Động học điểm pot

1
Phần II
CƠ HỌC LÝ THUYẾT
GVC-ThS ĐẶNG THANH TÂN


ĐỘNG HỌC ĐIỂM

I- Phương trình chuyển động:
Động học- Chương V
ξ1– KHẢO SÁT CHUYỂN ĐỘNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ
( ) (5.1)r r t=
r r
(5.2)
dr
v r
dt
= =
r
r r
&
r

z
y
x
M
O

II- Vận tốc của điểm:


III- Gia tốc của điểm:
Vectơ vận tốc tức thời bằng đạo hàm của bán kính
vectơ của điểm theo thời gian
Gia tốc bằng đạo hàm bậc hai của bán kính vectơ của điểm theo thời gian .
(5.3)
dr
a r
dt
= =
r
&
r r
&&


I- Phng trỡnh chuyn ng:
( )
( ) (5.6)
( )
x x t
y y t
z z t
=


=


=

II- Vaọn toỏc cuỷa ủieồm:
( )
( ) (5.7)
( )
x
y
z
v x t
v r xi yj zk v y t
v z t

=

= = + + =


=

&
r
r r
r r
&
& & &
&
z
y
x
M
O

r

2 KHO ST CHUYN NG BNG PHNG PHP TA DESCARTES

Chỳ ý:
(5 5)r xi yj zk= + +
r
r r
r
2 2 2 2 2 2
(5.8)
x y z
V v v v x y z= + + = + +
& &
&

giỏ tr:
y
z
v
v
cos ; cos = ; cos = (5.9)
v v
x
v
v

=

Phng:

y
z
a
a
cos ' ; cos '= ; cos ' (5.12)
a a
x
a
a
α β γ
= =
M
+
2 2 2 2 2 2
(5.11)
x y z
a a a a x y z= + + = + +
&& &&
&&
III- Gia tốc của điểm
I- Hệ tọa độ tự nhiên
τ
r
T
B
b
r
 Trucï T là trục tiếp tuyến

N
n
r
 Trucï N là trục pháp tuyến chính
 Trucï B là trục trùng pháp tuyến
( )
( ) (5.10)
( )
x x
y y
z z
a v x t
a v y t
a v z t

= =

= =


= =

& &&
& &&
&
&&
ξ3– KHẢO SÁT CHUYỂN ĐỘNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TƯ NHIÊN
Hệ trục có vectơ đơn vị là hệ trục tọa độ tự nhiên
O nb
τ

III- Độ cong quỉ đạo
( ) (5.13)S S t=
II- Phương trình chuyển động:
k
s
d
ds
s
= =
→
lim
∆
∆
∆
0
ϕ ϕ
 Độ cong của quĩ đạo tại điểm M:
 Bán kính cong của quĩ đạo tại điểm M:
1 ds
k d
ρ
ϕ
= =
IV –Đạo hàm theo thời gian vect ơ đơn vị của hệ qui chiếu động
( )
o o o
R Ox y=
là hệ trục cố định, vect ơ đơn vị trên các trục là:

( ) ( )
1 2
,
o o
e e
r r
 Cho
( )
1 1 1
R Ox y=
là hệ trục động, vect ơ đơn vị trên các trục là:
(1) (1)
1 2
,e e
r r
 Cho
Từ hình vẽ , suy ra:
(1) (0) (0)
1 1 2
(1) (0) (0)
2 1 2
cos . sin .
(5 14)
sin . cos .
e e e
e e e
ϕ ϕ
ϕ ϕ

= +


−

= − +


r r r
r r r
Đạo hàm các vectơ trên theo thời gian trong hệ qui
chiếu cố định ta được:
( )
o o o
R Ox y=


(5.16)v s=
&
V- Vận tốc của điểm:
VI-Gia tốc của điểm
M
a
r
n
a
r
a
τ
r
Gia tốc tòan phần:
(5.17)

n
a a a
τ
= +
r r r
- Gia tốc tiếp:
s
dt
sd
a


==
τ
- Gia tốc pháp:
ρ
2
v
a
n
=
(1)
(0) (0) (1)
1
1 2 2
(1)
(0) (0) (1)
2
1 2 1
( sin . cos . )

(5 15)
(cos . sin . )
o
o
R
R
de
e e e
dt
de
e e e
dt
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ

= − + =


−


= − + = −


r
r r r
& &
r
r r r
& &

ξ4–TỌA ĐỘ CỰC, TỌA ĐỘ TRỤ, TỌA ĐỘ CẦU

I- Phương trình chuyển động:
{
( ) , ( ) (5.19)r r t t
ϕ ϕ
= =
2 2 2
(5.21)v r r
ϕ
⇒ = +
&
&
2 2 2
( ) ( 2 ) (5.23)a r r r r
ϕ ϕ ϕ
= − + +
& && &
&& &
r
ϕ
x
y
O
M

II- Vận tốc của điểm:
(5.20)

r
v r e r e
ϕ
ϕ
= +
r r r
&
&

III- Gia tốc của điểm:
( )
( )
2
2 (5.22)
r
a r r e r r e
ϕ
ϕ ϕ ϕ
= − + +
r r r
& && &
&& &
r
e
r
e
ϕ
r
A–Tọa độ cực

1-Phương trình chuyển động:
{
( ); ( ); ( ) (5.24)t t z z t
ρ ρ ϕ ϕ
= = =
B–Tọa độ trụ
z
y
x
P
O
ρ
z
P
’
ϕ
2- Vận tốc của điểm:
3- Gia tốc của điểm:
(5.25)
r z
v re r e ze
ϕ
ϕ
= + +
r r r r
&
&
&
2

( ) ( 2 ) (5.26)
r z
a r r e r r e ze
ϕ
ϕ ϕ ϕ
= − + + +
r r r r
& && &
&& &
&&
4- Mối quan hệ giữa các tọa đô:
cos , s , (5 27)x y in z z
ρ ϕ ρ ϕ
= = = −


ξ5- KHẢO SÁT MỘT SỐ CHUYỂN ĐỘNG
2
1
(5.30)
2
o o
s a t v t v a t v
τ τ
= + ⇒ = +
1- Chuyển động đều
o
v const s vt s= ⇒ = +
2- Chuyển động thay đổi đều:
a const

τ
=
2 2
2 ( ) (5.31)
o o
a ds vdv v v a s s
τ τ
= ⇒ = + −




CƠ SỞ ĐỘNG HỌC VẬT RẮN
Chương VI
I- HAI ĐẠI LƯỢNG ĐẶC TRƯNG CƠ BẢN CỦA ĐỘNG HỌC VẬT RẮN
1- Vận tốc góc vật rắn
{ }
1 2 3
, ,e e e
r r r
là 3 vectơ đơn vị của hệ qui chiếu động gắn liền vào vật rắn B
Thì vận tốc góc của vật rắn B xác định bởi công thức:
3
2 1
1 3 2 1 3 2
(6 2)
R
R R
R B
de

de de
e e e e e e
dt dt dt
ω
 
   
= + + −
 ÷
 ÷  ÷
   
 
r
r r
r
r r r r r r
Cho
b-Công thức tính vận tốc góc
R B
ω
a- Định nghĩa:
Xét vật B chuyển động trong hệ qui chiếu R (hình 6-1)
Lấy là vectơ tùy ý khác không thuộc vật rắn B.
c
r
Do
2
( ) . 0
dc dc
c const c
dt dt

= ⇒ = ⇒
r r
r r
là vectơ vuông góc với vectơ
c
r
(6 1)
R
R B
dc
c
dt
ω
= × −
r
r
r
Trên cơ sở đó suy ra :


II- BIỂU THỨC XÁC ĐỊNH VẬN TỐC, GIA TỐC CỦA MỘT ĐIỂM BẤT KỲ
THUỘC VẬT RẮN
1-Vận tốc một điểm bật kỳ thuộc vật rắn
a- Định lý:
Nếu vận tốc góc của vật rắn và vận tốc của điểm A thuộc
vật rắn B là thì vận tốc của điểm P bất kỳ thuộc vật rắn B bằng
ω
r
A
v

r
(6 4)
P A PA A P
v v v v u
ω
= + = + × −
r
r r r r r
PA
v
r
Vận tốc của điểm P trong chuyển động quay của vật rắn quay quanh điểm A
2- Gia tốc một điểm bật kỳ thuộc vật rắn
Nếu vận tốc góc gia tốc góc của vật rắn B và gia tốc của một điểm A nào đó là
ω
r
ε
r
A
a
r
thì gia tốc một điểm P bất kỳ thuộc vật rắn B được xác định
( ) (6 6)
P A p P
a a u u
ε ω ω
= + × + × × −
r r r
r r r r
Gia tốc góc của vật rắn B đối với hệ qui chiếu R :

(6 3)
R R B
R B
d
dt
ω
ε
= −
r
r
2- Gia tốc góc của vật rắn:


A B
r r BA= +
uuur
r r
Trong chuyển động tịnh tiến của vật rắn, ở mổi thời điểm tất cả các điểm đều
có có cùng vận tốc và gia tốc
A
B
A
r
r
B
r
r
1 : Định nghĩa
Chuyển động tịnh tiến là chuyển động của vật rắn trong đó bất kì đường
thẳng nào thuộc vật đều chuyển động song song với chính nó.

2 -Tính chất của chuyển động tịnh tiến
Để xác định vận tốc của các điểm A và B
( )
(6.8)
B A
A B
dr dr
d AB
V V
dt dt dt
= + ⇒ =
r
r r
r r
Tiếp tục lấy đạo hàm theo thời gian
(6.9)
A B
A B
dv dv
a a
dt dt
= ⇒ =
r r
r r
III - CHUYỂN ĐỘNG TỊNH TIẾN CỦA VẬT RẮN


1-Phương trình chuyển động:
z
y

x
M
O
r

ϕ
θ
C– Tọa độ cầu
( )
( ) (5.28)
( )
r r t
t
t
ϕ ϕ
θ θ
=


=


=

cos cos
cos sin (5.29)
sin
x r
y r
z r

θ ϕ
θ ϕ
θ
=


=


=

2- Mối quan hệ giữa các tọa độ


1- Định nghĩa:
A
B
B
Z
Z
Trên vật có ít nhất 2 điểm cố đinh, đường thẳng đi qua hai điểm đó gọi là trục quay

Z là trục quay của vật rắn

Hai điểm A, B cố định
IV– CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN QUAY QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH
A- KHẢO SÁT CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT
2-Phương trình chuyển động của vật – góc quay.

Chọn hệ quy chiếu cố định với Oz

o
là trục quay của vật rắn
o o o
Ox y z

Chọn hệ trục Oxyz gắn liền vào vật rắn B và cùng quay với vật
Phương trình chuyển động quay của vật rắn quay quanh trục cố định
( ) (6 10)t
ϕ ϕ
= −
Chú ý


ϕ
gọi là góc quay – Đơn vị tính: radian (rad)

Mối quan hệ góc quay (
ϕ
) và vòng quay (N) :
2 N
ϕ π
=


ω

6.12)
d
dt
ϕ

ω ϕ
= =
&
3- Vận tốc góc – Vectơ vận tốc góc:
a- Vận tốc góc :
b-Vectơ vận tốc góc:


Phương nằm trên trục quay

Chiều theo chiều bàn tay phải

Trị số bằng trị số vận tốc góc
Vận tốc góc tức thời của vật thể tại thời điểm đã cho có trò số bằng đạo hàm bậc
nhất của góc quay theo thời gian.
Chú ý

Đơn vị vận tốc góc: rad/s
2
(6.13)
60 30
n n
π π
ω
= =

Mối quan hệ vận tốc góc (
ω
) rad và vận tốc vòng (n) vòng/phút :
z

ω


2
2
(6.16)
d
dt
ϕ
ε ϕ
= =
&&
ε
ε
Z
Z
ω

ε
r
4- Gia tốc góc – Vectơ gia tốc góc:
1- Gia tốc góc:
2-Vectơ gia tốc góc:


Phương nằm trên trục quay


Cùng chiều vectơ vận tốc góc khi chuyển động nhanh dần


Có độ dài bằng giá trị gia tốc góc
Gia tốc góc tức thời của vật thể ở thời điểm đã cho có trò số bằng đạo hàm bậc
nhất của vận tốc góc hay đạo hàm bậc hai của góc quay của nó theo thời gian.
Chú ý

Đơn vị gia tốc góc: rad/s
2


Vật rắn quay nhanh dần khi: nghĩa là
ω
và
ε
cùng dấu
. 0
ω ε
>


2
1
(6.20)
2
o o
t t
ϕ ε ω ω ε ω
= + ⇒ = +
5- Khảo sát một số chuyển động

Chuy n ể đ ng quay ộ đ u:ề

ω
=const

Chuy n ñ ng quay thay ể ộ đ i ñ u: ổ ề
ε
= const
Chú ý:
2 2
2 ( ) (6.21)
o o
d d
ε ϕ ω ω ω ω ε ϕ ϕ
= ⇒ = + −


B- KHẢO SÁT CHUYỂN ĐỘNG CỦA ĐIỂM THUỘC VẬT QUAY QUANH
TRỤC CỐ ĐỊNH
1- Quỹ đạo – Phương trình chuyển động của điểm :
a- Quĩ đạo
Xét một điểm P bất kỳ thuộc vật, nằm cách trục quay z
một đoạn IP = r, Khi vật rắn quay quanh trục z cố định
quĩ đạo của điểm P là đường tròn tâm I bán kính r nằm
trong mặt phẳng đi qua I và vuông góc với trục quay
b-Phương trình chuyển động
¼
( ) (6 22)
o
s P P r t
ϕ
= = −

2- Vận tốc của điểm :
Theo định nghĩa ta có :
3 1 3 1 2
( . ) ( ) . (6 23)
P
P P
dr
v u e r e r e e r e
dt
ω ϕ ϕ ϕ
= = × = × = × = −
r
r
r r r r r r r
& & &
(6 24)
p
v r e
τ
ϕ
⇒ = −
r r
&
Chú ý: Vận tốc các điểm của vật rắn quay quanh một trục cố định
phân bố theo qui luật tam giác vuông đồng dạng
Vận tốc của điểm là một vectơ nằm trên đường tiếp tuyến với quỹ
đạo ở điểm P có trị số:
P
v r
ϕ

=
&


3- Gia tốc của điểm :
Đạo hàm biểu thức vận tốc (6-23) trong hệ qui chiếu Ro theo t ta được
2 2
2 1
(6 25)
p
p n
dv
a r e r e r e r e
dt
τ
ϕ ϕ ϕ ϕ
= = − = + −
r
r r r r r
&& & && &
Trong đó :
(6 26)
p
a r e
τ
τ
ϕ
= −
r r
&&

là thành phần gia tốc tiếp
2
(6 27)
n
p n
a r e
ϕ
= −
r r
&
là thành phần gia tốc pháp
2
2
(6 28)
p
n
p
a
tg
a
τ
ϕ
ε
α
ω
ϕ
⇒ = = = −
r
&&
r

&
2 2 2 4
( ) ( ) (6 29)
n
p p p
a a a r
τ
ε ω
= + = + −
Chú ý:
:
n
p
a
r
2n
p
a r
ω
=

Hướng từ P về O, độ lớn
:
n
p
a
r
2n
p
a r

ω
=

Hướng từ P về O, độ lớn

2
a r v r r
ε ω ε ω
= × + × = × −
r r r
r r r r r


V- CÔNG THỨC WILLIS
2 1
2 2 1 1
1 2
(6.31)
R
R R
R
ε
ε ε
ε
= ⇒ = ±
2 1
2 2 1 1
1 2
(6.30)
R

R R
R
ω
ω ω
ω
= ⇒ = ±
Truyền các chuyển động quay giữa hai trục cố định song song nhau
vận tốc góc và gia tốc góc của các bánh truyền với bán kính của chúng.
Chú ý:
Lấy dấu (-) khi bộ truyền ăn khớp ngoài và ngược lại


HỢP CHUYỂN ĐỘNG CỦA ĐIỂM VÀ VẬT RẮN
ĐỘNG HỌC – CHƯƠNG 7
I.KHÁI NIỆM VỀ CHUYỂN ĐỘNG TUYÊT ĐỐI, TƯƠNG ĐỐI ,KÉO THEO
1.Chuyển động tuyệt đối, tương đối, kéo theo của vật rắn
Vật rắn B chuyển động đối với hệ qui chiếu động R
1
,
hệ trục động R
1
lại chuyển động đối với hệ qui chiếu
cố định Ro (Hình 7-1) .

Chuyển động của vật rắn B đối với hệ qui chiếu cố
định Ro được gọi là chuyển động tuyệt đối.

Chuyển động của vật rắn B đối với hệ qui chiếu động
R
1

được gọi là chuyển động tương đối

Chuyển động của hệ qui chiếu động R
1
đối với hệ qui
chiếu cố định Ro được gọi là chuyển động kéo theo.
Biểu diễn vectơ vận tốc và gia tốc trong hệ trục tọa độ
1 1
1 1
, ,
, ,
o o
o o
R R
R R
B B
a r e
R R
R R
B B
a r A
ω ω ω ω ω ω
ε ε ε ε ε ε
= = =
= = =
r r r r r r
r r r r r r


2- Chuyển động tuyệt đối, tương đối, kéo theo của điểm


Vận tốc, gia tốc điểm P trong hệ qui chiếu cố định R
o
được
gọi là vận tốc tuyệt đối, gia tốc tuyệt đối. ký hiệu:
,
a a
v a
r r
2
2
(7 1)
o
o
R
p
a
R
p
a
d r
v
dt
d r
a
dt

=



−


=


r
r
r
r

Vận tốc , gia tốc của điểm P của vật rắn B trong hệ qui
chiếu động R
1
được gọi là vận tốc tương đối, gia tốc
tương đối. ký hiệu
,
r r
v a
r r

Vận tốc góc, gia tốc góc của hệ qui chiếu động R1 xác định trong hệ qui chiếu cố định
R
o
được gọi là vận tốc góc kéo theo, gia tốc góc kéo theo. ký hiệu :
,
e e
ω ε

II- ĐỊNH LÝ CỘNG VẬN TỐC VÀ ĐỊNH LÝ CỘNG GIA TỐC CỦA ĐIỂM:

V
a
- Vân tốc tuyệt đối

V
r
- Vận tốc tương đối

V
e
- Vận tốc kéo theo
1
1
2
2
( )
(7 2)
( )
R
p
r
R
p
r
d u
v P
dt
d u

a P
dt

=


−


=


r
r
r
r
1- Định lý cộng vận tốc điểm :
Ở mỗi thời điểm, vận tốc tuyệt đối của P bằng tổng hình học học vận tốc tương
đối và vận tốc kéo theo của nó
(7 4)
a r e
v v v= + −
r r r
Một điểm thuộc hệ tọa động R
1
mà ở thời điểm khảo sát trùng với P được gọi là trùng
điểm P tại thời điểm đó. Vận tốc, gia tốc của trùng điểm một điểm thuộc hệ qui chiếu R
1
Xác định trong hệ qui chiếu cố định R
o

được gọi vận tốc theo, gia tốc theo của điểm P.
Ký hiệu:
,
e e
v a
r r
*
P
*
P


(7.8)
a r e c
a a a a= + +
r r r r
2- Định lý cộng gia tốc điểm :
Gia tốc tuyệt đối của điểm chuyển động phức hợp bằng tổng hình học
gia tốc tương đối, gia tốc kéo theo và gia tốc Coriolis của nó.

a
a
– Gia tốc tuyệt đối

a
r
- Gia tốc tương đối

a
e

- Gia tốc kéo theo

a
c
– Gia tốc coriolis
2( ) (7 9)
c e r
a v
ω
= ∧ −
r
r r