ltđh viết phương trình tiếp tuyến

Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009
CHUYÊN  LUYN THI TT NGHIP THPT
VÀ TUYN SINH I HC, CAO NG 2009
MÔN: TOÁN
BIÊN SON: T TOÁN - TT BI DNG VN HÓA HOCMAI.VN
CHUYÊN : VIT PHNG TRÌNH TIP TUYN CA  TH HÀM S

I. MC ÍCH CHUYÊN 
- Giúp các bn nm vng v bài toán v vit phng trình tip tuyn.
- Hc sinh s thành tho trong các bài toán liên quan v tip tuyn
II. KIN THC C BN
Trong mc này ta ch trình bày ng dng ca đo hàm trong các bài toán v tip xúc, nói riêng trong
các bài toán liên quan đn tip tuyn.
 làm tt đc điu này ta cn chun b tt các ni dung sau:
a) Hiu các công thc c bn sau:
0
()
tt
afx
′
=


00
()( )
0
y
yfxxx
′
−
=−

b) Cn phân bit rõ hai khái nim
- Tip tuyn vi đng cong ti đim M nm trên đng cong
- Tip tuyn vi đng cong đi qua đim M (có th M không nm trên đng cong)
1.1. Tip tuyn vi đng cong ti đim M nm trên đng cong
Ví d: Vit phng trình tip tuyn vi đng cong y = 2x
3
– 3x
2
. Bit rng tip tuyn song song
vi đng thng y = 12x + 1
Bài gii
: Gi hoành đ tip đim là
0
x
. Khi đó
()
'2
00
66
tt
ayx x x==−
0
Vì tip tuyn song song vi đng thng y = 12x + 1, nên 12
tt
a
=
,
hay -
2
00

6612
⇔
xx−=
2
00
20xx−−=
⇔
0
0
1
2
x
x
=
−
⎧
⎨
=
⎩

+ Nu , khi đó tip tuyn phi trên có dng :
0
1x =−
00
()( )
0
y
yfxxx
′
−

=−
Áp dng vào đây vi
0
x
= - 1,
0
4y
=
− ,
'
00
()12yfx
′
=
=
suy ra
Hocmai.vn - Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 1
Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009
y – (– 4) = 12(x + 1)
hay y = 12x + 8
+ Nu , khi đó ,
0
2x =
0
4y =−
'
0
12y
=
và tip tuyn có dng

y + 4 = 12(x –2)
hay y = 12x – 28
Tr li: Có 2 tip tuyn phi tìm là y = 12x + 8 hoc y = 12x – 28
Nhn xét
: Trc ht tìm tip đim sau đó s dng công thc vit phng trình tip tuyn ti M nm
trên đng cong
1.2. Tip tuyn vi đng cong đi qua đim M không nm trên đng cong
Ví d
: Cho đng cong y = 3x – 4x
3
. Vit phng trình tip tuyn bit rng tip tuyn đi qua đim
M (1, 3)
Bài gii
: - Trc ht có nhn xét sau: im M (1, 3) không nm trên đng cong đã cho (vì khi x =
1, thì y = - 1). Do vy nu ai “máy móc” áp dng công thc
00
()( )
0
y
yfxxx
′
−
=−  đây là sai
- Khi gii các bài toán v s tip xúc gia các đng, ngi ta s dng mnh đ sau:
Mnh đ: Hai đng y = f(x) và y = g(x) ct nhau ti đim M có hoành đ
0
x
nu nh h sau đây
tho mãn
()

() ()
00
''
00
()fx gx
f
xgx
⎧
=
⎪
⎨
=
⎪
⎩

Quay tr v bài toán ca ta: Gi tip tuyn cn tìm là y = ax + b. Vì tip tuyn đi qua M(1,3) nên ta
có: 3 = a + b ⇒ b = 3 – a. Do đó tip tuyn phi tìm có dng: y = ax + 3 – a
Gi
0
x
là hoành đ tip đim, ta có h sau:
3
00 0
2
0
34 ax3(
312 (2)
1)
x
xa

xa
⎧
−=+−
⎪
⎨
−=
⎪
⎩

Thay (2) vào (1) ta đi đn phng trình sau đ xác đnh
0
x

3
0
8- 12
2
0
x
x
= 0
0
0
0
3
2
x
x
=
⎡

⎢
⇔
⎢
=
⎣

- Nu
0
x
= 0 ⇒ a = 3. Lúc này tip tuyn có dng: y = 3x
Hocmai.vn - Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 2
Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009
- Nu
0
3
2
x =
⇒ a = - 24. Bây gi tip tuyn có dng: y = –24x + 27
Tr li: Qua đim M (1, 3) có hai tip tuyn y = 3x và y = - 24x + 27
Ví d
: Cho đng cong y = x
3
+ 2x
2
. Vit phng trình tip tuyn vi đng cong, bit rng tip
tuyn đi qua đim M (1, 3)
Bài gii: Hãy xem và bình lun li gii sau:
Vì đim M (1, 3) nm trên đng cong y = x
3
+ 2x

2
. Vy áp dng công thc và phng trình tip
tuyn đã hc, ta có:
00
()( )
0
y
yfxxx
′
−= − ( đây
0
x
= 1,
0
y
= 3, = 7)
'2
000
()3 4yfx x x
′
==+
0
y – 3 = 7(x – 1) hay y = 7x - 4
Li gii trên s là đúng
, nu đu bài vit là: Vit phng trình tip tuyn ti đim M (1, 3) nm trên
đng cong
Tuy nhiên li gii đó là cha đúng
vi yêu cu ca đu bài (đòi hi tip tuyn đi qua M(1,3). Li
gii đúng nh sau :
Tip tuyn phi tìm có dng y = ax + b, trong đó 3 = a + b (do tip tuyn đi qua M (1, 3). Vy y =

ax + 3 – a là dng ca tip tuyn.
Gi
0
x
là hoành đ ca tip đim và ta có h sau:
32
000
2
00
23
34 (2)
(1)
x
xax a
xxa
⎧
+=+−
⎪
⎨
+=
⎪
⎩

Thay (2) vào (1) và có phng trình sau:
()
2
00
(1)23xx
−
+

= 0
- Nu
0
x
- 1 = 0⇒
0
x
= 1 ⇒ a = 7. Lúc này tip đim có dng y = 7x – 4
- Nu
0
x
=
3
2
−
⇒ a =
3
4
. Lúc này tip tuyn có dng : y =
39
44
x
+

Nh th qua đim M (1, 3) có hai tip tuyn vi đng cong đã cho:
y = 7x – 4 và y =
39
44
x
+

Nhn xét
: Vì M (1, 3) nm trên đng cong nên tip tuyn đi qua M có hai loi
1) Ti M: ó là y = 7x – 4
2) i qua M mà không ti M: ó là y =
39
44
x
+

Hocmai.vn - Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 3
Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009
Vì l đó mc du nu M nm trên đng cong, nhng nu đu bài đòi hi: Vit phng trình tip
tuyn đi qua M thì phi gii theo phng pháp s dng mnh đ c bn v s tip xúc, nu máy
móc áp dng công thc y -
0
y
= (
'
0
y
0
x
x
−
) thì s mt nghim.
Ta có th hình dung d dàng s kin này bng hình nh trc giác sau:
Trên hình v cho đim M nm trên đng cong y = f(x). Có hai tip tuyn
-
1

y
= ax + b là tip tuyn vi y = f(x) ti M
-
2
y
= cx + d là tip tuyn vi y = f(x) đi qua M nhng không ti M.
Nh vy trong thí d trên qua M có hai tip tuyn vi y = f(x) (mc dù M nm trên đng cong)
1.3. Lp các bài toán v s tip xúc rt đa dng.
Có th lit kê ra đây các loi bài toán thông dng nht
1. Tìm điu kin đ hai đng tip xúc vi nhau (đc xét riêng bài sau)
2. Bài toán v tip tuyn xut phát t mt đim
3. Bài toán v tip tuyn chung
4. Các bài toán đnh tính v tip tuyn.
Xin đa ra vài ví d mu.
Ví d
: Cho hai đng cong y = x
2
– 5x + 6 và y = x
3
+ 3x – 10. Vit phng trình tip tuyn chung.
Bài gii
: Gi y = ax + b là tip tuyn chung. Gi
0
x
và
1
x
tng ng là các tip đim ca tip tuyn
vi y = x
2

– 5x + 6 và y = x
3
+ 3x – 10
Theo mnh đ c bn v tip tuyn ta có h phng trình sau (có 4 n là a, b,
01
,
x
x )
2
00 0
0
3
11 1
2
1
56 (1)
25 (2
310ax (3)
33 (4
xx axb
xa
xx b
xa
⎧
−+=+
⎪
−=
⎪
⎪
⎨

+−=+
⎪
⎪
+=
⎪
⎩
)
)

T (2) và (4) suy ra: 2
0
x
- 5 =
2
1
3
x
+ 3 hay
0
x
=
2
1
3
2
x 8
+
(5)
T (1) và (2) ta có: b = ⇒ b = 6 -
2

00 00
56(25)xx xx−+− −
2
0
x
(6)
Hocmai.vn - Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 4
Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009
Thay (5), (6) và (2) vào (3) ta có:
3
11
310xx+−=
(
)
2
11
33
x
x+
+ 6 -
(
)
2
2
1
38
4
x +

⇔

32
11
8948
1
x
x−−x
= 0 = 0 ⇔
22
11 1
(9 8x 48)xx−+
⇔
= 0
1
x
Vì th t (4) có a = 3, ri t (5) suy ra
0
x
= 4. T đó theo (6) đi đn b = - 10
Tóm li hai đng cong đã cho có duy nht mt tip tuyn chung. ó là đng y = 3x – 10
III. CNG C KIN THC
Bài 1. (i hc, cao đng khi B – Nm 2004)
Cho hàm s y =
32
1
23
3
x
x−+x
( C)
Vit phng trình tip tuyn vi (C) ti đim un và chng minh rng

Δ
Δ
là tip tuyn ca (C) có
h s góc bé nht.
Bài gii
:
'
y
= x
2
– 4x + 3 ,
''
y
= 2x – 4
''
y
= 0 khi x = 2 và đo hàm
''
y
đi du khi qua x = 2.
Vy (C) có đim un ti: A
2
2,
3
⎛
⎜
⎝⎠
⎞
⎟
. Khi x = 2 thì

'
y
= - 1
Vy phng trình tip tuyn ca (C) ti đim un là: y -
2
3
= - (x – 2) hay y = - x +
8
3

Ta có = -1 (1)
tt
a
H s góc ca mt tip tuyn bt k ti đim M (có hoành đ x) nm trên (C) là:
k =
'
y
(x) = x
2
– 4x + 3. Ta có k = (x – 2)
2
– 1 - 1 (2) ≥
T (2) suy ra h s góc ca tip tuyn ca (C) ti đim un có h s góc bé nht ⇒ đpcm
Bài 2.
(i hc, cao đng khi D – Nm 2005)
Gi ( ) là đ th ca hàm s y =
m
C
32
1

32
m
xx
1
3
−
+
, m là tham s
Gi M là đim thuc ( ) có hoành đ bng -1 . Tìm m đ tip tuyn ca ( ) ti đim M
song song vi đng thng 5x – y = 0
m
C
m
C
Hocmai.vn - Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 5
Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009
Bài gii: y =
32
11
32
m
xx
−+
'
3
⇒
y
= x
2
– mx tip tuyn vi ( ) ti M có h s góc

m
C
tt
a= y(- 1) = 1 + m
Tip tuyn này có phng trình y -
0
y
= (
'
0
y
0
x
x
−
)
( đây
0
x
= - 1 = = 1 + m và
'
o
y⇒
tt
a
0
y
= -
2
m

)
Vy y +
2
m
= (1 + m)(x + 1) hay y = (m + 1)x +
2m
m
+

ng tip tuyn này song song vi đng 5x – y = 0 (tc y = 5x), nu
15
20
m
m
+=
⎧
⎨
+≠
⎩

4m
⇔
=

Vy có duy nht giá tr cn tìm ca m là m = 4
Chú ý: Hai đng thng y = và y =
1
ax b+
1 22
ax b

+
song song vi nhau khi và ch khi
12
12
aa
bb
=
⎧
⎨
≠
⎩

Vì lý do y nu không có thêm điu kin m + 2
0
≠
thì li gii ca hc sinh cha hoàn chnh.
Bài 3
. (i hc, cao đng khi B – Nm 2006)
Cho hàm s y =
2
1
2
x
x
x
+−
+
(C)
Vit phng trình tip tuyn ca (C), bit tip tuyn này vuông góc vi tim cn xiên ca
(C)

Bài gii: Ta có a =
2
2
() 1
lim lim
2
xx
f
xxx
x
x
x
→∞ →∞
+
−
=
+
= 1
b =
2
2
1
lim ( ( ) ax) = lim
2
xx
xx
f
xx
xx
→∞ →∞

⎛⎞
+−
−
−
⎜⎟
⎜⎟
+
⎝⎠
=
1
lim
2
x
x
x
→∞
−−
+
= - 1
Vy (C) có tim cn xiên là: y = x - 1
D thy
'
y
=
()
2
2
43
2
xx

x
+
+
+
.
Hocmai.vn - Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 6
Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009
Vì tip tuyn ca (C) vuông góc vi tim cn xiên y = x - 1 nên = -1
tt
a
Gi
0
x
là hoành đ tip đim ca tip tuyn vi (C) thì : =
tt
a
()
2
'
0
2
43
()
2
xx
yx
x
++
=
+

Ta có phng trình:
()
2
0
2
0
43
1
2
xx
x
++
=
−
+

⇔

0
0
2
2
2
2
x2
2
x
⎡
=− +

⎢
⎢
⎢
=− −
⎢
⎣

-
Khi
0
2
2
2
x =− +

0
32
3
2
y⇒= −
.
Lúc này tip tuyn có dng:
22 5yx
=
−+ −

-
Tng t khi
0
2

x2
2
=− −
thì tip tuyn là
22 5yx
=
−− −

Vy có hai tip tuyn cn tìm:
22 5yx=− + −
và
22 5yx
=
−− −

IV. BÀI TP V NHÀ
Bài 1.Vit phng trình tip tuyn vi đng cong y =
2
9x
x
−
, bit rng nó đi qua đim M(1,8).
áp s: y = 2x + 6 và y = 50x – 42
Bài 2. Vit phng trình tip tuyn vi đng cong y = x
4
– 4x
2
, bit rng nó đi qua đim M(2, 0)
áp s: y = o, y = 16x – 32 và y =
32 64

27 27
x −

Bài 3. Tìm m đ đng cong y = 2x
3
– 3(m + 3)x
2
+ 18mx – 8 tip xúc vi trc hoành
áp s: m =
35
27
, m = 1, m = 4 +
2 6 và m = 4 - 26
Bài 4*. Cho đng cong y = x
3
– 3x + 2 (C). Tìm đim M trên đng thng y = - 2, sao cho t M có
th v đc hai tip tuyn ti (C) sao cho hai tip tuyn y vuông góc vi nhau
áp s: M
55
,2
27
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠

Hocmai.vn - Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 7
Chuyên đ Luyn thi Tt nghip THPT và Tuyn sinh i hc, Cao đng 2009
Bài 5. Cho đng cong y = x
2

– 5x + 6. Vit phng trình tip tuyn vi đng cong bit rng nó
song song vi đng thng y = 3x + 1

Bài 6. Cho y = x
2
– 5x + 6 và đim M (5, 5). Vit phng trình tip tuyn vi đng cong đi qua M
Bài 7. Cho y = x
2
– 3x và y = - 2x
2
+ 5x. Vit phng trình tip tuyn chung ca 2 đng cong.

Ngun:
Hocmai.vn
Hocmai.vn - Ngôi trng chung ca hc trò Vit Trang 8