Báo cáo khoa học: "Giải bài toán dẫn nhiệt không ổn định tổng quát bằng ph-ơng pháp phân ly biến số" doc

Giải bi toán dẫn nhiệt không ổn định tổng quát
bằng phơng pháp phân ly biến số

ThS. Nguyễn đức huy
Bộ môn Kỹ thuật nhiệt - ĐH GTVT
Tóm tắt: Bi báo trình by phơng phân ly biến số để giải bi toán dẫn nhiệt không ổn
định dạng tổng quát.
Summary: The article presents the separation-of-variables method of solving the problem
of unsteady conduction in general form.
Nh đã biết, phơng trình đặc trng của hiện tợng dẫn nhiệt là phơng trình vi phân Fourier:


t
= a
2
t (1)
ở đây: a =


c
- hệ số khuếch tán nhiệt, (m
2
/s);

2
t - toán tử Laplace của nhiệt độ, trong hệ toạ độ Descartes bằng:

2
2
x
t

+
2
2
y
t


+
2
2
z
t



Hiện nay, trong các tài liệu và giáo trình Truyền nhiệt, việc giải (1) chỉ đợc thực hiện trong
trờng hợp đơn giản nhất: nhiệt độ chỉ phụ thuộc một biến không gian, có nghĩa:
t = f(x, ) (2)
Khi đó, phơng trình (1) có dạng:
2
2
x
t


=

t

a
1
(3)
Bằng phơng pháp phân ly biến số, coi t có thể đợc biểu diễn dới dạng tích của 2 hàm
số độc lập:
X = X(x) và T = T() tức là:
t(x, ) =
X(x).T() (4)
ta sẽ tìm đợc nghiệm tổng quát của (1) là:
t = (C
1
cos kx + C
2
sin kx) exp(- k
2
a) (5)
Nếu nhiệt độ phụ thuộc vào 2 hay 3 biến không gian, cho đến nay vẫn phải sử dụng các
phơng pháp gần đúng (sai phân hữu hạn, phần tử hữu hạn) để tìm phơng trình trờng nhiệt độ.
Thực ra, phơng pháp phân ly biến số vẫn có thể đợc sử dụng để giải phơng trình vi
phân Fourier trong trờng hợp tổng quát, khi mà nhiệt độ phụ thuộc cả 3 biến không gian:
t = f (x, y, z, ) (6)

Nhiều tác giả nh Frank Kreith & Mark S. Bohn [1], André B. De Vriendt [2] đã chứng
minh rằng t có thể đợc coi là tích của 3 hàm: X



= X(x, ); Y

= Y(y, ); Z



= Z(z, ) tức là:
t(x, y, z, ) = X(x, ).Y(y, ).Z(z, ) (7)
Nếu thay biến t bằng nhiệt độ không thứ nguyên
=
0


=
L0
L
tt
tt


(ở đây t
0
và t
L
tơng
ứng là nhiệt độ đầu và nhiệt độ môi trờng lỏng bao quanh vật, t
L
= const) thì (7) đợc viết lại
thành:
=
0

),z,y,x(


=
0
),x(


0
),y(


0
),z(


=
X,

.
Y,

.
Z,

(8)
ở đây:

X,

=
0
),x(


,
Y,

=
0
),y(


,
Z,

=
0
),z(



tơng ứng là biến thiên nhiệt độ theo phơng x, phơng y, phơng z ở những thời điểm
khác nhau.
Xét vật thể đồng chất, đẳng hớng, có dạng hình hộp chữ nhật kích thớc 2L
x
, 2L
y
, 2L
z

trong hệ toạ độ Descartes. ở thời điểm đầu, nhiệt độ tại mọi điểm trong vật đều bằng t
0
, sau đó
vật đợc làm nguội trong môi trờng chất lỏng có nhiệt độ không đổi t
L
(t
L
< t
0
). Hệ số toả nhiệt
giữa môi trờng và bề mặt vật là (W/m
2
.độ). Cần xác định phân bố nhiệt độ trong vật tại thời
điểm tuỳ ý, nói cách khác, cần tìm nghiệm của phơng trình (1) ở dạng (6).
Với điều kiện nh trên của bài toán, trờng nhiệt độ sẽ đối xứng qua tâm hình hộp, vì thế có
thể chọn tâm hình hộp làm gốc toạ độ.
2L
x
2L
y
2L
z
Phơng trình (1) có dạng:


t
= a
2
t hoặc

= a.
2
(1')
* Điều kiện đầu:
= 0 t (x, y, z) = t
0
= t
0
- t
L

0


= 1
* Điều kiện biên: > 0

x
Lx
x
),z,y,x(
m=

= (x, y, z, )
x
Lx m=


y
Ly
y
),z,y,x(
m=








= (x, y, z, )

y
Ly m=

z
Lz
z
),z,y,x(
m=

= (x, y, z, )
z
Lz m=


Do tính đối xứng của trờng nhiệt độ qua tâm hình hộp chữ nhật (gốc toạ độ) nên ta cũng
có:

0x
x
),z,y,x(
=








= 0;
0y

y
),z,y,x(
=








= 0;
0z
z
),z,y,x(
=








= 0
Theo kết quả nhận đợc khi giải phơng trình vi phân Fourier:
2
2
x
t

=

t
a
1

nh đã đợc trình bày trong [4]:

=
0


=


=

+

1i
i
iii
i
b
cos
cossin
sin2
x.exp(-

i
2

2
b
a
)
=


=
1i
i
A

cos
b
i

x. exp(-
i
2

2
b
a
)
với
iii
i

i
cos.sin
sin2
A
+

=

nghiệm của phơng trình (1') đợc viết ở dạng tơng tự nh sau:

=
0


=


=

=

=

1i1j
x
x,i
1k
z,ky,jx,i
.x
L

cos.A.A.A cos
y
L
y
y,j

cos
z
L
z
z,k

.
.exp[-(
2
x
2
x,i
L

+
2
y
2
y,j
L

+
2
z

2
z,k
L

)a]
Nếu chỉ lấy các hệ số đầu tiên của tổng nói trên, ta có thể viết nghiệm ở dạng gọn hơn:
=
0


= A
1,x
.A
1,y
.A
1, z
.cos
x
L
x
x,1

cos
y
L
y
y,1

cos
z

L
z
z,1

.exp[-(
2
x
2
x,1
L

+
2
y
2
y,1
L

+
2
z
2
z,1
L

)a]
Các hệ số A
1,x
,

A
1, y
, A
1, z
và các đại lợng
1, x
,


1, y
,
1, z
có thể đợc xác định nhờ các đồ thị
mô tả quan hệ A
1
= f(Bi);
1
= (Bi) đợc xây dựng sẵn trong các tài liệu [1], [2], [3], tuỳ thuộc
giá trị của tiêu chuẩn Biot tính theo từng trục toạ độ tơng ứng, cụ thể theo:
Bi
x
=


L
x


Bi
y

=


L
y
Bi
z
=


L
z
Hiện nay, các bảng tính sẵn hoặc các đồ thị cho trớc trong [2], [3] có thể giúp ta đơn giản
hóa rất nhiều các bớc giải bài toán dẫn nhiệt không ổn định tổng quát bằng cách cho phép tìm
đợc ngay giá trị của

X,

=
0
),x(


,
Y,

=
0
),y(

,
Z,

=
0
),z(


theo các giá trị tơng ứng
của các cặp số (Bi
x
, Fo
x
), (Bi
y
, Fo
y
), (Bi
z
, Fo
z
).
Để minh họa phơng pháp nói trên, ta xét một thí dụ cụ thể sau:
Cho một khối nớc đá hình hộp chữ nhật kích
thớc 0,2 ì 0,06 ì 0,1 m, có nhiệt độ trong toàn khối ở
thời điểm đầu t
0
= -15
0

C, hệ số dẫn nhiệt = 2,2
W/m.độ, nhiệt dung c = 1930 J/kg.độ, khối lợng riêng
= 913 kg/m
3
. Khối nớc đá tiếp xúc với môi trờng
không khí có nhiệt độ 22
0
C, hệ số toả nhiệt giữa
không khí và bề mặt khối nớc đá = 30 W/m
2
độ.
Cần tính nhiệt độ tại bề mặt khối nớc đá sau 1 phút.
2L
x
= 0, 2 m
2L
y
= 0, 06 m
2L
z
= 0, 1 m
Ta có quan hệ:

=
X,

.
Y,

.

Z,


Xác định

X,

:
- Tính Bi
x
=


x
L.
=
2,2
1,0.30
= 1, 36
- Tính Fo
x
: Trớc hết tính hệ số khuếch tán nhiệt a
a =


c
=
913.1930
2,2
= 1,25.10

-6
m
2
/ s
Fo
x
=
2
x
L
.a
=
2
6
1,0
60.10.25,1

= 0,0075
- Tra bảng: đợc

X,

= 0,885
Xác định

y,

:
- Tính Bi
y

=


y
L.
=
2,2
03,0.30
= 0,41
- Tính Fo
y
=
2
y
L
.a
=
2
6
03,0
60.10.25,1

= 0,083

- Tra bảng: đợc
y,

= 0,88
Xác định

z,

:
- Tính Bi
z
=


z
L.
=
2,2
05,0.30
= 0,68
- Tính Fo
z
=
2
z
L
.a
=
2
6
05,0
60.10.25,1

= 0,03
- Tra bảng: đợc

z,

= 0,88
Tính tích


=
X,

.
Y,

.
Z,


= 0,85.0,88.0,88 = 0,685
Tính nhiệt độ t:
=
L0
L
tt
tt


=
2215
22t

= 0,685 t = - 3,3
0
C
Bằng phơng pháp trên, có thể tính đợc nhiệt độ tại mọi điểm của khối nớc đá tại thời
điểm bất kỳ bằng cách thay các giá trị toạ độ và thời gian tơng ứng.
Cũng có thể giải bài toán ngợc (cho trớc nhiệt độ, yêu cầu tính thời gian) bằng cách tính
hoàn toàn tơng tự.
Cần lu ý rằng với dữ kiện nh trờng hợp trên, ta không thể dùng phơng pháp nhiệt độ
đồng nhất (phơng pháp quy tụ) để tính nhiệt độ của khối nớc đá bởi lý do nh sau:
Do chiều dài quy ớc L của khối nớc đá bằng: L =
S
V
= 0,015 m nên tiêu chuẩn Biot của
nó có giá trị: Bi =

L.
=
2,2
015,0.30
= 0,2 . Giá trị này không đáp ứng điều kiện của phơng pháp
nhiệt độ đồng nhất (Bi 0,1) nên không đợc phép áp dụng phơng pháp đó.
Phơng pháp phân ly biến số kết hợp với việc sử dụng các bảng tính và đồ thị cho sẵn sẽ
giúp cho việc giải bài toán dẫn nhiệt không ổn định dạng tổng quát trở nên đơn giản và chính
xác hơn nhiều so với các phơng pháp gần đúng đã biết.

Tài liệu tham khảo
[1]. Frank Kreith & Mark S. Bohn, "Principles of heat transfer", West Publishing Company, 1993.
[2]. André B. De Vriendt, "La transmission de la chaleur", Gaetan Morin éditeur, 1990.
[3]. D. Sivoukhine, "Téplopérédatra", Vshaia Skola, 1988.
[4]. Nguyễn Đức Huy, "Bài giảng môn học Kỹ thuật nhiệt", 2002

Ă