)
Trong đó:
1
= 1 + 2 + 3 - 180
0

IV.3.1.2. Phơng trình điều kiện vòng (mặt bằng)
Điều kiện vòng là tổng các góc đã bình sai có chung đỉnh 0 phải bằng 360
0
.

0
__
360 63 =+++++

Nj
cc
(6-37)
Thay trị bình sai bằng góc đo và số hiệu chỉnh vào (6-34), ta có phơng
trình điều kiện (
ptđk) vòng.
(3) + (6) + + (C

J
) + + (C
N
) +
V
= 0 (6-38)
Trong đó:
V
= 3 + 6 + + C
J
+ + C
N
- 360
0

IV.3.3.1. Phơng trình điều kiện cực
Điều kiện cực là xuất phát từ chiều dài một cạnh nào đó trong lới tam giác
dùng các góc đã bình sai để tính chuyền sang cạnh khác, khi quay trở lại cạnh
ban đầu thì trị số tính đợc phải đúng bằng trị số đã cho.
Ví dụ: Hình 6-13 xuất phát từ cạnh OQ tính ra cạnh OP
1
, và tính chuyền
theo hớng mũi tên lại về OQ, điểm O gọi là điểm cực, phơng trình ban đầu là:

1
5.2
4.1
____
____
==

OQ
OQ
BSinBSinSinSin
ASinASinSinSin
NJ
NJ
L
L
(6-39)
Thay trị bình sai bằng trị đo và số hiệu chỉnh vào (6-36) rồi logarit hoá hai
vế ta có:

0)}(sin{lg )}5(5sin{lg)}2(2sin{lg
)}(sin{lg )}4(4sin{lg)}1(1sin{lg
=++++++

+
+
+
+
++
NN
NN
BB
AA
(6-40)
Hay viết gọn (6 - 40):

=++ 0)}(sin{lg)}(sin{lg BBAA (6-41)
Số gia logarit Sin góc đợc tính:

iiiiiiii sinlgsinlg)}(sin{lg:sinlg)}(sin{lgsinlg +=
+


+
=

hoặc:
)(
)(
sinlg
sinlg)}(sin{lg



+== i
i
i
iii
Trong đó:
)(
sinlg


=
i
i

i

chính là số gia logarit sin khi tăng góc i lên 1

.
Do đó ta có:
{
}
)(sinlg)(sinlg


+
=
+
iiii
i

(6-42)
Theo cách viết của (6-42) thì (6 - 41) có dạng:

21


+


)()( BA
BA cực
= 0 (6-43)
Phơng trình (6-43) là phơng trình điều kiện cực.

Trong đó:
cực
=


BA sinlgsinlg (6-44)
IV.3.1.4. Phơng trình điều kiện cạnh đáy
Điều kiện cạnh đáy là xuất phát từ
một cạnh đã biết nào đó trong lới tam
giác, dùng các cạnh bình sai để tính
chuyền đến cạnh đã biết chiều dài khác
và phải đúng bằng trị số đã biết của nó.
Ví dụ: Theo hình 6-16 xuất phát
từ cạnh MT = a tính chuyền sang cạnh
QR = b ; phơng trình ban đầu là:

1
sin 5sin.2sin.
sin 4sin.1sin
___
___
=
N
N
Bb
Aa
(6-45)
Chứng minh tơng tự đối với điều kiện cực ở trên, ta có phơng trình điều
kiện cạnh đáy là:

0)()( =+


cdBA
BA

(6 - 46)
Trong đó:


+= BbAa
cd
sinlglgsinlglg


IV.3.1.5. Phơng trình điều kiện góc định hớng
Điều kiện góc định hớng là xuất phát từ một cạnh đã biết góc định hớng
trong lới tam giác, dùng các góc bình sai để tính chuyền đến cạnh đã biết góc
định hớng khác và phải dùng bằng trị số đã biết của nó.
Theo hình 6-16 cạnh MT có góc định hớng đã biết là
0

, cạnh QR có góc
định hớng đã biết là
M

, nếu chọn đờng tính chuyền theo đờng gạch ngắn ta có:

NC
N

N
N
.180.)1( 63
0
___
0
++++=

(6-47)
Nếu N chẵn thì
N
C
_
mang dấu (+) (+C
N
).
N lẻ thì
N
C
_
mang dấu (-) (-C
N
).
Thay trị bình sai bằng trị đo và số hiệu chỉnh ta có phơng trình góc định
hớng.
-(3) + (6) - (9) + (12) + + (-1)
N
. (C
N
) +

= 0 (6-48)
Trong đó:

NN
N
NN
NC


+++++== .180.)1( 12963
0
0
1
(6-49)
M
T
a
3
4
5
I
1
2
6
7
8

9

II
A
N
B
N
R
C
N
N
Q
b
Hình 6-16

22
IV.3.1.6. Phơng trình điều kiện toạ độ (hoành độ và tung độ)
Điều kiện toạ độ là xuất phát từ một điểm toạ độ đã biết và các yếu tố.
Sau bình sai của lới tính về một điểm đã biết toạ độ khác và phải bằng toạ
độ đã biết của nó.
Ví dụ: Theo hình (6-14) các điểm M, T, Q, R đã biết tọa độ, dựa vào toạ độ
điểm T (X
T
,Y
T
) tính chuyền toạ độ qua các đỉnh rồi về điểm Q.
Qua chứng minh, phơng trình điều kiện toạ độ ở dạng viết rút gọn nh sau.

0)(
0)(
=+
=+

Y
X
Y
X


(6-50)
Trong đó:
)(
)(
DCY
DCX
YYY
XXX
=
=





IV.3.2. Giá trị cho phép của các số hạng tự đo trong các phơng trình điều kiện
Các số hạng tự do thực tế
TT
của các phơng trình điều kiện dùng để đánh
giá chất lợng kết quả đo và mối quan hệ hình học của lới, do đó phải thoả mãn
điều kiện sau:

CPTT



Giá trị
CP
đợc tính nh sau:
- Đối với phơng trình điều kiện hình và phơng trình điều kiện mặt bằng:

nm
C
5,2=


- Đối với phơng trình điều kiện góc địng hớng:

22
.25,2 mnm
CP
+=



- Đối với phơng trình điều kiện cực:

][5,2
2

m
CP

=

- Đối với phơng trình điều kiện cạnh đáy:

][lg25,2
222

mbm
CP
+=

Trong đó:
m - Sai số trung phơng đo góc trong lới quy định cho mỗi cấp.
N - Số góc tham gia vào phơng trình điều kiện.
m

- Sai số trung phơng góc định hớng cạnh khởi tính.
mlg
b
- Sai số trung phơng logarit cạnh khởi tính.


- Số gia logarit sin góc khi tăng góc lên 1

.
IV.3.3. Khái niệm về bình sai theo phơng pháp số bình phơng nhỏ nhất
Giả sử trong lới trắc địa có các phơng trình điều kiện số hiệu chỉnh sau:


23

a, a
1
(1) + a
2
(2) + + a
n
(n) +
a
= 0
b, b
1
(1) + b
2
(2) + + b
n
(n) +
b
= 0 (6-51)
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
r, r
1
(1) + r
2
(2) + + r
n
(n) +
r
= 0
Trong đó: a, b, , r là các phơng trình điều kiện.

a
,
b
, ,
r
: là số hạng tự do của phơng trình điều kiện.
(i) = [(1), (2), ,(n)] là n số hiệu chỉnh hay gọi là ẩn số phơng
trình (6-51) . Viết rút gọn lại nh sau:
[a(i)] +
a
= 0
[b(i)] +
b
= 0 (6-52)
- - - - - - - - - - -
[r(i)] +
r
= 0
Hệ (6-52) có r phơng trình nhng có n ẩn số nên là hệ phơng trình vô
định có vô số nghiệm thoả mãn phơng trình này. Do đó muốn có một cặp
nghiệm duy nhất đáng tin cậy phải có điều kiện phụ. Tổng bình phơng các
nghiệm số phải là một số nhỏ nhất trong các ẩn số tìm đợc, nghĩa là:
F = [ (i
2
) ] = min (6-53)
Đó chính là nguyên tắc số bình phơng nhỏ nhất.
Việc giải hệ (6-52) theo điều kiện của (6-53) là giải bài toán theo điều kiện
cực trị.
Bài toán đợc giải thông qua sử dụng hệ số Lagrăng K (hàm Lagrăng) trong
trắc địa gọi là hệ số liên hệ nh sau:

Nhân các phơng trình a, b, , r của (6-52) với các hệ số sau:
- 2k
a
, -2k
b
, , -2k
r
rồi cộng với phơng trình (6-53) ta đợc:
F = [(i
2
)] 2k
a
{[a(i) +
a
} -
- 2k
b
{[b(i) +
b
} - (6-54)
- - - - - - - - - - - -
- 2k
r
{[r(i) +
r
}
Để giải hàm Lagrăng (6-54) theo điều kiện cực trị, ta lấy đạo hàm riêng
bậc nhất của hàm theo từng biến số (i ) và cho đạo hàm này bằng không.

02 22)(2

)(
02 22)2(2
)2(
02 22)1(2
)1(
122
111
==



==


==


rnbnan
rba
rba
krkbkan
n
F
krkbka
F
krkbka
F
(6-55)

24
Từ hệ (6-55) ta tìm đợc:
(1) = a
1
k
a
+ b
1
k
b
+ + r
1
k
r

(2) = a
2
k
a
+ b
2
k
b
+ + r
2
k
r
(6-56)
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
(n) = a

n
k
a
+ b
n
k
b
+ + r
n
k
r

Hệ (6-56) gọi là hệ phơng trình số hiệu chỉnh.
Thay (6-56) vào (6-51) ta có hệ phơng trình sau:
[aa]k
a
+ [ab]k
b
+ + [ar]k
r
+
a
= 0
[ab]k
b
+ [bb]k
b
+ + [br]k
r
+

b
= 0 (6-57)
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
[ar]k
a
+ [br]k
b
+ + [rr]k
r
+
r
= 0
Hệ phơng trình (6-57) là hệ phơng trình pháp dạng số liên hệ (hệ phơng
trình chuẩn), hệ này có số lợng phơng trình bằng số ẩn số.
Các hệ số [aa], [bb], ,[rr] là các hệ số bình phơng nằm trên đờng chéo
chính (đờng chéo đi qua các hệ số bình phơng).
Các hệ số không bình phơng còn lại thì các hệ số bằng nhau đối xứng qua
đờng chéo chính.
Giải hệ (6-57) ta tìm đợc k
a
, k
b
, k
r
, sau đó giải hệ (6-56) tìm đợc các số
hiệu chỉnh (1), (2), , (n).
Ví dụ : Trong một tam giác ta có: 1 + (1) + 2 + (2) + 3 + (3) - 180
0
= 0
(1) + (2) + (3) +1 + 2 + 3 - 180

0
= 0
(1) + (2) +(3) + = 0
Các hệ số đều bằng 1: a
1
= a
2
= a
3
=1 nên [aa] = 3
Phơng trình pháp dạng số liên hệ là: [aa]k
a
+ = 0
3k
a
+ = 0 k
a
=
3



Số hiệu chỉnh các góc đo là:
(1) = (2) = (3)
3


=

IV.3.4. Bình sai gần đúng lới tam giác trung tâm

Giả sử ta có lới tam giác trung tâm nh
hình 6-17.
Trong đó: Cj (3, 6, 9 ) là góc ở đỉnh O.
J (I, II, , N) số hiệu tam giác.

Góc A (1, 4, 7, , 3N-2).

Góc B (2, 5, 8, , 3N-1).


O
Q
P
1
P
2
P
3
P
j-1
P
j
P
n-1

1
3
I
2
1

4

6
5
7
9
C
C

j
J
8

A
j
B
j
A
B

N
II
III
Hình 6-17

II

II

25

Để bình sai ta đa các phơng trình điều kiện có hệ số
1 vào nhóm 1,
phơng trình điều kiện cực vào nhóm 2.


Vậy ta có:
Phơng trình điều kiện nhóm 1: Gồm các phơng trình điều kiện hình và
phơng trình điều kiện góc mặt bằng.
a, (1) + (2) + (3) +
I

= 0
b, (4) + (5) + (6) +
II

= 0
c, (7) + (8) + (9) +
III

= 0 (6-58)
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
g, (A
N
) + (B
N
) + (C
N
) +
N

= 0
r, (3) + (6) + (9) + + (C
N
) +
mb

= 0
- Phơng trình điều kiện nhóm 2: Cực là phơng trình điều kiện

0)()( =+


cucBA
BA

(6-59)
Trong đó các
j

đợc tính theo công thức ở mục 1 ở trên.
- Tính số hiệu chỉnh lần thứ nhất (i
j
).
Phơng trình pháp dạng số liên hệ nhóm 1:

0][][ ][][][
0][][ ][][][
0][][ ][][][
0][][ ][][][
0][][ ][][][

=++++++
=++++++


=++++++
=++++++
=
+
+
+
+
+
+
rrNIIIIII
NrNIIIIII
IIIrNIIIIII
IIrNIIIIII
IrNIIIIII
krrkrgkbrkbrkar
kgrkggkcgkbgkag
kcrkcgkcckbckac
kbrkbgkbckbbkab
karkagkackabkaa





(6-60)
Các hệ số của phơng trình pháp dạng tính đợc nh sau:

[aa] = 3 [ab] = 0 [ac] = 0 [ag] = 0 [ar] = 1
[bb] = 3 [bc] = 0 [bg] = 0 [br] = 1
[cc] = 3 [cg] = 0 [cr] = 1
[gg] = 3 [gr] = 1
[rr] =
N
Thay hệ số tìm đợc vào (6-60):

03
03
03
03
=++

=++
=++
=
+
+
NrN
IIIrIII
IIrII
IrI
kk
kk
kk
kk

(6-61)

0 =+
+
+
+
+
+
rrNIIIIII
Nkkkkk