Bài toán đặt không chỉnh

▼ô❝ ❧ô❝
▼ô❝ ❧ô❝ ✵
❈❤➢➡♥❣ ✶✳ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tö ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ✻
✶✳✶✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻
✶✳✶✳✶✳ ❑❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✈Ò ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻
✶✳✶✳✷✳ ❱Ý ❞ô ✈Ò ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼
✶✳✷✳ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾
✶✳✷✳✶✳ ❚♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾
✶✳✷✳✷✳ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈í✐ t♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸
❈❤➢➡♥❣ ✷✳ ❍✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✶✻
✷✳✶✳ ❍✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tö tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣ t♦➳♥ tö ♥❤✐Ô✉
➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻
✷✳✶✳✶✳ ❙ù ❤é✐ tô ❝ñ❛ ♥❣❤✐Ö♠ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻
✷✳✶✳✷✳ ❚è❝ ➤é ❤é✐ tô ❝ñ❛ ♥❣❤✐Ö♠ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵
✷✳✷✳ ❍✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tö ✈í✐ t♦➳♥ tö ♥❤✐Ô✉ ❦❤➠♥❣ ➤➡♥
➤✐Ö✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✷
✷✳✷✳✶✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✷
✷✳✷✳✷✳ ❙ù ❤é✐ tô ❝ñ❛ ♥❣❤✐Ö♠ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸
✷✳✸✳ ❱Ý ❞ô sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✺
❑Õt ❧✉❐♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✼
❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✽
✵
❚ã♠ t➽t ❝➠♥❣ tr×♥❤
❳Ðt ♠ét ❜➭✐ t♦➳♥ ë ❞➵♥❣ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tö A(x) = f✱ ë ➤➞② A : X −→
X
∗
❧➭ ♠ét t♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉✱ h✲❧✐➟♥ tô❝ tõ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤➯♥ ①➵ t❤ù❝
X ✈➭♦ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❧✐➟♥ ❤î♣ X
∗
❝ñ❛ X✱ f ❧➭ ♣❤➬♥ tö t❤✉é❝ X
∗

✳ ◆Õ✉ t♦➳♥ tö A
❦❤➠♥❣ ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ➤Ò✉ ❤♦➷❝ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ♠➵♥❤ t❤× ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥
tö A(x) = f ♥ã✐ ❝❤✉♥❣ ❧➭ ♠ét ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤✳ ❚r♦♥❣ ➤Ò t➭✐ ♥➭②
❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tö ➤➷t ❦❤➠♥❣
❝❤Ø♥❤ A(x) = f tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣ t♦➳♥ tö ♥❤✐Ô✉ A
h
: X −→ X
∗
➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✈➭
❦❤➠♥❣ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ t❤♦➯ ♠➲♥ ||A(x) − A
h
(x)|| ≤ hg(||x||) tr♦♥❣ ➤ã g(t) ❧➭ ♠ét
❤➭♠ ❧✐➟♥ tô❝✱ ❦❤➠♥❣ ➞♠✱ ❣✐í✐ ♥é✐✱ ∀t > 0. ❈❤ó♥❣ t➠✐ ❝ò♥❣ ➤➢❛ r❛ ♠ét ✈Ý ❞ô
sè ♠✐♥❤ ❤♦➵✱ ❝❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t❤ù❝ ♥❣❤✐Ö♠ ➤➢î❝ ✈✐Õt ❜➺♥❣ ♥❣➠♥ ♥❣÷ ▼❆❚▲❆❇✳
✶
ở
t ề t ủ tự tễ ọ ệ tớ t
t ỉ s t ĩ r ĩ t ữ
ệ t ổ ỏ tồ t ệ ệ t
ệ ụ tộ tụ ữ ệ tí
ổ ị ủ t t ỉ ệ số ủ ó ó
ý ột s số ỏ tr ữ ệ ủ t ó tể ế ột
s số t ỳ tr ờ
r ề t ú t ứ t t ỉ ớ
trì t tử
Ax = f,

tr ó A : X X

ột t tử ệ trị h tụ

ts từ X ợ X

ủ
X ể t t sử ụ ữ ổ ị
s s số ủ ữ ệ ỏ tì ệ ỉ tì ợ
ớ ệ ú ủ t t t
r ệ ỉ ổ tế ể từ ó ý tết t
t ỉ ợ t trể ết sứ s ộ ó t ở ết
t tự tế ộ ủ ế ủ ự ệ
ệ ỉ trì t tử tr rt tự H ự
tr ệ tì tử ự tể x
h,

ủ ế
F
h,

(x) = A
h
(x) f


2
+ x x


2


tr ó > 0 t số ệ ỉ ụ tộ h x

tử
trớ ó trò t ọ (A
h
, f

) ỉ ủ (A, f)
ề ợ qết ở tì tử ự tể ủ ế
ọ t số ệ ỉ = (h, ) tí ợ ể tử ự
tể x
h,
(h,)
tớ ệ í ủ t h tớ

ệ tì tử ự tể ủ ế sẽ ề ó
tr trờ ợ t tế ố ớ ớ t tế ớ
t tử ệ A : X X

rr r ột ủ
ệ ỉ tở ủ ế ủ
rr ề t sử ụ ột t tử M : X X

ó tí t h
tụ ệ t ệ ỉ U
s
ố tổ
qt ủ X ột t tử ó tí t
r ứ trì ệ ỉ
A
h

(x) + U
s
(x x

) = f


t A
h
: X X

t tử ệ
ệ ọ t số ệ ỉ = () tí ợ trì ệ
ỉ A
h
A ợ ứ tr ở ó ờ t ỉ r
r t số ụ tộ ợ ở tứ
() =

K
p
, 0 < p < 1,

K 1,
ớ () = x


P trì ệ ỉ ù ọ t số
= () tr ột tt t ệ ỉ trì
t tử ỉ ễ ờ ứ ệ

ọ trị ủ t số ệ ỉ t í ộ ệ s rộ tr
sở trì
() =
p

q
, 0 < p q

t ét trì ệ ỉ tr trờ ợ A
h
A
r trờ ợ t tử ễ A
h
ệ tì trì
ó tể ợ ó sts ự ệ ệ
ỉ x


tr sở t t tứ ế tì x


X s

A
h
(x


) + U
s

(x


x

) f

, x x


+ g(||x


||)||x x


|| 0,
x X,

ở h = (h, )
ụ í ủ ề t trì ổ ị
trì t ệ tr trờ ợ t tử ễ ệ
ệ ớ ộ s
rì ệ ỉ rr ệ ỉ
trì t tử ệ tr tự X
sự ộ tụ ủ ệ ệ ỉ tố ộ ộ tụ ủ ệ
ệ ỉ ứ ớ t số ệ ỉ ọ t ệ
r ột í ụ số ọ
ộ ủ ề t ợ trì tr ớ tệ
ột số ế tứ t ề t t ỉ trì

t tử ệ
r sẽ trì ệ ỉ
trì t tử ệ ớ t tử ễ ệ
ệ ồ tờ tố ộ ộ tụ ủ ệ ệ ỉ ở
ố ủ ột ết q số ó tí t
tỏ ò ết t s s tớ s ễ ị
ủ t tì ớ ỉ tr sốt q trì tự ệ
ề t
ử ờ t tớ t tr
trờ ọ ọ ữ ờ t tì

tr❛♥❣ ❜Þ ❝❤♦ ❡♠ ♥❤✐Ò✉ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥ tr♦♥❣ s✉èt t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❡♠ ❤ä❝ t❐♣ t➵✐
tr➢ê♥❣✳
❊♠ ①✐♥ ❣ö✐ ❧ê✐ ❝➯♠ ➡♥ tí✐ ❝❤Þ ❱ò ❚❤Þ ◆❣ä❝ ♥❣✉②➟♥ s✐♥❤ ✈✐➟♥ ❧í♣ ❈◆ ❚♦➳♥
❑✹ ➤➲ ❣✐ó♣ ➤ì ❡♠ r✃t ♥❤✐Ò✉ tr♦♥❣ t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❡♠ ❧➭♠ ➤Ò t➭✐✳
❈✉è✐ ❝ï♥❣ t➠✐ ①✐♥ ❣ö✐ ❧ê✐ ❝➯♠ ➡♥ ➤Õ♥ ❣✐❛ ➤×♥❤✱ ❜➵♥ ❜❒ ➤➲ ➤é♥❣ ✈✐➟♥ ✈➭ ❝æ
✈ò t➠✐ r✃t ♥❤✐Ò✉ tr♦♥❣ s✉èt t❤ê✐ ❣✐❛♥ ✈õ❛ q✉❛✳
❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ t❤➳♥❣ ✻ ♥➝♠ ✷✵✶✵
❙✐♥❤ ✈✐➟♥
❉➢➡♥❣ ❚❤Þ ❱✐Öt ❆♥
✺

P trì t tử t ỉ
t t ỉ
ệ ề t t ỉ
ú t trì ệ ề t t ỉ tr sở ét
ột t ở trì t tử
A(x) = f,
ở A : X Y ột t tử từ X
Y f tử tộ Y ột ị ĩ ủ r

ị ĩ A ột t tử từ X Y
t ợ ọ t t ỉ s ế
trì A(x) = f ó ệ ớ ọ f Y
ệ t
ệ ụ tộ tụ ữ ệ
ế ít t ột tr ề ệ tr t tì t
ợ ọ t t ỉ s ố ớ t
tế tì ề ệ tứ t ết
t tế ề t t ỉ ữ ề ệ ố ù
ũ ó tự ệ ợ ì t ó ị ĩ s
ị ĩ A ột t tử từ X Y
t ợ ọ t t ỉ ế ệ ủ
trì ụ tộ tụ ữ ệ

t tì ệ x ụ tộ ữ ệ f ĩ x = R(f) ợ
ọ ổ ị tr (X, Y ) ế ớ ỗ > 0 tồ t ột số
() > 0 s từ
Y
(f
1
, f
2
) () t
X
(x
1
, x
2
) ở

x
i
= R(f
i
), x
i
X, f
i
Y, i = 1, 2.
ú ý ột t ó tể t ỉ tr
t ỉ tr
r ề ứ ụ tì ế ủ tờ ợ ở
ĩ t trị í f t ỉ ết ỉ f

ủ ó t
f

f sử x

ệ ủ ớ f t ở f

tết r
ệ tồ t 0 tì f

f ớ t t ỉ
tì x

ó ộ tụ ế x
í ụ ề t t ỉ
ột số í ụ ề t t ỉ

í ụ ét trì tí r

b
a
K(x, s)(s)ds = f
0
(x), x [a, b],
ở ệ ột (x) ế f
0
(x) ột trớ K(x, s)
ủ tí tết K(x, s) ù ớ
K(x, s)
x
tụ tr
ì [a, b] ì [a, b] ét trờ ợ s
rờ ợ
A : C[a, b] L
2
[a, b]
(x) f
0
(x) =

b
a
K(x, s)(s)ds.
ự t ổ ủ ế ợ ộ ệ tr L
2
[a, b] tứ
ữ f

0
(x) f
1
(x) tr L
2
[a, b] ợ ở

L
2
[a,b]
(f
0
, f
1
) =


b
a
|f
0
(x) f
1
(x)|
2
dx

1
2
.

●✐➯ sö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✭✶✳✷✮ ❝ã ♥❣❤✐Ö♠ ❧➭ ϕ
0
(x)✳ ❑❤✐ ➤ã ✈í✐ ✈Õ ♣❤➯✐
f
1
(x) = f
0
(x) + N

b
a
K(x, s)sin(ωs)ds
t❤× ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ♥➭② ❝ã ♥❣❤✐Ö♠
ϕ
1
(x) = ϕ
0
(x) + Nsin(ωx).
❱í✐ N ❜✃t ❦× ✈➭ ω ➤ñ ❧í♥ t❤× ❦❤♦➯♥❣ ❝➳❝❤ ❣✐÷❛ ❤❛✐ ❤➭♠ f
0
✈➭ f
1
tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣
❣✐❛♥ L
2
[a, b] ❧➭
ρ
L
2

[a,b]
(f
0
, f
1
) = |N|


b
a


b
a
K(x, s)sin(ωs)ds

2
dx

1
2
❝ã t❤Ó ❧➭♠ ♥❤á t✉ú ý✳ ❚❤❐t ✈❐②✱ ➤➷t
K
max
= max
x∈[a,b],s∈[a,b]
|K(x, s)|,
t❛ tÝ♥❤ ➤➢î❝
ρ
L

2
[a,b]
(f
0
, f
1
) ≤ |N|


d
c

K
max
1
ω
cos(ωs)


b
a

2
dx

1
2
≤
|N|K
max

c
0
ω
,
ë ➤➞② c
0
❧➭ ♠ét ❤➺♥❣ sè ❞➢➡♥❣✳ ❚❛ ❝❤ä♥ N ✈➭ ω ❧í♥ t✉ú ý ♥❤➢♥❣
N
ω
❧➵✐ ♥❤á✳
❚r♦♥❣ ❦❤✐ ➤ã
ρ
C[a,b]
(ϕ
0
, ϕ
1
) = max
x∈[a,b]
|ϕ
0
(x) − ϕ
1
(x)| = |N|
❝ã t❤Ó ❧í♥ ❜✃t ❦×✳
• ❚r➢ê♥❣ ❤î♣ ✷
A : L
2
[a, b] → L
2

[a, b]
ϕ(x) → f
0
(x) =

b
a
K(x, s)ϕ(s)ds.
✽
❚➢➡♥❣ tù✱ t❛ ❝ò♥❣ ❝❤Ø r❛ ❦❤♦➯♥❣ ❝➳❝❤ ❣✐÷❛ ❤❛✐ ♥❣❤✐Ö♠ ϕ
0
✈➭ ϕ
1
tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣
❣✐❛♥ L
2
[a, b] ❝ã t❤Ó ❧í♥ ❜✃t ❦×✳ ❚❤❐t ✈❐②✱
ρ
L
2
[a,b]
(ϕ
0
, ϕ
1
) =


b
a

|ϕ
0
(x) − ϕ
1
(x)|
2
dx

1
2
= |N|


b
a
sin
2
(ωx)dx

1
2
= |N|

b − a
2
−
1
2ω
sin(ω(b − a))cos(ω(b + a)).
❉Ô ❞➭♥❣ ♥❤❐♥ t❤✃② r➺♥❣ ❤❛✐ sè N ✈➭ ω ❝ã t❤Ó ❝❤ä♥ s❛♦ ❝❤♦ ρ

L
2
[a,b]
(f
0
, f
1
) r✃t
♥❤á ♥❤➢♥❣ ρ
L
2
[a,b]
(ϕ
0
, ϕ
1
) ❧➵✐ r✃t ❧í♥✳
❱× tÝ♥❤ ❦❤➠♥❣ ❞✉② ♥❤✃t ❝ñ❛ ♥❣❤✐Ö♠ ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✶✳✶✮ ♥➟♥ ♥❣➢ê✐ t❛ t❤➢ê♥❣
❝ã ♠ét t✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ❝❤♦ sù ❧ù❛ ❝❤ä♥ ❝ñ❛ ♥❣❤✐Ö♠✳ ❚❛ sÏ sö ❞ô♥❣ ♥❣❤✐Ö♠ x
0
❝ã
x
∗
✲❝❤✉➮♥ ♥❤á ♥❤✃t✱ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ t❛ t×♠ ♥❣❤✐Ö♠ t❤♦➯ ♠➲♥
A(x
0
) = f,
✈➭
x
0

− x
∗
 = min{x − x
∗
 : A(x) = f}.
❇➺♥❣ ❝➳❝❤ ❝❤ä♥ x
∗
t❛ ❝ã t❤Ó ❝ã ➤➢î❝ ♥❣❤✐Ö♠ ♠➭ t❛ ♠✉è♥ ①✃♣ ①Ø✳
✶✳✷✳ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉
✶✳✷✳✶✳ ❚♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉
❈❤♦ X ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ù❝✱ A : X → X
∗
❧➭ ♠ét t♦➳♥ tö ✈í✐ ♠✐Ò♥
①➳❝ ➤Þ♥❤ ❧➭ D(A) = X ✈➭ ♠✐Ò♥ ➯♥❤ R(A) ♥➺♠ tr♦♥❣ X
∗
✳ ❈➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠
tr♦♥❣ ♠ô❝ ♥➭② ➤➢î❝ t❤❛♠ ❦❤➯♦ tr♦♥❣ ❝➳❝ t➭✐ ❧✐Ö✉ ❬✶❪✱ ❬✷❪ ✈➭ ❬✹❪✳
• ❚♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉✿ ❚♦➳♥ tö A ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✭♠♦♥♦t♦♥❡✮ ♥Õ✉
A(x) − A(y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A). ✭✶✳✸✮
❚♦➳♥ tö A ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ❝❤➷t ✭str✐❝t❧② ♠♦♥♦t♦♥❡✮ ♥Õ✉ ❞✃✉ ❜➺♥❣ ❝❤Ø
①➯② r❛ ❦❤✐ x = y✳ ❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣ A ❧➭ t♦➳♥ tö t✉②Õ♥ tÝ♥❤ t❤× tÝ♥❤ ➤➡♥ ➤✐Ö✉
t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ tÝ♥❤ ❦❤➠♥❣ ➞♠ ❝ñ❛ t♦➳♥ tö✳
✾
❚♦➳♥ tö A ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ➤Ò✉ ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ ♠ét ❤➭♠ ❦❤➠♥❣ ➞♠ δ(t)
❦❤➠♥❣ ❣✐➯♠ ✈í✐ t ≥ 0, δ(0) = 0 ✈➭
A(x) − A(y), x − y ≥ δ

x − y

, ∀x, y ∈ D(A).

◆Õ✉ δ(t) = c
A
t
2
✈í✐ c
A
❧➭ ♠ét ❤➺♥❣ sè ❞➢➡♥❣ t❤× t♦➳♥ tö A ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤➡♥
➤✐Ö✉ ♠➵♥❤✳
❱Ý ❞ô ✶✳✷ ❚♦➳♥ tö t✉②Õ♥ tÝ♥❤ A : R
M
→ R
M
➤➢î❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜ë✐
A = B
T
B,
✈í✐ B ❧➭ ♠ét ♠❛ tr❐♥ ✈✉➠♥❣ ❝✃♣ M✱ ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉✳
• ❚♦➳♥ tö h✲❧✐➟♥ tô❝✱ d✲❧✐➟♥ tô❝✿ ❚♦➳♥ tö A ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ h✲❧✐➟♥ tô❝ ✭❤❡♠✐❝♦♥✲
t✐♥✉♦✉s✮ tr➟♥ X ♥Õ✉ A(x+ ty)  Ax ❦❤✐ t → 0 ✈í✐ ♠ä✐ x, y ∈ X ✈➭ A ➤➢î❝
❣ä✐ ❧➭ d✲❧✐➟♥ tô❝ ✭❞❡♠✐❝♦♥t✐♥✉♦✉s✮ tr➟♥ X ♥Õ✉ tõ x
n
→ x s✉② r❛ Ax
n
 Ax
❦❤✐ n → ∞✳
❱Ý ❞ô ✶✳✸ ❍➭♠ ❤❛✐ ❜✐Õ♥✿
ϕ(x, y) =






xy
(x
2
+ y
2
)
♥Õ✉ (x, y) = (0, 0)
0 ♥Õ✉ (x, y) = (0, 0)
❧✐➟♥ tô❝ t❤❡♦ tõ♥❣ ❜✐Õ♥ r✐➟♥❣ ❜✐Öt t➵✐ (0, 0) ♥❤➢♥❣ ❦❤➠♥❣ ❧✐➟♥ tô❝ t➵✐ (0, 0)✳
❉♦ ➤ã ♥ã h✲❧✐➟♥ tô❝ t➵✐ (0, 0).
• ❚♦➳♥ tö ❜ø❝✿ ❚♦➳♥ tö A ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ t♦➳♥ tö ❜ø❝ ✭❝♦❡r❝✐✈❡✮ ♥Õ✉
lim
||x||→+∞

Ax, x

||x||
= +∞, ∀x ∈ X.
• ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❊✲❙ ✭❊♣❤✐♠♦✈ ❙t❡❝❤❦✐♥✮✿ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ X ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭
❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❊♣❤✐♠♦✈ ❙t❡❝❤❦✐♥ ✭❤❛② ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t ❊✲❙✮ ♥Õ✉ X ♣❤➯♥
①➵ ✈➭ tr♦♥❣ X sù ❤é✐ tô ②Õ✉ ❝➳❝ ♣❤➬♥ tö (x
n
 x) ✈➭ sù ❤é✐ tô ❝❤✉➮♥
(x
n
 → x) ❧✉➠♥ ❦Ð♦ t❤❡♦ sù ❤é✐ tô ♠➵♥❤ (x
n
− x → 0)✳

❱Ý ❞ô ✶✳✹ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t ❊✲❙✳
✶✵
ự tồ t ệ ủ trì t tử ợ tr ị ý
s
ị í A ột t tử h tụ ệ ứ từ
X X

ó trì A(x) = f ó
ệ ớ ọ f X


ứ A t tử ứ tồ t ột tự
(t) : (t) + t + A(x), x ||x||(||x||). ét
a
f
(x) = A(x) f ở f X

ột tử t ì ó a
f
ũ
tụ ệ tế ữ
a
f
(x), x = A(x), x f, x ||x||((||x||) ||f||).
r tồ t ột số M
f
s ớ ||x|| M
f
tì a
f

(x), x 0
ì tồ t ột tử x
0
s A(x
0
) = f.

ố s 2 U
s
: X X

ó trị
ợ ị ĩ ở
U
s
(x) = {x

X

: x

, x = ||x

||
s1
||x|| = ||x||
s
}
ợ ọ ố tổ qt ủ X s = 2 tì U
s

ợ ết U ợ ọ ố t ủ X
í trị ủ ố t ợ tr ệ ề s
ệ ề sử X ột ó
U(x) t ồ U(x) = U(x) ớ ọ R
U trị ỉ X

ồ t r
trờ ợ X rt tì U = It tử ị tr X
ố ột tr ữ í ụ ề t tử ệ ó tồ t
tr ọ