Các dạng toán viết phương trình tiếp tuyến có lời giải – phạm hồng phong

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong

Tiếp tuyến và sự tiếp xúc
1
§1. Tiếp tuyến tại một điểm và tiếp tuyến qua một điểm
A. Tóm tắt lý thuyết
Cho
 
y f x

 
C
.
1. Tiếp tuyến tại một điểm
Tiếp tuyến với
 
C
tại
 
 
00
;M x f x

là đường thẳng

    
0 0 0
:'   y f x x x f x
.
Ta cng ni rng


tiếp xc với
 
C
hay
 
C
tiếp xc

, hoc

và
 
C
tiếp xc nhau.

Chú ý. Khi ni đến tiếp tuyến của
 
C
tại
M
, ta phải hiểu rng
M
thuc
 
C

và
M
là nơi xảy

ra sự tiếp xúc.
2. Tiếp tuyến qua một điểm
Tiếp tuyến qua
M
của
 
C
là tiếp tuyến với
 
C
tại mt điểm
N
nào đ. Điểm
M
c thể
thuc
 
C
hoc không, trong trường hp thuc
 
C
th
M
lại c thể là tiếp điểm hoc không
(xem cc hnh v  dưới).



Bài toán. Viết phương trnh tiếp tuyến qua
 

11
;M x y
của
 
C
.
Phương pháp giải. B1 Viết phương trnh tiếp tuyến tại điểm c hoành đ
0
x
của
 
C
:
    
0 0 0
:'y f x x x f x   
.
B2

đi qua
M
khi và chỉ khi
    
1 0 1 0 0
'y f x x x f x  
. Giải phương trnh này để tìm
0
x
.
B3 Thay mỗi

0
x
tm đưc  bước 2 vào phương trnh

, ta đưc mt tiếp tuyến qua
M
của
 
C
.
B. Các ví dụ
Δ
O
y
x
M
x
0
;f
x
0




C
( )
N
M
(C)

M
N
(C)
M
≡
N
(C)
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong

Tiếp tuyến và sự tiếp xúc
2
Ví dụ 1. Cho
2
2
1
31
xx
y
x




 
C
. Viết phương trnh tiếp tuyến của
 
C
tại điểm

M
c hoành đ
bng
1
.
Giải. Ta c
 
2
2
2
3 4 1
'
31
xx
y
x



. Ln lưt thay
1x 
vào cc biểu thc của
y
và
'y
, ta đưc
 
1
'1
8

y 
và
 
1
1
4
y 
. Suy ra phương trnh tiếp tuyến với
 
C
tại
M
là:
 
11
:1
84
yx    



13
:
88
yx   
.
Ch . Ta c thể dng k hiu
y
và
'y

thay cho
f
và
'f
trong trường hp bài ton chỉ đ cp
đến mt hàm s.
Ví dụ 2. Cho
32
4 5 2y x x x   

 
C
. Viết phương trnh cc tiếp tuyến của
 
C
tại những
giao điểm của
 
C
với trục hoành.
Giải. T phương trnh của
 
C
, cho
0y 

ta đưc:
32
4 5 2 0x x x   



  
2
2 1 0xx  



2
1
x
x





.
Suy ra
 
C
c hai giao điểm với trục hoành là
 
1
2;0M 
và
 
2
1;0M 
.

T
2
' 3 8 5y x x  
suy ra
 
' 2 1y 
,
 
' 1 0y 
. Do đ phương trnh tiếp tuyến với
 
C
tại
cc điểm
1
M
,
2
M
ln lưt là:
 
1
: 1. 2 0yx   



1
:2yx  
,
 

2
: 0. 1 0yx   



2
:0y
.
Ví dụ 3. [ĐHB08] Cho
 
32
4 6 1y x x C  
. Viết phương trnh cc tiếp tuyến đi qua điểm
 
1; 9M 

của
 
C
.
Giải. Phương trnh tiếp tuyến của
 
C
tại điểm c hoành đ
0
x
là:
    
0 0 0
:'y y x x x f x   



 
 
2 3 2
0 0 0 0 0
: 12 12 4 6 1y x x x x x x      
.
Điu kin

đi qua
 
1; 9M 
tương đương với
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong

Tiếp tuyến và sự tiếp xúc
3

 
 
2 3 2
0 0 0 0 0
9 12 12 1 4 6 1x x x x x       



32
0 0 0
8 6 12 10 0x x x   



0
0
5
4
1
x
x






.

0
5
4
x 



 
 

0
0
15
'
4
9
16
yx
yx











15 5 9
:
4 4 16
yx

   





15 21
:
44
yx  
.

0
1x 



 
 
0
0
' 24
9
yx
yx










 
: 24 1 9yx   



: 24 15yx  
.
Vy phương trnh cc tiếp tuyến đi qua điểm
M
của
 
C
là
15 21
:
44
yx  
,
: 24 15yx  
.
C. Bài tập
Bài 1. Viết phương trnh tiếp tuyến của
 
C
biết rng:
1)
 
C
là đồ thị hàm s
42

23y x x  

và hoành đ tiếp điểm bng
2
;
2)
 
C
là đồ thị hàm s
32
32y x x  

và tung đ tiếp điểm bng
2
;
3)
 
C
là đồ thị hàm s
2
34
1
xx
y
x



và tiếp điểm là giao điểm của
 

C
với trục tung;
4)
 
C
là đồ thị hàm s
32
2 3 5y x x  
và tiếp tuyến đi qua
19
;4
12
A



;
5)
 
C
là đồ thị hàm s
32
32y x x  

và tiếp tuyến đi qua
 
1;4A 
.
Bài 2. Cho
32

2 3 12 1y x x x   

 
C
. Tm những điểm thuc
 
C
mà tiếp tuyến tại đ đi qua
gc tọa đ.
D. Hướng dẫn và đáp số
Bài 1 1)
24 43yx
; 2)
2y 
,
97yx
; 3)
74yx
; 4)
12 15yx
,
21 645
32 128
yx  
,
4y 
; 5)
4y 
,
97

44
yx  
. Bài 2
 
1;12M 
.



hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong

Tiếp tuyến và sự tiếp xúc
4
§2. Điều kiện tồn tại tiếp tuyến
A. Tóm tắt lý thuyết
Xét bài ton sau đây.
Bài toán. Cho đồ thị hàm s
 
y f x

 
C
. Tm điu kin của tham s để
 
C
có tiếp tuyến
thỏa mãn mt điu kin nào đ.
Phương pháp giải. B1 Viết phương trnh tiếp tuyến tại điểm c hoành đ
0

x
của
 
C
:
    
0 0 0
:'y f x x x f x   
.
B2 Áp điu kin của bài ton lên đường thẳng

để nhn đưc mt phương trnh ẩn
0
x
. Tiếp
tuyến tồn lại khi và chỉ khi phương trnh này có nghim
0
x
.
B. Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho
 
1
1
x
yx
x




 
C
. Chng minh qua điểm
 
1; 1I 
không tồn tại tiếp tuyến của
 
C
.
Giải. Xét tiếp tuyến tại điểm c hoành đ
0
x
của
 
C

    
0 0 0
:'y f x x x f x   



 
 
0
0
2
0
0

1
2
:
1
1
x
y x x
x
x


   


.


đi qua
 
1; 1I 
nghĩa là
 
 
0
0
2
0
0
1
2

11
1
1
x
x
x
x


    





0
00
1
2
1
11
x
xx

  




0

0
3
1
1
x
x






 
00
0
13
10
xx
x
   









0

x 
.
Vy không tồn tại
0
x
để

đi qua
I
. Nói cách khác qua
I
không có tiếp tuyến của
 
C
.
Ví dụ 2. Cho
2
4 3 6y x mx  

 
C
. Tìm
m

để
 
C
c tiếp tuyến đi qua
 
1; 2A 

.
Giải. Phương trnh tiếp tuyến với
 
C
tại điểm c hoành đ
0
x
là:
    
0 0 0
:'y y x x x y x   



  
2
0 0 0 0
: 8 3 4 3 6y x m x x x mx      
.
 
C
c tiếp tuyến đi qua
 
1; 2A 
khi và chỉ khi phương trnh sau đây c nghim đi với
0
x
:
  
2

0 0 0 0
2 8 3 1 4 3 6x m x x mx      
.
 
*

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong

Tiếp tuyến và sự tiếp xúc
5
Ta có
 
*



2
00
4 8 3 8 0x x m   
(
' 12 48m  
).
Do đ
 
*
c nghim khi và chỉ khi
'0



12 48 0m



4m
.
Vy
 
C
c tiếp tuyến đi qua
 
1; 2A 
khi và chỉ khi
4m
.
Ví dụ 3. Cho
21
2
x
y
x




 
C
. Tm trên đường thẳng
3x 

cc điểm mà qua đ c tiếp tuyến của
 
C
.
Giải. Phương trnh tiếp tuyến của
 
C
tại điểm c hoành đ
0
x
(
0
2x 
) là:
    
0 0 0
:'y y x x x y x   


 
 
0
0
2
0
0
21
5
:
2

2
x
y x x
x
x


   


.


Điểm
A
nm trên đường thẳng
3x 


tọa đ
A
c dạng
 
3;Aa
.
Qua
A
c tiếp tuyến tới
 
C

khi và chỉ khi phương trnh sau đây c nghim đi với
0
x
:
 
 
0
0
2
0
0
21
5
:3
2
2
x
ax
x
x


   


.
 
1

Ta thấy

 
1



        
2
0 0 0 0 0
0
2 5 3 2 1 2 2 0
20
a x x x x x
x

         








      
2
0 0 0 0
2 5 3 2 1 2a x x x x      



   
2
00
2 2 2 1 4 17 0a x a x a     
.
 
2

Trường hợp 1.
20a



2a 
. Khi đ
 
2
tr thành
0
10 21 0x  



0
21
10
x 
.
Trong trường hp này
 

2
c nghim


 
1
c nghim.
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong

Tiếp tuyến và sự tiếp xúc
6
Trường hợp 2.
20a



2a 
. Khi đ
 
2
là phương trnh bc hai c
5 35a

   
. Do đ,
trong trường hp này
 
1
c nghim khi và chỉ khi

 
2
c nghim, tc là
0





5 35 0a  



7a 
.
Vy tp hp cc điểm thỏa mãn yêu cu bài ton là
 
 
3; 7A a a 
.
Ví dụ 4. [ĐHD02] Cho
 
2
21
1
m x m
y
x





 
C
và
:d y x
. Tìm
m
để
 
C
tiếp xc với
d
.
Giải. Phương trnh tiếp tuyến của
 
C
tại điểm c hoành đ
0
x
(
0
1x 
) là:
    
0 0 0
:'y y x x x y x   


 

 
2
2
0
0
00
21
1
:
11
m x m
m
y x x
xx



   





 
22
2
0
0
0 0 0
21

11
:
1 1 1
m x m
mm
y x x
x x x

   

   
   
  
   
.
 
C
tiếp xc với
d
khi và chỉ khi tồn tại
0
x
sao cho hai đường thẳng

và
d
trùng nhau. Tc là
h sau đây c nghim đi với
0
x

 
2
0
2
2
0
0
00
1
1
1
21
1
0
11
m
x
m x m
m
x
xx















  





.
 
*

Ta có
 
*



 
 
 
2
0
2
0
0

0
1
11
1
21
02
1
m
x
m x m
x
x












  



.
 

1



0
0
0
1
11
11
x
xm
xm



  










0
0
0

1
2
x
xm
xm











.

1m 



21mm  



 
1
vô nghim


 
*
vô nghim.
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong

Tiếp tuyến và sự tiếp xúc
7

1m 
:
 
1



0
0

2
xm
xm





. Thay
0

xm
vào vế tri của
 
2
ta có
 
 
2
21
20
1
m m m
VT m
m

   




0
xm
là mt nghim của
 
*



 
*

c nghim. Vy
 
C
tiếp xc với
d
khi và chỉ khi
1m 
.


Ví dụ 5. Cho
42
87y x x  

 
C
. Tìm
m
để đường thẳng
: 60d y x m
tiếp xc với
 
C
.
Với mỗi
m
tm đưc, hãy chỉ ra hoành đ tiếp điểm của
d
và
 

C
.
Giải. Phương trnh tiếp tuyến của
 
C
tại điểm c hoành đ
0
x
là:
    
0 0 0
:'y y x x x y x   


     
0 0 0 0
: ' 'y y x x x y x y x   
.
 
C
tiếp xc với
d
khi và chỉ khi tồn tại
0
x
sao cho

và
d
trng nhau, điu đ c nghĩa là h

sau đây c nghim đi với
0
x

 
   
0
0 0 0
' 60
'
yx
x y x y x m




  





   
   
0
00
' 60 1
60 2
yx
m x y x





  


.
 
1



3
00
4 16 60xx



0
3x 
. Thay
0
3x 
vào
 
2
ta có
164m 
.

Vy
d
tiếp xc với
 
C
khi và chỉ khi
164m
. Khi đ hoành đ tiếp điểm là
0
3x 
.
C. Bài tập
Bài 1. Cho
1
x
y
x



 
C
. Chng minh rng qua
 
1;1I
của
 
C
, không tồn tại tiếp tuyến nào
của

 
C
.
Bài 2. Tìm
m
sao cho đồ thị hàm s
1
xm
y
xm



c tiếp tuyến đi qua điểm
 
0; 2A 
.
Bài 3. Cho
42
2y x x
 
C
.
1) Tìm trên trục tung những điểm mà qua đ c thể kẻ đưc tiếp tuyến tới
 
C
;
2) Tìm những điểm trên đường thẳng
3y 
mà qua đ c thể kẻ đưc tiếp tuyến tới

 
C
.
D. Hướng dẫn và đáp số
Bài 2
2
1
3
m
. Bài 3 1) Những điểm cn tìm có dạng
 
0;Aa
với
1
3
a 
; 2) Những điểm cn
tìm có dạng
 
;3Aa
với
 
; 3 3;a

    

.
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong

Tiếp tuyến và sự tiếp xúc
8
§3. Hệ số góc của tiếp tuyến
A. Giới thiệu
Ta biết rng
 
0
'fx
là h s góc tiếp tuyến của đồ thị hàm s
 
y f x
tại điểm c hoành đ
0
x
. Trong bài học này, chúng ta quan tâm nhiu hơn đến h s góc của tiếp tuyến.
B. Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho
32
2
22
3
y x x x   

 
C
. Viết phương trnh cc tiếp tuyến c h s gc bng
2

của
 

C
.
Giải. Ta c
 
0
'2yx



2
00
2 2 2 2xx  



2
00
20xx  



0
0
1
2
x
x






.
Ta có
 
7
1
3
y 
,
 
2
2
3
y 
. Suy ra cc tiếp tuyến thỏa mãn yêu cu bài ton là:
 
1
7
: 2 1
3
yx   



1
13
:2
3
yx  

,
 
2
2
: 2 2
3
yx   



2
14
:2
3
yx  
.
Ví dụ 2. Cho
32
3 12 5y x x x   

 
C
. Viết phương trnh tiếp tuyến c h s gc nhỏ nhất của
 
C
.
Giải. H s gc tiếp tuyến tại điểm c hoành đ
0
x
của

 
C
là:
   
2
2
0 0 0 0
' 3 6 12 3 1 15 15k f x x x x        



15k 
.
Dấu “

” xảy ra khi và chỉ khi
0
1x 
. Do đ
k
nhỏ nhất bng
15
, đạt đưc khi và chỉ khi
0
1x 
. Ta có
 
19f 
, suy ra tiếp tuyến c h s gc nhỏ nhất của
 

C
là:
 
: 15 1 9yx    



: 15 6yx   
.
Ví dụ 3. [ĐHD10] Cho
42
6y x x   

 
C
. Viết phương trnh tiếp tuyến vuông gc với đường
thẳng
1
:1
6
d y x
của
 
C
.
Giải. Gọi

là tiếp tuyến với
 
C

tại điểm c hoành đ
0
x




c h s gc là
 
0
'k y x
.
d



1
1
6
k  



6k 



3
00
4 2 6xx   



0
1x 
.
0
1x 



 
0
4yx 



 
: 6 1 4yx    



: 6 10yx   
.
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong

Tiếp tuyến và sự tiếp xúc
9
Vy tiếp tuyến vuông gc với

d
của
 
C
là
: 6 10yx   
.
Chú ý. (Vị trí tương đi và gc giữa hai đường thẳng c phương trnh dạng h s gc)
Cho
1 1 1
: y k x m  
và
2 2 2
: y k x m  
. Ta có:

12
  



12
12
kk
mm






;

12




12
12
kk
mm





;

12
  



12
1kk 
;
 Cho
 
0 ;90



, ta có:
1

tạo với
2

góc




12
12
tan
1
kk
kk




;
Đc bit, nếu
2
0k 
thì:
1

tạo với

2

góc




1
tank


.
Ví dụ 4. [ĐHD05] Cho
32
11
3 2 3
m
y x x  

 
m
C
. Gọi
M
là điểm thuc
 
m
C
c hoành đ
bng

1
. Tìm
m
để tiếp tuyến tại
M
của
 
m
C
song song với đường thẳng
:5 0d x y
.
Giải. Phương trnh tiếp tuyến tại
M
của
 
m
C
là


    
: ' 1 1 1y y x y    



  
: 1 1
2
m

y m x    



 
: 1 1
2
m
y m x    
.
Ta có
:5d y x
. Do đ
d



15
10
2
m
m










4m
.
Vy tiếp tuyến tại
M
của
 
m
C
song song với đường thẳng
d



4m
.
Ví dụ 5. Cho
42
1
32
24
y mx m x

   



 
m

C
. Gọi
A
và
B
ln lưt là cc điểm c hoành đ
bng
1
và
2
của
 
m
C
. Tìm
m
để cc tiếp tuyến của
 
m
C
tại
A
và
B
vuông gc với nhau.
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong

Tiếp tuyến và sự tiếp xúc
10

Giải. Ta có
 
3
1
' 4 6
12
y x mx m x

  




h s gc cc tiếp tuyến của
 
m
C
tại
A
và
B
ln
lưt là
 
1
' 1 10
12
ym   
và
 

1
' 2 44
6
ym
. Do đ cc tiếp tuyến của
 
m
C
tại
A
và
B

vuông gc với nhau khi và chỉ khi
   
' 1 ' 2 1yy   



11
10 44 1
12 6
mm
  
    
  
  



2
16 71
440 0
3 72
mm  



1
24
71
1320
m
m








.
C. Bài tập
Bài 1. Viết phương trnh tiếp tuyến của
 
C
biết
1)
 

C
là đồ thị hàm s
32
3 5 1y x x x   
, tiếp tuyến c h s gc nhỏ nhất.
2)
 
C
là đồ thị hàm s
32
1
52
3
y x x x    
, tiếp tuyến c h s gc lớn nhất.
Bài 2. Cho
32
1
1
3
y x mx x m    

 
C
. Tìm
m
để h s gc của tiếp tuyến c h s gc nhỏ
nhất của đồ thị là
10
. Viết phương trnh cc tiếp tuyến đ.

Bài 3. Viết phương trnh tiếp tuyến của
 
C
biết rng
1) [ĐHB06]
 
C
là đồ thị hàm s
2
1
2
xx
y
x



và tiếp tuyến vuông gc với đường thẳng
:1d y x
.
2)
 
C
là đồ thị hàm s
12
21
x
y
x




và tiếp tuyến song song với đường thẳng
:4 1 0d x y  
.
3)
 
C
là đồ thị hàm s
32
11
21
22
y x x x   
và tiếp tuyến tạo với đường thẳng
: 3 1 0d x y  
góc
45
.
Bài 4. Tm tất cả cc điểm trên đồ thị
 
C
của hàm s
3
12
33
y x x  
mà tiếp tuyến tại đ
vuông gc với đường thẳng

12
:
33
d y x  
.
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong

Tiếp tuyến và sự tiếp xúc
11
Bài 5. Cho
   
32
1
1 3 4 1
3
y mx m x m x     

 
m
C
. Tm điu kin của
m
để
 
m
C
c tiếp
tuyến vuông gc với đường thẳng
2012yx

.
D. Hướng dẫn và đáp số
Bài 1 1)
22yx
; 2)
7
6
3
yx
. Bài 2
3m 
,
3m 
thì tiếp tuyến là
1
: 10 11d y x  
,
3m 
thì tiếp tuyến là
2
: 10 13d y x  
. Bài 3 1)
2 2 5yx   
,
2 2 5yx   
; 2)
47yx  
3)
11
22

yx
,
1 229
2 54
yx
,
21yx  
,
29
2
27
yx  
. Bài 4
 
2;0

và
4
2;
3



.
Bài 5
1
48
m 
hoc
7

240
m 
. hoctoancapba.com



hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong

Tiếp tuyến và sự tiếp xúc
12
§4. Một số tính chất hình học của tiếp tuyến
A. Tóm tắt lý thuyết
Phn này sử dụng mt s kiến thc sau:
1. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng
Cho điểm
 
00
;M x y
và đường thẳng
:0ax by c   
. Ta c công thc tính khoảng cch t
M
đến

:
 
00
22
;

ax by c
dM
ab



.
2. Giao điểm của hai đường thẳng
Tọa đ giao điểm của hai đường thẳng là nghim của h gồm cc phương trnh đường thẳng.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho
32
24y x x x  

 
C
. Viết phương trnh cc tiếp tuyến của
 
C
biết tiếp tuyến
tạo với
Ox
góc
45
.
Giải. H s gc của tiếp tuyến

tại điểm c hoành đ
0
x

của
 
C
là:
 
2
0 0 0
' 6 8 1k y x x x   
.
Ta có
 
, 45Ox



tan45k 



1
1
k
k





.


1k 



2
00
6 8 1 1xx  



0
0
0
4
3
x
x







.
+)
0
0x 



 
0
0yx 



: yx
.
+)
0
4
3
x 



 
0
28
27
yx 



4 28
: 1.
3 27
yx


   





64
:
27
yx  
.

1k 



2
00
6 8 1 1xx   



0
0
1
1
3
x
x








.
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong

Tiếp tuyến và sự tiếp xúc
13
+)
0
1x 



 
0
1yx 



 
: 1 1yx    



: yx  

.
+)
0
1
3
x 



 
0
1
27
yx 



11
:
3 27
yx

    





8
:

27
yx   
.
Cc tiếp tuyến tạo với
Ox
góc
45
của
 
C
là:
yx
,
64
27
yx
,
yx
,
8
27
yx  
.
Ví dụ 2. Cho
1
21
x
y
x





 
C
. Viết phương trnh tiếp tuyến của
 
C
biết tiếp tuyến cch
11
;
22
I




mt khoảng bng
3
10
.
Giải. Phương trnh tiếp tuyến của
 
C
tại điểm c hoành đ
0
x
(
0
1

2
x 
) là:

    
0 0 0
:'y y x x x y x   



 
 
0
0
2
0
0
1
3
:
21
21
x
y x x
x
x


   






 
2
2
0 0 0
:3 2 1 2 4 1 0x x y x x      




 
 
   
2
2
0 0 0
0
44
00
31
2 1 2 4 1
3 2 1
22
;
9 2 1 9 2 1
x x x
x

dI
xx
     

  
   
.
Do đ:
 
3
;
10
dA



 
0
4
0
3 2 1
3
10
9 2 1
x
x






   
42
00
2 1 10 2 1 9 0xx    



 
 
2
0
2
0
2 1 1
2 1 9
x
x









0

0
0
0
0
1
1
2
x
x
x
x










.

0
0x 



 
 

0
0
'3
1
yx
yx










: 3 1yx   
.

0
1x 



 
 
0
0
'3
2

yx
yx










 
: 3 1 2yx    



: 3 5yx   
.
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong

Tiếp tuyến và sự tiếp xúc
14

0
1x 



 
 
0
0
1
'
3
0
yx
yx










 
1
3
:1yx   



11
33
: yx   

.

0
2x 



 
 
0
0
1
'
3
1
yx
yx










 
1
3

: 2 1yx    



15
33
: yx   
.
Vy c bn tiếp tuyến thỏa mãn yêu cu bài ton là:
31yx  
,
35yx  
,
11
33
yx  
,
15
33
yx  
.
Ví dụ 3. Cho
32
1
x
y
x




 
C
.Viết phương trnh tiếp tuyến của
 
C
biết tiếp tuyến cch đu cc
điểm
 
7;6A 
và
 
3;10B 
.
Giải. Phương trnh tiếp tuyến của
 
C
tại điểm c hoành đ
0
x
(
0
1x 
) là:
    
0 0 0
:'y y x x x y x   



 
 
0
0
2
0
0
32
5
:
1
1
x
y x x
x
x

    





 
2
2
0 0 0
:5 1 2 6 3 0x x y x x      
.


cch đu cc điểm
A
và
B
khi và chỉ khi:
   
;;d A d B  


 
 
 
 
22
22
0 0 0 0 0 0
44
00
35 6 1 2 6 3 15 10 1 2 6 3
25 1 25 1
x x x x x x
xx
           

   



22
0 0 0 0

8 6 32 12 14 8x x x x    



22
0 0 0 0
4 3 16 6 7 4x x x x    



 
22
0 0 0 0
22
0 0 0 0
4 3 16 6 7 4
4 3 16 6 7 4
x x x x
x x x x

    

     




 
2
00

2
00
2 6 0 ' 5 0
20
voânghieämxx
xx

       

  






0
0
1
2
x
x





.
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong

Tiếp tuyến và sự tiếp xúc
15

0
1x 



 
 
0
0
5
'
4
1
2
yx
yx












 
51
4
:
2
1yx    



57
44
: yx   
.

0
2x 



 
 
0
0
'5
7
yx
yx











 
: 5 2 7yx    



: 5 17yx   
.
Vy phương trnh cc tiếp tuyến cch đu
A
và
B
của
 
C
là
57
44
yx  
,
5 17yx  
.

Ví dụ 4. Cho
21
1
x
y
x




 
C
. Tm tọa đ điểm
 
MC
sao cho khoảng cch t điểm
 
1;2I

tới tiếp tuyến của
 
C
tại
M
đạt gi trị lớn nhất.
Giải. Giả sử
0
x
là hoành đ của
M


tiếp tuyến tại
M
của
()C
c phương trnh:

    
0 0 0
:'y y x x x y x   



 
 
0
2
0
0
33
:2
1
1
y x x
x
x
     





 
2
2
0 0 0
3 1 2 5 0x x y x x     



 
 
   
 
 
2
2
0 0 0
0
44
2
00
0
2
0
3 2 1 2 2 1
61
6
;

9
9 1 9 1
1
1
x x x
x
dI
xx
x
x
    

   
   


.
Theo bất đẳng thc Cô-si:
 
 
2
0
2
0
9
1 2 9 6
1
x
x
   


, suy ra
 
, 6dI 
. Đẳng thc xảy ra
khi và chỉ khi
 
 
2
0
2
0
9
1
1
x
x





 
2
0
13x 



0

13x   
.
Vy khoảng cch
 
;dI
lớn nhất bng
6
, đạt đưc khi và chỉ khi
0
13x   



 
1 3;2 3M   
hoc
 
1 3;2 3M   

Ví dụ 5. [ĐHD07] Cho
2
1
x
y
x



 
C

. Tm tọa đ điểm
M
thuc
 
C
biết tiếp tuyến của
 
C

tại
M
cắt hai trục
Ox
,
Oy
tại
A
,
B
sao cho tam giác
OAB
c din tích bng
1
4
.
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong

Tiếp tuyến và sự tiếp xúc
16

Giải. Ta có
 
2
2
'
1
y
x


. Xét điểm
 
MC
,
M
c hoành đ
0
x
. Ta c phương trnh tiếp tuyến
với
 
C
tại
M
: hoctoancapba.com
    
0 0 0
: y f x x x f x

   



 
 
0
0
2
0
0
2
2
:
1
1
x
y x x
x
x
   





   
2
0
22
00

2
2
:
11
x
x
y
xx
  

.

A Ox 



   
2
0
22
00
:
2
2
11
0
A
x
x
y

x
y
x











 
2
0
;0Ax
,
B Oy  



   
2
0
22
00
:
2

2
11
0
B
x
x
y
x
x
x











 
2
0
2
0
2
1
0;
x

x
B





.
Ta có
2
0
OA x
,
 
2
0
2
0
2
1
x
OB
x





 
4

0
2
0
.
2
1
ABC
x
OAOB
S
x


.


1
4
OAB
S 



 
4
0
2
0
1
4

1
x
x





 
2
00
4
14xx



 
00
0
2
0
2
21
21
xx
xx



 







 
00
00
2
2
2 1 0
2 1 0 7 0 voânghieäm
xx
xx

      









0
1
0
2

1x
x








 
1;1
1
;2
2
M
M









.
C. Bài tập
Bài 1. Cho
42

1
23
2
y mx m x

   



 
m
C
. Tìm
m
để tiếp tuyến của
 
m
C
tại cc điểm c
hoành đ bng
1
và
3
tạo với nhau mt gc c cô-sin bng
3
13
.
Bài 2. Cho
3
4

x
y
x




 
C
. Viết phương trnh tiếp tuyến của
 
C
biết tiếp tuyến cch
 
4; 1A 
mt khoảng bng
72
5
.
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong

Tiếp tuyến và sự tiếp xúc
17
Bài 3. Cho
1
34
x
y
x





 
C
. Viết phương trnh tiếp tuyến của
 
C
biết khoảng cch t điểm
41
;
33
I




tới tiếp tuyến đạt gi trị lớn nhất.
Bài 4. [ĐHA09] Cho
2
23
x
y
x




 

C
. Viết phương trnh tiếp tuyến của
 
C
biết tiếp tuyến cắt
cc trục tọa đ tại cc điểm
A
,
B
sao cho tam giác
OAB
cân tại
O
.
Bài 5. Cho
 
3
21
x
y
x




 
C
. Viết phương trnh tiếp tuyến của
 
C

biết tiếp tuyến cắt cc trục
tọa đ tại cc điểm
A
,
B
sao cho trung trực của đoạn thẳng
AB
đi qua gc tọa đ
O
.
Bài 6. Cho
2
2
x
y
x



 
C
. Viết phương trnh tiếp tuyến của
 
C
biết rng tiếp tuyến cắt cc
trục tọa đ
Ox
,
Oy
ln lưt tại hai điểm

A
,
B

phân bit sao cho
2AB OA
.
D. Hướng dẫn và đáp số
Bài 1.
1
48
m 
hoc
7
240
m 
. Bài 2. Cc tiếp tuyến thỏa mãn yêu cu bài ton là:
7 15yx  
,
7 43yx  
,
13
77
yx  
,
1 25
77
yx  
. Bài 3. Cc tiếp tuyến thỏa mãn yêu
cu bài ton là:

1yx
,
7
3
yx
. Bài 4. Đồ thị c đng mt tiếp tuyến thỏa mãn yêu cu bài
toán là
2yx  
. Bài 5. Cc tiếp tuyến thõa mãn yêu cu bài ton là
3
2
yx  
,
5
2
yx  
.
Bài 6.

Đồ thị c đng mt tiếp tuyến thỏa mãn yêu cu bài ton là
4yx  
.
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong

Tiếp tuyến và sự tiếp xúc
18
§5. Điều kiện tiếp xúc
A. Tóm tắt lý thuyết

1. Định nghĩa (Hình 1). Cho
 
y f x

 
C
và
 
y g x

 
'C
.
 
C
và
 
'C
tiếp xc với nhau tại điểm
 
00
;M x y
nếu cả hai điu
kin sau đây thỏa mãn:

M
là mt điểm chung của
 
C

và
 
'C
;
 Tiếp tuyến của hai đường cong tại
M
trùng nhau.
Điểm
M
đưc gọi gọi là tiếp điểm của hai đường cong đã cho.

Hình 1

2. Điều kiện tiếp xúc. Để xét sự tiếp xc của hai đồ thị hàm s
 
y f x

 
C
và
 
y g x

 
'C
, ta xét h:
   
   
''
f x g x

f x g x







.
 
*

Ta có:

 
C
và
 
'C
tiếp xc nhau

h
 
*
c nghim đi với

x
;
 Nghim của
 

*
chính là hoành đ tiếp điểm;

0
x
là hoành đ tiếp điểm

tiếp tuyến chung của
 
C
và
 
'C
tại điểm c hoành đ
0
x

là:
    
0 0 0
'y f x x x f x  
.
Hệ quả. Đường thẳng
y kx m
là tiếp tuyến của đồ thị hàm s
 
y f x

 
C

khi và chỉ khi
h
 
 
'
f x kx m
f x k








c nghim đi với
x
.
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. [SGKNC] Cho
3
5
2
4
y x x  

 
C
và
2

2y x x  

 
'C
. Chng minh
 
C
và
 
'C

tiếp xc nhau và viết phương trnh tiếp tuyến chung.
y
x
O
y
0
x
0
M
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong

Tiếp tuyến và sự tiếp xúc
19
Giải. K hiu
 
3
5
4

2f x x x  
và
 
2
2g x x x  
. Xét h:
   
   
''
f x g x
f x g x








 
I
.
Ta có
 
I



 
32

'
'
32
5
22
4
5
22
4
x x x x
x x x x

    





    







32
4
2
0

5
3 2 1
4
x
xx
xx

  


  





1
2
x 
.
Vy
 
C
và
 
'C
tiếp xc nhau tại điểm c hoành đ bng
1
2
.

15
24
1
'2
2
g
g





  










phương trnh tiếp tuyến chung là:
15
2
24
yx

  



hay
9
2
4
yx
.
Ví dụ 2. [SGK] Chng minh rng đường thẳng
y kx m
là tiếp tuyến của parabol
2
y ax bx c  
(
0a 
) khi và chỉ khi phương trnh
2
ax bx c kx m   

 
1
c nghim kép.
Giải. Ta có
 
1



 
2

0ax b k x c m    
(
   
2
4b k a c m    
).
Do đ:
 
1
c nghim kép


0



   
2
40b k a c m   
.
Đường thẳng và parabol đã cho tiếp xc nhau khi và chỉ khi h sau đây c nghim đi với
x

 
I

2
2
ax bx c kx m
ax b k


   



.
Ta có
 
I



     
 
2
01
2
2
ax b k x c m
kb
x
a

    







.
 
I
c nghim


2
kb
x
a


là nghim của
 
1



   
2
0
22
k b k b
a b k c m
aa


     





   
 
22
0
42
b k b k
cm
aa

   

hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong

Tiếp tuyến và sự tiếp xúc
20


   
2
40b k a c m   



 
1
c nghim kép (ĐPCM). hoctoancapba.com

Ví dụ 3. [SGKNC] Viết phương trnh đường thẳng qua điểm
 
1; 2A 
và tiếp xc với parabol
2
2y x x
.
Giải. Phương trnh đường thẳng qua
 
1; 2A 
c h s gc
k
c dạng
 
: 1 2y k x   



:2y kx k   
.
Xét phương trnh
2
22x x kx k   
hay
 
2
22x k x k   

 
1

(
   
2
2 4 2kk    
).

tiếp xc với parabol đã cho


 
1
c nghim kép


0



2
2
k
k





.

2k 



 
: 2 1 2yx    



:2yx  
.

2k 



 
: 2 1 2yx   



: 2 4yx  
.
Vy qua điểm
A
c hai đường thẳng tiếp xc với parabol là:
2yx
và
24yx
.
Ví dụ 4. [ĐHB08] Cho

32
4 6 1y x x  

 
C
. Viết phương trnh cc tiếp tuyến đi qua điểm
 
1; 9M 

của
 
C
.
Giải. Đường thẳng qua
M
, h s gc
k
c phương trnh dạng
 
: 1 9y k x   
.

là tiếp tuyến của
 
C
khi và chỉ khi h sau đây c nghim
 
I

   

 
32
2
4 6 1 1 9 1
12 12 2
x x k x
x x k

    





.
Thế
 
2
vào
 
1
ta có:
 
 
3 2 2
4 6 1 12 12 1 9x x x x x     



32

4 3 6 5 0x x x   



5
4
1
x
x






.
Do đ:
 
I
c nghim


5
4
x 
là nghim của
 
2
hoc
1x 

là nghim của
 
2
.
 Thay
5
4
x 
vào
 
2
ta có
15
4
k 



 
15
: 1 9
4
yx   



15 21
:
44
yx  

.
hoctoancapba.com - Kho thi THPT quc gia, kim tra cú ỏp ỏn, ti liu ụn thi i hc mụn toỏn
Trung tõm Ti c 281 Vn Chng Phm Hng Phong

Tip tuyn v s tip xỳc
21
Thay
1x
vo

2
ta cú
24k




: 24 1 9yx



: 24 15yx
.
Vy phng trnh cc tip tuyn i qua im
M
ca

C
l
15 21

44
yx
,
24 15yx
.
Vớ d 5. [HD02] Cho

2
21
1
m x m
y
x





C
v
:d y x
. Tỡm
m


C
tip xc vi
d
.
Gii.

C
tip xc vi
d
khi v ch khi h sau õy c nghim i vi
x


I



'1
f x x
fx







.
Ta cú

I

2
2
21
1
1
1
1
m x m
x
x
m
x

2
2 1 1 1
2
1
m x m x x
xm
xm
x















Do

I
c nghim khi v ch khi

1
1
21
21
laứ nghieọm cuỷa
laứ nghieọm cuỷa
m
m
m
m

2
2
1
2 1 1
21
2 1 2 2 1
m
m m m m m
m
m m m m m

1
1
1
m
m
m
m

1m
.
Vy


C
tip xc vi
d



1m
.
C. Bi tp
Bi 1. [SGK] Chng minh cc th sau tip xỳc nhau v vit phng trnh tip tuyn chung
1)
2
31y x x
v
2
23
1
xx
y
x

.
2)
2
3
22
x
yx
v
3
2
x
y
x


.
3)

2
36y f x x x
,

32
4y g x x x
v

2
78y h x x x
.
Bi 2. [SGK] Chng minh cú hai tip tuyn ca parabol

2
3y x x
i qua im
35
;
22
A




v
chỳng vuụng gúc vi nhau.
hoctoancapba.com - Kho đề thi THPT quốc gia, đề kiểm tra có đáp án, tài liệu ôn thi đại học môn toán
Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong

Tiếp tuyến và sự tiếp xúc
22
Bài 3. Viết phương trnh tiếp tuyến qua
A
của đồ thị
 
C
trong cc trường hp sau:
1)
23
;2
9
A





,
 
C
là đồ thị hàm s
32
32y x x  
.
2)
 
6;5A 
,
 
C
là đồ thị hàm s
2
2
x
y
x



.
Bài 4. Chng minh rng qua
 
1;0A
có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau của đồ thị hàm s

2
22
1
xx
y
x



.
Bài 5. Tìm
m
để đường thẳng
9y mx
tiếp xúc với đồ thị
42
87y x x  
.
D. Hướng dẫn và đáp số
Bài 1 1)
5yx
; 2)
3
2
yx
; 3)
57yx
. Chú ý. Ba đồ thị hàm s
 
y f x

,
 
y g x
,
 
y h x
tiếp xúc nhau khi và chỉ khi h
     
     
' ' '
f x g x h x
f x g x h x







có nghim đi với
x
. Bài 2
Đường thẳng

qua
35
;
22
A





có h s góc
k



35
:
22
y k x

   


. Ta chng minh tồn tại
hai giá trị của
k
có tích bng
1
sao cho phương trnh
2
35
3
22
x x k x

   



có nghim kép.
Bài 3 1)
5 61
3 27
yx  
,
9 25yx
,
2y 
; 2)
1yx  
,
17
42
yx  
. Bài 4 Chng minh
tồn tại hai giá trị của
k
có tích bng
1
sao cho h
 
2
'
2
22
1
1
22

1
xx
kx
x
xx
k
x
















có nghim. Bài 5
0m 
.