Báo cáo khoa học: "Ph-ơng pháp Gauss - Seidel và công thức nhiệt trở phân tố giải các bài toán nhiệt kết cấu công trình" ppt

Phơng pháp Gauss - Seidel v công thức
nhiệt trở phân tố giải các bi toán
nhiệt kết cấu công trình


PGS. TS. Trịnh văn quang

KS. Trơng Minh thắng
Bộ môn Kỹ Thuật Nhiệt
Khoa Cơ khí - Trờng Đại học GTVT

Tóm tắt: Bi báo trình by một phơng pháp giải các bi toán nhiệt phức tạp khi phơng
pháp ma trận nghịch đảo trở nên bất lực, đó l phơng pháp Gauss - Seidel v công thức nhiệt
trở phân tố.

Summary: The paper presents the method of Gauss - Seidel Iteration to solve the
complicated thermal problems instead of the inverse matrix method becoming powerless.
i. đặt vấn đề
Một trong các phơng pháp có hiệu lực
để giải các bài toán nhiệt của các vật thể có
hình dáng và điều kiện biên phức tạp là
phơng pháp số dùng ma trận nghịch đảo. Khi
đó các nhiệt độ phải tìm nằm trong một hệ
phơng trình tuyến tính, và đợc giải bằng
thuật toán ma trận [3]. Tuy nhiên khi số
phơng trình quá lớn thì phơng pháp ma trận
nghịch đảo cũng hết sức phức tạp. Đặc biệt
trờng hợp điều kiện biên không tuyến tính,
nh vật thể có trao đổi bức xạ với nguồn có
nhiệt độ xác định, thì hệ phơng trình các

nhiệt độ cần tìm không còn là tuyến tính nữa
nên phơng pháp ma trận nghịch đảo cũng trở
nên bất lực. Vậy có thể giải các bài toán trong
trờng hợp này nh thế nào.
Bài báo trình bày phơng pháp Gauss -
Seidel và công thức nhiệt trở phân tố để giải
các bài toán phức tạp thuộc loại này.
ii. công thức nhiệt trở phân tố,
phơng pháp gauss - seildel
A. Công thức nhiệt trở phân tố
Khi xác định nhiệt độ trong vật thể bằng
phơng pháp cân bằng năng lợng phân tố
cần tính các dòng nhiệt đến phân tố, trong đó
luôn có mặt các nhiệt trở thành phần. Để
thuận tiện cho tính toán có thể xây dựng công
thức nhiệt trở thành phần dạng tổng quát sau.
1. Bi toán ổn định
a. Điều kiện biên loại 1
Xét một hình phẳng dày 1m cho biết
nhiệt độ tại biên giới (hình 1).

Hình 1. Mạng các điểm nút
Chia hình phẳng bởi một mạng các
đờng vuông góc có bớc mạng x, y, ứng

với hai chiều x, y. Do ổn định, nhiệt độ tại mọi
điểm trong vật không thay đổi theo thời gian
nên tổng dòng nhiệt phân tố nhận đợc do
dẫn nhiệt từ xung quanh đến bằng không
(hình 2). Khi đó phơng trình năng lợng tại

mỗi phân tố tại điểm nút i:
q
i
= 0 (1)

Hình 2. Các nhiệt trở thnh phần tại nút i
dẫn tới:
+


+


1.y)tt(
x
1.y)tt(
x
i3i1


01.x)tt(
y
1.x)tt(
y
iJi2
=


+

+

(2)
Hay:

0
x.
y
tt
x.
y
tt
y.
x
tt
y.
x
tt
iJi2i3i1
=



+



+

+



(3)
Viết ở dạng tổng quát:


=

j
iJ
iJ
0
R
tt
(4)
Nhiệt trở thành phần trong bài toán ba
chiều trong toạ độ xyz sẽ có J = 1 ữ 6 (hình 3):
Trong đó t
J
là nhiệt độ các điểm xung
quanh, t
i
là nhiệt độ phải tìm tại nút i; R
iJ
đợc
gọi là công thức nhiệt trở phân tố.

Từ đó tính đợc nhiệt độ t
i
:










=
J
iJ
J
iJ
J
i
R
1
R
t
t
(6)
b. Điều kiện biên loại 2, 3:
Tại nút ở biên có các dòng nhiệt đối lu
hoặc bức xạ và dẫn nhiệt từ các phân tố bên
(hình 4):

0
R
tt
q
J
iJ
iJ
i
i
=

+

(7)

Hình 3. Mạng 3 chiều Hình 4. Các nhiệt trở
thnh tại nút i tại biên

trong đó:
-

i
i
q
là tổng các dòng nhiệt bức xạ
hoặc đối lu tới phân tố.
-


J

iJ
iJ
R
tt
là tổng các dòng nhiệt dẫn từ
phân tố bên cạnh tới.

Nếu theo hớng x, tại biên có dòng nhiệt
đối lu và bức xạ, thì dòng nhiệt đối lu là:
q
i
= (t
K
-t
i
)yz;
Nhiệt trở đối lu là: R
i
=1/ yz
Dòng nhiệt bức xạ là:
q
i
= .
0
.
(
)
4
i
4

R
TT yz;
R
i1
R
i2
R
i3
R
i4
R
i5
R
i6
Nhiệt trở bức xạ là:
R
i
= 1/ [ .
0
.
(
)
2
i
2
R
TT +
(
)
iR

TT +
yz]
trong đó:
- t
K
, t
i
là nhiệt độ môi trờng và tại nút i;
- T
R
, T
l
là nhiệt độ tuyệt đối của nguồn


.z.y
x



.z.x
y



.z.y
x

.z.x
y



.y.x
z


.y.x
z
(
5
)

bức xạ và của nút i;
- độ đen của vật;
-
0
= 5,669.10
- 8
Nhiệt độ tại nút i sẽ là:

+
=
J
iJ
J
iJ
J
i
i
i
R
1
R
t
q
t
(8)
Nh vậy thấy rằng công thức nhiệt trở
phân tố luôn có mặt khi tính nhiệt độ.
2. Bài toán không ổn định
a. Điều kiện biên loại 1
Với bài toán không ổn định tại mỗi nút i
sẽ có: Tổng năng lợng phân tố nhận đợc từ
xung quanh bằng độ tăng nội năng của phân
tố trong một đơn vị thời gian:

=

+
j
p
i
1p
i
i
iJ
p
i
p
j
tt
.C
R
tt
(9)
trong đó:
- p là số chỉ thứ tự bớc thời gian
-


j
iJ
p
i

p
j
R
tt
là tổng các dòng nhiệt tới
phân tố tại thời điểm p; C
i
là nhiệt dung phân
tố: C
i
=c..xyz (j/độ);
- R
iJ
là nhiệt trở thành phần của phân tố;
j số thứ tự các nút kề bên.
Từ đó rút ra nhiệt độ tại mỗi nút tại thời
điểm p +1:

P
i
J
iJii
J
iJ
P
J
1P
i
t.
R

1
C
1
CR
t
t









+









=

+
(10)
Công thức (9) tính nhiệt độ ở dạng hàm

tờng, để nghiệm ổn định cần điều kiện số
hạng sau vế phải của (9) phải không âm, từ
đó phải chọn bớc thời gian thoả mãn điều
kiện:

















J
iJ
i
R
1
C
(11)
b. Điều kiện biên loại 2, 3
Tại biên có đối lu hoặc bức xạ kết hợp

(7) và (9) sẽ có phơng trình năng lợng tại
phân tố thuộc nút i:




=

+
+
j
p
i
1p
i
i
iJ
p
i
p
j
i
i
tt
.C
R
tt
q
(12)
Từ đó rút ra đợc nhiệt độ tại nút i ở thời

điểm p + 1:
P
i
J
iJii
J
iJ
P
J
i
i
1P
i
t.
R
1
C
1
CR
t
qt

+









+=

+
(13)
Điều kiện ổn định cũng nh công thức
(11) trên.
Nh vậy có thể thấy trong mọi trờng hợp
để tính nhiệt độ luôn cần tới công thức nhiệt
trở phân tố, và khi đó việc tính toán sẽ trở nên
thuận tiện và gọn gàng hơn.
B. Phơng pháp Gauss - Seidel
Nội dung cơ bản của phơng pháp này là
cách tính lặp. Từ các phơng trình tính nhiệt
độ trong các trờng hợp trên, thấy rằng nhiệt
độ tại mỗi nút ở dạng hàm tờng cuả nhiệt độ
của các nút còn lại đối với bài toán ổn định, và
là hàm tờng của nhiệt độ của các nút còn lại
ở thời điểm trớc đối với bài toán không ổn đinh.
Nghĩa là có n phơng trình để tính n nhiệt độ phải
tìm. Bởi vậy phơng pháp Gaus- Seidel bao gồm

các bớc sau:
1. Lập hệ phơng trình nhiệt độ dạng
hàm tờng cho các nút.
2. Trừ một nhiệt độ tại nút 1 (hoặc nút m
nào đó định tính trớc tiên), tất cả nhiệt độ tại
các nút còn lại cho giá trị ban đầu t
io
bất kỳ,
cũng có thể cho bằng không (t
io
= 0).

3. Thay các giá trị t
io
đã cho vào để tính
ra nhiệt độ t
1
tại nút 1 (hoặc m).
4. Thay t
1
mới nhận đợc vào các phơng
trình còn lại, tính dần ra các nhiệt độ ở các nút
tiếp theo. Khi đợc một giá trị nhiệt độ mới
phải sử dụng ngay trong các phơng trình còn
lại. Nghĩa là mọi phơng trình luôn phải nhận
đợc giá trị mới nhất nếu có, cho đến phơng
trình cuối cùng.
5. Quá trình tính đợc tính lặp lại lần 2,
lần 3 với các giá trị nhiệt độ mới nhất.
6. Quá trình tính lặp sẽ đợc dừng khi

nào chênh lệch nhiệt độ tại mọi điểm ở hai lần
tính sát nhau nhỏ tới mức đủ chấp nhận.
Với sự trợ giúp của các phần mềm tính
toán hiện nay, việc tính theo phơng pháp
Gauss - Seidel rất thuận tiện.
C. Thí dụ minh hoạ
+ Thí dụ 1:
Giải bài toán ổn định hai chiều
điều kiện biên
loại 1:
Một dầm
bêtông, tiết diện
ngang có hình
dạng nh hình
bên có x = y.
Biết nhiệt độ tại các cạnh và góc của tiết diện
nh trên hình vẽ. Xác định nhiệt độ tại các
điểm bên trong 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Giải:
Do x = y, theo (4) các nhiệt trở thành
phần của mọi phân tố đều bằng nhau là
R

ij
= 1/, nên từ (5) sẽ có:
t
ij
=
()
4i3i2i1i

tttt
4
1
+++
Bớc 1: Tại các điểm 1, 2, 3, 4, 5, 6 viết
đợc 6 phơng trình nhiệt độ dạng hàm tờng
sau:
t
1
= (t
2
+ 60 + 100 +50 ) / 4 (a)
t
2
= (t
1
+ t
3
+ t
5
+ 100 ) / 4 (b)
t
3
= (t
2
+ t
4
+ t
6
+ 100 ) / 4 (c)

t
4
= (t
3
+ 100 + 80 +70 ) / 4 (d)
t
5
= (t
2
+ t
6
+ 50 + 40 ) / 4 (e)
t
6
= (t
3
+ t
5
+ 70 + 40 ) / 4 (g)
Bớc 2: Cho t
2
= 0; t
3
= 0; t
4
= 0; t
5
= 0;
t
6

= 0;
Bớc 3: Thay t
2
= 0 vào (a) tính đợc
t
1
= 52, 50.
Bớc 4: Thay t
1
= 52,5 (giá trị mới) và
t
3
= 0; t
5
= 0 vào (b) tính đợc t
2
= 38,125
tiếp tục nh vậy sẽ tính đợc t
3
; t
4
; t
5
; t
6
thứ tự
nh sau:
52.5000 38.1250 34.5313 71.1328
32.0313 44.1406.

Bớc 5: Kết quả tính lặp sau 8 lần viết
theo ma trận hàng t = [t
1
t
2
t
3
t
4
t
5
t
6
] nh sau:
(1) 52.5000 38.1250 34.5313 71.1328 32.0313 44.1406
(2) 62.0313 57.1484 68.1055 79.5264 47.8223 56.4819
Hình 5. Chia mạng tiết diện
ngang dầm bêtông

(3) 66.7871 70.6787 76.6718 81.6679 54.2902 60.2405
(4) 70.1697 75.2829 79.2978 82.3245 56.3808 61.4197
(5) 71.3207 76.7498 80.1235 82.5309 57.0424 61.7915
(6) 71.6875 77.2133 80.3839 82.5960 57.2512 61.9088
(7) 71.8033 77.3596 80.4661 82.6165 57.3171 61.9458
(8) 71.8399 77.4058 80.4920 82.6230 57.3379 61.9575
Bớc 6: Sai số tuyệt đối 2 lần cuối tơng
ứng là:
0.0366 0.0462 0.0259 0.0065
0.0208 0.0117
là quá nhỏ nên có thể dừng

phép tính lặp.
Nếu tính theo phơng pháp ma trận
nghịch đảo, nhiệt độ các điểm tơng ứng sẽ
là: 7
1.8630 77.4380 80.5120 82.6310
57.3340 61.9500.

Các bài toán thực tế có số nhiệt độ phải
tìm lên tới hàng trăm thì phơng pháp ma trận
nghịch đảo rất phức tạp, khi đó phơng pháp
Gauss - Seidel tỏ rõ u thế hơn rất nhiều.
+ Thí dụ 2: Giải bài toán không ổn định

tại biên có nguồn bức xạ với nhiệt độ xác định.
Tờng một căn phòng làm việc có bề dày
30 cm, chiều cao khá lớn 6m. Tờng có các
thông số nhiệt: hệ số dẫn nhiệt = 2,5 W/m độ,
nhiệt dung riêng c = 800 J/kg độ, khối lợng riêng
= 1800 kg/m
3
, độ đen = 0,65. Nhiệt độ ban
đầu mặt tờng bên trong phòng là 27
0
C, bên
ngoài tiếp xúc với không khí mặt tờng có
nhiệt độ 35
0
C. Hệ số toả nhiệt của tại mặt
ngoài tờng = 25 W/m
2

độ. Bỗng căn phòng
đột ngột bị cháy, nhiệt độ ngọn lửa trong
phòng lên tới 1000
0
C. Để đánh giá trạng thái
phá huỷ của tờng phòng, cần phải xác định
diễn biến phân bố nhiệt độ của tờng. Đây
cũng là bài toán cháy cơ bản trong công trình
xây dựng.

Hình 6. Chia lớp tờng phòng
Giải:
Do chiều cao tờng rất lớn so với
bề dày nên dòng nhiệt truyền theo hớng bề
dày x là chính. Khi đó bài toán là một chiều
không ổn định t = f(x,). Chia bề dày tờng
thành 6 lớp, mỗi lớp có x = 0,05m. Bên trái là
trong phòng có nhiệt độ cao, tờng nhận bức
xạ q
R
là chính, bỏ qua đối lu. Bên phải là
ngoài trời nhiệt độ thấp nên chỉ kể đến đối lu
q
K
mà không tính bức xạ.
áp dụng điều kiện ổn định (10), tính
tại các điểm 1 ữ 7 nh sau:
Tính C
i
:

C
i
= C

V
i
; C
1
= 800.1800.0,05/2 = 36000;
C
2
= 800.1800.0,05 = 72000; C
3
= C
4
= C
5
= C
6
;
C
7
= C
1
;
Tính
i
:
Điểm 1:
(1/R

1j
) = .
0
.
(
)
2
1
2
R
TT +
(
)
1R
TT +
+ /x
= 0,65ì5,67ì10
-8
ì(12732+3002)ì
ì (1273 + 300)+2,5/0,05
= 149,1643;
vậy
1
3600/149,1643 = 241,3446s;
Điểm 2, , 6:
(1/R
2j
) = /x + /x
= 2ì(2,5/0,05) = 100;
Vậy

2
7200/100 = 720s;

3
=
4
=
5
=
6
=
2
= 720s.
Điểm 7:
(1/R
7j
) = + /x = 25 + 50 = 75;
có
7
3600/75 = 480s;
Nh vậy chỉ cần chọn
max
= 240 s là đủ.
Tuy nhiên để phép tính có mức chính xác đủ
cao, chọn
max
= 120 s. Từ (13) xác định đợc
phơng trình nhiệt độ tuyệt đối tại các điểm:
Điểm 1:
++=

+ p
2
4P
1
101P
1
T.16666,0)T.(10.2285,1T
(14)
6181,322T.8334,0
P
1
++
Điểm 2, 3, ,6 (i = 2 6):
p
1i
P
i
p
1i
1P
i
T.08333,0T.8333,0T.08333,0T
+
+
++=

(15)
Điểm 7:
6564,25T.75001,0T.16666,0T
P

7
p
6
1P
7
++=
+

(16)
Sau khi lấy giá trị nhiệt độ ban đầu
(p = 1) nằm trên đờng thẳng giữa hai
nhiệt độ 300K và 308K, thay vào các phơng
trình (14), (15), (16), tính đợc nhiệt độ tại các
vị trí sau 50 thời điểm. Phân bố nhiệt độ trong
tờng tại các thời điểm trên đợc biểu diễn
trên đồ thị, hình 7.
P
i
T
(Xem tiếp trang 39)