Khái niệm chung về từ biến

164
Chương 8
KHÁI NIỆM CHUNG VỀ TỪ BIẾN

8.1. MỞ ĐẦU.
Trong giáo trình sức bền vật liệu, lí thuyết đàn hồi cũng như lí thuyết dẻo khi xác
định ứng suất và biến dạng người ta chưa để ý đến yếu tố thời gian. Điều ấy có nghĩa là
các biểu thức của ứng suất và biến dạng không chứa thời gian t, như vậy, người ta đã
quan niệm rằng nếu tải trọng bên ngoài tác động lên vật thể không thay đổi thì ứng suất
và biến dạng trong vật thể đó cũng không thay đổi theo thời gian. Nhưng trong thực tế
ứng suất và biến dạng xuất hiện trong vật thể thay đổi theo thời gian ngay cả lúc tải trọng
là không đổi và hiện tượng đó người ta gọi là hiện tượng từ biến của vật liệu. Có thể xét
hiện tượng đó theo hai khía cạnh khác nhau:
1-Khi ứng suất không đổi nhưng biến dạng thay đổi theo thời gian thì gọi là hiện
tượng bò hoặc là sau tác dụng.
2-Khi biến dạng là hằng số nhưng ứng suất thay đổi theo thời gian (thường là
giảm theo thời gian) thì gọi là hiện tượng dão ứng suất.
Hiện tượng từ biến không những xuất hiện trong vật rắn mà còn xảy ra đối với chất
khí và chất lỏng nữa. Hiện tượng từ biến được nghiên cứu trong những điều kiện khác
nhau về môi trường làm việc và tải trọng tác dụng lên vật thể. Đối với một số kim loại
hiện tượng từ biến xảy ra rõ rệt khi chúng làm việc ở nhiệt độ cao như thép, hợp kim
thép Nhưng cũng có một số kim loại hiện tượng từ biến xuất hiện ngay ở nhiệt độ bình
thường như nhôm, chì, ma-nhê Nhưng cần chú ý rằng trong những điều kiện nhiệt độ
đó, hiện tượng từ biến chỉ xảy ra khi ứng suất đạt một giá trị tối thiểu nào đó đối với mỗi
vật liệu.
Hiện tượng từ biến mới được nghiên cứu chưa lâu, nhưng việc nghiên cứu hiện
tượng đó phát triển rất nhanh. Bởi vì ngày nay, trong các máy móc kĩ thuật nói chung đòi
hỏi có nhiều chi tiết làm việc với tốc độ lớn nên tự nó sản sinh một lượng nhiệt lớn. Môi
trường đó làm cho sự thay đổi của ứng suất và biến dạng theo thời gian là lớn. Đồng thời
hiện nay xuất hiện nhiều vật liệu mới như chất dẻo, các chất tổng hợp hữu cơ là những

chất mà hiện tượng từ biến xảy ra ngay ở nhiệt độ bình thường và tốc độ biến dạng của
nó khá lớn.
Việc tính toán các chi tiết máy có kể đến ảnh hưởng của hiện tượng từ biến, hiện
nay nó đóng một vai trò quan trọng trong lĩnh vực tính toán động lực học và độ bền của
máy cũng như việc tính toán độ bền của các công trình kĩ thuật khác. Bởi vì hiện tượng từ
biến cũng là nguyên nhân gây ra s
ự phá hỏng và gãy các chi tiết. Vì như sự phát triển của
biến dạng theo thời gian quét cánh tuốc bin sẽ ảnh hưởng đến khe hở của chúng với vỏ
tuốc bin. Vì vậy sẽ dẫn đến chỗ tuốc bin sẽ không làm việc được bình thường, thậm chí
có khi còn gãy cánh tuốc bin. Thí dụ về hiện tượng dão có thể gặp ở một số trường hợp
nối bằng bu lông, mới đầu mối nố
i còn chặt chẽ nhưng sau một thời gian làm việc giá trị
ứng suất trong bu lông giảm đi theo thời gian (mặc dù biến dạng dài của bu lông là không
đổi, vì khoảng cách từ ê-cu đến đầu bu lông là không đổi) cho nên mối nối bị lỏng ra.
Cần nhấn mạnh rằng biến dạng do từ biến có thể là biến dạng đàn hồi hoặc là biến
dạng dẻo.
8.2. NHỮNG ĐƯỜNG CONG TỪ BIẾN.
Để tính toán v
ề từ biến, người ta sử dụng những kết quả của sự nghiên cứu bằng
thực nghiệm của vật liệu ở nhiệt độ cho sẵn nào đó. Dạng thí nghiệm cơ bản trong điều

165
kiện từ biến vẫn là kéo đúng tâm tiến hành ở một nhiệt độ nhất định. Hiện tượng bò được
xét khi ứng suất trong mẫu được giữ không đổi trong suốt thời gian bò.
Dựa kết quả của thí nghiệm đó chúng ta có thể dựng biểu đồ về quan hệ giữa biến
dạng tỉ đối ε và thời gian t trong hệ trục toạ độ Đề cát. Những
đường cong này gọi là
đường cong từ biến hay gọi là đường cong sau tác dụng. Trên hình 8.1 biểu diễn dạng
đường cong sau tác dụng.
Gía trị biến dạng ban đầu được biểu diễn bởi

đoạn OA. Khi tải trọng tác dụng lên mẫu từ giá trị 0
đến một giá trị nào đó thì giá trị biến dạng trong mẫu
cũng sẽ tăng từ 0 đến một giá trị ε
0
nhất định. Biến
dạng ε
0
này có thể là biến dạng đàn hồi hoặc là biến
dạng dẻo, giá trị này phụ thuộc vào ứng suất xuất
hiện trong mẫu.
Sau đó tải trọng không tăng cũng có nghĩa là
ứng suất trong thanh không thay đổi, nhưng biến
dạng của mẫu vẫn tăng với đường cong ABCD.
Đường cong từ biến có thể chia làm 3 giai đoạn:
1. Giai đoạn 1: còn gọi là giai đoạn bò không ổn định. Trong giai đoạn này biến
dạng tăng cùng với thời gian nhưng tốc độ biến dạng không đều nhau và xu hướng ngày
càng giảm. Vì vậy AB là một đường cong. Tốc độ biến dạng dε/dt là đại lượng được xác
định bởi tgα (góc nghiêng làm với tiếp tuyến đường cong với trục hoành).
2. Giai đoạn 2: còn gọi là giai đoạn từ biến ổn định, biểu diễn với đoạn BC.
Giai đoạn này dài hơn nhiều so với giai đoạn một. Quan hệ giữa biến dạng và thời gian
là hàm số bậc nhất, giai đoạn này tốc độ biến dạng là hằng số và có giá trị nhỏ nhất
dt
d
min
ε
ε
=
. Tốc độ biến dạng này cũng phụ thuộc vào giá trị ứng suất ban đầu và nhiệt độ
thí nghiệm. Đối với mỗi vật liệu khi nhiệt độ thí nghiệm đã xác định thì tốc độ biến dạng
trong giai đoạn từ biến ổn định này phụ thuộc vào ứng suất. Người ta có thể chọn và biểu

diễn quan hệ giữa tốc độ biến d
ạng trong giai đoạn này như sau:

(
)
n
min
aQ
σσε
==
&
(8-1)
Hay là:
()
b
expKQ
min
σ
σε
==
&
(8-2)
Trong đó: K, n, a và b là những hệ số phụ thuộc vào vật liệu, nhiệt độ thí nghiệm.
Qua thực nghiệm người ta thấy rằng mối quan hệ hàm số (8-2) tương đôi phù hợp
với thí nghiệm nhưng việc tính toán có phần phức tạp nên sau cùng người ta thường dùng
biểu thức (8-1) để biểu diễn mối liên hệ giữa tốc độ biến dạng trong giai đoạn từ biế
n ổn
định với giá trị ứng suất không đổi trong thanh.

3. Giai đoạn 3: thời kì này tốc độ biến dạng ngày một tăng lên. Trong giai đoạn

này mẫu cũng có thể xuất hiện chổ thắt lại hoặc không có. En-đơ-rây bằng thực nghiệm
chỉ rõ rằng: Nếu thí nghiệm kéo dài mà bảo đảm ứng suất trong mẫu là hằng số suốt quá
trình thí nghiệm thì giai đoạn 3 này không xảy ra. Điều đó có nghĩa là bằng cách nào đó
ta giữ được giá trị ứng su
ất trong thanh không thay đổi trong thí nghiệm bò thì mẫu thí
nghiệm chỉ trải qua hai giai đoạn đầu. Tuy vậy việc tạo ra thí nghiệm để cho ứng suất là
hằng số suốt quá trình thí nghiệm là rất khó, thường trong quá trình thí nghiệm ta giữ cho
tải trọng tác dụng vào mẫu là hằng số, vì vậy giai đoạn ba này thường có thí nghiệm về từ
biến.
O
α

ε
0
t
D
C
B
A
ε

Hình 8.1:Đường cong từ
bi
ến

166
Như ta đã nói ớ trên hiện tượng từ biến phụ thuộc rất nhiều vào nhiệt độ làm việc
của chi tiết máy và giá trị ứng suất trong chi tiết đó. Vì vậy dạng của đường cong từ biến
đối với mỗi vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ, ứng suất trong mẫu thí nghiệm. Trên hình 8.2
biểu diễn các dạng đường cong từ biến khi giá trị ứng suất trong thanh

σ =const nhưng ở
các nhiệt độ T
n
thí nghiệm khác nhau. Những đường cong đó cho ta hình dung được ảnh
hưởng của nhiệt độ, ứng suất đến quá trình từ biến.
8.3. PHÂN TÍCH QUÁ TRÌNH TỪ BIẾN CỦA VÂT LIỆU.
Trên cơ sở những số liệu về thí nghiệm, nhiều nhà nghiên cứu về từ biến đã đưa ra
những biểu thức toán học để mô tả quá trình từ biến của vật liệu nhưng các biểu thức đã
có không hoàn toàn phù hợp với thực nghiệm. Cho đến nay người ta mới nghiên cứu
được hoàn hảo đối với giai đoạn từ biến ổn định (giai đoạn 2). Ng
ười ta cho rằng tốc độ
biến dạng từ biến trong giai đoạn hai
P
ε
&
dt
d
P
ε
=
là một hàm số đơn điệu đối với ứng suất
σ:

(
)
σ
ε
f
P
=

Như đã nêu ở trên, người ta thường sử dụng (8-1) vì nó vừa đơn giản vừa khá phù
hợp với thực nghiệm
n
P
a
σε
= .
Để dễ khảo sát chúng ta biểu diễn phương trình này trên hệ toạ độ logarit:

σ
ε
lgnalglg
P
+
=
(8-3)
Rõ ràng trong hệ trục logarit thì quan hệ giữa tốc độ biến dạng từ biến và ứng suất
là tuyến tính. Điều đó tương đối phù hợp với những số liệu thí nghiệm. Hình 8.4 biểu
diễn những đồ thị quan hệ giữa ứng suất và tốc độ biến dạng của từ biến dε
P
/dt trong hệ
toạ độ logarit theo (8-3) và những điểm thu được từ thực nghiệm bởi vì các điểm thí
nghiệm không ở cách xa quá so với những đường thẳng theo phương trình (8-3) theo lí
thuyết về thực nghiệm của quan hệ tốc độ biến dạng với ứng suất đối với thép Crôm-
Molipden.
Rõ ràng là kết quả thí nghiệm (biểu
diễn bởi những “*” tương đối phù hợp với
đường biể
u diễn lí thuyết).

Phương trình (8-1) hoặc (8-3) chỉ xác
định hoàn toàn khi các hệ số a và n được xác
định.
Hình 8.2:Những đường cong
từ biến khi ứng suất là
hằng số và nhiệt độ T
thay đổi
T
1
>T
2
>T
3
>T
4
t
T
1
T
2
T
3
T
4
ε
t
ε

σ
1

σ
2
σ
3
σ
4
Hình 8.3:Những đường cong
từ biến khi nhiệt độ T
=const
σ
1
>
σ
2
>
σ
3
>
σ
4
Hình 8.4: Quan hệ từ biến trong hệ
toạ độ logarit
5⋅10
-8
10
-7
5⋅10
-7
10
-6

5⋅10
-6
100

250

500

750

1000

lgσ

KG/cm
2
lg
ε

167
Dưới đây chúng ta trình bày phương pháp xác định các hệ số đó.
Dựa vào một loạt đường cong từ biến ở cùng một nhiệt độ xác định với giá trị ứng
suất khác nhau (như kiểu các đường cong biểu diễn như hình (8-3) của một vật liệu). Trên
cơ sở những đường cong này chúng ta tìm được những đường cong tốc độ biến dạng cực
tiểu
dt
d
P
ε
đối với các giá trị ứng suất tương ứng.

Như vậy ta xác định được những điểm trong hệ toạ độ logarit lgε
min
, lgσ (xem hình
8.5). Việc cuối cùng được tiến hành là vẽ một đường
thẳng sao cho các điểm thí nghiệm nằm lân cận đường
thẳng đó và ít nhất có hai điểm thực nghiệm trên đường
thẳng này. Gỉa sử điểm 1 và 2 trên hình 8.5.
Cách xác định các hệ số:
Với điểm 1 và 2 trong hệ trục logarit chúng ta
có các toạ độ của chúng là lgσ
1
, lgε
Pmin1
và lgσ
2
,
lgε
pmin2
.
Như vậy theo công thức (8-3), chúng ta có :
11minP
lgnalglg
σ
ε
+=

22minP
lgnalglg
σ
ε

+=
Từ hai phương trình này ta có thể xác định hằng số a và n theo các giá trị σ
1
, σ
2
,
lgε
Pmin1
, lgε
Pmin2
đã có trong bảng 8.1 giới thiệu giá trị của các hệ số đó đối với một số
thép.
Trên đây chúng ta căn bản đã trình bày sự phân tích giai đoạn từ biến ổn định.
Việc nghiên cứu từ biến ở giai đoạn đầu (từ biến không ổn định) gặp rất nhiều khó
khăn vì sự diễn biến khá phức tạp, những số liệu đ
áng tin cậy xác định giai đoạn này
chưa đủ. Một phần vì giai đoạn này thưòng xuyên
diễn ra quá ngắn so với giai đoạn 2.
Nên trên thực tế có khi được bỏ qua hoặc
thay đổi AB (trên hình 8.1) bằng đoạn thẳng kéo
dài của đoạn BC cắt trục tung ở E để sử dụng
trong việc tính toán sau này (xem hình 8.6).
Sau một thời gian làm việc của chi tiết máy
thì biến dạng toàn phần của nó là:
Bảng 8.1
Loại thép Thành phầm
hoá học %
TC Gía trị
ứng suất
n a

1
KG
CM
n2

1
2
lg
ε
P
lg
σ
Hình 8.5:
Cách xác định các hệ số
giờ
O
α
K

t
B
ε

ε

Hình 8.6:Đường cong từ
bi
ến
ε
P

ε
0
E
t
k
A

168
Thép các bon



Thép Molipden


Thép Crom-Molipden




Thép Crom -Niken

0,43C
0,68Mn
0,20Si
0,13C
0,49Mn
0,25Si
0,52Mo
0,48C

0,49Mn
0,62Si
0,52Mo
1,20Cr
0,06C
0,50Mn
0,61Si
17,75Cr
9,25Ni
427
538


427
538


427
538


538
693


1000-1690
210-630


910-1410

560-1606


1410-2110
320-1000


880-1340
560-1000
6
3,9


5,4
4,6


6,35
3,35


4,4
4,3
0,20⋅10
-23
0,14⋅10
-15


1,20⋅10

-23

0,60⋅10
-19



0,145⋅10
-28

0,175⋅10
-15


0,21⋅10
-19

0,17⋅10
-18




Pk0
t
ε
ε
ε
⋅
+

= (8-4)
Để mô tả hiện tượng từ biến có tính đến giai đoạn từ biến không ổn định nhiều nhà
nghiên cứu về từ biến đã đưa ra những biểu thức giải tích. Dưới đây là một biểu thức biểu
diễn mối liên hệ giữa ε
P
,σ, thời gian t và nhiệt độ.

QtQ
1P
+
=
ψ
ε
(8-5)
Trong đó: Q
1
và Q

là hàm số ứng suất và nhiệt độ.
ψ là hàm số đơn điệu giảm của thời gian.
Với thời gian làm việc nhỏ thì thành phần thứ hai có thể bỏ và thành phần thứ nhất
còn lại thường ứng với thời kì từ biến không ổn định. Thời gian làm việc khá lớn thì có
thể bỏ qua thành phần thứ nhất và quá trình từ biến thể hiện qua thành phần thứ hai. Và
ta thấ
y rằng mối liên hệ giữa biến dạng dẻo và thời gian trong giai đoạn hai là tuyến tính.
Hàm số Q chính là tốc độ cực tiểu của biến dạng dẻo trong giai đoạn này.
Dạng các hàm số Q, Q
1
và ψ được giới thiệu trong công trình của Malinhin.
Tuy vậy công thức (8-5) cũng khá phức tạp và cũng không thuận lợi cho việc tính

toán. Vì vậy người ta thường sử dụng biểu thức sau đây để tính toán biến dạng từ biến:
(
)
(
)
tQ
P
Ω
⋅
=
σ
ε

Ω(t) là hàm số thời gian và bằng không khi t=0.
Như đã nói ở trên, mặt khác của hiện tượng từ biến là hiện tượng dão tức là biến
dạng không đổi trong suốt quá trình làm việc của chi tiết, nhưng ứng suất trong chi tiết thì
giảm theo thời gian. Dưới tác dụng của lực dọc trong thanh xuất hiện biến dạng đàn hồi
dẻo và bằng cách đó ta giữ cho biến dạng không đổi thì ứ
ng suất trong thanh sẽ giảm theo
thời gian. Như vậy biến dạng toàn phần là không đổi:

(
)
consto
Py
=
=
+
=
ε

ε
ε
ε
(8-6)

169
Trong đó: ε
y
-Biến dạng đàn hồi;ε
P
-Biến dạng dẻo.
Trên hình 8.7 trình bày đường cong thay đổi ứng
suất theo thời gian của hiện tượng dão.
Đường cong này có tính đặc trưng cho hiện tượng
dão nói chung, nhưng tuỳ thí nghiệm cụ thể ta nhận được
những đường cong khác nhau cho từng vật liệu.
Rất nhiều chi tiết máy quan trọng làm việc trong
điều kiện nhiệt độ cao với một giá trị ứng suất tương đối
lớn, xuấ
t hiện biến dạng từ biến. Những biến dạng này
không được vượt quá một giới hạn xác định đối với mỗi
chi tiết. Bởi vì biến dạng lớn sẽ dẫn đến sự phá huỷ chi
tiết hoặc ảnh hưởng đến điều kiện kĩ thuật của chi tiết.
Cho nên khi tính toán về từ biến của một chi tiết làm
việc ở mộ
t điều kiện nào đó thì người ta cho biết sau một thời gian nhất định biến dạng
của chi tiết không được vượt quá một giới hạn nhất định.
Gía trị ứng suất sao cho biến dạng của chi tiết làm việc ở nhiệt độ đã cho không
được vượt quá một giới hạn xác định thì gọi là giới hạn từ biến theo biến dạng cho phép.
Giới hạn từ

biến đối với mỗi vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ và đại lượng biến dạng cho
phép trong khoảng thời gian làm việc của chi tiết.
Trong bảng 8.2 trình bày một vài số liệu về giá trị biến dạng cho phép [ε] đối với
một số chi tiết.


Bảng 8.2.
CHI TIẾT THỜI GIAN LÀM
VIỆC ×1000 GIỜ
[ε]
Cánh tuốc bin
Cánh tuốc bin hơi nước
Xi lanh tuốc bin hơi nước
100
100
100
0,0001
0,0003
0,001
Trong trường hợp chi tiết máy làm việc trong trạng thái ứng suất đơn thì phương
trình tính toán trong trường hợp này có dạng:
[
]
εεεε
≤+=
Pk
0
t
Nếu chúng ta xét giai đoạn từ biến không ổn định một cách gần đúng:
T

y
0
E
σ
εε
=≈
E
T
- Mô đun đàn hồi, ε
y
- Biến dạng đàn hồi được tính bằng biểu thức (8-1) và
phương trình trên viết dưới dạng ứng suất cho phép (giới hạn từ biến) ta có dạng phương
trình:

[
]
[] []
εσ
σ
=+
k
n
T
ta
E
(8-7)
Nếu bỏ qua biến dạng đàn hồi thì công thức tính toán với điều kiện từ biến là:

[]
[]

n
1
k
at
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
=≤
ε
σσ
(8-8)
Trong trường hợp biến dạng đàn hồi và biến dạng trong giai đoạn từ biến ổn định
thì chúng ta có thể tính toán từ biến từ điều kiện tốc độ biến dạng phải không được vượt
Hình 8.7:Đường cong
của hiện tượng dão
O t
σ


170
quá một giá trị nào đó. Giá trị ứng suất lớn nhất có thể đạt được trong chi tiết máy để cho
biến dạng của chi tiết máy làm việc ở nhiệt độ cho sẵn bằng giá trị tốc độ biến dạng cho
phép của từ biến ổn định.
Đối với mỗi vật liệu thì giá trị ứng suất đó phụ thuộc vào nhiệt độ và giá trị tốc độ

biến dạng cho phép của từ biến ổn định [ε
P

]. Một vài số liệu về giá trị tốc độ biến dạng
cho phép từ biến ổn định đối với một số chi tiết được giới thiệu trong bảng 8.3.

Bảng 8.3.
CHI TIẾT
[ε]/1giờ
Các tuốc bin
Các bu lông, xi lanh
Tuốc bin hơi nước
Các vùng dẫn khí
10
-9

10
-8

10
-6
-10
-10

Chung quy việc tính toán theo các giới hạn từ biến đều dẫn đến việc tính toán độ
bền của vật liệu chịu tải trọng ở một nhiệt độ nhất định phụ thuộc vào thời gian lâu dài
mà chi tiết cần làm việc.
Để đặc trưng cho nó người ta đưa ra khái niệm độ bền lâu của vật liệu. Giới hạn
độ bền lâu của vật liệu là giá trị ứ
ng suất [σ] mà chi tiết bị phá hỏng sau một thời gian
làm việc định sẵn có nhiệt độ làm việc tương ứng.
Giới hạn này phụ thuộc vào nhiệt độ và
khoảng thời gian cần thiết làm việc của mỗi chi

tiết. Nếu thời gian làm việc kéo dài và nhiệt độ
tăng lên thì giới hạn bền lâu của chi tiết giảm
xuống. Thường quan hệ giữa giới hạn
độ bền lâu
của chi tiết và thời gian phá huỷ ở nhiệt độ
tương ứng được biểu diễn trong hệ toạ độ
Logarit: lgσ và lgt.
Trên hình 8.8 biểu diễn quan hệ giữa giới
hạn độ bền lâu và thời gian. Quan hệ có thể là
đường thẳng (đường 1) hoặc đường gãy khúc.
Đường biểu diễn 1 hoặc 2 phụ thuộc vào cấu
tạo, dạng phá hỏng (giòn, dẻo, hoặc là vừa giòn
v
ừa dẻo) của vật liệu. Vấn đề này qúa phức tạp ta không xét ở đây.

8.4. PHƯƠNG PHÁP MÔ HÌNH HOÁ TRONG TỪ BIẾN
.
Tính chất cơ lí của vật liệu rất phức tạp trong quá trình chịu lực, ở môi trường
nhiệt độ lớn cũng như thời gian chịu tải kéo dài. Bởi vì trong những điều kiện đó cần tạo
tình thể của vật liệu thay đổi cả về hình dạng và cách sắp xếp. Sự thay đổi đó sẽ dẫn đến
sự thay đổi bản chất v
ật lí và cơ học của vật liệu. Quan hệ
giữa ứng suất, biến dạng, tốc độ biến dạng và thời gian biến
dạng của vật liệu trở nên khá phức tạp.
Nói chung là mỗi vật liệu có thể có những tính chất
cơ bản là đàn hồi, dẻo và chảy nhớt, những tính chất này
phụ thuộc vào tải trọng và nhiệt độ mà chi tiết đang làm
việc. Để mô tả tính chất đàn hồi của vật liệu, người ta biểu
diễn bằng một lò xo (hình 8.9) gọi là vật thể của Hooke.
lgσ

lgt
1
2
O
Hình 8.8:
Giới hạn độ bền lâu
P
P
Hình 8.9: Vật thể Hooke
(Vật thể đàn hồi)

171
Nếu xem lò xo có tính đàn hồi tuyệt đối thì tải trọng và độ dịch chuyển của lò xo tỉ lệ với
nhau. Khi tải trọng không còn nữa thì độ dịch chuyển cũng hết.
Tính chất chảy nhớt của vật liệu được diễn tả bởi vật thể của Newton (hình 8.10).
Tốc độ dịch chyển của piston tỉ lệ với lực tác dụng nhưng tỉ lệ nghị
ch với độ nhớt của
nước trong xylanh.
Tính chất chảy dẻo của vật liệu được biểu diễn bởi vật thể Xanh -vơ- năng (hình
8.11). Vật thể này được thể hiện bởi một vật rắn trượt trên một mặt phẳng khi lực kéo
thắng được lực ma sát thì vật thể chuyển động và khi bỏ tải thì vật thể không tự chạy về
vị
trí cũ được, tương tự như khái niệm biến dạng dẻo của vật liệu người ta còn gọi là vật
thể ma sát khô.
Với những vật thể cơ học này trong phương pháp mô hình hoá người ta có thể tiến
hành ghép song song, nối tiếp hoặc hỗn hợp các vật thể này để mô tả tính chất cơ học của
vật liệu, biểu diễn quan hệ giữa tải trọng, biến d
ạng, tốc độ biến dạng và thời gian khi chi
tiết làm việc ở một nhiệt độ nhất định ứng với các trạng thái ứng suất khác nhau. Dưới
đây chúng ta hãy xét một vài mô hình đơn giản nhất hiện nay.

8.5. NHỮNG MÔ HÌNH CƠ BẢN.
8.5.1. Mô hình Mác-Xoăn. Để mô tả tính chất vật liệu và quan hệ giữa các đại lượng
biến dạng, ứng suất, tốc độ biến dạng và thời gian trong trạng thái ứng suất đơn, Mác -
Xoăn đã đưa ra một mô hình đơn giản bằng cách mắc nối tiếp hai vật thể đàn hồi và chảy
nhớt (hình 8.12).
Như đã nói ở trên vật thể đàn hồi mô tả đại lượng d
ịch
chuyển các điểm đặt lực tỉ lệ với giá trị lực tương ứng:

KP
y
=
δ
(8-9)
Trong đó: δ
y
là độ dịch chuyển vật thể đàn hồi; P là lực
tác dụng vào vật thể đàn hồi. Đối với vật thể chảy nhớt thì
tốc độ dịch chuyển của điểm đặt lực tỉ lệ với lực đặt và tỉ lệ
nghịch với độ nhớt:
η
δ
P
dt
d
y
= (8-10)

d
t

d
y
δ
- Tốc độ dịch chuyển của điểm đặt lực tại vật thể
chảy nhớt (Vật thể Newton); P- Lực tác dụng vào vật thể; η-
Hệ số nhớt trong xi lanh.
Với cách mắc của Mác-Xoăn thì do dịch chuyển
khoảng cách các điểm đặt lực, δ sẽ là tổng cộng các dịch
Hình 8.10:
Vật thể Newton
P
P Lực ma sát
P
Hình 8.11:
Vật thể Xanh -vơ- năng
Hình 8.12:
Mô hình Mác-Xoăn

P
P

172
chuyển lò xo và piston trong hai vật thể đàn hồi và chảy nhớt nói trên.

by
δ
δ
δ
+
=

(8-11)
Chúng ta tiến hành vi phân phương trình (8-11) theo thời gian t, ta sẽ có:

d
t
d
d
t
d
d
t
d
b
y
δ
δ
δ
+= (8-12)
Thay (8-9) và (8-10) vào (8-12) chúng ta sẽ có :

η
δ
P
Edt
KdP
dt
d
+= (8-13)
Chúng ta chuyển từ chuyển vị sang biến dạng, từ lực sang ứng suất và thay K=1/E
(E là mô đun đàn hồi) thì (8-13) có dạng:

η
σ
σ
ε
+=
dt
d
E
1
dt
d
(8-14)
Biểu thức (8-14) là phương trình trạng thái theo mô hình Mác -Xoăn.
Chúng ta hãy xét một vài tính chất của mô hình Mác-Xoăn. Từ phương trình (8-
14) chúng ta thấy nếu ứng suất là hằng số thì biến dạng sẽ tăng với tốc độ biến dạng là
không đổi và vật liệu sẽ chảy tương tự như chất lỏng nhớt. Thật vậy nếu ứng suất không
đổi thì dσ=0 và t
ừ (8-14) chúng ta có:
η
σ
ε
=
dt
d

(8-15)
là không đổi cho mỗi vật liệu.
Vậy:
const

d
t
d
=
ε

Khi giá trị biến dạng là không đổi từ phương trình (8-14), chúng ta có :

0
dt
dP
E
1
=+
η
σ
(8-16)
Nếu ta sử dụng điều kiện ban đầu thì t=0, σ =σ
(0)
, chúng ta có:

()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛

−
⋅=
0
0
t
t
exp
σσ
(8-17)

E
t
0
η
= (8-18)
t
0
chính là giá trị thời gian mà sau thời gian đó ứng suất σ trong chi tiết sẽ giảm đi
một lượng e=2,718 lần so với giá trị ứng suất ban đầu. Và giá trị này gọi là thời gian dão
ứng suất thay đổi tính bằng biểu thức (8-17) theo thời gian sẽ tiến đến giới hạn số không.

8.5.2. Mô hình Fôi-tơ: Để mô tả tính chất vật liệu và quan hệ giữa các đại lượng biến
dạng ứng suất, tốc độ biến dạng với thời gian, Fôi- tơ đã đưa ra một mô hình biến dạng
bằng cách nối song song hai vật thể đàn hồi và chảy nhớt với nhau (hình 8.13).
Khác với mô hình của Mác-Xoăn ở chỗ, theo cách này thì dịch chuyển của hai
điểm đặt lực không phải bằng tổ
ng chuyển dịch của hai vật thể đàn hồi và chảy nhớt mà
giá trị lực tác dụng vào điểm đặt chính bằng tổng lực tác dụng lên hai vật thể đó:

By

PPP +=
Sử dụng các biểu thức (8-9) và (8-11), ta có:

173

dt
d
K
P
b
1
y
δ
η
δ
+= (8-19)
Biểu thức tương tự đối với ứng suất σ và biến dạng tỷ
đối sẽ là:
ε
η
εσ
d
dt
E +⋅=
(8-20)
Phương trình này chính là phương trình trạng thái vật
liệu theo mô hình Fôi-tơ.
Giải phương trình vi phân (8-20) với điều kiện giá trị
ứng suất là hằng số và thời điểm ban đầu t
0

=0 thì biến dạng
cũng bằng không, ε=0. Chúng ta có:

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−= t
2
E
exp1
E
σ
ε
(8-21)
Từ biểu thức (8-21) chúng ta thấy biến dạng sẽ tăng theo quy luật hàm số mũ (hình
8.14). Đường cong biểu diễn trên hình (8.14) gọi là đường cong bò (sau tác dụng). Theo
Fôi -tơ đường cong này nhận đường nằm ngang:
E
σ
ε
= làm đường tiệm cận

Nhìn vào biểu thức (8-21) chúng ta thấy rằng
khi biến dạng là hằng số ε=const thì giá trị của ứng
suất
σ
cũng là một hằng số không đổi. Như vậy biểu
thức này không mô tả được hiện tượng dão và điều
đó có nghĩa là mô hìmh của Fôi -tơ không áp dụng
cho hiện tượng dão.
Những nhà nghiên cứu về từ biến chỉ rõ rằng:
Những mô hình của Mác-Xoăn, Fôi -tơ ít phù hợp với
mô hình thí nghiệm. Những mô hình này có tính chất
mô tả, tượng trưng cho quá trình cơ học của một loại
vậ
t liệu. Vì vậy để mô tả quá trình cơ học của vật liệu
hiện nay, người ta có xu hướng ghép nhiều các vật
thể với nhau cũng có thể ghép nối tiếp hay song song
với mô hình Mác-Xoăn và Fôi -tơ. Xem các hình 8.15 và hình 8.16
Trên cơ sở cấu tạo mô hình và tính chất của các vật thể đơn giản đã biết, chúng ta
thiết lập những phương trình ban đầu đối với mỗi mô hình mới thiết lập. Từ đ
ó ta tiến
hành giải các phương trình đó để tìm các quy luật cơ học tương ứng. Thế nhưng trên
thực tế việc giải các phương trình đó gặp nhiều khó khăn về mặt toán học. Vì vậy đây
mới chỉ là phương hướng phát triển của lĩnh vực mô hình hoá nói chung và lĩnh vực từ
biến nói riêng. Cần nói thêm rằng mặc dù gặp nhiều khó khăn về mặt toán học, nhưng có
những mô hình phức tạp có thể mô tả tính chất vật liệu tương đối đúng nên đây vẫn là
phương hướng đang được nghiên cứu ngày càng nhiều cùng với sự phát triển của toán
học.
Hình 8.13:
Mô hình Fôi -tơ
P

P
Hình 8.14: Đường cong biến
dạng theo mô hình Fôi-tơ
E
σ
ε

t

174

CÂU HỎI TỰ HỌC

8.1. Thế nào là hiện tượng từ biến, hiện tượng bò và hiện tượng dão ?
8.2. Nói về quan hệ biến dạng, ứng suất với thời gian trong hiện tượng từ biến.
8.3. Cách xác định các hằng số thực nghiệm ?
8.4. Nói về các phần tử cơ bản của Hooke, Newton và Xanh -vơ -năng.
8.5. Cách mô hình hoá và các phương trình rút ra từ chúng.



Chương 9
NHỮNG LÍ THUYẾT CƠ BẢN VỀ TỪ BIẾN

9.1. KHÁI NIỆM CHUNG.
Hình 8.15:
Một loại mô hình tổ hợp
P
P
P
P
Hình 8.16:
Một loại mô hình tổ hợp

175
Để thiết lập mối quan hệ giữa biến dạng, ứng suất, tốc độ biến dạng và sự thay đổi
của chúng theo thời gian trong những trường hợp kéo (nén) đơn người ta đưa ra những lí
thuyết nhằm chọn một trong những thông số đó và đưa ra mối quan hệ toán học giữa
chúng. Những đề nghị trên được gọi là những lí thuyết về từ biến. Rõ ràng là có thể có
nhi
ều phương án để chọn một số thông số trong các thông số đó và cũng có thể đưa ra
nhiều biểu thức giải tích khác nhau để thể hiện mối liên hệ của các thông số đã chọn, cho
nên hiện nay tồn tại nhiều lí thuyết từ biến. Cũng có thể nói rằng người ta căn cứ vào
những số liệu thí nghiệm về từ biến đối với trạng thái ứng su
ất đơn (kéo hoặc nén đúng
tâm) để đưa ra mối quan hệ giữa các ứng suất, biến dạng, tốc độ biến dạng và thời gian.

Mối liên hệ đó thường gọi là phương trình trạng thái của vật thể từ biến. Đây là một bài
toán khó bởi vì hiện tượng từ biến là phức tạp và chưa được nghiên cứu đầy đủ.
Khi thiết lập quan hệ giữa ứ
ng suất, biến dạng, tốc độ biến dạng và thời gian vấn
đề trước tiên cần được giải quyết là những thông số nào được chọn và chúng có liên hệ
như thế nào trong biểu thức giữa chúng.
Trong thời đại hiện nay, tồn tại nhiều lí thuyết từ biến, nhưng tiêu chuẩn để đánh
giá sự đúng đắn những lí thuyết đó chính là là sự phụ hợp với các số
liệu thí nghiệm. Sự
kiểm tra thực nghiệm đó có thể tiến hành bằng nhiều phương pháp khác nhau. Hoặc là thí
nghiệm về từ biến hay về dão khi ứng suất thay đổi hoặc khi biến dạng thay đổi với
những số liệu lí thuyết trên cơ sở những lí thuyết từ biến đã đưa ra. Thế nhưng người ta
thấy rằng phương pháp đơn giản và chính xác hơn hết là ki
ểm tra độ bền bằng cách tiến
hành thí nghiệm về dão ứng suất là chuẩn để đánh giá bất kì lí thuyết từ biến nào.
Cần nói rằng, cho đến nay chưa có lí thuyết nào hoàn toàn phù hợp với số liệu thực
nghiệm. Dưới đây chúng ta đưa ra một số lí thuyết từ biến thường dùng.

9.2. LÍ THUYẾT HOÁ GIÀ.
Theo lí thuyết này người ta đề nghị đưa ra mối liên hệ giữa biến dạng, ứng suất và
thời gian. Lí thuyết cho rằng ở một nhiệt độ nhất định giữa các đại lượng nói trên trong
quá trình từ biến tồn tại một mối quan hệ hàm số nhất định. Theo lí thuyết này biến dạng
từ biến có thể biểu diễn bởi biểu thức toán học:

(
)
t,f
P
σ
ε

=
(9-1)
Khi kể đến thành phần biến dạng đàn hồi chung ta có:

()
t,f
E
σ
σ
ε
+= (9-2)
Hiện nay có nhiều biểu thức giải tích biểu diễn mối liên hệ giữa biến dạng dẻo, ứng
suất và thời gian. Một trong các biểu thức đó là:

(
)
(
)
tQ
P
Ω
⋅
=
σ
ε
(9-3)
Trong đó:
()
σ
Q

- Hàm ứng suất;
(
)
t
Ω
- Hàm thời gian.
Việc chọn hàm số
()
σ
Q ở dạng hàm số mũ là được sử dụng rộng rãi hơn cả:

(
)
t
n
P
Ω⋅=
σε
(9-4)
Vậy:
()
t
E
n
Ω⋅+=
σ
σ
ε
(9-5)
Trong thực tế hiện nay còn có nhiều cách biểu diễn hàm số ứng suất.

Quan hệ (9-1) còn có thể viết dưới dạng:
(
)
(
)
(
)
tQtQ
1P
σ
σ
ε
+
Ω
=
(9-6)

176
Trong đó
()
σ
1
Q cũng là hàm số ứng suất, nó có dạng giống Q(t) là hàm số thời
gian.
Một trong những phương án của lí thuyết hoá già do H.M Beleev đề ra. Mối liên hệ
đối với biến dạng dẻo khi từ biến do ông đưa ra là:
ψ
σ
ε
=

P
(9-7)
Đối với ψ là hàm số được biểu diễn bằng biểu thức:
dta
t
0
1n
∫
−
=
σ
ψ
(9-8)
Trong đó a, n là những hằng số của vật liệu phụ thuộc vào nhiệt độ và như vậy:

dta
t
0
1n
P
∫
−
=
σσε
(9-9)
Với đề nghị σ =const, chúng ta có: ta
n
P
σε
= (9-10)

Như vậy trong trường hợp sau tác dụng đơn
giản thì biến dạng là quan hệ bậc nhất của yếu tố
thời gian và tốc độ biến dạng là hằng số. Trên hình
9.1 biểu diễn quan hệ giữa biến dạng và thời gian
trong trường hợp từ biến. Đường 1 là đường cong
thực tế khi từ biến và đường 2 biểu diễn lí thuyết
theo (9-1).
Chúng ta thấy giữa lí thuyết và th
ực nghiệm
sai khác nhau rất nhiều.
Để khắc phục một phần sai lệch nói trên, H.
H.Malinhine đề nghị thay biểu thức (9-8) đối với
hàm số ψ có dạng:
()
dttB
1n
t
0
⋅=
−
∫
σσ
ψ
(9-11)
Trong đó B(t) là hàm số giảm dần về thời gian.
Chúng ta đưa biểu thức (9-11) vào biểu thức (9-7) thì nhận được mối liên hệ giữa
biến dạng dẻo phụ thuộc vào ứng suất và thời gian:

()
dttB

1n
t
0
P
⋅=
−
∫
σσε
(9-12)
Nếu để ý đến đại lượng biến dạng đàn hồi thì ta phải cộng thêm giá trị biến dạng
theo định luật Hooke nữa.
Phương trình (9-12) là phương trình tổng quát của phương trình (9-9). Đối với
trường hợp sau tác dụng đơn giản (σ =const) thì những đường cong ứng với các giá trị
ứng suất khác nhau được xác định bởi phương trình sau:

(
)
t
n
P
Ω=
σε
(9-13)
Trong đó :
() ()
dttBt
t
0
⋅=Ω
∫

(9-14)
Những đường cong theo (9-13) là đồng dạng theo lập luận của H.H. Malinhine đã
giải một loạt những bài toán từ biến ở dạng mặt cắt ngang có chu vi khép kín.
Y.N.Rabotnov đã đưa ra một trong những phương án lí thuyết hoá già. Mối liên hệ
giữa ứng suất, biến dạng và thời gian được biểu thị dưới dạng:

(
)
tf
⋅
=
ε
σ
(9-15)
Hình 9.1: Quan hệ giữa
biến dạng với thời
gian từ biến
1
2
ε
t

177
Cách giải của Y.N.Rabotnov có thể trình bày tóm tắt như sau: Dựa vào những
đường cong từ biến khi ứng suất không đổi (xem hình 9.2a) chúng ta xây dựng những
đường cong đối với t
0
, t
1
, t

n
trong hệ toạ độ σ, ε. Làm như vậy chúng ta sẽ nhận được
một loạt đường cong
()
ε
σ
σ
= được biểu diễn trên hình 9.2b.
Những đường cong này được sử dụng trong việc giải những bài toán về từ biến
cũng như những bài toán dẻo.
Y.N.Rabotnov cho hay rằng những đường cong trong hệ trục σ, ε cũng như là
những đường cong đồng dạng. Vì vậy cần xây dựng một đường và nhân tung độ của nó
với giá trị hàm số thời gian, chúng ta sẽ có những đường cong tương ứng. Đi
ều này làm
cho khối lượng của việc xây dựng các đường cong giảm đi rất nhiều. Như vậy mỗi liên hệ
(9-15) có thể biểu diễn ở dạng tích của hai hàm số biến dạng và thời gian.
(
)
(
)
t
θ
ε
ϕ
σ
×
=

Trong đó:
()

ε
ϕ
-là hàm số biến dạng;
(
)
t
θ
-là hàm số thời gian. Khi t=0 thì đường
cong σ, ε chính là biểu đồ khi kéo hoặc nén đơn giản.
Như đã nói ở trên, việc đúng đắn của lí thuyết từ biến được xác định bởi những số
liệu thí nghiệm. Một trong những phương pháp đơn giản nhất để kiểm tra là so sánh số
liệu thí nghiệm và lí thuyết trong trường hợp dão ứng suất.
Theo lí thuyết hoá già, căn cứ vào (9-4) thì những đườ
ng cong của sự dão ứng suất
được xác định từ phương trình có dạng:

()
(
)
E
0
E
t
n
σ
σ
σ
=+Ω (9-16)
Trong đó:
()

()
0
E
0
ε
σ
= độ dão ban đầu được xem là cố định trong quá trình dão ứng
suất. Từ biểu thức (9-16), chúng ta có:

() ()
()
()
n
1n
0
0
1
t0E
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=Ω×
−
σ
σ
σ

σ
σ

Từ đó chúng ta thấy rằng ứng suất σ ngày càng tiến tới 0. Bởi vì Ω là phương trình
đồng biến của thời gian.
Tương tự như vậy chúng ta có thể nhận được quy luật dão ứng suất bằng cách sử
dụng phương trình (9-12).
σ

t
t
0
=0
t
1

t
2

t
3

Hình 9.2a:
Đường cong quan hệ
ε
và t
ε
t
t
1

t
2

t
3

Hình 9.2b:
Đường cong quan hệ
σ
và t

178
Đường cong dão ứng suất có thể có được dễ dàng nếu như đã có những đường cong
từ biến ε, t ứng với những giá trị ứng suất khác nhau, lúc đó ta vẽ một đường song song
với trục hoành cách một đoạn ε(0). Những giao điểm của đường thẳng với các đường
cong đó cho ta toạ độ của các đường cong trong hệ trục ε, t.

9.3. LÍ THUYẾT CHẢY DẺO.
Những người xây dựng lí thuyết này đưa ra mối liên hệ giữa tốc độ biến dạng dẻo,
ứng suất và thời gian đối với quá trình từ biến ở một nhiệt độ xác định:

(
)
t,f
P
σ
ε
=
&

(9-17)
Một trong những biểu thức giải tích được sử dụng rộng rãi theo lí thuyết này là
dạng hàm số ứng suất:

(
)
n
P
tB
σε
=
&
(9-18)
Trong đó n là hệ số phụ thuộc vào nhiệt độ đối với mỗi loại vật liệu và:
() ()
t
d
t
d
tB Ω=
Sau giai đoạn đầu của từ biến thì có thể xem tốc độ từ biến có dạng:
n
P
a
σε
=
&

Biểu thức (9-18) được dùng rộng rãi trong các công trình của LM.Katrnov
Lí thuyết chảy dẻo theo biểu thức đó còn được gọi là lí thuyết chảy dẻo của

L.M.Katranov.
Nếu ta có tính đến biến dạng đàn hồi nữa thì tốc độ biến dạng toàn phần sẽ là:

()
n
P
tB
dt
d
E
1
σ
σ
ε
+=
&
(9-19)
Quy luật về dão ứng suất theo lí thuyết này sẽ là:

0
d
t
d
==
ε
ε
&

Bởi vì biến dạng toàn phần
cons

t
=
ε
(biến dạng không đổi, ứng suất giảm dần),
nên trên cơ sở của (9-19) chúng ta có:
()
0tB
dt
d
E
1
n
=+
σ
σ

Sau khi sử dụng lí thuyết này L.M.Katranov phát triển các phương pháp biến phân
và các phương pháp gần đúng để giải một loạt các bài toán về từ biến ổn định và không
ổn định.

9.4. LÍ THUYẾT CỦNG CỐ.
Lí thuyết củng cố lập quan hệ hàm số giữa ứng suất, biến dạng dẻo và tốc độ biến
dạng dẻo.
Một trong những biểu thức giải tích của lí thuyết củng cố là :

β
ε
σ
α=ε
P

V
P
&
(9-20)
Trong đó: α, β, v là những hằng số phụ thuộc vào nhiệt độ đối với mỗi vật liệu.
Biểu thức (9-20) là do Devier đưa ra. Cũng có khi các mối quan hệ đó sẽ được đưa
ra dưới dạng:
a
lnb
c
PP
εε
σ
⋅
=
&
(9-21)

179
Trong đó: a, b, c các hệ số này phụ thuộc vào nhiệt độ ứng suất với mỗi vật liệu; σ
sẽ bằng 0 khi a
c
PP
=⋅
εε
&
.
Tích phân (9-21) khi σ = const, chúng ta có biểu thức của đường cong từ biến:

dtd

b
P
c
P
σ
ρεε
= (9-22)
Sau khi tích phân (9-22) với điều kiện σ=0 khi t=0, chúng ta có được:

m
b
m
m
P
t
m
a
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
σ
ρε
(9-23)
Trong đó:
c1

1
m
+
=
Phương trình (9-23) biểu diễn những đường cong sau biến dạng đơn giản và những
đường cong này đồng dạng về hình học.
Để có quy luật dão ứng suất chúng ta thay ε
P
từ công thức (9-23):
(
)
P
0
EE
t
ε
σ
σ
+=
Và dựa vào công thức (9-22). Sau đó tiến hành tích phân với điều kiện ban đầu
()
0
σ
σ
= khi t=0.
Những phương trình của lí thuyết củng cố phức tạp và việc sử dụng nó vào những
bài toán từ biến gặp phải những khó khăn lớn về mặt toán học.

9.5. LÍ THUYẾT DI TRUYỀN.
Y.N.Rabotrov đưa ra biểu thức liên hệ giữa ứng suất, biến dạng và thời gian có

dạng:
() () ( )()
ετστσεϕ
dtkt
t
0
∫
−+=
(9-24)
Trong đó: ϕ(ε) là hàm số biến dạng đặc trưng bằng biểu đồ kéo đúng tâm vật liệu;
σ(t) là hàm số ứng suất phụ thuộc vào thời gian; K(t-τ) là nhân (hoặc lõi) của phương
trình tích phân; τ là biến số thời gian thay đổi từ 0 đến t.
Đối với σ(t) thì phương trình (9-24) là phương trinhg tích phân VonTer loại hai.
Biểu thức liên hệ giữa ứng suất, biến dạng và thời gian trong công thức (9-23) cho
phép mô tả hoàn toàn quá trình từ biến. Nếu thời gian t nhỏ thì biến dạng sau tác dụng
cũng nhỏ và lúc đó:
(
)
ε
ϕ
σ
=

Phương trình (9-24) diễn tả quá trình sau tác dụng, nó cho ta dạng đường cong
tương tự, dạng đương cong
()
σ
ε
ϕ
=

.
Viết lại phương trình (9-24) với σ(t):

() ( ) ( )( )
ττϕτεϕσ
dtFt
t
0
∫
−−=
(9-25)
Trong đó F(t-τ) là giải thức của k(t-τ).
Nhân k(t-τ) có thể tìm được theo phương trình thực nghiệm của hiện tượng sau tác
dụng. Đối với hiện tượng sau tác dụng (σ=const), từ phương trình (9-24) chúng ta có:

(
)
(
)
[
]
σ
+
=
ε
ϕ
tG1
(9-26)

180

Trong đó dùng kí hiệu:
() ( )
ττ
dtKtG
t
0
∫
−=

Bằng cách kiểm tra từ thực nghiệm, người ta thấy phương trình thời gian G(t) trong
biểu thức (9-26) có dạng dưới đây là phù hợp hơn cả:
(
)
β
= attG (9-27)
Trong đó: a, β là những hệ số phụ thuộc vào nhiệt độ. Như vậy chúng ta thấy đạo
hàm theo thời gian của G(t) thì sẽ bằng K(t):
(
)
(
)
tKtG
=

Khi chúng ta thừa nhận dạng của phương trình G(t) theo (9-27) thì nhân (lõi) của
phương trình tích phân ở trên K(t-τ) có dạng sau:

(
)
(

)
1
tatK
−
−=−
β
τβτ
(9-28)
Trong trường hợp dão đơn giản khi ε=const=ε(0).
Từ phương trình (9-25), chúng ta có:

(
)
(
)
[
]
(
)
[
]
0tR1t
ε
ϕ
σ
−
=

Trong đó dùng kí hiệu :
() ( )

ττ
dtFtR
t
0
∫
−=

Nếu ứng suất kéo ban đầu
(
)
(
)
[
]
00
ε
ϕ
σ
=
thì phương trình của đường cong dão ứng
suất có thể viết dưới dạng sau:
(
)
()
()
tRt
0
t
−=
σ

σ

Lí thuyết của Y.N Rabotnov được dùng rộng rãi hơn cả. Nó thể hiện nhiều mặt của
hiện tượng từ biến và tương đối phù hợp với số liệu thí nghiệm. Nhược điểm của lí thuyết
này là đòi hỏi kiến thức toán học khá nhiều và việc tính toán khá phức tạp.

9.6. SỰ DÃO ỨNG SUẤT TRONG CÁC BU LÔNG.(kéo- nén đúng tâm)
Như ta thường thấy là cần phải siết các bu lông ơ những mối nối trong các nồi hơi
để cho hơi khỏi thoát ra và sau một thời gian nhất định, lực kéo đàn hồi lúc ban đầu
không giảm xuống qua một thời hạn nào đó cho trước.
Chúng ta sử dụng những mặt bích tuyệt đối cứng (xem biến dạng rất nhỏ không
đáng kể) lúc đó biến dạng các bu lông do ứng suấ
t ban đầu xuất hiện trong nó gây ra và
giá trị biến dạng này là không đổi. Người ta cho rằng biến dạng đàn hồi khi từ biến dần
dần chuyển sang dẻo hậu quả của nó là ứng suất trong bu lông sẽ giảm đi. Thật vậy chúng
ta có:
(
)
const
E
0
E
PPy
==+=+
σ
ε
σ
εε

Lấy vi phân của phương trình này theo thời gian, chúng ta nhận được:

0
dt
d
dt
d
E
1
P
=+⋅
ε
σ

Bỏ qua giai đoạn từ biến không ổn định và biểu diễn tốc độ biến dạng từ biến trong
giai đoạn hai theo biểu thức (9-1)
n
P
a
σε
= , chúng ta tìm thấy:
0a
d
t
d
E
1
n
=+⋅
σ
σ

Hoặc là:
Eadt
d
n
−=
σ
σ

Sau khi tích phân, chúng ta được:

181

()
CEat
1n
1
1n
+=
⋅−
−
σ
(9-29)
Hằng số tích phân C được tìm từ điều kiện σ=σ(0) khi t=0.
()
[]
1n
01n
1
C
−

⋅−
=
σ

Thay giá trị C vào biểu thức (9-29) chúng ta tìm được giá trị của σ phụ thuộc vào
thời gian t:
(
)
()
[]
[]
()
1n
1
1n
t0Ea1n1
0
−
−
⋅−+
=
σ
σ
σ
(9-30)
Khi biết các đại lượng a, E đối với mỗi vật liệu ở nhiệt độ nhất định, chúng ta có
thể sử dụng công thức (9-30). Giá trị ứng suất trong bu lông sau một thời gian nào đó và
căn cứ vào sự giảm ứng suất thời gian đó để tiến hành siết chặt thêm bu lông để cho giá
trị ứng suất trong bu lông không ít hơn giá trị ứng suất cần thiết phải có.
Bởi vì chúng ta quan niệ

m các mặt bích là không biến đổi và khi tính toán chúng ta
đã bỏ qua giai đoạn từ biến không ổn định của bu lông nên lời giải chỉ có tính chất gần
đúng.

9.7. XOẮN THANH TRÒN.
Trong phần này chúng ta nghiên cứu hiện tượng từ biến ổn định đối với một thanh
tròn chịu xoắn bởi một mô men M. Bài toán này được xét trong các công trình của N.M.
Beleeb, L.M.Katranov, N.N. Malinhine.
Chúng ta cho rằng giả thiết về mặt cắt phẳng trong bài
toán xoắn ở miền đàn hồi vẫn còn đúng với bài toán xoắn
thanh tròn trong điều kiện từ biến.
Trong trường hợp này biến dạng góc γ (xem hình 6.8,
chương 6) trên khoảng cách r kể từ tâm s
ẽ bằng
θ
γ
⋅
=
r
(xem hình 9.3), θ là góc xoay tỉ đối.
Lúc này tốc độ biến dạng góc là:
dt
d
r
dt
d
θ
γ
γ
==

&

Bỏ qua giai đoạn từ biến không ổn định chúng ta cho
rằng tốc độ biến dạng trong giai đoạn từ biến ổn định sẽ là:

n
r
a
τγ
=
&
(9-31)
Chú ý những giá trị của các hệ số a, n khác với những giá trị trong các biểu thức
n
P
a
σε
= (trong kéo nén đúng tâm).
Từ các biểu thức của γ chúng ta có được:
dt
d
ra
n
θ
τ
=
Vậy :
n
1
n

1
r
dt
d
a
1
⋅
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
θ
γ

Chúng ta kí hiệu:
n
1
dt
d
a
1
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡

θ
⋅=φ
&
(9-32)
Biểu thức để tính giá tri ứng suất tiếp τ được tính:
Hình 9.3: Xác
đ
ịnh
γ
x
y
r
τ
r
R

182

n
1
r⋅φ=γ
&
(9-33)
Điều kiện cân bằng nội lực và ngoại lực với bài toán xoắn là:

drr2M
R
0
2
τπ

∫
=
(9-34)
Chúng ta đưa giá trị τ theo biểu thức (9-33) vào (9-34), chúng ta có:

drr2M
R
0
n
1
2
∫
+
πφ=
(9-35)
Chúng ta kí hiệu:
(
)
n
n
1n3
R
0
n
1
2
JR
1n3
n2
drr2 =⋅

+
π
=πφ
+
+
∫

Trên cơ sơ (9-35), chúng ta có:
n
J
M
=φ (9-36)
Đưa đại lượng φ này vào công thức (9-33), chúng ta có:

n
1
n
r
J
M
⋅=
τ
(9-37)
Như đã thấy từ công thức (9-37) sự phân bố ứng suất tiếp trên mặt cắt của trục tròn
trong điều kiện từ biến là không tuyến tính như trong bài toán đàn hồi. Hậu quả của hiện
tượng từ biến là làm cho sự phân bố ứng suất trên mặt cắt ngang được đều đặn hơn (hình
9.4).
Dựa theo công thức (9-32) và (9-36) có thể xác
định tốc độ biến dạng góc xo
ắn tương đối của trục là:

n
n
1
J
M
dt
d
a
1
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
θ
⋅
n
n
J
M
a
dt
d
⎟
⎟
⎠
⎞

⎜
⎜
⎝
⎛
=
θ
=θ
&

Sau khi tích phân theo t chúng ta nhận được biểu
thức tính toán đối với góc xoắn tương đối:

Ct
J
M
a
n
n
+⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=θ

Hằng số C đươc tìm từ điều kiện: θ=θ

đàn hồi
=
P
GJ
M
, khi t=0
t
J
M
a
GJ
M
n
nP
⋅
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
θ

Như vậy góc xoắn tương đối của trục tăng dần theo thời gian.
Để xét hiện tượng từ biến không ổn định của thanh tròn xoắn bởi mô men xoắn
không đổi cần phải thay biểu thức (9-31) đối với tốc độ biến dạng bằng biểu thức tương
đương (9-9), lúc đó chúng ta có:

()
θτ
τ
rtB
dt
d
Q
1
n
=+⋅
Hình 9.4: Phân bố ứng
suất theo bán kính
r
τ

τ
đàn
hồi
τ
từ biến


183
Trong đó θ là một hàm số thời gian chưa biết.
Bổ sung vào phương trình đó điều kiện (9-34), chúng ta sẽ nhận được những
phương trình cần thiết để xác định τ và θ khi từ biến không ổn định. Bài toán này có thể
giải bằng số.
9.8. BÀI TOÁN UỐN.
Chúng ta hãy xét hiện tượng từ biến ổn định đối với
những dầm chịu uốn mà mặt cắt ngang của chúng có hai

trục đối xứng. Mô men uốn tác dụng trong mặt phẳng yz
(xem hình 9.5).
Trong những dầm mà chiều dài của nó lớn hơn các
chiều dài khác của mặt cắt ngang rất nhiều thì ứng suất
tiếp xuất hiện trong dầm rất nhỏ có thể bỏ qua được so
với giá trị
ứng suất pháp do mô men uốn gây nên. Điều
này cũng giống như trong các bài toán uốn trong lĩnh vực
đàn hồi.
Khi tính toán giai đoạn từ biến ổn định, người ta thừa nhận rằng qua một giai đoạn
nào đó sau khi chịu tải, tốc độ biến dạng và ứng suất không thay đổi.
Chúng ta kí hiệu chiều rộng của mặt cắt ngang b(y), chiều cao tối đa là 2h. Chúng
ta hãy xét trường hợp uốn thu
ần tuý. Giả thiết về mặt cắt phẳng vẫn được sử dụng trong
bài toán từ biến (
Điều này được kiểm nghiệm bởi những số liệu về thực nghiệm).
Trên cơ sở của giả thiết này, biến dạng tỉ đối của thớ dọc cách lớp trung hoà một
đoạn là y được tính bởi:
ρ
=ε
y

ρ là bán kính cong của trục dầm.
Khi quy luật từ biến trong thời kì ổn định, chúng ta sử dụng dạng sau đây:
n
P
aσ=ε
Bỏ qua phần biến dạng đàn hồi, chúng ta có:

⎟

⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
ρ
σ
1
dt
d
ya
n

Từ đây:
n
1
1
dt
d
a
1
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅=
ρ
σ

Chúng ta kí hiệu:
n
1
1
dt
d
a
1
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞

⎜
⎜
⎝
⎛
ρ
⋅=φ (9-38)
Biểu thức đối với ứng suất σ chúng ta viết dưới dạng:

n
1
yφ=σ (9-39)
Từ điều kiện cân bằng mô men nội lực và ngoại lực chúng ta có:

dyy)y(b2ydy)y(b2M
h
0
n
1
1
h
0
∫∫
+
φ=σ=
(9-40)
Chúng ta kí hiệu:
dyy)y(b2J
n
1
1

h
0
n
+
∫
=

Hình 9.5: Mặt cắt
ngang khi uốn
b(y
)
2h
x
y
z

184
Cuối cùng có:
n
J
M
=φ (9-41)
Biểu thức (9-39) bây giờ được viết dưới dạng mới nhờ (9-41):

n
1
n
y
J
M

⋅=
σ
(9-42)
Từ (9-42) chúng ta thấy sự phân bố ứng suất pháp theo chiều cao của mặt cắt theo
quy luật phi tuyến (xem hình 9.6).
Đối với mặt cắt ngang là hình chữ nhật có bề rộng là b và chiều cao là 2h:

n
1n2
h
1n2
nb2
dyyb2J
h
0
n
1
1
n
+
×
+
==
∫
+

Trên cơ sở (9-42), chúng ta có:

n
1n2

n
1
h
y
nb2
1n2
+
⋅
+
=σ
(9-43)
Ứng suất pháp cực đại khi từ biến đối với trường
hợp trục uốn của dầm có mặt cắt hình chữ nhật là:


()
22
h2b
M6
n3
1n2
bh
M
n2
1n2
⋅
+
=⋅
+
=

σ
(9-44)
Bởi vì n>1 nên ứng suất cực đại nhỏ hơn
6M/b(2h)
2
là giá trị ứng suất trong trường hợp đàn hồi
với các điều kiện tương tự.
Bây giờ chúng ta tiến hành xác định độ võng của
dầm. Đối với độ võng của dầm chúng ta sử dụng biểu thức gần đúng:
2
2
dz
yd1
=
ρ

Lấy vi phân theo thời gian, chúng ta viết:

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜

⎜
⎝
⎛
ρ dt
dy
dz
d1
dt
d
2
2
(9-45)
Từ phương trinh (9-38) và (9-41), chúng ta có:

n
n
J
M
a
1
dt
d
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛

=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ρ

Đưa biểu thức này vào (9-45), chúng ta có:

n
n
2
2
J
M
a
dt
dy
dz
d
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜

⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅ (9-46)
Phương trình (9-46) cho phép xác định tốc độ phát triển độ võng và từ đó có thể
tính được độ võng khi từ biến ổn định cũng như giá trị của nó sau khoảng thời gian t nào
đó. Để có độ võng toàn bộ cần phải bổ sung vào đó đại lượng võng đàn hồi.
Khi uốn thuần tuý thì M=const cho nên tích phân (9-46) theo z chúng ta có:

21
2
n
n
CzC
2
z
J
M
d
dt
dy
++⋅
⎟
⎟

⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
= (9-47)
Hình 9.6: Sự phân bố
ứng suất pháp theo
chiều cao của mặt cắt
theo quy luật phi tuyến
y
σ
σ
th
σ
dh

185
Trong đó C
1
và C
2
là những hằng số tích phân. Những điều kiện biên của chúng là:

0
dt
dy
=
khi z=0

0
dt
dy
dz
d
dt
dy
dt
d
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
khi
2
l
z =
Trong đó: l-là chiều dài của dầm.
C

1
và C
2
theo những điều kiện trên sẽ có những giá trị sau:
n
n
1
J
M
2
al
C
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−= ; C
2
=0
Tích phân biểu thức (9-47) và thay các hằng số vào, chúng ta sẽ xác định được độ
võng theo thời gian t. Độ võng lớn nhất khi:

3
n
n
2

max
Ct
J
M
a
8
l
y +
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−=
(9-48)
Hằng số C
3
thể hiện giá trị độ võng đàn hồi khi t=0. Do đó độ võng lớn nhất sau
thời gian t sẽ là:
t
J
M
a
8
l
EJ8
Ml

y
n
n
22
max
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−= (9-49)
Đối với những dầm chịu uốn bởi lực thẳng góc với trục thanh thì mô men M là hàm
số của l. Đưa giá trị mô men vào phương trình (9-46) tích phân xác định các hằng số tích
phân từ những điều kiện biên và lúc đó có thể nhận được các biểu thức tính độ võng của
dầm trong những trường hợp khác nhau. Ví như đối với dầm đặt trên hai gối tự
a tự do và
chịu tải trọng là lực tập trung P đặt tại giữa dầm (
z
2
P
M = ), thì độ võng cực đại sau thời
gian t là:
()
t
J
P
22n

al
EJ48
Pl
y
n
n
n
)1n(2
2n3
max
⋅
+
−−=
+
+

Tương tự như vậy chúng ta có thể nhận được những giá trị độ võng đối với các
dầm có những liên kết khác nhau và chịu tải khác nhau.

9.9. TỪ BIẾN CỦA CÁNH TUỐC BIN.
Chúng ta xét hiện tượng từ biến của cánh tuốc bin có mặt cắt thay đổi chịu lực li
tâm (xem hình 9.7). Bài toán này được V.I. Pozenly nghiên cứu. Từ biến cánh tuốc bin có
kể đến sự uốn được N.N. Malinhine nghiên cứu.
Để đặt trưng cho quy luật từ biến, người ta sử
dụng biểu thức (9-18):
()
n
tB
σε
=

&

Kí hiệu V là dịch chuyển của một phân tử của
cánh tuốc bin theo phương z, lúc đó có thể viết:

()
n
P
tB
dz
dV
σε
==
&
(9-50)
Và từ đó ta có :

() ()
ξσ
dztBV
z
0
n
∫
=
(9-51)
Ở đây ξ là biến số tích phân.
Hình 9.7:Đầu cánh tuốc
bin
a

b
dz
z
P
Tâm
q
ua
y


186
Ta tích phân (9-51) theo thời gian, chúng ta có biểu thức đối với độ dịch chuyển là:

() ()
ξσ
dztV
z
0
n
∫
Ω=
(9-52)
Phương trình cân bằng của phân tử cánh dz có dạng:

() ()
dzza
g
FPd
2
+−=

ω
γ
σ
(9-53)
Trong đó: F=F(z) là diện tích của mặt cắt thay đổi; a-là khoảng cách của mép trong
cánh tuốc bin đến trục quay (xem hình 9.7); z- là khoảng cách ở mặt đang tính đến mép
trong; ω-là tốc độ góc; γ/g- là khối lượng của vật thể.
Trên cơ sở công thức (9-53) chúng ta tính ứng suất gần điểm đặt lực ly tâm P:

()( )
ξξξ
ωγ
σ
daF
FgF
P
l
o
2
+⋅+=
∫
(9-54)
Thay biểu thức (9-54) vào (9-52) chúng ta có biểu thức đối với chuyển vị. Chuyển
vị của cánh tuốc bin sẽ là:
() ()
()
ξ
ξω
γ
d

F
J
g
P
tlV
n
l
0
2
∫
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
Ω=
(9-55)
Trong đó kí hiệu:
() ()( )
ξξξξ
daFJ
l

z
+=
∫

Đối với trường hợp cánh tuốc bin có mặt cắt đối xứng thì công thức (9-55) sẽ rất
đơn giản.

CÂU HỎI TỰ HỌC
9.1. Giới thiệu tóm tắt các thuyết cơ bản về từ biến.
9.2. Sự khác nhau của các thuyết từ biến đã biết ?
9.3. Bài toán kéo (nén) đúng tâm.
9.4. Bài toán xoắn.
9.5. Bài toán uốn.
9.6. Bài toán đối với cánh tuốc bin.
9.7. Sự khác nhau về phân bố ứng suất trong đàn hồi và từ biến. Nhận xét ?


E