Báo cáo khoa học: "Đánh giá ổn định bền vững hệ thống điều khiển đối t-ợng mờ" doc

Đánh giá ổn định bền vững
hệ thống điều khiển đối tợng mờ

PGS. TS. lê hùng lân
ThS. lê thị tuyết nhung
Khoa Điện - Điện tử
Trờng Đại học Giao thông Vận tải

Tóm tắt: Bi báo giới thiệu một phơng pháp xác định độ dự trữ ổn định bền vững của hệ
thống điều khiển kín đối tợng với các tham số mờ. Dựa trên các khái niệm về ổn định bền vững
của Kharitonov v Tsypkin - Polyak, một phơng pháp mới nhằm đánh giá ổn định v xác định
mối quan hệ giữa độ dự trữ ổn định bền vững của hệ thống điều khiển với khoảng cách từ
đờng đáp ứng tần số hệ hở tới điểm (-1,j0) sẽ đợc đề cập.
Summary: This paper presents a method of determining the robustness margin of the
closed - loop control systems with fuzzy parametric uncertainty. Owing to the Kharitonovs and
Tsypkin - Polyaks robust stability concept, it is determined to analyse and associate the
robustness margin of the closed-loop systems with the distance of the frequency response to
the (-1,j0) point.

CB
A

i. đặt vấn đề
Một vấn đề quan trọng của nghiên cứu về điều khiển đối tợng mờ là tìm ra các phơng
pháp đánh giá ổn định hệ thống điều khiển kín đối tợng với các tham số mờ. Đã có một số
công trình nghiên cứu về vấn đề này chẳng hạn nh [1-5]. Đi theo hớng này trong [8-9] tác giả
đã đa ra phơng pháp đánh giá ổn định hệ thống điều khiển với đa thức đặc trng có chứa
tham số mờ trên cơ sở mở rộng tiêu chuẩn ổn định bền vững Tsypkin - Polyank.
Một trong các giải pháp là mở rộng các phơng pháp ổn định bền vững với các hệ số chứa
tham số khoảng sang các hệ chứa tham số mờ.

Bài báo ở đây sẽ xem xét một khía cạnh khác đó là ổn định hệ thống điều khiển kín có
chứa đối tợng với các tham số mờ. Bằng cách tổng quát hóa các kết quả nghiên cứu về ổn
định bền vững trong [10] và [11], tiêu chuẩn ổn định đợc đề xuất trong bài báo có thể hiện đồ
họa trực quan và trực tiếp đa ra mối quan hệ giữa độ dự trữ ổn định tham số với độ mờ của
thông tin về đối tợng.
ii. giải quyết vấn đề
Giả sử có mô hình hệ thống điều khiển tự động kín, phản hồi âm đơn vị (unity feedback).
Hệ thống có đối tợng P(s,a,b) và bộ điều khiển C(s) trong mạch điều khiển hở. Hàm truyền đạt
của đối tợng điều khiển:

nm
a sbsa
b sbsb
)a,s(A
)b,s(B
)b,a,s(P
0
1n
1n
n
n
0
1m
1m
m
m

+++
+++
==

(1)
Với: (2)
++

iiiiii
bbb,aaa
Cho trớc hàm truyền đạt của bộ điều khiển C(s), bài toán đặt ra là đánh giá tính ổn định
của hệ thống.
Từ các giả thiết trên suy ra đa thức đặc trng danh định kín
1)b,a,j(P).j(C +


. Theo tiêu
chuẩn Nyquist xét cho trờng hợp hệ hở ổn định, điều kiện để hệ kín ổn định là đáp ứng tần số
của hệ hở không bao điểm M(-1,j0).
Trở lại bài toán điều khiển với đối tợng tham số khoảng (1), giả sử đã có một hệ thống
danh định ổn định với bộ tham số , điều kiện để hệ kín ổn định l chuỗi các miền giá trị
không bao điểm (-1,j0).
*
i
*
i
b,a
{
),0[),b,a,j(P).j(C +
}

ở đây các tham số đợc biểu diễn dới dạng:
*
i
*
i
b,a

2
aa
a,
2
aa
a,aaa
2
bb
b,
2
bb
b,bbb
ii
i
ii
*
ii
*
ii
ii
i
ii
*

ii
*
ii
++
++

=
+
=+=

=
+
=+=
(3)
Khi đó chuyển sang miền tần số các đa thức tử số có thể viết lại nh sau:
CB
A

()
(){}
()({}
{}{}
*
B
*
BB
*
B
3*
3

*
1
3*
3
*
1
2
20
2*
2
*
0
m
m
*
m
1
*
1
0
*
0
m
m10
IIjRR
bb bbj bb bb
)j)(bb( )j)(bb()bb(
)j(b )j(bb)b,j(B
+++=
+++++++=

++++++=
+++=
)
)
(4)
Tơng tự đa thức mẫu số biểu diễn sang miền tần số:
()
(){}
()({}
{}{}
*
A
*
AA
*
A
3*
3
*
1
3*
3
*
1
2
20
2*
2
*
0

IIjRR
aa aaj aa aa
)a,j(A
+++=
+++++++=
=

(5)
Các số phức
)b,j(B

, gồm các phần thực và phần ảo là tổng các số khoảng. )a,j(A
Nh vậy tại mỗi tần số

> 0, đặc tính tần số )b,a,j(P

là miền giá trị:
(
)
(
)
()()
A
*
AA
*
A
B
*
BB

*
B
AA
BB
IIRR
IIjRR
jIR
jIR
)b,a,j(P
++
+++
=
+
+
=
(6)
trong đó:

bbI; bbI
bbR; bbR
3*
3
*
1B
3*
3
*
1
*
B

2
20
B
2*
2
*
0
*
B
+=+=
+=+=
(7)
aaI; aaI
aaR; aaR
3*
3
*
1A
3*
3
*
1
*
A
2
20
A
2*
2
*

0
*
A
+=+=
+=+=
(8)
CB
A

}
Xét một điểm cố định thuộc mặt phẳng phức. Điểm M sẽ nằm trong miền giá trị
Nyquist
{
khi và chỉ khi tồn tại một giá trị thực
jvuM +=
),0[),b,a,j(P).j(C +

sao cho:
)j(C
jvu
)b,a,j(Pjvu)b,a,j(P).j(C

+
=+=
(9)
Từ (6) và (9) có:

(
)
(

)
()()
'jv'u
)j(C
jvu
IIRR
IIjRR
A
*
AA
*
A
B
*
BB
*
B
+=

+
=
++
+++
(10)

(
)
(
)
(

)
()( )( )





+++=+
++=+
A
*
AA
*
AB
*
B
A
*
AA
*
AB
*
B
RR'vII'uII
II'vRR'uRR
(11)
Suy ra:

(
)

(
)
(
)
()( )( )





+++=+
++=+
A
*
AA
*
AB
*
B
A
*
AA
*
AB
*
B
RR'vII'uII
II'vRR'uRR
(12)

()
(
)
()
()





=+
=+++

0R'vI'uIR'vI'uI
0I'vR'uRI'vR'uR
AAB
*
A
*
A
*
B
AAB
*
A
*
A
*
B
(13)

Khi đó tính ổn định bền vững của hệ thống đợc đánh giá qua tiêu chuẩn sau:

Định lý 1:
Hệ thống điều khiển kín đối tợng với tham số khoảng (1) l ổn định bền vững
khi v chỉ khi:
a. Hệ thống kín danh định ổn định
b.


)b,a,j(L
Với
(
)
()
(
)
()
AAB
*
A
*
A
*
B
AAB
*
A
*
A
*

B
R'vI'uI
R'vI'uI
j
I'vR'uR
I'vR'uR
)b,a,j(L


+
+
+
=
(14)
Chứng minh
Giả sử với bộ tham số hệ thống kín ổn định.
*
i
*
i
b,a
Theo tiêu chuẩn Nyquist mở rộng đã trình bày ở trên, để hệ thống kín ổn định thì miền giá
trị
{}
),0[),b,a,j(P).j(C +

không bao điểm (u,jv), ta có:

(
)

(
)
()()
)j(C
jvu
IIRR
IIjRR
A
*
AA
*
A
B
*
BB
*
B

+

++
+++
(15)
()
(
)
()
()

+
+++

0R'vI'uIR'vI'uI
0I'vR'uRI'vR'uR
AAB
*
A
*
A
*
B
AAB
*
A
*
A
*
B
(16)
Từ (16) suy ra:

()
()
(
)
()

+
+

AAB
*
A
*
A
*
B
AAB
*
A
*
A
*
B
R'vI'uI
R'vI'uI
,

I'vR'uR
I'vR'uR
min
(17)
Và suy ra điều phải chứng minh:


)b,a,j(L .
Biểu thức (17) thể hiện về mặt đồ họa nh sau:

là bán kính hình vuông tiệm cận với
đờng cong ở (14), đó chính là
độ dự trữ tham số ổn định bền vững (robustness
margin) của hệ thống.
)b,a,j(L
Ví dụ:
Cho hệ thống điều khiển kín sau: Đối tợng
01
2
01
~
asas
bsb
)s(P
++
+
=
.
Trong đó các tham số của đối tợng là tham số khoảng:
[

]
[
]
[
]
[
]
3.3,1.3,7.2b,3.2,9.1,7.1b,5.10,2.10,5.9a,5.2,2.3,5.3a
1001
=
=
=

=
CB
A

Bộ điều khiển
5s10s
23s20
)s(C
2
++
+
=
:
Khi đó đa thức đặc trng danh định kín: . 7.94s3.195s2.45s8.6s)s(A
234
k
++++=

Đa thức này có 4 nghiệm nằm ở nửa trái mặt phẳng phức:
;5495.0p;9024.4p;8909.5j6741.0p;8909.5j6741.0p
4321
=

=


=
+
=
Nh vậy hệ thống danh định kín ổn định. Đồ thị
)b,a,j(L

nh hình vẽ:
Từ hình vẽ ta có
I
I
R
R
2.8

=

==
cho biết
phạm vi điều chỉnh tham số, đó chính là độ dự trữ
tham số ổn định bền vững (robustness margin)
iii. Bi toán xây dựng tiêu chuẩn ổn
định bền vững hệ thống điều khiển kín

đối tợng với tham số mờ
Giả sử có mô hình hệ thống điều khiển tự

động kín, phản hồi âm đơn vị (unity feedback). Đối tợng mờ và bộ điều khiển C(s) nằm
trong mạch điều khiển hở của hệ thống kín. Trong đó hàm truyền đạt đối tợng:
)q,s(P
~~
nm,
a sbsa
b sbsb
)a,s(A
)b,s(B
)q,s(P
0
~
1n
1n
~
n
n
~
0
~
1m
1m
~
m
m
~
~~

~~
~~

+++
+++
==




(18)
Với véc tơ tham số mờ ; các tham số
)b,a(q
~~~
= m,1j,b
j
~
=
;
n,1i,a
i
~
=
là các số mờ có hàm
thuộc tam giác, dựa vào khái niệm về lát cắt

có thể biểu diễn số mờ nh một số khoảng nh
sau:
[]
()

()
() ()
[]
+
+++
+=
+===
i
*
ii
*
i
ii
*
iiiiiii
a1a,a1a
a,a1a)(a),(a)a,a,(aa
(19)
Tơng tự với :
j
~
b
[
]
(
)
(
)
() ()
[]

+
+++
+=
+===
j
*
jj
*
j
jj
*
jjjjjjj
b1b,b1b
b,b1b)(b),(b)b,b,(bb
(20)
Khi đó chuyển sang miền tần số, các đa thức mẫu số và tử số có thể viết nh sau:
() ()
[]
() ()
[]
()
() ()
[]
()
()
()
[]
()
()
[]

++
+
++


+++=+=
=++
++++=
=+++=
BB
*
BBB
*
BBB
n
m
*
mm
*
m
1
*
11
*
10
*
00
*
0
0

~
1m
1m
~
m
m
~~~
I,I1IjR,R1RjIR
jb1b,b1b
jb1b,b1bb1b,b1b
b )j(b)j(b)b,j(B
(21)
CB
A

trong đó:
bbbI, bbbR
bbbI, bbbR
bbbI, bbbR
5
5
3
31
B
4
4
2
20
B
5

5
3
31B
4
4
2
20B
5*
5
3*
3
*
1
*
B
4*
4
2*
2
*
0
*
B
++=++=
++=++=
++=++=
++++++
++
(22)
Tơng tự:

()
(
)
[]
()
(
)
[
]
++
+++=+=
AA
*
AAA
*
AAA
~~
I,I1IjR,R1RjIR)a,i(A
(23)
Với
aaaI, aaaR
aaaI, aaaR
aaaI, aaaR
5
5
3
31
A
4
4

2
20
A
5
5
3
31A
4
4
2
20A
5*
5
3*
3
*
1
*
A
4*
4
2*
2
*
0
*
A
++=++=
++=++=
++=++=

++++++
++

(24)

Nh vậy tại mỗi tần số , đặc tính tần số đối tợng mờ là miền giá trị:
0>
)q,s(P
~
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
[
]
()
()
[]
()
(
[]
)
++
++

+++
+++
=
+
+
=
AA
*
AAA
*
A
BB
*
BBB
*
B
AA
BB
~~
I,I1IjR,R1R
I,I1IjR,R1R
jIR
jIR
)q,s(P
(25)
Khi đó tính ổn định bền vững của hệ thống đợc đánh giá qua tiêu chuẩn sau:

Định lý 2:
Hệ thống điều khiển kín đối tợng với tham số mờ (18) l ổn định bền vững khi
v chỉ khi:

a. Hệ thống kín danh định ổn định
b.


)b,a,j(L
Trong đó: )()()b,a,j(L
21


+

=
+
+
+
=
AAB
*
A
*
A
*
B
1
I'vR'uR
I'vR'uR
)(
nếu (26) 0I'vR'uR
*
A

*
A
*
B
>+

+
+
+
=
AAB
*
A
*
A
*
B
I'vR'uR
I'vR'uR
nếu 0I'vR'uR
*
A
*
A
*
B
<+
++

=
AAB
*
A
*
A
*
B
2
R'vI'uI
R'vI'uI
)(
nếu (27) 0R'vI'uI
*
A
*
A
*
B
>

+


=
AAB
*
A
*
A

*
B
R'vI'uI
R'vI'uI
nếu 0R'vI'uI
*
A
*
A
*
B
<
Chứng minh
Xét tại một điểm cố định bất kỳ trên mặt phẳng phức jvuM
+
=
với biên độ hữu hạn. Rõ ràng
điểm M này nằm trong miền giá trị Nyquist khi và chỉ khi tồn tại giá trị sao cho:
)q,j(P)j(C
~


CB
A

'jv'u
)j(C
jvu
)q,j(Pjvu)q,j(P)j(C
~~

+=

+
=+= (28)
Từ đó rút ra:
()
(
)
[
]
(
)
(
)
[
]
()
()
[]
()
()
[]
()
()
[]
()
()
[]
()
(

[]
()
()
[]
()
()
[]
()
()
[]





+++=+
++=+

+=
+++
+++
+++
+++
++
++
AA
*
AAA
*
ABB

*
B
AA
*
AAA
*
ABB
*
B
AA
*
AAA
*
A
BB
*
BBB
*
B
R,R1R'vI,I1I'uI,I1I
I,I1I'vR,R1R'uR,R1R
'jv'u
I,I1IjR,R1R
I,I1IjR,R1R
)
(29)
Do đó để Đồ thị Nyquist không bao điểm (-1, j0) thì:
()
(
)

[
]
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
[
]
()
()
[]
()
()
[]
()
()
[]





+++=+
++=+

+++
+++
AA
*
AAA
*
ABB
*
B
AA
*
AAA
*
ABB
*
B
R,R1R'vI,I1I'uI,I1I0
I,I1I'vR,R1R'uR,R1R0
(30)
Cuối cùng:

()
()
(
)
(
)
[
]

()
()
()()
[]





+
++++
+++
+++
AABAAB
*
A
*
A
*
B
AABAAB
*
A
*
A
*
B
R'vI'uI,R'vI'uI1R'vI'uI0
I'vR'uR,I'vR'uR1I'vR'uR0
(31)

Từ đó rút ra điều phải chứng minh.
Ví dụ
Cho hệ thống điều khiển kín sau: đối tợng
01
2
01
~
asas
bsb
)s(P
++
+
=
,
Trong đó các tham số của đối tợng là tham số mờ. Trong đó có các hàm thuộc tam giác
có dạng:
[
]
[
]
[
]
[
]
3.3,1.3,7.2b,3.2,9.1,7.1b,5.10,2.10,5.9a,5.2,2.3,5.3a
1001
=
=
=

=
Bộ điều khiển
5s10s
23s20
)s(C
2
++
+
=
;
Đa thức danh định kín: , dễ dàng chứng minh
đợc hệ thống danh định kín ổn định.
7.94s3.195s2.45s8.6s)s(A
234
k
++++=
Đồ thị nh hình vẽ bên:
)b,a,j(L
CB
A

iv. Kết luận
Từ đồ thị có 5.0
=

. Điều đó có nghĩa
là hệ thống ổn định với độ dự trữ ổn định
(robustness margin) là 0.5.
Mục tiêu đặt ra của bài báo là xác định
độ dự trữ ổn định tham số của đối tợng điều

khiển trong hệ thống, và mối liên hệ giữa độ
dự trữ ổn định với độ mờ thông tin về đối
tợng. Định lý 2 cho phép xác định trực tiếp
độ dự trữ ổn định của đối tợng điều khiển
mờ (18). Ví dụ minh họa xét trờng hợp hàm thuộc tham số có dạng tam giác, các chứng minh
của định lý 2 vẫn đúng khi hàm thuộc có các dạng khác nh hình thang
Tài liệu tham khảo
[1]. Lê Hùng Lân, (1998). Khảo sát thiết kế hệ thống điều khiển tự động mờ. Tuyển tập các báo cáo khoa
học VICA 3, 281 287.
[2]. Lê Hùng Lân, (1998). Robust stability criterion for automatic control system with fuzzy logic controller,
Vietnam - Japan bilateral symposium on fuzzy systems and applications, 666-669.
[3]. Lê Hùng Lân, (1999). ổn định tuyệt đối của hệ phản hồi mờ có chứa bất định tham số. K yu Hi ngh
ng dng toán học toàn quốc ln th nht, 227-234.
[4]. Lê Hùng Lân, (2000), Phân tích ổn định hệ thống điều khiển mờ trên cơ sở tính thụ động hệ thống.
Tuyn tp các báo cáo khoa học VICA4, 259-264.
[5]. FUZZY SETS AND SYSTEMS SPECIAL ISSUE, (2003), Interfaces between fuzzy set theory and
interval analysis, V.135.
[6]. BONDIA J., PICO J., (2003) Analysis of linear systems with fuzzy parametric uncertainty. Fuzzy Sets
and Systems, V.135. 81-121.
[7]. TSYPKIN YA.Z, POLYAK B.T (1991), Frequency domain criteria for l
p
-robust stability of continuous

linear systems. IEEE Trans. Automat. Control. . V.36. 1464-1469.
[8]. E YH AH, (2005), ),
,N2.
[9]. E YH AH, (1993),
, . . 119-130.
[10]. Lê Hùng Lân, Lê Thị Tuyết Nhung. Đánh giá độ dự trữ ổn định hệ thống điều khiển đối tợng mờ,
Tuyển tập VICA6.

[11]. Lê Hùng Lân, (1997). ổn định hệ thống điều khiển logic mờ. Thông báo khoa học các Trờng Đại học
Điện - Điện tử - Tự động hoá, 49 - 55

CB
A