Xử lý ảnh - Chương 3

chơng
2
Các hệ thống hai chiều
2.1 Chỉ dẫn
Các tín hiệu vốn là hai chiều thì phải đợc xử lý bằng kỹ thuật xử lý
tín hiệu hai chiều. Các điểm ảnh đợc coi là một dạng tín hiệu hai
chiều, vì vậy việc xem xét các kiến thức cơ bản của hệ thống hai
chiều (2-D) là cần thiết. Trong chơng này chúng ta sẽ xem xét biểu
diễn tần số và biểu diễn không gian của tín hiệu hai chiều, và cung
cấp kiến thức cần thiết cho việc phát triển các kỹ thuật xử lý ảnh hai
chiều nh là nổi ảnh, trơn ảnh và khôi phục ảnh.
2.2 Các tín hiệu hai chiều
Một tín hiệu lấy mẫu hai chiều đợc biểu diễn dới dạng một mảng hai
chiều x(n
1
T
V
,n
2
T
H
) (V: Vertical - chiều dọc, H: Horizontal - chiều
ngang). ở đây n
1
, n
2
là số nguyên và T
V
, T
H
là khoảng cách lấy mẫu

theo chiều ngang và chiều dọc. x(n
1
T
V
, n
1
T
H
) thờng đợc ký hiệu tắt là
x(n
1
,n
2
) và biểu diễn cho cờng độ sáng hay là biên độ tín hiệu tại điểm
(n
1
,n
2
) trong miền không gian. Hình 2.1 giới thiệu một phép biểu diễn
trong miền không gian, ở đây cờng độ sáng của tín hiệu đợc ký hiệu
bởi chiều cao tại điểm x(n
1
T
V
, n
2
T
H
). Chú ý rằng T
V

là khoảng cách lấy
mẫu giữa hai cột dọc kế tiếp nhau, T
H
là khoảng cách lấy mẫu giữa
hai dòng ngang kế tiếp nhau của tín hiệu 2-D.
Mặc dù một tín hiệu lấy mẫu 2-D có thể xử lý nh các dãy của tín
hiệu lấy mẫu một chiều bằng cách xử lý tất cả các hàng (cột) một
cách tuần tự song cách tiếp cận này không cho một kết quả mong đợi
nh khi xử lý hai chiều. Ví dụ, nếu chúng ta dùng một bộ lọc làm nổi
đờng biên ảnh 1-D, cụ thể đó là một bộ lọc thông cao, trên một ảnh
7
bằng cách xử lý từng hàng một, thì đờng biên sẽ phần lớn đợc làm nổi
bật dọc theo các đờng thẳng đứng. Các đờng biên ảnh nằm theo các đ-
ờng nằm ngang sẽ không đợc làm nổi một chút nào và các đờng biên
nằm theo các hớng khác ngoài hai hớng này sẽ nhận đợc hiệu ứng làm
nổi ảnh ít hơn các đờng biên dọc. Để đạt đợc hiệu quả nh nhau theo
mọi hớng, tín hiệu đợc lấy mẫu hai chiều phải đợc xử lý qua một hệ
thống 2-D (Hình 2.2).
Trong hệ thống tuyến tính bất biến - TTBB (Linear Shift Invariant -
LSI), đáp ứng đầu ra có thể tính theo công thức :

),h(n*),(),(
212121
nnnxnny =
(2.1)
Dấu * đợc hiểu là tích chập và h(n
1
,n
2
) là đáp ứng xung của hệ thống

2-D. Biểu thức (2.1) có thể viết là:


=

=
=
1 2
),(),(),(
22112121
k k
knknhkkxnny
(2.2)
Hình 2.1 Biểu diễn trong miền khoảng cách.
2.3 Một số dãy 2-D thông dụng
Chúng bao gồm:
1. Dãy xung đơn vị :



==
==
lại còn hợp trường các với
với
0
0 1
),(),(
21
21021
nn

nnunn

(2.3)
8
n
1
T
v
2T
v
T
v
2T
H
T
H
x(n
1
,T
v
,n
2
,T
H
)
n
2
T
H
2. Dãy nhảy bậc đơn vị :

=

lại còn hợp trường các với
với
0
0, 1
),(
21
211
nn
nnu
(2.4)
3. Dãy hàm mũ:




=
lại còn hợp trường các với
với
0
0,
),(
2121
21
21

nnaa
nnx
nn
(2.5)
4. Dãy tín hiệu hình sin (phức):
)(
21
2211
),(
nnj
ennx

+
=
- <n
1
,n
2
< + (2.6)
Hình 2.2 Xử lý tín hiệu 2-D.
2.4 Đáp ứng tần số của hệ thống 2-D -TTBB
Đặt
)(
21
2211
),(
nnj
ennx

+

=

Đáp ứng ra có thể rút ra khi dùng biểu thức (2.2).

[ ]


=

=
+
=
1
21
2
)()(
21
),(),(
222111
k k
knknj
kkhenny

(2.7)
hoặc



=

=
++
=
1 2
22112211
),(),(
21
)()(
21
k k
kkjnnj
kkheenny

(2.8)
Công thức này có thể viết lại thành

),(),(),(
212121

Hnnxnny =

Tín hiệu ra là tín hiệu hình sin phức (sinusoid) hoàn toàn có cùng
tần số nh tín hiệu vào, nhng biên độ và góc pha thì bị thay đổi bởi
hàm khuyếch đại phức H(
1
,
2
). Hàm khuếch đại này gọi là đáp ứng
tần số và đợc cho bởi
9

h(n
1
,n
2
)
x(n
1
,n
2
) y(n
1
,n
2
)

)(
2121
2211
2
2
1
1
),(),(
kkj
k
k
k
k
ekkhH

+
=
=
=
=

=
(2.9)
Biểu thức
)(
2211
kkj
e

+

đợc gọi là nhân. Nếu khoảng cách cách lấy mẫu
T
V
,T
H
đã đợc biết thì biểu thức (2.9) có thể viết lại thành



=


=

=
2
21
1
),(2
21
),(),(
k
TvkTukj
HV
k
HV
eTkTkhvuH

(2.10)

1
,
2
có thứ nguyên là radian/đơn vị, còn u và v có thứ nguyên là
vòng/đơn vị. Đơn vị ở đây có thể là đơn vị khoảng cách (nh cm, inch)
hoặc là đơn vị thời gian (nh giây). Việc chọn đơn vị (thời gian hoặc
khoảng cách) phụ thuộc nguồn gốc của ảnh, đó là một phép chiếu từ
không gian ba chiều lên mặt phẳng hai chiều. Nếu ta xử lý với một
ảnh lấy ra trực tiếp từ ma trận CCD camera thì T
V

và T
H

(và do đó là
đơn vị) phải tính theo chiều không gian (xem hình 2.3). Mặt khác, với
một ảnh truyền hình thì T
V
và T
H
phải theo chiều thời gian (xem hình
2.4).
Từ (2.9) ta có thể viết

),(),2(
2121

HH =+

),()2,(
2121

HH =+

(2.11)
),()2,2(
2121

HH =++
Và từ (2.10) ta có thể viết
),(,
1
vuHv
T

uH
V
=








+

),(
1
, vuH
T
vuH
H
=








+
(2.12)

),(
1
,
1
vuH
T
v
T
uH
HV
=








++
10

T
V
T
H
Hình 2.3 T
V

và T

H
cho lấy mẫu ảnh trên một ma trận camera CCD.
Hình 2.4 T
V
và T
H
cho một ảnh quét xen kẽ.
Hàm H(
1
,
2
) xác định trên toàn bộ miền
( ) ( )


1 2
và là hàm tuần hoàn trong miền tần số với
chu kì tuần hoàn là 2 đối với
1
và


2
. H(u,v) xác định trên miền
( ) ( )
HHVV
TvTTuT
2
1
2

1
2
1
2
1

và là hàm tuần hoàn với chu kì
1/T
V
và 1/T
H
cho u và v. Có thể chiếu H(

1
,

2
) hoặc H(u, v) lên miền
chuẩn hoá, ở đây
/
1
,
/
2

[ ]
11,
bằng cách đặt
/
1

=
1
/;


/
2
=
2
/
hoặc
/
1
=2uT
V
;


/
2
=2vT
h
.
/
1
và
/
2
gọi là tần số chuẩn hoá, hàm
H(

/
1
,

/
2
) có thể viết lại

)(
2121
2211
1 2
),(),(
kkj
k k
ekkhH



+


=


(2.13)
11
Nếu chúng ta hạn chế h(n
1

,n
1
) chỉ lấy các giá trị thực thì đáp ứng tần
số thoả mãn:
),(),(
2121

jjjj
eeHeeH


=

(2.14)
H* = liên hợp phức của H. Điều này dẫn đến H(

1
,

2
) đối xứng
(Hình 2.5).

Hình 2.5 Đối xứng tâm.
Chú ý rằng nếu x(n
1
,n
2
) =

(n
1
,n
2
), thì biểu thức (2.2) trở thành
y(n
1
,n
2
) = h(n
1
,n
2
). Vì lý do này mà h(n
1
,n
2
) đợc gọi là đáp ứng xung,
hoặc là đáp ứng biên độ, của hệ thống 2-D.
Bài tập 2.1 Tính biểu thức đáp ứng tần số của một hệ thống với
đáp ứng xung cho bởi

=
0.0
5.0
125.0
125.0
125.0
),(
21
nnh

Chứng minh rằng công thức tính đáp ứng tần số có thể tách đợc.
2.5 Tính đáp ứng xung từ đáp ứng tần số
Đáp ứng tần số của h(n
1
,n
2
) đợc cho bởi :
12
A
B
B
*
A
*

1

2
lại còn hợptrường các

0
1,0
0,1
1,1
21
21
21
21
==
==
==
==
nn
nn
nn
nn


+
=
1 2
)(
2121
2211
),(),H(
n n
nnj
ennh

(2.15)
Xét tích phân



+







21
)(
21
2
2211
),(
4
1
ddeH
kkj

(2.16)
Thay biểu thức (2.15) vào biểu thức (2.16) chúng ta đợc
21
)()(
21
2

1 2
22112211
)),((
4
1







ddeennh
n n
kkjnnj



++
Và có thể viết thành
[ ] [ ]
2
)(
1
)(
21
2122111
1 2
2
1

2
1
),(










dedennh
knjknj
n n






Và biến đổi thành

),()()(),(
21221121
1 2
kkhknknnnh
n n
=

Điều này có nghĩa là đáp ứng xung có thể tính từ đáp ứng tần số qua
mối quan hệ:
h(n
1
,n
2
) =


+







21
)(
21
2
2211
),(
4
1
ddeH
nnj

(2.17)
Nếu đáp ứng tần số đợc cho dới dạng hàm của u,v (vòng/đơn vị), thì
biểu thức (2.17) có thể viết thành

vdduvuHTTnnh
V
V
H
H
HV
T
T
T
T
nvTnuTj
HV
e


+
=
2
1
2
1
2
1
2
1
_

)(2
21
211
),(),(

(2.18)
Hoặc cho tần số chuẩn hoá:




+


=
1
1
2
1
1
1
)(
2121
2211
),(
4
1
),(

ddeHnnh
nnj
(2.19)
Ví dụ 2.3 Cho đáp ứng tần số




=
0
||,|| 1
),(
21
21
lại còn hợp trường các


ba
H
(xem hình 2.10), hãy tính đáp ứng xung.
13
Hình 2.10 Ví dụ 2.3.
Giải Từ phơng trình (2.17) chúng ta có thể viết :
2
2
1
1
21
21
)(

2
21
)sin(bn
.
)sin(an
=
2
1
2
1
=
4
1
),(
2211
2211
nn
dede
ddennh
b
b
nj
a
a
nj
a
a
b
b
nnj

+
=

Bởi vì đáp ứng tần số là hàm tách đợc của hai biến
1

và
2

nên đáp
ứng xung cũng là một hàm hai biến tách đợc. Khái niệm tách đợc ở
đây nghĩa là có thể phân tích h(n
1
,n
2
) = f
1

(n
1
).f
2
(n
2
).
Ví dụ 2.4 Tìm đáp ứng xung của một bộ lọc thông thấp đối xứng
vòng tròn lý tởng đợc mô tả nh sau (xem hình 2.11 và 2.12):



+
=
lại còn hợp trường các 0
1
),(
22
2
2
1
21


R
eeH
jj
Giải Có thể dễ dàng thấy nếu
),(
21

H
là một hàm đối xứng vòng
tròn lý tởng, cụ thể là
)(),(
2
2
2
121

+= HH
thì
),(
21
nnh
cũng là một
14

1
a-a
b
b


-
-

2