100 câu Khảo sát hàm số - Trần Sĩ Tùng

www.VNMATH.com

TRAÀN SÓ TUØNG
---- ›š & ›š ----

















TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG

Naêm 2011

www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng 100 Khảo sát hàm số
Trang 1

KSHS 01: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Câu 1. Cho hàm số ymxmxmx
32
1
(1)(32)
3
=-++- (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi
m 2=
.
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó.

·
Tập xác định: D = R. ymxmxm
2
(1)232

¢
=-++-.
(1) đồng biến trên R
Û
yx0,
¢
³"
Û

m 2³


Câu 2. Cho hàm số
mx
y
xm
4+
=
+
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
m 1=-
.
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (;1)-¥ .

·
Tập xác định: D = R \ {–m}.
m
y
xm

2
2
4
()
-
¢
=
+
.
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định
Û
ym022
¢
<Û-<< (1)
Để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (;1)-¥ thì ta phải có
mm11-³Û£-
(2)
Kết hợp (1) và (2) ta được:
m21-<£-
.

Câu 3. Cho hàm số yxxmx
32
34=+-- (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
m 0=
.
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (;0)-¥ .

·

m 3£-


Câu 4. Cho hàm số
yxmxmmx
32
23(21)6(1)1=-++++
có đồ thị (C
m
).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (2;)+¥

·
yxmxmm
2
'66(21)6(1)=-+++ có mmm
22
(21)4()10
D
=+-+=>

xm
y
xm
'0
1
é
=

=Û
ê
=+
ë
. Hàm số đồng biến trên các khoảng mm(;),(1;)-¥++¥
Do đó: hàm số đồng biến trên (2;)+¥
Û m 12+£ Û m 1£


Câu 5. Cho hàm số
42
231yxmxm=--+
(1), (m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; 2).

·
Ta có
32
'444()yxmxxxm=-=-
+ 0m £ ,
0,
¢
³"yx

Þ
0m £ thoả mãn.
+ 0m > ,
0
¢

=y
có 3 nghiệm phân biệt:
, 0, mm-
.
Hàm số (1) đồng biến trên (1; 2) khi chỉ khi 1 01£Û<£mm. Vậy
(
]
;1mÎ-¥ .

Câu 6. Cho hàm số
32
(12)(2)2yxmxmxm=+-+-++.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
2) Tìm m để hàm đồng biến trên
( )
0; +¥ .
www.VNMATH.com
100 Kho sỏt hm s Trn S Tựng
Trang 2


ã
Hm ng bin trờn (0;)+Ơ yxmxm
2
3(12)(22 )0
Â
+=-+- vi x 0)( ;"ẻ +Ơ

x
fxm

x
x
2
23
()
41
2+
=
+
+
vi x 0)( ;"ẻ +Ơ
Ta cú:
x
fxx
x
xx
x
2
2
2
2(6
()0
3)173
36
(41
0
12
)
+--
+-==

Â
==
+

Lp bng bin thiờn ca hm fx() trờn (0;)+Ơ , t ú ta i n kt lun:
fmm
173373
128
ổử
-++

ỗữ
ỗữ
ốứ




KSHS 02: CC TR CA HM S

Cõu 7. Cho hm s yxxmxm
32
32=+++ (m l tham s) cú th l (C
m
).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 3.
2) Xỏc nh m (C
m
) cú cỏc im cc i v cc tiu nm v hai phớa i vi trc honh.

ã
PT honh giao im ca (C) v trc honh:
xxmxm
32
320(1)+++=


x
gxxxm
2
1
()220(2)
ộ
=-
ờ
=++-=
ở

(C
m
) cú 2 im cc tr nm v 2 phớa i vi trc 0x

PT (1) cú 3 nghim phõn bit


(2) cú 2 nghim phõn bit khỏc 1


m
gm

30
(1)30
D
ỡ
Â
=->
ớ
-=-ạ
ợ



m 3<


Cõu 8. Cho hm s yxmxmmx
322
(21)(32)4=-++--+- (m l tham s) cú th l (C
m
).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 1.
2) Xỏc nh m (C
m
) cú cỏc im cc i v cc tiu nm v hai phớa ca trc tung.

ã
yxmxmm
22
32(21)(32)
Â

=-++--+.
(C
m
) cú cỏc im C v CT nm v hai phớa ca trc tung

PT y 0
Â
= cú 2 nghim trỏi
du

mm
2
3(32)0-+<


m12<<
.

Cõu 9. Cho hm s
32
1
(21)3
3
yxmxmx=-+-- (m l tham s) cú th l (C
m
).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 2.
2) Xỏc nh m (C
m
) cú cỏc im cc i, cc tiu nm v cựng mt phớa i vi trc tung.

ã
TX: D = R ; yxmxm
2
221
Â
=+.
th (C
m
) cú 2 im C, CT nm cựng phớa i vi trc tung

y 0
Â
= cú 2 nghim phõn
bit cựng du


2
210
210
ỡ
Â
ù
D=-+>
ớ
->
ù
ợ
mm
m

1
1
2
m
m
ạ
ỡ
ù

ớ
>
ù
ợ


Cõu 10. Cho hm s
32
32yxxmx=--+ (m l tham s) cú th l (C
m
).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 1.
2) Xỏc nh m (C
m
) cú cỏc im cc i v cc tiu cỏch u ng thng yx1=-.
www.VNMATH.com
Trn S Tựng 100 Kho sỏt hm s
Trang 3

ã

Ta cú:
2
'36=--yxxm.
Hm s cú C, CT
2
'360yxxm=--= cú 2 nghim phõn bit
12
;xx

'9303mmD=+>>-
(*)
Gi hai im cc tr l
( ) ( )
1212
;;;ABxyyx
Thc hin phộp chia y cho y
Â
ta c:
112
'22
3333
mm
yxyx
ổửổửổử
=--++-
ỗữỗữỗữ
ốứốứốứ


ị

( ) ( )
11 1222
22
22;22
3333
ổửổửổửổử
-++--++-
ỗữỗữỗữỗữ
ốứốứốứ
==
ứ
==
ố
yyxyy
m
x
mmm
xx

ị
Phng trỡnh ng thng i qua 2 im cc tr l
D
:
2
22
33
mm
yx
ổửổử

=-++-
ỗữỗữ
ốứốứ

Cỏc im cc tr cỏch u ng thng yx1=-

xy ra 1 trong 2 trng hp:
TH1: ng thng i qua 2 im cc tr song song hoc trựng vi ng thng yx1=-

23
21
32
m
m
ổử
-+=
ỗ
=-
ữ
ốứ
(tha món)
TH2: Trung im I ca AB nm trờn ng thng yx1=-

( ) ( )
2
121
121
2
2
2211

22
22
33
22
3.260
33
ổửổử
-+++-=+-
ỗữỗữ
ốứốứ
ổử
+=-
++
=-=-
=
ỗữ
ốứ
II
x mm
xxxx
x
mm
y
y
m
y
x

Vy cỏc giỏ tr cn tỡm ca m l:
3

0;
2
m
ỡỹ
=-
ớý
ợỵ


Cõu 11. Cho hm s yxmxm
323
34=-+ (m l tham s) cú th l (C
m
).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 1.
2) Xỏc nh m (C
m
) cú cỏc im cc i v cc tiu i xng nhau qua ng thng y = x.

ã
Ta cú: yxmx
2
36
Â
=- ;
x
y
xm
0
0

2
ộ
=
Â
=
ờ
=
ở
. hm s cú cc i v cc tiu thỡ m
ạ
0.
th hm s cú hai im cc tr l: A(0; 4m
3
), B(2m; 0)
ị
ABmm
3
(2;4)=-
uur

Trung im ca on AB l I(m; 2m
3
)
A, B i xng nhau qua ng thng d: y = x


ABd
Id
ỡ
^

ớ
ẻ
ợ



mm
mm
3
3
240
2
ỡ
ù
-=
ớ
=
ù
ợ

m
2
2
=

Cõu 12. Cho hm s yxmxm
32
331=-+--.
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Vi giỏ tr no ca m thỡ th hm s cú im cc i v im cc tiu i xng vi

nhau qua ng thng d: xy8740+-=.

ã
yxmx
2
36
Â
=-+ ; yxxm002
Â
=== .
Hm s cú C, CT

PT y 0
Â
= cú 2 nghim phõn bit


m 0ạ
.
Khi ú 2 im cc tr l: AmBmmm
3
(0;31),(2;431)----
ị
ABmm
3
(2;4)
uuur

Trung im I ca AB cú to : Immm
3

(;231)--
ng thng d: xy8740+-= cú mt VTCP (8;1)u =-
r
.
www.VNMATH.com
100 Kho sỏt hm s Trn S Tựng
Trang 4

A v B i xng vi nhau qua d


Id
ABd
ẻ
ỡ
ớ
^
ợ



3
8(231)740
.0
mmm
ABu
ỡ
+---=
ù
ớ

=
ù
ợ
uuurr



m 2=


Cõu 13. Cho hm s yxxmx
32
3=-+ (1).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 0.
2) Vi giỏ tr no ca m thỡ th hm s (1) cú cỏc im cc i v im cc tiu i xng
vi nhau qua ng thng d: xy250= .

ã
Ta cú yxxmxyxxm
322
3'36=-+ị=-+
Hm s cú cc i, cc tiu

y 0
Â
= cú hai nghim phõn bit
mm9303
D
Â
=-><

Ta cú:
yxymxm
1121
2
3333
ổửổử
Â
=-+-+
ỗữỗữ
ốứốứ

Ti cỏc im cc tr thỡ y 0
Â
= , do ú ta cỏc im cc tr tha món phng trỡnh:

ymxm
21
2
33
ổử
=-+
ỗữ
ốứ

Nh vy ng thng
D
i qua cỏc im cc tr cú phng trỡnh
ymxm
21

2
33
ổử
=-+
ỗữ
ốứ

nờn
D
cú h s gúc km
1
2
2
3
=-.
d: xy250= yx
15
22
=-
ị
d cú h s gúc k
2
1
2
=
hai im cc tr i xng qua d thỡ ta phi cú d
^

D

ị

kkmm
12
12
1210
23
ổử
=--=-=
ỗữ
ốứ

Vi m = 0 thỡ th cú hai im cc tr l (0; 0) v (2; 4), nờn trung im ca chỳng l
I(1; 2). Ta thy I
ẻ
d, do ú hai im cc tr i xng vi nhau qua d.
Vy: m = 0

Cõu 14. Cho hm s yxmxxm
32
3(1)92=-+++- (1) cú th l (C
m
).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Vi giỏ tr no ca m thỡ th hm s cú im cc i v im cc tiu i xng vi
nhau qua ng thng d: yx
1
2
= .

ã
yxmx
2
'36(1)9=-++
Hm s cú C, CT

m
2
'9(1)3.90
D
=+-> m (;13)(13;)ẻ-Ơ--ẩ-++Ơ
Ta cú
m
yxymmxm
2
11
2(22)41
33
ổử
+
Â
=--+-++
ỗữ
ốứ

Gi s cỏc im cc i v cc tiu l AxyBxy
1122
(;),(;), I l trung im ca AB.
ymmxm

2
11
2(22)41ị=-+-++; ymmxm
2
22
2(22)41=-+-++
v:
xxm
xx
12
12
2(1)
.3
ỡ
+=+
ớ
=
ợ

Vy ng thng i qua hai im cc i v cc tiu l ymmxm
2
2(22)41=-+-++
www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng 100 Khảo sát hàm số
Trang 5

A, B đối xứng qua (d): yx
1
2
=

Û

ABd
Id
ì
^
í
Î
î

Û

m 1=
.

Câu 15. Cho hàm số mxxmxy -++-= 9)1(3
23
, với m là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với
1=m
.
2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại
21
, xx sao cho 2
21
£- xx .

·
Ta có .9)1(63'
2

++-= xmxy
+ Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại
21
, xx
Û
PT 0'=y có hai nghiệm phân biệt
21
, xx

Û
PT 03)1(2
2
=++- xmx có hai nghiệm phân biệt là
21
, xx .

ê
ê
ë
é
--<
+->
Û>-+=DÛ
31
31
03)1('
2
m
m
m )1(

+ Theo định lý Viet ta có .3);1(2
2121
=+=+ xxmxx Khi đó:

( ) ( )
41214442
2
21
2
2121
£-+Û£-+Û£- mxxxxxx
mm
2
(1)431Û+£Û-££ (2)
+ Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m cần tìm là 313 --<£- m và .131 £<+- m

Câu 16. Cho hàm số yxmxmxm
32
(12)(2)2=+-+-++, với m là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với
1=m
.
2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại xx
12
, sao cho xx
12
1
3
->.

·
Ta có: yxmxm
2
'3(1222)()=-+-+
Hàm số có CĐ, CT y '0Û= có 2 nghiệm phân biệt xx
12
, (giả sử xx
12
< )

m
mmmm
m
22
5
'(12)3(2)450
4
1
D
é
>
ê
Û=---=-->Û
ê
<-
ë
(*)
Hàm số đạt cực trị tại các điểm xx
12
, . Khi đó ta có:

m
xx
m
xx
12
12
(12)
3
2
2
3
ì
-
+=-
ï
í
-
ï
=
î


( ) ( )
xxxx xxxx
2
12 122 21
2
1
1
3

1
4
9
Û=+-- >->
mmmmmm
22
329329
4(12)4(2)1161250
88
+-
Û--->Û-->Û>Ú<
Kết hợp (*), ta suy ra mm
329
1
8
+
>Ú<-

Câu 17. Cho hàm số yxmxmx
32
11
(1)3(2)
33
=--+-+, với m là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với
m 2=
.
2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại xx
12
, sao cho xx

12
21+=.

·
Ta có: yxmxm
2
2(1)3(2)
¢
=--+-
www.VNMATH.com
100 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
Trang 6

Hàm số có cực đại và cực tiểu
Û
y 0
¢
= có hai nghiệm phân biệt xx
12
,

Û

mm
2
05 70
D
¢
>Û-+>
(luôn đúng với

"
m)
Khi đó ta có:
xxm
xxm
12
12
2(1)
3(2)
ì
+=-
í
=-
î

Û

( )
xm
xxm
2
22
32
123(2)
ì
=-
ï
í
-=-
ï

î

mmm
2
434
81690
4
-±
Û+-=Û= .

Câu 18. Cho hàm số yxmxx
32
4–3=+ .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị xx
12
, thỏa xx
12
4=- .

·
yxmx
2
122–3
¢
=+ . Ta có: mm
2
360,
D
¢

=+>"
Þ
hàm số luôn có 2 cực trị xx
12
, .
Khi đó:
12
12
12
4
6
1
4
xx
m
xx
xx
ì
ï
=-
ï
ï
+=-
í
ï
ï
=-
ï
î

9
2
mÞ=±
Câu hỏi tương tự:
a) yxxmx
32
31=+++; xx
12
23+= ĐS:
m 105=-
.

Câu 19. Cho hàm số
ymxxmx
32
(2)35=+++-
, m là tham số.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0.
2) Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ
là các số dương.

·
Các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương

Û
PT ymxxm =
2
'3(2)60=+++ có 2 nghiệm dương phân biệt

am

mm
mmm
m
mmmP
m
mm
S
m
2
(2)0
'93(2)0
'23031
00320
3(2)
202
3
0
2
D
D
ì
=+¹
ï
=-+>
ì
ì
=--+>-<<
ï
ïïï
ÛÛ<Û<Û-<<-=>

ííí
+
ïïï
+<<-
î
î
-
ï
=>
ï
+
î


Câu 20. Cho hàm số yxx
32
–32=+ (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2) Tìm điểm M thuộc đường thẳng d: yx32=-sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực
trị nhỏ nhất.

·
Các điểm cực trị là: A(0; 2), B(2; –2).
Xét biểu thức gxyxy(,)32=-- ta có:

AAAABBBB
gxyxygxyxy(,)3240;(,)3260=--=-<=--=>

Þ
2 điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng d: yx32=-.

Do đó MA + MB nhỏ nhất
Û
3 điểm A, M, B thẳng hàng
Û
M là giao điểm của d và AB.
Phương trình đường thẳng AB: yx22=-+
www.VNMATH.com
Trn S Tựng 100 Kho sỏt hm s
Trang 7

Ta im M l nghim ca h:
4
32
5
222
5
x
yx
yx
y
ỡ
=
ù
=-
ỡ
ù

ớớ
=-+
ợ

ù
=
ù
ợ
ị

42
;
55
M
ổử
ỗữ
ốứ


Cõu 21. Cho hm s yxmxmxm
32
(12)(2)2=++++ (m l tham s) (1).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s (1) khi m = 2.
2) Tỡm cỏc giỏ tr ca m th hm s (1) cú im cc i, im cc tiu, ng thi
honh ca im cc tiu nh hn 1.

ã
yxmxmgx
2
32(12)2()
Â
=+-+-=
YCBT

phng trỡnh y 0
Â
= cú hai nghim phõn bit xx
12
, tha món: xx
12
1<<.



mm
gm
Sm
2
450
(1)570
21
1
23
D
ỡ
Â
=-->
ù
ù
=-+>
ớ
-
ù
=<

ù
ợ


m
57
45
<<.

Cõu 22. Cho hm s
3223
33(1)yxmxmxmm=-+--+ (1)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi m = 1.
2) Tỡm m hm s (1) cú cc tr ng thi khong cỏch t im cc i ca th hm s
n gc ta O bng
2
ln khong cỏch t im cc tiu ca th hm s n gc ta
O.

ã
Ta cú
22
363(1)
Â
=-+-yxmxm
Hm s (1) cú cc tr thỡ PT 0
Â
=y cú 2 nghim phõn bit

22

210xmxm-+-= cú 2 nhim phõn bit 10, mD=>"
Khi ú: im cc i Amm(1;22)-- v im cc tiu Bmm(1;22)+--
Ta cú
2
322
2610
322
m
OAOBmm
m
ộ
=-+
=++=
ờ
=--
ờ
ở
.

Cõu 23. Cho hm s yxmxmxmm
32232
33(1)=-++-+- (1)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi
m 1=
.
2) Vit phng trỡnh ng thng qua hai im cc tr ca th hm s (1).
ã yxmxm
22
363(1)
Â

=-++- .
PT y 0
Â
= cú m10,
D
=>"
ị
th hm s (1) luụn cú 2 im cc tr xyxy
1122
(;),(;).
Chia y cho y
Â
ta c:
m
yxyxmm
2
1
2
33
ổử
Â
=-+-+
ỗữ
ốứ

Khi ú: yxmm
2
11
2=-+; yxmm
2

22
2=-+
PT ng thng qua hai im cc tr ca th hm s (1) l yxmm
2
2=-+.

Cõu 24. Cho hm s
32
32yxxmx=--+ cú th l (C
m
).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm m (C
m
) cú cỏc im cc i, cc tiu v ng thng i qua cỏc im cc tr song
song vi ng thng d: yx43=-+.
www.VNMATH.com
100 Kho sỏt hm s Trn S Tựng
Trang 8

ã Ta cú:
2
'36=--yxxm.
Hm s cú C, CT
2
'360yxxm=--= cú 2 nghim phõn bit
12
;xx

'9303mmD=+>>-

(*)
Gi hai im cc tr l
( ) ( )
1212
;;;ABxyyx
Thc hin phộp chia y cho y
Â
ta c:
112
'22
3333
mm
yxyx
ổửổửổử
=--++-
ỗữỗữỗữ
ốứốứốứ


ị

( ) ( )
11 1222
22
22;22
3333
ổửổửổửổử
-++--++-
ỗữỗữỗữỗữ
ốứốứốứ

==
ứ
==
ố
yyxyy
m
x
mmm
xx

ị
Phng trỡnh ng thng i qua 2 im cc tr l d:
2
22
33
mm
yx
ổửổử
=-++-
ỗữỗữ
ốứốứ

ng thng i qua cỏc im cc tr song song vi d: yx43=-+

2
24
3
3
23
3

m
m
m
ỡ
ổử
-+=-
ỗữ
ù
ùốứ
=
ớ
ổử
ù
-ạ
ỗữ
ù
ốứ
ợ
(tha món)

Cõu 25. Cho hm s
32
32yxxmx=--+ cú th l (C
m
).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm m (C
m
) cú cỏc im cc i, cc tiu v ng thng i qua cỏc im cc tr to
vi ng thng d: xy450+= mt gúc

0
45 .
ã Ta cú:
2
'36=--yxxm.
Hm s cú C, CT
2
'360yxxm=--= cú 2 nghim phõn bit
12
;xx

'9303mmD=+>>-
(*)
Gi hai im cc tr l
( ) ( )
1212
;;;ABxyyx
Thc hin phộp chia y cho y
Â
ta c:
112
'22
3333
mm
yxyx
ổửổửổử
=--++-
ỗữỗữỗữ
ốứốứốứ

ị

( ) ( )
11 1222
22
22;22
3333
ổửổửổửổử
-++--++-
ỗữỗữỗữỗữ
ốứốứốứ
==
ứ
==
ố
yyxyy
m
x
mmm
xx

ị
Phng trỡnh ng thng i qua 2 im cc tr l
D
:
2
22
33
mm

yx
ổửổử
=-++-
ỗữỗữ
ốứốứ

t
2
2
3
m
k
ổử
=-+
ỗữ
ốứ
. ng thng d: xy450+= cú h s gúc bng
1
4
- .
Ta cú:
3 3911
1
1
5
1044
4
tan45
1
115

1
1
1
4
4432
k
mkk
k
k
kkk m
ộ ộộ
=
=-+=-
+
ờ ờờ
=
ờ
ờờ
ờ
ờờ
-
+=-+=- =-
ờ
ờờ
ở ở
ở
o

Kt hp iu kin (*), suy ra giỏ tr m cn tỡm l:
1

2
m =-

Cõu 26. Cho hm s yxxm
32
3=++ (1)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi
m 4=-
.
2) Xỏc nh m th ca hm s (1) cú hai im cc tr A, B sao cho
ã
AOB
0
120=
.
www.VNMATH.com
Trn S Tựng 100 Kho sỏt hm s
Trang 9


ã
Ta cú: yxx
2
36
Â
=+;
xym
y
x ym
24

0
0
ộ
=-ị=+
Â
=
ờ
=ị=
ở

Vy hm s cú hai im cc tr A(0 ; m) v B(
-
2 ; m + 4)
OAm OBm(0;),(2;4)==-+
uuruur
.
ã
AOB
0
120=
thỡ AOB
1
cos
2
=-

( )
( )
mmm
mmmm

mm
mm
22
2
22
40(4)1
4(4)2(4)
2 324440
4(4)
ỡ
-<<+
=-++=-+
ớ
++=
ợ
++


m
m
m
40
1223
1223
3
3
ỡ
-<<
-+
ù

=
ớ
-
=
ù
ợ


Cõu 27. Cho hm s yxmxmxm
3223
33(1)=+ (C
m
)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi
m 2=-
.
2) Chng minh rng (C
m
) luụn cú im cc i v im cc tiu ln lt chy trờn mi
ng thng c nh.

ã
yxmxm
22
363(1)
Â
=-+-;
xm
y
xm

1
0
1
ộ
=+
Â
=
ờ
=-
ở

im cc i Mmm(1;23) chy trờn ng thng c nh:
1
23
xt
yt
=-+
ỡ
ớ
=-
ợ

im cc tiu Nmm(1;2)+- chy trờn ng thng c nh:
1
23
xt
yt
=+
ỡ
ớ

=--
ợ


Cõu 28. Cho hm s yxmx
42
13
22
=-+ (1)
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi
m 3=
.
2) Xỏc nh m th ca hm s (1) cú cc tiu m khụng cú cc i.

ã
yxmxxxm
32
222()
Â
=-=-.
x
y
xm
2
0
0
ộ
=
Â
=

ờ
=
ở

th ca hm s (1) cú cc tiu m khụng cú cc i

PT y 0
Â
= cú 1 nghim


m 0Ê


Cõu 29. Cho hm s
422
()2(2)55==+-+-+yfxxmxmm
m
C().
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) hm s khi m = 1.
2) Tỡm cỏc giỏ tr ca m th
m
C() ca hm s cú cỏc im cc i, cc tiu to thnh 1
tam giỏc vuụng cõn.

ã
Ta cú
()
3
2

0
44(2)0
2
=
ộ
Â
=+-=
ờ
=-
ở
x
fxxmx
xm

Hm s cú C, CT

PT fx()0
Â
= cú 3 nghim phõn bit


m 2<
(*)
Khi ú to cỏc im cc tr l:
( ) ( ) ( )
AmmBmmCmm
2
0;55,2;1,2;1-+-----

ị

( ) ( )
ABmmmACmmm
22
2;44,2;44=--+-=---+-
uuruuur

Do
D
ABC luụn cõn ti A, nờn bi toỏn tho món khi
D
ABC vuụng ti A



( )
1120.
3
=-=-= mmACAB (tho (*))

www.VNMATH.com
100 Kho sỏt hm s Trn S Tựng
Trang 10

Cõu 30. Cho hm s
( )
m
Cmmxmxy 55)2(2
224
+-+-+=

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 1.
2) Vi nhng giỏ tr no ca m thỡ th (C
m
) cú im cc i v im cc tiu, ng thi
cỏc im cc i v im cc tiu lp thnh mt tam giỏc u.
ã Ta cú
()
3
2
0
44(2)0
2
=
ộ
Â
=+-=
ờ
=-
ở
x
fxxmx
xm

Hm s cú C, CT

PT fx()0
Â
= cú 3 nghim phõn bit

m 2<
(*)
Khi ú to cỏc im cc tr l:
( ) ( ) ( )
AmmBmmCmm
2
0;55,2;1,2;1-+-----

ị

( ) ( )
ABmmmACmmm
22
2;44,2;44=--+-=---+-
uuruuur

Do
D
ABC luụn cõn ti A, nờn bi toỏn tho món khi
à
A
0
60=

A
1
cos
2
=

ABAC
ABAC
.1
2
.
=
uuuruuur
uuuruuur



3
32 -=m .
Cõu hi tng t i vi hm s: yxmxm
42
4(1)21=--+-

Cõu 31. Cho hm s yxmxmm
422
2=+++ cú th (C
m
) .
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 2.
2) Vi nhng giỏ tr no ca m thỡ th (C
m
) cú ba im cc tr, ng thi ba im cc tr
ú lp thnh mt tam giỏc cú mt gúc bng
0

120 .

ã
Ta cú yxmx
3
44
Â
=+ ;
x
yxxm
xm
2
0
04()0
ộ
=
Â
=+=
ờ
=-
ờ
ở
(m < 0)
Khi ú cỏc im cc tr l:
( ) ( )
AmmBmmCmm
2
(0;),;,;+---
ABmm
2

(;)=--
uur
; ACmm
2
(;)=---
uuur
.
D
ABC cõn ti A nờn gúc 120
o
chớnh l
à
A .

à
A 120=
o
ABACmmm
A
mm
ABAC
4
4
1.1.1
cos
222
.
---+
=-=-=-
-

uuruuur
uuruuur


m loaùi
mm
mmmmmm
m
mm
4
444
4
3
0()
1
1
2230
2
3
ộ
=
+
ờ
=-ị+=-+=
=-
ờ
-
ờ
ở

Vy
m
3
1
3
=-
.

Cõu 32. Cho hm s yxmxm
42
21=-+- cú th (C
m
) .
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th hm s khi m = 1.
2) Vi nhng giỏ tr no ca m thỡ th (C
m
) cú ba im cc tr, ng thi ba im cc tr
ú lp thnh mt tam giỏc cú bỏn kớnh ng trũn ngoi tip bng 1.

ã
Ta cú
x
yxmxxxm
xm
32
2
0
444()0
ộ
=

Â
=-=-=
ờ
=
ở

Hm s ó cho cú ba im cc tr

PT y 0
Â
= cú ba nghim phõn bit v y
Â
i du khi
x i qua cỏc nghim ú m 0>. Khi ú ba im cc tr ca th (Cm) l:

( ) ( )
AmBmmmCmmm
22
(0;1),;1,;1---+--+-
www.VNMATH.com
Trần Sĩ Tùng 100 Khảo sát hàm số
Trang 11


ABCBACB
Syyxxmm
2
1
.
2

=--=
V
; ABACmmBCm
4
,2==+=

ABC
m
ABACBCmmm
Rmm
S
m
mm
4
3
2
1
..()2
11210
51
4
4
2
é
=
+
ê
==Û=Û-+=Û
-
ê

=
ë
V

Câu hỏi tương tự:
a) yxmx
42
21=-+ ĐS: mm
15
1,
2
-+
==

Câu 33. Cho hàm số yxmxmm
424
22=-++ có đồ thị (C
m
) .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (C
m
) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị
đó lập thành một tam giác có diện tích bằng 4.

·
Ta có
3
2
0

'440
()0
x
yxmx
gxxm
=
é
=-=Û
ê
=-=
ë

Hàm số có 3 cực trị '0yÛ= có 3 nghiệm phân biệt 00
g
mmÛD=>Û> (*)
Với điều kiện (*), phương trình y 0
¢
= có 3 nghiệm
123
;0;=-==xmxxm. Hàm số đạt
cực trị tại
123
;;xxx. Gọi
( ) ( )
44242
(0;2);;2;;2+-+--+AmmBmmmmCmmmm là 3
điểm cực trị của (C
m
) .
Ta có:

2242
;4ABACmmBCmABC==+=ÞD cân đỉnh A
Gọi M là trung điểm của BC MmmmAMmm
4222
(0;2)Þ-+Þ==
Vì
ABC
D
cân tại A nên AM cũng là đường cao, do đó:

ABC
SAMBCmmmmm
5
255
2
11
...4441616
22
D
===Û=Û=Û=
Vậy
m
5
16=
.
Câu hỏi tương tự:
a) yxmx
422
21=-+, S = 32 ĐS:
m 2=±

KSHS 03: SỰ TƯƠNG GIAO

Câu 34. Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2
+ mx + 1 (m là tham số) (1)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.
2) Tìm m để đường thẳng d: y = 1 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A(0; 1), B, C
sao cho các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại B và C vuông góc với nhau.

·
PT hoành độ giao điểm của (1) và d: xxmxxxxm
322
311(3)0+++=Û++=
d cắt (1) tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C
Û

9
,0
4
<¹mm
Khi đó:
BC
xx, là các nghiệm của PT:
xxm
2

30++=

Þ

BCBC
xxxxm3;.+=-=
Hệ số góc của tiếp tuyến tại B là
BB
kxxm
2
1
36=++ và tại C là
CC
kxxm
2
2
36=++
Tiếp tuyến của (C) tại B và C vuông góc với nhau
Û
kk
12
.1=-
Û

mm
2
4910-+=


Û

965965
88
-+
=Ú=mm
www.VNMATH.com
100 Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
Trang 12

Câu 35. Cho hàm số yxx
3
–31=+ có đồ thị (C) và đường thẳng (d): ymxm3=++.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm m để (d) cắt (C) tại M(–1; 3), N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc
với nhau.

·
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): xmxm
3
–(3)––20+=

Û
xxxm
2
(1)(–––2)0+=
Û

xy
gxxxm
2

1(3)
()20
é
=-=
ê
=---=
ë

d cắt (1) tại 3 điểm phân biệt M(–1; 3), N, P
Û

9
,0
4
>-¹mm
Khi đó:
NP
xx, là các nghiệm của PT:
xxm
2
20---=

Þ

NPNP
xxxxm1;.2+==--
Hệ số góc của tiếp tuyến tại N là
N
kx
2

1
33=- và tại P là
P
kx
2
2
33=-
Tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau
Û
kk
12
.1=-
Û

mm
2
91810++=


Û

322322
33
-+--
=Ú=mm

Câu 36. Cho hàm số yxx
32
34=-+ (C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm A(2; 0) có hệ số góc k. Tìm k để (d) cắt (C) tại ba
điểm phân biệt A, M, N sao cho hai tiếp tuyến của (C) tại M và N vuông góc với nhau.

·
PT đường thẳng (d): ykx(2)=-
+ PT hoành độ giao điểm của (C) và (d): xxkx
32
34(2)-+=-

Û
xxxk
2
(2)(2)0----=
Û

A
xx
gxxxk
2
2
()20
é
==
ê
=---=
ë

+ (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N
Û
PT gx()0= có 2 nghiệm phân biệt, khác 2

Û

0
9
0
(2)0
4
k
f
D>
ì
Û-<¹
í
¹
î
(*)
+ Theo định lí Viet ta có:
1
2
MN
MN
xx
xxk
+=
ì
í
=--
î

+ Các tiếp tuyến tại M và N vuông góc với nhau
Û
MN
yxyx().()1
¢¢
=-

Û

22
(36)(36)1--=-
MMNN
xxxx
Û

kk
2
91810++=
322
3
k
-±
Û= (thoả (*))

Câu 37. Cho hàm số yxx
3
3=- (C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng (d): ymx(1)2=++ luôn cắt đồ thị (C) tại
một điểm M cố định và xác định các giá trị của m để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt M, N, P

sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau.

·
PT hoành độ giao điểm xxxm
2
(1)(2)0+---= (1)
Û

x
xxm
2
10
20(2)
é
+=
ê
---=
ë

(1) luôn có 1 nghiệm
x 1=-
( y 2= )
Þ
(d) luôn cắt (C) tại điểm M(–1; 2).
www.VNMATH.com
Trn S Tựng 100 Kho sỏt hm s
Trang 13

(d) ct (C) ti 3 im phõn bit

(2) cú 2 nghim phõn bit, khỏc 1


9
4
0
m
m
ỡ
>-
ù
ớ
ù
ạ
ợ
(*)
Tip tuyn ti N, P vuụng gúc

'().'()1
NP
yxyx =-

m
322
3
-
= (tho (*))

Cõu 38. Cho hm s yxmxmxm
3222

33(1)(1)=-+--- ( m l tham s) (1).
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi
m 0.=

2) Tỡm cỏc giỏ tr ca m th hm s (1) ct trc honh ti 3 im phõn bit cú honh
dng.

ã
THS (1) ct trc honh ti 3 im phõn bit cú honh dng, ta phi cú:

CẹCT
CẹCT
coựcửùctrũ
yy
xx
ay
(1)2
.0
0,0
.(0)0
ỡ
ù
<
ù
ớ
>>
ù
<
ù
ợ

(*)
Trong ú: + yxmxmxm
3222
33(1)(1)=-+---
ị
yxmxm
22
363(1)
Â
=-+-
+
y
mmm
22
100,
D
Â
=-+=>"
+
Cẹ
CT
xmx
y
xmx
1
0
1
ộ
=-=
Â

=
ờ
=+=
ở

Suy ra: (*)
m
m
m
mmmm
m
222
2
10
10
312
(1)(3)(21)0
(1)0
ỡ
->
ù
+>
ù
<<+
ớ
----<
ù
ù
--<
ợ

Cõu 39. Cho hm s
32
12
33
yxmxxm=--++ cú th
m
C().
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s khi m = 1.
2) Tỡm m
m
C()ct trc honh ti 3 im phõn bit cú tng bỡnh phng cỏc honh ln
hn 15.

ã
YCBT

xmxxm
32
12
0
33
--++= (*) cú 3 nghim phõn bit tha xxx
222
123
15++>.
Ta cú: (*) xxmxm
2
(1)((13)23)0-+---=

x
gxxmxm
2
1
()(13)230
ộ
=
ờ
=+---=
ở

Do ú: YCBT

gx()0= cú 2 nghim xx
12
, phõn bit khỏc 1 v tha xx
22
12
14+>.
m 1>
Cõu hi tng t i vi hm s:
32
3332yxmxxm=--++

Cõu 40. Cho hm s mxxxy +--= 93
23
, trong ú m l tham s thc.
1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s ó cho khi

0=m
.
2) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m th hm s ó cho ct trc honh ti 3 im
phõn bit cú honh lp thnh cp s cng.

ã
th hm s ct trc honh ti 3 im phõn bit cú honh lp thnh cp s cng


Phng trỡnh
32
390--+=xxxm cú 3 nghim phõn bit lp thnh cp s cng