Bài toán mã trường hợp kênh không bị nhiễu - Phần 3 pps

7/2/2010
1
Chương 2:
Bài toán mã trường hợp
kênh không bị nhiễu
2.3 Định lý cho bài toán mã trong
trường hợp kênh không bị nhiễu
Mở ñầu
• Biến ngẫu nhiên X có các trạng thái x
1
, x
2
, …, x
M
với xác xuất tương ứng p
1
, p
2
, …, p
M
• Các từ mã cho x
1
, x
2
, …, x
M
là W
1
, W
2
, …, W

M
có
độ dài lần lượt là n
1
, n
2
, …, n
M
• Tập các ký tự mã là {a
1
, a
2
, …, a
D
}
• Ta sẽ xây dựng bộ mã để cực tiểu hóa chiều dài từ
mã trung bình
• Đầu tiên là tìm chặn dưới lớn nhất, sau đó tìm
cách tiến gần tới chặn dưới đó. Và cuối cùng là
xây dựng thuật toán để tìm bộ mã tối ưu
7/2/2010
2
Huỳnh Văn Kha
7/2/2010
2
ðịnh lý 2.4 (ðịnh lý cho bài toán mã trong
trường hợp kênh không bị nhiễu)
Gọi
là chiều dài từ mã trung bình của một bộ mã
giải được bất kỳ cho biến ngẫu nhiên X. Khi

đó:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
7/2/2010
3
Huỳnh Văn Kha
Chứng minh ñịnh lý 2.4
• Đặt:
Thì các q
i
có tổng bằng 1. Áp dụng mệnh đề 1.1
7/2/2010
4
Huỳnh Văn Kha
7/2/2010
3
Chứng minh ñịnh lý 2.4
• Dấu bằng trong bất đẳng thức (*) xảy ra khi và chỉ
khi:
• Do bộ mã là giải được nên
Và ta được
• Tiếp theo, nếu , thì
7/2/2010
5
Huỳnh Văn Kha
Chứng minh ñịnh lý 2.4
• Ngược lại, nếu thì từ (*) ta được
Nhưng
Vậy , và từ (**), ta được
7/2/2010
6

Huỳnh Văn Kha
7/2/2010
4
Bộ mã tối ưu tuyệt ñối
• Bộ mã làm cho dấu bằng trong định lý 2.4 xảy ra
được gọi là bộ mã tối ưu tuyệt đối
• Ví dụ
X Xác suất Từ mã
x
1
1/2 0
x
2
1/4 10
x
3
1/8 110
x
4
1/8 111
7/2/2010
7
Huỳnh Văn Kha
Bộ mã tối ưu tuyệt ñối
• Bộ mã tối ưu tuyệt đối phải thỏa mãn
• Trong trường hợp tổng quát chưa chắc xây dựng
được bộ mã tối ưu tuyệt đối, do các n
i
như trên
chưa chắc là số nguyên

• Tuy nhiên, ta hoàn toàn có thể xây dựng được bộ
mã tiền tố có chiều dài từ mã trung bình gần
bằng chận dưới H(X)/log D như khẳng định của
định lý sau
7/2/2010
8
Huỳnh Văn Kha
7/2/2010
5
ðịnh lý 2.5
Cho trước biến ngẫu nhiên X, với độ không
chắc chắn là H(X). Khi đó tồn tại bộ mã
tiền tố cho X, sao cho chiều dài từ mã
trung bình thỏa mãn
7/2/2010Huỳnh Văn Kha
9
Chứng minh ñịnh lý 2.5
• Chọn n
i
là số nguyên thỏa mãn
• Khi đó log p
i
≥ -n
i
log D, suy ra
• Vậy theo định lý 2.2 thì tồn tại bộ mã tiền tố ứng
với các n
i
chọn như trên
7/2/2010Huỳnh Văn Kha

10
7/2/2010
6
Chứng minh ñịnh lý 2.5
• Tiếp theo, ta ước lượng chiều dài từ mã trung
bình. Nhân hai vế cho p
i
rồi lấy tổng theo i ta
được
• Và ta có kết luận của định lý
7/2/2010Huỳnh Văn Kha
11
Mã hóa theo block
• Theo định lý 2.5, ta luôn xây dựng được bộ mã
tiền tố có chiều dài trung bình nhỏ hơn chận dưới
H(X)/log D cộng thêm 1 ký tự mã
• Tuy nhiên ta có thể làm tốt hơn thế nếu dùng
phương pháp mã hóa theo block
• Nghĩa là ta không mã hóa từng trạng thái x
i
của
X, mà sẽ mã hóa từng nhóm s các trạng thái
• Nói cách khác, ta sẽ xây dựng bộ mã cho vector
ngẫu nhiên Y = (X
1
, X
2
, …, X
s
). Trong đó các X

i
là
độc lập và có cùng phân phối xác suất như X
7/2/2010Huỳnh Văn Kha
12
7/2/2010
7
Mã hóa theo block
X p Từ mã
x
1
3/4 0
x
2
1/4 1
7/2/2010Huỳnh Văn Kha
13
Y=(X
1
, X
2
) p Từ mã
x
1
x
1
9/16 0
x
1
x

2
3/16 10
x
2
x
1
3/16 110
x
2
x
2
1/16 111
Mã hóa theo block
• Ta sẽ kiểm chứng rằng việc mã hóa theo block sẽ
làm giảm chiều dài từ mã trung bình cho một
trạng thái của X
• Theo định lý 2.5, ta sẽ xây dựng được bộ mã tiền
tố cho Y với chiều dài từ mã trung bình thỏa
• Nhưng do các X
i
độc lập và cùng phân phối xác
suất với X nên ta có:
H(Y) = H(X
1
) + H(X
2
) + … + H(X
s
) = sH(X)
7/2/2010Huỳnh Văn Kha

14
7/2/2010
8
Mã hóa theo block
• Như vậy
• chính là số ký tự mã trung bình để mã hóa
một trạng thái của X
• Từ trên ta thấy có thể gần H(X)/log D tùy ý
• Vậy H(X)/log D chính là số ký tự mã trung bình
(lấy trong bộ D ký tự mã) cực tiểu dùng để mã
hóa một trạng thái của X
7/2/2010Huỳnh Văn Kha
15
Một ý nghĩa của H(X)
• Trong trường hợp D=2 , ta thấy H(X) chính là số
ký tự mã trung bình cực tiểu dùng để mã hóa 1
trạng thái của X
• Một bộ mã nhị phân tiền tố sẽ tương ứng với một
dãy các câu hỏi “yes no” dùng để xác định trạng
thái của X
• Trong đó số câu hỏi để xác định x
i
chính bằng
chiều dài n
i
của từ mã tương ứng
• Vậy H(X) có thể xem là số câu hỏi trung bình cực
tiểu dùng để xác định trạng thái của X
7/2/2010Huỳnh Văn Kha
16

7/2/2010
9
Ví dụ
X Từ mã
x
1
00
x
2
01
x
3
11
x
4
100
x
5
101
7/2/2010Huỳnh Văn Kha
17
x
1
or
x
2
?
x
1
?

x
4
or
x
5
?
x
4
?
x
1
x
2
x
5
x
4
x
3
yes
yes
yes
yes
no
no
no
no