Báo cáo khoa học: "NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP CÂN BẰNG GIỚI HẠN TỔNG QUÁT TÍNH ỔN ĐỊNH NỀN ĐƯỜNG SẮT" pot

NGHIÊN CỨU ỨNG DỤNG
PHƯƠNG PHÁP CÂN BẰNG GIỚI HẠN TỔNG QUÁT
TÍNH ỔN ĐỊNH NỀN ĐƯỜNG SẮT

TS. LƯƠNG XUÂN BÍNH
Trường Đại học Giao thông Vận tải
ThS. CHU THỊ THU THUỶ
Viện chuyên ngành Đường bộ và Sân bay
Viện KH và CN GTVT
ThS. VIKHONE SAYNHAVONG
Trường Đại học Giao thông Vận tải

Tóm tắt: Trong bài báo này, các tác giả nghiên cứu ứng dụng phương pháp cân bằng
giới hạn tổng quát (Generalized Limit Equilibrium Method – GLEM) để tính toán ổn định nền
đường sắt dưới tác dụng của tải trọng tĩnh. Trong phương pháp cân bằng giới hạn tổng quát,
lăngthể trượt được coi như một hệ thống các khối trượt con, ở đó mặt đáy và mặt bên của các
khối trượt con chính là các mặt trượt. Trong khi đó, với các phương pháp cân bằng giới hạn
thông thường,lăng thể trượt được chia thành các mảnh, ở đó chỉ có mặt đáy các mảnh là mặt
trượt, còn mặt bên của các mảnh là các mặt thẳng đứng và điều kiện trượt không thoả mãn
trên đó. Trình tự các bước tính toán của GLEM, chương trình máy tính để tính toán ổn định
nền đường sắt, phân tích so sánh phương pháp GLEM với các phương pháp cân bằng giới hạn
khác sẽ được trình bày trong bài báo này.
Summary: This paper deals with the application of Generalized Limit Equilibrium
Method (GLEM) to analyze the stability of railway embankments under static loadings. In
GLEM, the sliding soil mass is considered as a block system, of which the bottom planes and
inter-block planes are just the slip planes, whereas in ordinary Limit Equilibrium Methods
(LEM), the sliding soil mass is considered as the pieces, of which only the bottom planes are
the slip planes, the inter-piece planes are vertical and on these planes the slip condition is not
satisfied. The calculation procedure of the GLEM, the computer program for stability analysis
of railway embankments, the comparison of GLEM with other LEMs are demonstrated.

TCT1
I. ĐẶT VẤN ĐỀ
Ngành đường sắt ở nước ta đang bước vào giai đoạn phát triển mạnh mẽ. Các dự án xây
dựng đường sắt lớn đang và sẽ được triển khai như: dự án đường sắt trên cao Hà Nội với số vốn
đầu tư khoảng 2 tỷ USD, dự án đường sắt đô thị TP Hồ Chí Minh, dự án đường sắt cao tốc Bắc -
Nam với số vốn đầu tư lên tới 33 tỷ USD. Do đó nghiên cứu ứng dụng, phát triển các phương
pháp tính toán hỗ trợ cho công tác thiết kế trong xây dựng đường sắt có một ý nghĩa quan trọng.
Để giải quyết bài toán ổn định mái dốc thường có hai nhóm phương pháp chính: Phương
pháp cân bằng giới hạn, phương pháp phân tích trạng thái ứng suất biến dạng.
Thuộc về nhóm phương pháp cân bằng giới hạn có thể nêu một số thí dụ từ những phương
pháp đơn giản như: Fellenius [1], Bishop [2], Spencer [3], Janbu [4], Morgenstern-Price [5], ,
đến những phương pháp số của Chen [6]. Đặc điểm chung của các phương pháp cân bằng giới
hạn là chỉ xét sự làm việc của kết cấu trong trạng thái giới hạn mà không quan tâm đến quan hệ
ứng suất - biến dạng theo quá trình tác dụng của tải trọng. Do đó những phương pháp này khá


đơn giản và yêu cầu các tham số đầu vào khi tính toán thường là trọng lượng riêng, lực dính,
góc ma sát trong của đất (những thông số cơ bản của đất có thể được xác định bằng những thí
nghiệm kinh điển trong cơ học đất).
Thuộc về nhóm phương pháp phân tích trạng thái ứng suất biến dạng có thể kể đến như
phương pháp phần tử hữu hạn Sloan [7], phương pháp số, Có thể nói phương pháp này cho
kết quả khá tốt về quan hệ giữa ứng suất và biến dạng trong suốt quá trình chịu tải của kết cấu
cho đến khi đạt đến trạng thái giới hạn. Tuy nhiên yêu cầu các tham số đầu vào khi tính toán lại
khá phức tạp như: mô đun đàn hồi, hệ số Poisson (cần những thí nghiệm chuyên dụng kết hợp
phân tích, tính toán để xác định), bên cạnh đó là khối lượng tính toán lớn nhiều khi dẫn tới sai
số tính toán tích lũy đáng kể. Do vậy, ngày nay, các phương pháp cân bằng giới hạn vẫn được
ứng dụng khá phổ biến trong việc giải quyết các bài toán ổn định mái dốc, sức chịu tải, áp lực
đất.
Trong nhóm các phương pháp cân bằng giới hạn thường giả định các mặt trượt là mặt
phẳng, hoặc mặt trụ tròn. Lăng thể trượt có thể được coi như là một cố thể hoặc cũng có thể

được chia nhỏ thành các mảnh (khối) với mặt đáy của khối là mặt trượt, mặt giữa các mảnh là
thẳng đứng, điều kiện trượt chỉ thỏa mãn trên mặt đáy của mỗi mảnh (khối).
Tuy nhiên, theo lời giải của Sokolovsky [8] thì khi đạt đến trạng thái giới hạn, trong lăng
thể trượt xuất hiện hai họ đường trượt xiên góc với nhau. Nếu quan niệm như các phương pháp
cân bằng giới hạn thông thường thì ta mới chỉ xét được một họ đường trượt mà thôi. Để khắc
phục nhược điểm này, Enoki [9] và các tác giả đã đề đưa ra phương pháp cân bằng giới hạn
tổng quát (Generalized Limit Equilibrium Method - GLEM). Theo phương pháp này, lăng thể
trượt được rời rạc hóa thành các khối con, trong đó mặt đáy của các khối con là các mặt trượt,
đồng thời mặt giữa của các khối cũng là mặt trượt. Điều đó có nghĩa là điều kiện trượt thỏa mãn
trên cả mặt đáy và mặt giữa các khối, tức cả hai họ đường trượt đã được xét đến. Do mặt trượt
chính được hình thành từ mặt đáy của các khối con nên mặt trượt có thể có dạng cong tổng quát
chứ không nhất thiết phải là phẳng hay trụ tròn. Do đó, ít nhiều phương pháp GLEM cho thấy
những ưu điểm nhất định so với các phương pháp cân bằng giới hạn khác.
CT 1
II. GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP GLEM
2.1. Giả thiết
1
H
i
V
i
T
i
N
i
V
i+1
H
i+1
n

3
i
2
1
H
1
V
1
H
n+1
V
n+1
2
3
i
i+1
n
mÆt ph¼ng ®¸y
mÆt ph¼ng gi÷a khèi
m
Æ
t

t
r
u
ît

c
hÝ

n
h
n+1

Hình 1. Hệ thống khối trượt trong GLEM
Trong GLEM, đất
được xem như vật liệu
cứng dẻo lý tưởng, khi
biến dạng trượt xuất hiện
coi như các khối trượt
tịnh tiến tương đối với
nhau. Với mục đích đơn
giản hoá bài toán, không
xét tới nước ngầm và biến
đổi thể tích của đất.
2.2. Sơ đồ tính mái
dốc trong GLEM
Hình 1 biểu diễn sơ
đồ tính mái dốc theo GLEM, ở đó lăng thể trượt được chia thành nhiều khối nhỏ hình tam giác
hoặc tứ giác. Mặt đáy các khối, mặt phẳng giữa các khối là các mặt phẳng, đó cũng chính là các


mặt trượt. Khi đạt đến trạng thái giới hạn, biến dạng trượt xảy ra dọc theo các mặt trượt. Như
vậy, điều kiện trượt không chỉ thoả mãn trên mặt đáy khối mà còn trên cả mặt phẳng giữa các
khối. Mặt trượt chính hình thành từ các mặt đáy các khối, đó là một đường gẫy khúc mô tả gần
đúng một mặt trượt cong bất kỳ, không nhất thiết phải giả thiết mặt trượt là mặt trụ tròn hay mặt
phẳng. Các phương trình cơ bản, ẩn số, phương pháp giải sẽ được trình bày trong phần sau.
2.3. Đặc điểm của GLEM
Từ mô hình tính trong hình 1, có thể thấy là một khối trượt trong GLEM có thể coi là tổ
hợp của nhiều phân tố nhỏ trong phương pháp đường trượt (Slip Line Method - SLM). Như vậy

có thể nói phương pháp GLEM cho phép xác định được gần đúng kết quả của phương pháp
SLM.
III. ỨNG DỤNG GLEM TÍNH ỔN ĐỊNH NỀN ĐƯỜNG SẮT
3.1. Xác định tải trọng tác dụng trên đỉnh nền đường sắt
Chiều rộng băng tải tải trọng đoàn tàu tác dụng trên mặt đỉnh nền đường L
0
bằng chiều dài
khuếch tán ứng suất 45
0
của tà vẹt trên mặt nền đường.
L
0
= L
TV
+ 2h (1)
TCT1
v
ới h là chiều dày lớp đá balat.
C
ường độ băng tải tải trọng
đoàn tàu bằng ứng suất động trên
mặt đỉnh nền đường:
p
d
= σ
h
(2)
Chiều rộng tác dụng của băng
tải kết cấu tầng trên trên mặt nền
đường có thể lấy bằng chiều rộng

trung bình của lớp đá ba lát hoặc lấy
bằng chiều rộng phân bố hoạt tải L
0
, ở đây tác giả chọn lấy bằng L
0
.
L =L +2h
45
h
0
L
p=p +p
45
0
tv
o
d
k
tv
P
o
P
o
P =p.L
o
L
o

Hình 2. Sơ đồ quy đổi tải trọng đoàn tàu và kết cấu tầng trên
Cường độ băng tải tải trọng kết cấu tầng trên bao gồm ray, tà vẹt và lớp đá balát:

p
k
= 2P
ray
/L
0
+ P
tà vẹt
/L
0
+ P
đá
= 2P
ray
/L
0
+ m
tàvẹt
n
tàvẹt
/L
0
+ γ
đá
h
đá
(3)
Tổng cường độ băng tải tác dụng trên chiều rộng mặt đỉnh nền đường l0 là:
p = p
d

+ p
k
(4)
Lực tổng hợp tác dụng trên đỉnh nền đường là:
P = pL
0
= (p
d
+ p
k
)L
0
(5)
Chú ý là tuỳ thuộc vào điểm bắt đầu mặt trượt tiềm tạng trên mặt nền đường mà ta có thể
lấy trị số của lực tập trung lớn nhất là P hoặc có thể nhỏ hơn.
3.2. Các phương trình cơ bản
Sơ đồ khối trượt, đánh số khối, nút, các ký hiệu hình học của các khối và sơ đồ lực tác
dụng trên khối thứ i được thể hiện trên hình 3.
Các phương trình cơ bản của khối thứ i:
<Phương trình cân bằng theo phương pháp tuyến với mặt phẳng đáy khối>


H
i
cos(θ
i
- β
i
) – V
i

sin(θ
i
- β
i
) - H
i+1
cos(θ
i+1
- β
i
) + V
i+1
sin(θ
i+1
- β
i
) + M
i
g cosβ
i
– N
i
= 0 (6)
<Phương trình cân bằng theo phương tiếp tuyến với mặt phẳng đáy khối>
-H
i
sin(θ
i
- β
i

) – V
i
cos(θ
i
- β
i
) + H
i+1
sin(θ
i+1
- β
i
) + V
i+1
cos(θ
i+1
- β
i
) + M
i
gsinβ
i
– T
i
= 0 (7)
<Điều kiện trượt>
- Trên mặt phẳng đáy khối thứ i:
T
i
= (N

i
tgφ + cS
i
)/Fs (8)
- Trên mặt phẳng giữa khối thứ i:
V
i
= (H
i
tgφ + cR
i
)/Fs
i
(9)
Trong đó c, φ là lực dính và góc ma sát trong của đất.
R
1
R
2
R
i
R
i+1
R
n
R
n+1
S
1
S

2
S
i
S
i+1
S
n
θ
θ
θ
i
i+1
n
θ
2
P
n+1
P
n
P
i+1
P
i
P
1
P
2
P
H
1

V
1
V
i+1
H
i+1
T
i
N
i
H
i
V
i
β
i+1
β
n
β
2
β
i
1
2
i
n
H
i
V
i

T
i
N
i
V
i+1
H
i+1
M g
i
β
i
θ
i+1
θ
i
P
i
P
i+1
θ
θ
i
i+1
R
i+1
R
i
S
i

θ
i
β
i+1
θ
i+1
(b)
(a)

Hình 3. Sơ đồ hình học của hệ khối và các lực tác dụng trên khối thứ i
CT 1
3.3. Số phương trình và số ẩn
Đối với bài toán mái dốc trong hình 3, lực pháp tuyến và tiếp tuyến trên mặt phẳng giữa
khối đầu tiên (H
1
và V
1
) được đưa vào như tải trọng ngoài, lực pháp tuyến trên mặt phẳng giữa
khối thứ n+1 (H
n+1
= P) và giả định không có lực tiếp tuyến trên mặt phẳng giữa khối thứ n+1
(V
n+1
= 0), hệ số an toàn mặt phẳng giữa khối, Fs
i
, và hệ số an toàn mặt phẳng đáy, Fs, cần phải
tìm (ẩn số).
Bảng 1. Số phương trình và số ẩn (số khối là n)
Phương trình Ẩn số
Phương trình cân bằng

- Theo phương N
i
- Theo phương T
i

n
n
Lực trên mặt phẳng đáy
- Lực pháp tuyến N
i
- Lực tiếp tuyến T
i

n
n
Điều kiện trượt
- Trên mặt phẳng đáy khối
- Trên mặt phẳng giữa khối

n
n-1
Lực trên mặt phẳng giữa khối
- Lực pháp tuyến H
i
- Lực tiếp tuyến V
i

n-1
n-1

Hệ số an toàn
- Trên mặt phẳng đáy khối, Fs
- Trên mặt phẳng giữa khối, Fs
i

1
n-1
Tổng cộng 4n-1 5n-2


Bng 1 cho thy s phng trỡnh l (4n-1) v s n l (5n-2). Khi ú (n-1) phng trỡnh
phi c a vo m s phng trỡnh bng vi s n. Trong phng phỏp ngh ny, n-1
h s an ton trờn mt phng gia khi, Fs
i
, phi c gi nh vi mt trong hai trng hp
sau:
i. Tt c h s an ton Fs
i
c gi nh bng , iu ny cú ngha l phỏ hoi trt khụng
xy ra trờn mt phng gia khi m ch trờn mt trt chớnh (mt phng ỏy khi), lỳc ú Fs =
Fsmin. õy chớnh l im ging vi phng phỏp cõn bng gii hn truyn thng
ii. Tt c h s an ton Fs
i
c gi nh bng vi h s an ton chung Fs, iu ny cú
ngha l phỏ hoi trt cú kh nng xy ra c trờn mt phng gia khi v mt phng trt
chớnh, lỳc ú Fs
i
= Fs = Fsmed.
Vỡ vy bi toỏn bõy gi l tỡm h s an ton, Fs, di iu kin h s an ton trờn mt
phng gia khi, Fs

i
, c gi nh. H s an ton xỏc nh trờn mt phng gia khi b gii hn
trong khong giỏ tr t Fs n , khi ú h s an ton chung ca h khi b gii hn trong
khong giỏ tr t Fsmed n Fsmin.
3.4. Ti u húa h s an ton xỏc nh mt trt nguy him
Ton b phn tớnh toỏn trờn l cho mt mt trt no ú. Mt trt nguy him nht l
mt trt tng ng vi h s an ton nh nht. Bi toỏn ti u hoỏ h s an ton xỏc nh mt
trt nguy him c thc hin bng phng phỏp Newton kt hp vi phng phỏp sai phõn
hu hn. Bi toỏn ti u hoỏ c gii quyt bng chng trỡnh trờn mỏy tớnh.
3.5. Tỡm mt trt nguy him nht
V th Fsmin X (hỡnh 5) s tỡm c giỏ tr nh nht trong s cỏc giỏ tr h s an ton
nh nht, minFsmin, im bt u mt trt nguy him nht cú to (X
c
,Y
c
).
TCT1
IV. V D TNH TON
4.1. So sỏnh kt qu ca GLEM vi cỏc phng phỏp cõn bng gii hn khỏc
Fsmin
Fsmin
m ặt tr ợt nguy hiểm nhất
minFsmin
tại điểm có
m ặt tr ợt cho Fsmin
tại điểm có tọa độ X
trên m ặt m ai d oc
X
n+1
X

c
tọa độ X
O
n+1
n+1
(a)
(c)
X
P


L
X
Y
O
X
Y
O
L
=1
X
Y
O
L
P
P

<1

(b)

Hỡnh 5. Quỏ trỡnh tỡm h s an ton nh nht v mt trt nguy him nht
Vic so sỏnh gia h s an ton thu c t GLEM v h s an ton thu c t phng
phỏp Fellenius, Bishop, Janbu, Morgenstern - Price c thc hin [3]. Hỡnh 5 cho thy mt
trt trũn hu nh nm gia mt trt tng ng vi Fsmed v mt trt tng ng vi
Fsmin. H s an ton thu c t GLEM v h s an ton thu c t cỏc phng phỏp cú trc
nờu trong bng 2. Kt qu ch ra rng phng phỏp Fellenius a ra h s an ton trong phm vi


từ Fsmed và Fsmin, phương pháp Bishop đưa ra hệ số an toàn lớn hơn Fsmed một ít, các
phương pháp khác (Janbu và Morgenstern - Price) đưa ra hệ số an toàn lớn hơn Fsmed vì những
giả định không thích hợp về lực giữa khối và về điểm tác dụng lực.
Bảng 2. So sánh GLEM với các phương pháp LEM
Phương pháp Fs Trích dẫn từ
Fellenius
1.43
Mochizuki
Bishop đơn giản
1.54
Như trên
Janbu
1.63
Như trên
LEM cải tiến
1.63
Như trên
Morgenstern-Price
1.59-1.61
Whitman & Bailey
Fsmin

1.38
GLEM
Fsmed

1.51
GLEM

1
:
1
.
5
= 32
c = 4.39kN/m
= 20kN/m
φ
γ
2
0
3
(0.95m , 9.75m)
R
=
9
.8
m
H = 6.1m
(0m , 0m)
truot trßn
mÆt truot víi Fsmed

mÆt truot víi Fsmin
mÆt

Hình 6. Mẫu mái dốc để so sánh
4.2. Ví dụ tính ổn định nền đường sắt bằng GLEM
Số liệu tính toán:
Đất cát pha có
γ = 19 kN/m
3
,
ϕ = 35
0
,
c = 10 kN/m
2
Đường sắt khổ 1000 mm
Chiều dài tà vẹt 1,8 m
Chiều cao đá balat 0,3 m
S =1
P = 70kN
P
9
1
:
1
,
5
L =2.4
o
B = 5.4

o
o
o
A=1.5
A=1.5
H=6

Hình 7. Sơ đồ hình học nền đường sắt
CT 1
Lực tác dụng trên mặt nền P = 171 kN.
Để tìm được giá trị nhỏ nhất cần phải tối ưu hóa nhiều lần đối với nhiều điểm bắt đầu mặt
trượt trên đỉnh nền đường có tọa độ theo phương ngang. Ở đây, tác giả chọn tối ưu hóa 6 lần với
6 trường hợp a, b, c, d, e, g (hình 8).
X
Y
O
P = 142 kN
o
L =2.4
A=1.5 L =2
ξ
ξ=0.83
o
X
Y
O
P = 157 kN
o
A=1.5 L =2.2
ξ

ξ=0.92
ξ
ξ
X =3.5
6
L =2.4
o
X =3.7
6
X
Y
O
P = 171 kN
o
L =2.4
A=1.5 L =2.4
ξ=1
o
X =3.9
6
X
Y
O
P = 171 kN
o
A=1.5 L =2.4
X =4.5
6
X
Y

O
P = 171 kN
o
A=1.5 L =2.4
X =5
6
X
Y
O
P = 171 kN
o
A=1.5 L =2.4
X =5.6
6
(a)
(d)
(b) (c)
(e) (g)

Hình 8. Tọa độ các điểm bắt đầu mặt trượt tiềm tàng và lực trên mặt nền đường


Vẽ đồ thị Fsmed - X ta sẽ tìm được minFsmed. Hình 9 cho thấy đồ thị 6 giá trị của hệ số an
toàn từ kết quả của 6 lần tối ưu hóa bằng ngôn ngữ Fortran. Hệ số an toàn nhỏ nhất minFsmed =
1,899 ứng với điểm mép bên phải băng tải phía trên nền đường có tọa độ X
6
= 3,9m.
2.2022
2.0149
1.899

2.007
2.1211
2.310
2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6
BÒ réng tÝnh to¸n ®Ønh m¸i dèc (m)
HÖ sè an to¸n, Fsmedmin

Hình 9. Biểu đồ Fsmed-X
V. KẾT LUẬN
Phương pháp cân bằng giới hạn tổng quát đã được ứng dụng thành công vào tính toán ổn
định nền đường sắt đồng nhất. Thuật toán, chương trình máy tính đã được thiết lập để tự động
hoá quá trình tính toán. Kết quả tính toán đã được phân tích so sánh với những phương pháp
LEM khác. Thuật toán và chương trình này có thể ứng dụng vào công tác tính toán thiết kế cũng
như kiểm toán ổn định nền đường sắt.
TCT1

Tài liệu tham khảo
[1] Fellenius, W. (1936) – Calculation of the stability of earth dams – Proc., the 2
nd
Congress on Large Dams,
445-462.
[2] Bishop, A.W. (1955) – The use of slip circle in stability analysis of slop stability –Geotechnique.
[3] Spencer. E. (1967) – A method of analysis of the stability of embankments assuming parallel inter-slice

forces - Geotechnique.
[4] Janbu, N. (1957) – Earth pressure and bearing capacity calculation by generalized procedure of slices –
Proc., the 4
th
ICSMFE.
[5] Morgenstern, N.R. và Price, V.E (1965) – The analysis of stability of general slip surface– Geotechnique.
[6] Chen, W.F. (1975) – Limit analysis and soil plasticity – Elsevier Scientific Publishing Company, London.
[7] Sloan, S.W. (1989) - Upper bound limit analysis using finite elements and linear programming – Int. J.
Numer. Anal. Methods Geomech.
[8] Sokolovsky, V.V. (1960) – Static of soil media - London , Butterworth’s Scientific Publications.
[9] Enoki, N.Yagi, R.Yatabe, E. Ichimoto (1990) – Generalized slice method for slope stability analysis, Soils
and Foundations – Japanese Soc. Of Soil Mech. And Found. Engng.,30(2)♦