Bài toán mã trường hợp kênh không bị nhiễu - Phần 2 pptx

7/2/2010
1
Chương 2:
Bài toán mã trường hợp
kênh không bị nhiễu
2.2 Sự tồn tại của bộ mã tiền tố và
giải được
Mở ñầu
• Cho biến ngẫu nhiên X có các giá trị x
1
, x
2
, …, x
M.
Tập các ký tự mã a
1
, a
2
, …, a
D
• Cho trước các số nguyên dương n
1
, n
2
, …, n
M
• Bài toán đặt ra là: có thể xây dựng bộ mã giải
được sao cho từ mã ứng với x
k
có chiều dài là n
k

?
• Mã tiền tố có thể giải mã từng bước
• Trong bài toán kênh không bị nhiễu, mã giải
được có thể quy về mã tiền tố
• Đầu tiên ta sẽ xét sự tồn tại của bộ mã tiền tố, sau
đó mở rộng cho bộ mã giải được
7/2/2010
2
Huỳnh Văn Kha
7/2/2010
2
Ví dụ
• Ví dụ 1:
M = 3, D = 2, n
1
= 1, n
2
= 2, n
3
= 3
Có thể chọn bộ mã {0, 10, 110}
• Ví dụ 2: M = 3, D = 2, n
1
= n
2
= 1, n
3
= 2
Không có bộ mã giải được nào thỏa yêu cầu bài
toán (sẽ chứng minh sau)

• Khi nào có thể xây dựng được bộ mã thỏa yêu
cầu, khi nào không?
7/2/2010
3
Huỳnh Văn Kha
ðịnh lý 2.2
Một bộ mã tiền tố với chiều dài các từ mã n
1
,
n
2
, …, n
M
là tồn tại khi và chỉ khi
Trong đó D là số các ký tự mã
7/2/2010
4
Huỳnh Văn Kha
7/2/2010
3
Chứng minh ñịnh lý 2.2
• Cây bậc D kích thước k là một hệ thống các điểm
và đoạn thẳng
• Mỗi dãy s được tạo thành từ các ký tự trong {0, 1,
…, D – 1} có chiều dài không lớn hơn k được biểu
diễn bởi một điểm V
s
khác nhau
• Nếu dãy t có được do thêm duy nhất một ký tự
vào sau s thì nối V

s
và V
t
bằng một đoạn thẳng
• Các điểm ứng với dãy có chiều dài k gọi là các
điểm ngọn của cây kích thước k
7/2/2010
5
Huỳnh Văn Kha
Chứng minh ñịnh lý 2.2
0
00
01
000
001
010
011
1
10
11
100
101
110
111
Cây bậc 2
kích thước 3
0
00
01
02

1
10
11
12
2
20
21
22
Cây bậc
3 kích
thước 2
7/2/2010
6
Huỳnh Văn Kha
7/2/2010
4
Chứng minh ñịnh lý 2.2
• Giả sử n
1
≤ n
2
≤ … ≤ n
M
• Mỗi từ mã được đồng nhất với một điểm trên cây
bậc D kích thước n
M
0
1
10
11

111
Cây ứng với bộ
mã {0, 10, 111}
7/2/2010
7
Huỳnh Văn Kha
Chứng minh ñịnh lý 2.2
• Do bộ mã là tiền tố nên khi điểm P đại diện cho
một từ mã, thì không điểm nào trên nhánh bắt
đầu từ P đại diện cho một từ mã khác
• Điểm ứng với từ mã chiều dài n
k
sẽ che
điểm ngọn của cây
• Số điểm ngọn bị toàn bộ bộ mã che ≤ Tổng số các
điểm ngọn của cây
7/2/2010
8
Huỳnh Văn Kha
7/2/2010
5
Chứng minh ñịnh lý 2.2
• Ngược lại, giả sử và n
1
≤ n
2
≤ … ≤ n
M
• Chọn điểm bất kỳ trên cây ứng với dãy có chiều
dài n

1
. Điểm này che điểm ngọn
• Còn lại ít nhất 1 điểm ngọn, chọn được điểm ứng
với n
2
. Lúc đó, do ta
chọn được điểm ứng với n
3
. Và cứ thế cho đến hết
7/2/2010
9
Huỳnh Văn Kha
Định lý 2.3:
Nếu bộ mã giải được có chiều dài từ mã lần
lượt là n
1
, n
2
, …, n
M
thì:
Mở rộng cho bộ mã giải ñược
• Điều kiện ở định lý 2.2 cũng là điều kiện cần và
đủ cho sự tồn tại của bộ mã giải được
• Do bộ mã tiền tố là giải được nên chỉ cần chứng
minh định lý sau là đủ.
7/2/2010
10
Huỳnh Văn Kha
7/2/2010

6
Chứng minh ñịnh lý 2.3
• Gọi ω
j
là số từ mã chiều dài j và r là chiều dài lớn
nhất của các từ mã, ta có:
• Với mỗi số tự nhiên n cho trước, nhân phân phối
và rút gọn, ta được:
7/2/2010
11
Huỳnh Văn Kha
Chứng minh ñịnh lý 2.3
• Trong đó:
• N
k
chính là tổng số mẫu tin được tạo thành từ n
trạng thái x
i
sao cho đoạn mã của các mẫu tin này
đều có chiều dài k
• Bộ mã là giải được nên mỗi dãy ký tự mã tương
ứng với nhiều nhất một mẫu tin
• N
k
không vượt quá tổng số các dãy ký tự mã có
chiều dài k
7/2/2010
12
Huỳnh Văn Kha
7/2/2010

7
Chứng minh ñịnh lý 2.3
• Như vậy N
k
≤ D
k
và ta có:
• Lấy căn bậc n:
• Cho n tiến ra vô cực ta được điều cần chứng minh
7/2/2010
13
Huỳnh Văn Kha