One-Sample Estimation Problems (TOÁN)

Chương 6:
One-Sample
Estimation Problems
Giảng viên: Nguyễn Phương
Contents
Introduction
Point Estimation
Interval Estimation
Single Sample: Estimating the Mean
Single Sample: Estimating a Proportion
Introduction

Cho biến ngẫu nhiên X có thể biết
hoặc chưa biết quy luật phân phối xác
suất và chưa biết tham số
θ
nào đó của
nó. Hãy ước lượng
θ
bằng phương pháp
mẫu.

Vì θ là một hằng số nên ta có thể dùng
một con số nào đó để ước lượng θ. Ước
lượng như vậy gọi là ước lượng điểm.

Ngoài ra, người ta còn dùng ước lượng
khoảng, tức chỉ ra một khoảng số
nào đó có thể chứa θ.
1 2
( ; )

θ θ
Point Estimation

Definition: Thống kê được gọi là ước
lượng không chệch của tham số nếu


Example : Chứng minh rằng là một ước
lượng không chệch của tham số µ

Solution:
$
θ
θ
$
( )
E
θ θ
=
X
1 2
1 2
...
( )
1
( ) ( ) ... ( )
1
n
n
X X X

E X E
n
E X E X E X
n
n
n
µ µ
+ + +
 
=
 
 
= + + +
= =
Point Estimation
Example : Chứng minh rằng S
2
là một
ước lượng không chệch của tham số
Solution:
2
σ
2
2
1 1
2 2
1 1
2 2
1
( ) ( ) ( )

( ) 2( ) ( ) ( )
( ) ( )
n n
i i
i i
n n
i i
i i
n
i
i
X X X X
X X X n X
X n X
µ µ
µ µ µ µ
µ µ
= =
= =
=
 
− = − − −
 
= − − − − + −
= − − −
∑ ∑
∑ ∑
∑
Point Estimation
Mặt khác,

2 2
1
2 2
1
2 2
1
1
( ) ( )
1
1
( ) ( )
1
1
1
i
n
i
i
n
i
i
n
X
X
i
E S E X X
n
E X nE X
n
n

n
µ µ
σ σ
=
=
=
 
= −
 
−
 
 
= − − −
 
−
 
 
= −
 
−
 
∑
∑
∑
2 2
/
X
n
σ σ
=

2 2 2
,
i
X
X
i
σ σ σ
= ∀ =
và
nên
2 2
( )E S
σ
=
Point Estimation
Lưu ý:
+ Kỳ vọng mẫu là ước lượng không chệch
của kỳ vọng tổng thể µ
+ Phương sai mẫu hiệu chỉnh S
2
là ướclượng
không chệch của phương sai tổng thể
+ Tỷ lệ mẫu F là ước lượng không chệch của
tỷ lệ tổng thể p.
X
2
σ
Point Estimation
Example: Khảo sát khối lượng của một
loại sản phẩm, người ta quan sát một mẫu

và có kết quả sau:
x(g) 11-15 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39
Số sp 8 9 20 16 16 13 18
Những sản phẩm có khối lượng từ 19 gam trở
xuống được xếp vào loại B. Hãy ước lượng khối
lượng trung bình, phương sai của khối lượng trung
bình và tỉ lệ các sản phẩm loại B.
Point Estimation
Solution: Trước hết ta thay các khoảng a-
b, bằng giá trị trung bình của hai đầu mút
(a+b)/2
x
i
13 17 21 25 29 33 37
n
i
8 9 20 16 16 13 18
Ta có:
2
100; 2636; 75028
i i i i
n n x n x= = =
∑ ∑
Trung bình mẫu:
2636
26.36( )
100
i i
n x
x gam

n
= = =
∑
Point Estimation
Phương sai mẫu hiệu chỉnh:
+ Tỷ lệ mẫu các sp loại B là
+ Ước lượng điểm của khối lượng trung
bình sản phẩm là 26.36 (gam)
2 2 2
2 2
1
( )
1
1
(75028 100 26.36 ) 55.9903( )
99
i i
s n x n x
n
gam
 
= −
 
−
 
= − × =
∑
8 9
0.17
100

f
+
= =
Point Estimation
+ Ước lượng điểm của phương sai của khối
lượng sản phẩm là
+ Ước lượng điểm của tỷ lệ sản phẩm loại
B là 0.17 hay 17%
Nếu và là hai ước lượng không chệch
của tham số của cùng một tổng thể,
chúng ta sẽ chọn ước lượng mà phân phối
mẫu của nó có phương sai nhỏ hơn. Vì
vậy, nếu , chúng ta nói ước lượng

hiệu quả hơn .
2
55.9903( )gam
µ
1
θ
µ
2
θ
θ
µ
µ
1 2
2 2
θ θ
σ σ

<
µ
1
θ
θ
µ
2
θ
Definition 9.2: Nếu chúng ta xem xét tất
cả các ước lượng không chệch của tham số

thì ước lượng có phương sai nhỏ nhất
được gọi là ước lượng hiệu quả nhất của .

θ
θ
Point Estimation
Bài toán: Xét tổng thể có tham số θ chưa
biết. Với cho trước, và mẫu ,
ta cần tìm các thống kê
và sao cho
Khi đó, khoảng , được tính từ
mẫu , được gọi là khoảng tin cậy ;
được gọi là độ tin cậy
Interval Estimation
1
α
−
1 2
( , ,..., )

n
X X X
µ µ
1 1 1 2
( , ,..., )
n
X X X
θ θ
=
µ µ
2 2 1 2
( , ,..., )
n
X X X
θ θ
=
µ
µ
1 2
( ) 1P
θ θ θ α
< < = −
$ $
1 2
θ θ θ
< <
100(1 )%
α
−
1

α
−
Với mẫu cụ thể , tương ứng
nhận giá trị cụ thể là . Khi đó, khoảng
được gọi là một khoảng ước
lượng của θ với độ tin cậy .
Với là ước lượng không chệch của .
+ Ước lượng khoảng đối xứng của θ với độ
tin cậy có dạng với ,
sao cho
Interval Estimation
1 2
( , ,..., )
n
x x x
µ
µ
1 2
,
θ θ
1 2
,t t
1 2 1 2
( , ) ( )t t t t
θ
< <
1
α
−
$

θ
θ
1
α
−
$ $
( ; )
θ ε θ ε
− +
0
ε
>
$ $
( ) 1P
θ ε θ θ ε α
− < < + = −