Xử lý ảnh số - Khôi phục ảnh part 3 ppt

l`a biˆe
´
nd¯ˆo
˙’
i Fourier r`o
.
ira
.
ccu
˙’
a f
e
(x). Tu
.
o
.
ng tu
.
.
, W
−1
g l`a biˆe
´
nd¯ˆo
˙’
i Fourier cu
˙’
a c´ac
phˆa
`
ntu

.
˙’
cu
˙’
a g v`a k´yhiˆe
.
ul`aG(k),k =0, 1, ,M − 1.
Bˆay gi`o
.
x´et ma trˆa
.
nbiˆe
´
nd¯ˆo
˙’
i D trong (5.8). Ta biˆe
´
trˇa
`
ng (xem Phˆa
`
n 5.2.1), c´ac
phˆa
`
ntu
.
˙’
trˆen d¯u
.
`o

.
ng ch´eo ch´ınh cu
˙’
a D ch´ınh l`a c´ac gi´a tri
.
riˆeng cu
˙’
a ma trˆa
.
n chu tr`ınh
H.Nhu
.
ng
exp

2πi
M
(M −j)k

= exp

−
2πi
M
jk

.
Do d¯´o ta c´o thˆe
˙’
viˆe

´
t
λ(k)=
M−1

j=0
h
e
(j) exp

−
2πi
M
jk

.
Vˆa
.
y
D(k, k)=λ(k)
v´o
.
i k =0, 1, ,M−1. Vˆe
´
pha
˙’
icu
˙’
aphu
.

o
.
ng tr`ınh n`ay ch´ınh l`a MH(k), trong d¯´o H(k)
l`a biˆe
´
nd¯ˆo
˙’
i Fourier r`o
.
ira
.
ccu
˙’
a h`am th´ac triˆe
˙’
n h
e
(x):
H(k):=
M−1

j=0
h
e
(j) exp

−
2πi
M
kj


,k=0, 1, ,M − 1.
Do d¯´o
D(k, k)=MH(k).
Vˆa
.
yPhu
.
o
.
ng tr`ınh (5.8) c´o thˆe
˙’
viˆe
´
tla
.
i
G(k)=MH(k)F (k),
v´o
.
i k =0, 1, ,M−1, trong d¯´o G(k) l`a c´ac phˆa
`
ntu
.
˙’
cu
˙’
a vector W
−1
g v`a MH(k)F (k)

l`a c´ac phˆa
`
ntu
.
˙’
cu
˙’
a vector cˆo
.
t DW
−1
f. Vˆe
´
pha
˙’
icu
˙’
aphu
.
o
.
ng tr`ınh trˆen l`a t´ıch chˆa
.
pcu
˙’
a
f
e
(x)v´o
.

i h
e
(x) trong miˆe
`
ntˆa
`
nsˆo
´
.Kˆe
´
t qua
˙’
n`ay chı
˙’
ra rˇa
`
ng c´o thˆe
˙’
gia
˙’
m khˆo
´
ilu
.
o
.
.
ng
t´ınh to´an do G(k),H(k)v`aF (k) l`a c´ac biˆe
´

nd¯ˆo
˙’
i Fourier r`o
.
ira
.
cd¯u
.
o
.
.
c x´ac d¯i
.
nh bˇa
`
ng
thuˆa
.
t to´an FFT.
Ta c´o thuˆa
.
t to´an tu
.
o
.
ng tu
.
.
cho mˆo h`ınh suy gia
˙’

mchˆa
´
tlu
.
o
.
.
ng 2D nhu
.
sau. T`u
.
(5.5), ta c´o
W
−1
g = DW
−1
f + W
−1
n, (5.9)
trong d¯´o W
−1
l`a ma trˆa
.
ncˆa
´
p MN × MN; D l`a ma trˆa
.
nd¯u
.
`o

.
ng ch´eo cˆa
´
p MN ×
MN; H l`a ma trˆa
.
n khˆo
´
i chu tr`ınh cˆa
´
p MN × MN; f v`a g l`a c´ac vector trong
R
MN
x´ac d¯i
.
nh bˇa
`
ng c´ach xˆe
´
p c´ac h`ang cu
˙’
a f
e
(x, y)v`ag
e
(x, y)tu
.
o
.
ng ´u

.
ng (xem
Phˆa
`
n 5.2.2). Vˆe
´
tr´ai cu
˙’
a (5.9) l`a vector cˆo
.
tk´ıch thu
.
´o
.
c MN. K´yhiˆe
.
u c´ac phˆa
`
ntu
.
˙’
121
cu
˙’
a n´o l`a G(0, 0),G(0, 1), ,G(0,N−1); G(1, 0),G(1, 1), ,G(1,N−1); ; G(M −
1, 0),G(M −1, 1), ,G(M − 1,N − 1). C´o thˆe
˙’
ch´u
.
ng minh rˇa

`
ng
G(u, v)=
1
MN
M−1

x=0
N−1

y=0
g
e
(x, y) exp

−2πi

ux
M
+
vy
N

,
v´o
.
i u =0, 1, ,M − 1,v=0, 1, ,N − 1. N´oi c´ach kh´ac G(u, v) ch´ınh l`a biˆe
´
nd¯ˆo
˙’

i
Fourier 2D r`o
.
ira
.
ccu
˙’
a g
e
(x, y). Tu
.
o
.
ng tu
.
.
c´ac vector W
−1
f v`a W
−1
n c´o c´ac phˆa
`
ntu
.
˙’
tu
.
o
.
ng ´u

.
ng l`a
F (u, v)=
1
MN
M−1

x=0
N−1

y=0
f
e
(x, y) exp

−2πi

ux
M
+
vy
N

v`a
N(u, v)=
1
MN
M−1

x=0

N−1

y=0
η
e
(x, y) exp

−2πi

ux
M
+
vy
N

,
v´o
.
i u =0, 1, ,M −1,v=0, 1, ,N −1.
Cuˆo
´
ic`ung,
H(u, v)=
1
MN
M−1

x=0
N−1


y=0
h
e
(x, y) exp

−2πi

ux
M
+
vy
N

v`a ma trˆa
.
nd¯u
.
`o
.
ng ch´eo D c´o c´ac phˆa
`
ntu
.
˙’
x´ac d¯i
.
nh bo
.
˙’
i

D(k, j)=



MNH

k
N

,k mod N

nˆe
´
u k = j,
0nˆe
´
u k = j.
Phu
.
o
.
ng tr`ınh (5.5) c´o thˆe
˙’
viˆe
´
tla
.
ida
.
ng

G(u, v)=MNH(u, v)F (u, v)+N(u, v) (5.10)
trong d¯´o u =0, 1, ,M − 1, v`a v =0, 1, ,N − 1.
Sˆo
´
ha
.
ng MN trong phu
.
o
.
ng tr`ınh (5.10) l`a hˆe
.
sˆo
´
vˆo hu
.
´o
.
ng, do d¯´o d¯ˆe
˙’
d¯ o
.
n gia
˙’
n
c´o thˆe
˙’
chuyˆe
˙’
n v`ao H(u, v). Khi d¯´o

D(k, j)=



H

k
N

,k mod N

nˆe
´
u k = j,
0nˆe
´
u k = j
v´o
.
i k,j =0, 1, ,MN − 1, v`a
G(u, v)=H(u, v)F(u, v)+N(u, v) (5.11)
122
trong d¯´o u =0, 1, ,M−1,v =0, 1, ,N−1, v`a h`am H(u, v)d¯u
.
o
.
.
c nhˆan v´o
.
ihˆe

.
sˆo
´
MN.
Phu
.
o
.
ng tr`ınh (5.10) (hay (5.11)) chı
˙’
ra rˇa
`
ng hˆe
.
MN × MN phu
.
o
.
ng tr`ınh (5.5)
c´o thˆe
˙’
d¯ u
.
avˆe
`
gia
˙’
ihˆe
.
chı

˙’
c´o MN phu
.
o
.
ng tr`ınh! C´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh n`ay c˜ung c´o thˆe
˙’
suy tru
.
.
ctiˆe
´
pt`u
.
(5.5) do d¯i
.
nh l´y t´ıch chˆa
.
p. Tuy nhiˆen, mu
.
cd¯´ıch cu
˙’
ach´ung ta l`a su
.
˙’
du

.
ng c´ac kh´ai niˆe
.
m ma trˆa
.
nd¯ˆe
˙’
d¯ i d¯ ˆe
´
nc`ung kˆe
´
t qua
˙’
-d¯iˆe
`
ucˆa
`
n thiˆe
´
t trong phˆa
`
n sau d¯ˆe
˙’
phu
.
chˆo
`
ia
˙’
nh.

5.3 Phu
.
o
.
ng ph´ap d¯a
.
isˆo
´
Nhu
.
d¯˜a chı
˙’
ra trong Phˆa
`
n 5.1.3, mu
.
cd¯´ıch cu
˙’
a phu
.
chˆo
`
ia
˙’
nh l`a x´ac d¯i
.
nh a
˙’
nh gˆo
´

c f t`u
.
a
˙’
nh suy gia
˙’
mchˆa
´
tlu
.
o
.
.
ng g v´o
.
i c´ac gia
˙’
thiˆe
´
t cho tru
.
´o
.
cvˆe
`
H v`a n.Ch´ung ta x´et mˆo
h`ınh (5.5).
Ta s˜e su
.
˙’

du
.
ng phu
.
o
.
ng ph´ap d¯a
.
isˆo
´
d¯ ˆe
˙’
t`ım u
.
´o
.
clu
.
o
.
.
ng
ˆ
f cu
˙’
a f sao cho sai sˆo
´
l`a
´ıt nhˆa
´

tv´o
.
i r`ang buˆo
.
c n`ao d¯´o. D
-
ˆe
˙’
d¯ o
.
n gia
˙’
nch´ung ta s˜e su
.
˙’
du
.
ng phu
.
o
.
ng ph´ap b`ınh
phu
.
o
.
ng tˆo
´
i thiˆe
˙’

u.
5.3.1 Khˆoi phu
.
c khˆong d¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
Phu
.
o
.
ng tr`ınh (5.5) c´o thˆe
˙’
viˆe
´
tla
.
i
n=g-Hf.
Ta cˆa
`
nt`ımmˆo
.
txˆa
´
pxı
˙’
ˆ
f sao cho

n
2
= g − H
ˆ
f
2
l`a tˆo
´
i thiˆe
˙’
u.
D
-
ˇa
.
t
J(
ˆ
f):=g − H
ˆ
f
2
.
´
Ap du
.
ng d¯iˆe
`
ukiˆe
.

ncˆa
`
ncu
˙’
acu
.
.
c tri
.
ta c´o
ˆ
f thoa
˙’
m˜an phu
.
o
.
ng tr`ınh
∂J(
ˆ
f)
∂
ˆ
f
=0=−2H
t
(g −H
ˆ
f).
Suy ra

ˆ
f =(H
t
H)
−1
H
t
g.
123
Gia
˙’
su
.
˙’
M = N v`a tˆo
`
nta
.
i ma trˆa
.
n nghi
.
ch d¯a
˙’
o H
−1
. Khi d¯´o
ˆ
f = H
−1

(H
t
)
−1
H
t
g
= H
−1
g.
(5.12)
5.3.2 Khˆoi phu
.
c c´o d¯iˆe
`
ukiˆe
.
n
Phˆa
`
n n`ay x´et b`ai to´an cu
.
.
ctiˆe
˙’
u ho´a phiˆe
´
m h`am
Q
ˆ

f
2
v´o
.
i r`ang buˆo
.
c
n=g-Hf,
trong d¯´o Q l`a to´an tu
.
˙’
tuyˆe
´
n t´ınh n`ao d¯´o.
X´et h`am Lagrange
J(
ˆ
f):=Q
ˆ
f
2
+ α(g −H
ˆ
f
2
−n
2
)
trong d¯´o α l`a nhˆan tu
.

˙’
Lagrange.
Theo phu
.
o
.
ng ph´ap nhˆan tu
.
˙’
Lagrange, nghiˆe
.
m
ˆ
f thoa
˙’
m˜an phu
.
o
.
ng tr`ınh
∂J(
ˆ
f)
∂
ˆ
f
=0=2Q
t
Q
ˆ

f − 2αH
t
(g −H
ˆ
f).
Suy ra
ˆ
f =

H
t
H + γQ
t
Q

−1
H
t
g. (5.13)
Gi´a tri
.
γ =
1
α
d¯ u
.
o
.
.
cd¯iˆe

`
uchı
˙’
nh sao cho thoa
˙’
d¯ i ˆe
`
ukiˆe
.
ns˜ed¯u
.
o
.
.
cx´et sau. C´ac phu
.
o
.
ng
tr`ınh (5.12) v`a (5.13) l`a co
.
so
.
˙’
cho nh˜u
.
ng b`ai to´an phu
.
chˆo
`

i trong c´ac phˆa
`
n sau. Chˇa
˙’
ng
ha
.
n, Phˆa
`
n5.4s˜echı
˙’
ra Phu
.
o
.
ng tr`ınh (5.12) ch´ınh l`a phu
.
o
.
ng ph´ap phu
.
chˆo
`
ibˇa
`
ng lo
.
c
ngu
.

o
.
.
c. Tu
.
o
.
ng tu
.
.
,Phu
.
o
.
ng tr`ınh (5.13) c´o thˆe
˙’
suy ra c´ac kˆe
´
t qua
˙’
nhu
.
lo
.
c Wiener cˆo
˙’
d¯ i ˆe
˙’
nc˜ung nhu
.

c´ac kˆe
´
t qua
˙’
kh´ac. Vˆa
´
nd¯ˆe
`
l`a cho
.
n ma trˆa
.
nbiˆe
´
nd¯ˆo
˙’
i Q th´ıch ho
.
.
p.
5.4 Lo
.
c ngu
.
o
.
.
c
5.4.1 D
-

ˇa
.
t b`ai to´an
Tru
.
´o
.
chˆe
´
tx´et c´ac phu
.
o
.
ng ph´ap phu
.
chˆo
`
ia
˙’
nh t `u
.
khˆoi phu
.
c khˆong d¯iˆe
`
ukiˆe
.
n trong
Phu
.

o
.
ng tr`ınh (5.12). Nˆe
´
u gia
˙’
thiˆe
´
t M = N v`a su
.
˙’
du
.
ng (5.7) th`ı Phu
.
o
.
ng tr`ınh (5.12)
124
suy ra
ˆ
f = H
−1
g
=(WDW
−1
)
−1
g
= WD

−1
W
−1
g.
Do d¯´o
W
−1
ˆ
f = D
−1
W
−1
g.
Hay c´o thˆe
˙’
viˆe
´
tla
.
i (´ap du
.
ng Phˆa
`
n 5.2.3)
ˆ
F (u, v)=
G(u, v)
H(u, v)
, (5.14)
v´o

.
i u, v =0, 1, ,N −1. Theo (5.11), c´ac phˆa
`
ntu
.
˙’
H(u, v)d¯u
.
o
.
.
c chia cho N
2
v`a v`ı D
l`a ma trˆa
.
nd¯u
.
`o
.
ng ch´eo nˆen nghi
.
ch d¯a
˙’
o
1
H(u,v)
dˆe
˜
d`ang x´ac d¯i

.
nh.
Phu
.
o
.
ng ph´ap phu
.
chˆo
`
ia
˙’
nh bˇa
`
ng c´ach su
.
˙’
du
.
ng Phu
.
o
.
ng tr`ınh (5.14) thu
.
`o
.
ng go
.
i

l`a lo
.
c ngu
.
o
.
.
c. Kh´ai niˆe
.
mlo
.
c ngu
.
o
.
.
c xuˆa
´
t ph´at t`u
.
chˆo
˜
coi H(u, v) l`a h`am lo
.
cd¯u
.
o
.
.
c nhˆan

v´o
.
i F (u, v)d¯ˆe
˙’
biˆe
´
nd¯ˆo
˙’
ia
˙’
nh suy gia
˙’
mchˆa
´
tlu
.
o
.
.
ng. Biˆe
˙’
uth´u
.
c
G(u,v)
H(u,v)
ch´u
.
a to´an tu
.

˙’
lo
.
c
ngu
.
o
.
.
c. A
˙’
nh khˆoi phu
.
c nhˆa
.
nd¯u
.
o
.
.
ct`u
.
ˆ
f = F
−1
(F (u, v))
= F
−1

G(u, v)

H(u, v)

v´o
.
i x, y =0, 1, ,N −1.
Ch´u´yrˇa
`
ng nˆe
´
u H(u, v) = 0 hoˇa
.
crˆa
´
t nho
˙’
ta
.
imˆo
.
tsˆo
´
d¯ i ˆe
˙’
mcu
˙’
amˇa
.
t phˇa
˙’
ng uv,

ta c´o thˆe
˙’
bo
˙’
qua trong qu´a tr`ınh t´ınh to´an F (u, v) m`a khˆong a
˙’
nh hu
.
o
.
˙’
ng d¯´ang kˆe
˙’
d¯ ˆe
´
n
kˆe
´
t qua
˙’
phu
.
chˆo
`
i.
Trong tru
.
`o
.
ng ho

.
.
p c´o nhiˆe
˜
u, th`ı
ˆ
F(u, v)=F (u, v)+
N(u, v)
H(u, v)
.
Suy ra nˆe
´
u H(u, v)bˇa
`
ng 0 hoˇa
.
crˆa
´
t nho
˙’
,th`ı
N(u,v)
H(u,v)
c´o thˆe
˙’
vu
.
o
.
.

t qu´a kˆe
´
t qua
˙’
khˆoi phu
.
c
a
˙’
nh F
−1

ˆ
F (u, v)

. Trong thu
.
.
ctˆe
´
, H(u, v)thu
.
`o
.
ng nho
˙’
d¯i rˆa
´
t nhanh so v´o
.

i khoa
˙’
ng
c´ach t`u
.
(u, v)d¯ˆe
´
ngˆo
´
cto
.
ad¯ˆo
.
, c`on nhiˆe
˜
u gia
˙’
mv´o
.
itˆo
´
cd¯ˆo
.
chˆa
.
m. Trong tru
.
`o
.
ng ho

.
.
p
nhu
.
vˆa
.
y, viˆe
.
c khˆoi phu
.
ca
˙’
nh d¯u
.
o
.
.
c thu
.
.
chiˆe
.
n ngo`ai lˆan cˆa
.
ncu
˙’
agˆo
´
cd¯ˆe

˙’
tr´anh chia cho
khˆong.
Nˆe
´
ubiˆe
´
t tru
.
´o
.
c H(u, v),G(u, v)v`aN(u, v) th`ı c´o thˆe
˙’
x´ac d¯i
.
nh lo
.
c ngu
.
o
.
.
c theo
phu
.
o
.
ng tr`ınh sau:
F (u, v)=
G(u, v)

H(u, v)
−
N(u, v)
H(u, v)
.
125