Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8
Chuyên đề 1 : PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Các ví dụ và phương pháp giải
Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
a.
( ) ( )
11
22
+−+
axxa
b.
nn
xxx
−+−
+
3
1
.
Giải:
a. Dùng phương pháp đặt nhân tử chung
( ) ( )
11
22
+−+
axxa
=
xxaaax
−−+
22
( ) ( ) ( )( )
1

−−=−−−=
axaxaxaxax
b. Dùng phương pháp đặt nhân tử chung rồi sử dụng hằng đẳng thức
nn
xxx
−+−
+
3
1
.
( )
( )
11
3
−+−=
xxx
n
( )
( )
( ) ( )
( )
[ ]
( )
( )
11
111111
12
22
+++−=
+++−=−+++−=

++
nnn
nn
xxxx
xxxxxxxxx
Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử :
a. x
8
+ 3x
4
+ 4.
b. x
6
- x
4
- 2x
3
+ 2x
2
.
Giải:
a.Dùng phương pháp tách hạng tử rồi sử dụng hằng đẳng thức
x
8
+ 3x
4
+ 4 = (x
8
+ 4x
4

+ 4)- x
4
= (x
4
+ 2)
2
- (x
2
)
2

= (x
4
- x
2
+ 2)(x
4
+ x
2
+ 2)
b.Dùng phương pháp đặt nhân tử chung ,tách hạng tử ,nhóm thích hợp để sử dụng
hằng đẳng thức
x
6
- x
4
- 2x
3
+ 2x
2

= x
2
(x
4
- x
2
- 2x +2)
( ) ( )
[ ]
( )
( )
[ ]
( ) ( )
[ ]
( )
[ ]
221
11111
1212
2
2
2
22
2
2
2
22
2242
++−=
++−=−+−=

+−++−=
xxxx
xxxxxx
xxxxx
Ví dụ 3:
Phân tích đa thức thành nhân tử :
a.
abcbccbaccaabba 42442
222222
−+−+−+
b.
200720062007
24
+++
xxx
Giải:
a.Dùng phương pháp tách hạng tử rồi nhóm thích hợp:
abcbccbaccaabba 42442
222222
−+−+−+

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
[ ]
( )( )( )
cacbba
cbccbababccacabba

babcbacbaacbaab
abcbccbacabccaabba
abcbccbaccaabba
−−+=
−−−+=−+−+=
+−+++−+=
=−+−+−−+=
−+−+−+
22
222222
222222
224242
42442
2
2
222222
222222
b.Dùng phương pháp đặt nhân tử chung rồi sử dụng hằng đẳng thức
20072062007
24
+++ xxx
( )
( )
( ) ( )
( )( )
20071
1200711
200720072007
22
22

24
+−++=
+++++−=
+++−=
xxxx
xxxxxx
xxxx
Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử : a.
abccba 3
333
−++
b.
( )
333
3
cbacba
−−−++
.
Giải: Sử dụng các hằng đẳng thức
( )
( )
abbababa
−++=+
2233
( ) ( )
[ ]
abbaba 3
2
−++=
( ) ( )

baabba
+−+=
3
3
.Do đó:
=−++
abccba 3
333
( )
[ ]
( )
abcbaabcba 33
3
3
−+−++=
( ) ( ) ( )
[ ]
( )
( )
( )
cabcabcbacba
cbaabccbabacba
−−−++++=
++−++−+++=
222
2
2
3
b.
( ) ( )

[ ]
( )
3
3
3
333
3
cbacbacbacba
+−−++=−−−++
( ) ( ) ( )
[ ]
( )
( )
( )
( )
( )( )( )
bacacbcabcabacb
cbcbcbacbaacbacb
+++=++++=
+−+−+++++++=
33333
2
222
2
Ví dụ 5: Cho a + b + c = 0.
Chứng minh rằng :a
3
+ b
3
+ c

3
= 3abc.
Giải: Vì a + b + c = 0
( ) ( )
abccbaabccba
cbaabbacba
303
3
333333
3333
3
=++⇒=−++⇒
−=+++⇒−=+⇒
Ví dụ 6: Cho 4a
2
+ b
2
= 5ab, và 2a > b > 0. Tính
22
4 ba
ab
P
−
=
Giải: Biến đổi 4a
2
+ b
2
= 5ab
⇔

4a
2
+ b
2
- 5ab = 0
⇔
( 4a - b)(a - b) = 0
⇔
a = b.
Do đó
3
1
34
2
2
22
==
−
=
a
a
ba
ab
P
Ví dụ 7:Cho a,b,c và x,y,z khác nhau và khác 0. Chứng minh rằng nếu:
1;0 =++=++
c
z
b
y

a
x
z
c
y
b
x
a
thì
1;
2
2
2
2
2
2
=++
c
z
b
y
a
x
Giải:
000 =++⇒=
++
⇒=++ cxybxzayz
xyz
cxybxzayz
z

c
y
b
x
a
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8
1
1.2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=++⇒
=
++
+++=







++⇒=++
c
z
b
y
a
x
abc
cxybxzayz
c
z
b
y
a
x
c
z
b
y
a
x
c
z
b
y
a
x
1. Phân tích đa thức thành nhân tử :

a.
12
2
−−
xx
b.
158
2
++
xx
c.
166
2
−−
xx
d.
3
23
++−
xxx
2. Phân tích đa thức thành nhân tử :
( ) ( )
152
2
2
2
−−−−
xxxx
.
3. Phân tích đa thức thành nhân tử

1.(a - x)y
3
- (a - y)x
3
+ (x - y)a
3
.
2.bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc.
3.x
2
y + xy
2
+ x
2
z + xz
2
+ y
2
z + yz
2
+ 2xyz.
4. Tìm x,y thỏa mãn: x
2
+ 4y
2
+ z
2
= 2x + 12y - 4z - 14.
5. Cho a +| b + c + d = 0.
Chứng minh rằng a

3
+ b
3
+ c
3
+ d
3
= 3(c + d)( ab + cd).
6. Chứng minh rằng nếu x + y + z = 0 thì :
2(x
5
+ y
5
+ z
5
) = 5xyz(x
2
+ y
2
+ z
2
).
7. Chứng minh rằng với x,y nguyên thì :
A = y
4
+ (x + y) (x + 2y) (x + 3y) (x + 4y)
là số chính phương.
8. Biết a - b = 7. Tính giá trị của biểu thức sau:
( ) ( ) ( )
1311

22
+−−+−−+
baababbbaa
9. Cho x,y,z là 3 số thỏa mãn đồng thời:





=++
=++
=++
1
1
1
333
222
zyx
zyx
zyx
. Hãy tính giá trị
biếu thức
P =
( ) ( ) ( )
1997917
111
−+−+−
zyx
.
10.

a.Tính
2222222
10110099 4321
+−++−+−
.
b.Cho a + b + c = 9 và a
2
+ b
2
+ c
2
= 53.
Tính ab + bc + ca.
11. Cho 3 số x,y,z thỏa mãn điều kiện
x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0.
Hãy tính giá trị của Biếu thức : S = (x-1)
2005
+ (y - 1)
2006
+ (z+1)
2007
12. Cho 3 số a,b,c thỏa điều kiện :
cbacba ++
=++
1111
.
Tính Q = (a
25
+ b
25

)(b
3
+ c
3
)(c
2008
- a
2008
).
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8
==========o0o==========
HƯỚNG DẪN:
1. Phân tích đa thức thành nhân tử :
a.
( )( )
3412
2
+−=−−
xxxx
b.
( )( )
53158
2
++=++
xxxx
c.
( )( )
82166
2
−+=−−

xxxx
d.
( )
( )
3213
223
+−+=++−
xxxxxx
2. Phân tích đa thức thành nhân tử :
( ) ( ) ( )( )
35152
222
2
2
+−−−=−−−−
xxxxxxxx
.
3. Phân tích đa thức thành nhân tử
1.(a - x)y
3
- (a - y)x
3
+ (x-y)a
3
( )( )( )( )
ayxayaxyx
++−−−=
2.bc(b + c) + ca(c + a) + ba(a + b) + 2abc
( )( )( )
accbba

+++=
3.x
2
y + xy
2
+ x
2
z + xz
2
+ y
2
z + yz
2
+ 2xyz
( )( )( )
xzzyyx
+++
4. x
2
+ 4y
2
+ z
2
= 2x + 12y - 4z - 14
( ) ( ) ( )
222
2|321
−+−+−⇔
zyx
5. Từ a + b + c + d = 0

( ) ( )
33
dcba
+−=+⇒
Biến đổi tiếp ta được :a
3
+
b
3
+ c
3
+ d
3
= 3(c + d)( ab + cd).
6. Nếu x + y + z = 0 thì :
( )( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
222
222555
222555
222222333
333
2

*;622
3
3
3
zyxxyzzxyzxyxyz
zyxxyzzxyzxyxyzzyx
zyxxyzzxyzxyxyzzyx
zyxxyzzyxzyx
xyzzyx
++=++−
++=++−++⇔
++=++−++⇔
++=++++
⇒=++
Nhưng:
( ) ( )
222
2
20 zyxzxyzxyxyzzyx ++=++−⇒=++
(**)
Thay (**) vào (*) ta được:
2(x
5
+ y
5
+ z
5
) = 5xyz(x
2
+ y

2
+ z
2
).
7. Với x,y nguyên thì :
A = y
4
+ (x + y) (x + 2y) (x + 3y) (x + 4y)
( )
2
22
55 yxyx
++=

8. Biến đổi
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
11311
2
22
+−−=+−−+−−+
bababaababbbaa
9. Từ



=++
=++
1
1
333

zyx
zyx
( ) ( )( )( )
xzzyyxzyxzyx
+++=−−−++⇒
3
333
3
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8





=+
=+
=+
0
0
0
xz
zy
yx

2
−=⇒
P
10.
a. Sử dụng hằng đẳng thức a
2

- b
2
; S -=5151
b. Sử dụng hằng đẳng thức (a + b + c)
2
; P = 14
11. Từ giả thiết suy ra: x
2
+ y
2
+ z
2
= 0 suy ra : x = y = z = 0;S = 0

12. Từ:
cbacba ++
=++
1111
. : (a + b)(b + c)(c + a) = 0
Tính được Q = 0
==========o0o==========
Ti liu bi dng hc sinh gii Toỏn lp 8
Chuyờn 2 : TNH CHT CHIA HT TRONG N
Ti t 10-12:
Mt s du hiu chia ht Vớ d
I.Mt s du hiu chia ht
1. Chia hết cho 2, 5, 4, 25 và 8; 125.

1 1 0 0 0
2 2 0;2;4;6;8.

n n
a a a a a a

=M M

1 1 0 0
5 0;5
n n
a a a a a

=M
1 1 0
4
n n
a a a a

M
( hoặc 25)
1 0
4a a M
( hoặc 25)

1 1 0
8
n n
a a a a

M
( hoặc 125)
2 1 0

8a a a M
( hoặc 125)
2. Chia hết cho 3; 9.

1 1 0
3
n n
a a a a

M
(hoặc 9)
0 1
3
n
a a a + + + M
( hoặc 9)
Nhận xét: D trong phép chia N cho 3 ( hoặc 9) cũng chính là d trong phép chia tổng
các chữ số của N cho 3 ( hoặc 9).
3. Dấu hiệu chia hết cho 11 :
Cho
5 4 3 2 1 0
A a a a a a a=
( ) ( )
0 2 4 1 3 5
11 11A a a a a a a + + + + + +

M M
4.Dấu hiệu chia hết cho 101

5 4 3 2 1 0

A a a a a a a=

( ) ( )
1 0 5 4 3 2 7 6
101 101A a a a a a a a a + + + +

M M
II.Vớ d
Ví dụ 1: Tìm các chữ số x, y để:
a)
134 4 45x yM
b)
1234 72xyM
Giải:
a) Để
134 4 45x yM
ta phải có
134 4x y
chia hết cho 9 và 5

y = 0 hoặc y = 5
Với y = 0 thì từ
134 40 9x M
ta phải có 1+3+5+x+4
9M
4 9 5x x + =M

khi đó ta có số 13554
với x = 5 thì từ :
134 4 9x yM

ta phải có 1+3+5+x+4 +5
9M
9 0; 9x x x = =M
lúc đóta có 2 số: 135045; 135945.
b) Ta có
1234 123400 72.1713 64 72 64 72xy xy xy xy= + = + + +M M

Vì
64 64 163xy +
nên
64 xy+
bằng 72 hoặc 144.
+ Với
64 xy+
=72 thì
xy
=08, ta có số: 123408.
+ Với
64 xy+
=14 thì
xy
=80, ta có số 123480
Ví dụ 2 Tìm các chữ số x, y để
7 36 5 1375N x y= M
Giải:
Ta có: 1375 = 11.125.
( ) ( )
125 6 5 125 2
7 3625 11 5 6 2 3 7 12 11 1
N y y

N x x x x
=
= + + + + = =
M M
M M
Vậy số cần tìm là 713625
Ví dụ 3 a) Hỏi số
1991
1991 1991
1991 1991
so
A =
1 4 2 4 3
có chia hết cho 101 không?
b) Tìm n để
101
n
A M
Giải:
a) Ghép 2 chữ số liên tiếp nhau thì A
1991
có 2 cặp số là 91;19
Ti liu bi dng hc sinh gii Toỏn lp 8
Ta có: 1991.91-1991.19 = 1991. 72
M
101 nên
1991
101A M
b)
101 .91 .19 72 101 101

n
A n n n n = M M M
II. MT S NH L V PHẫP CHIA HT
A.Tóm tắt lý thuyết
1. Định lý về phép chia hết:
a) Định lý
Cho a, b là các số nguyên tuỳ ý,
0b
, khi đó có 2 số nguyên q, r duy nhất
sao cho :
a bq r= +
với
0 r b
, a là só bị chia, b là số chia, q là thơng số và r là số
d.
Đặc biệt với r = 0 thì a = b.q Khi đó ta nói a chia hết cho b hay b là ớc của
a, ký hiệu
a bM
.
Vậy
b) Tính chất
a) Nếu
a bM
và
b cM
thì
a cM
M
b) Nếu
a bM

và
b aM
thì a = b
c) Nếu
a bM
,
a cM
và (b,c) = 1 thì
a bcM
d) Nếu
ab cM
và (c,b) = 1 thì
a cM
2. Tính chất chia hết của một tổng, một hiệu, một tích.
- Nếu



mb
ma


mba
+
- Nếu



mb
ma

mba
- Nếu



mb
ma


a
.b
m
- Nếu

ma
a

n
m (n là số tự nhiên)
3.Mt s tớnh cht khỏc:
Trong n s t nhiờn liờn tip cú mt s chia ht cho n
Tớch n s t nhiờn liờn tip chia ht cho n!
A
aM
A
bM
v (a;b) = 1
a.bA M

B.Vớ d:
1. Chng minh rng vi mi s nguyờn dng n ta cú:
( )
2411
2
2
+ nn
Gii:
( )
( ) ( ) ( )
2
2
1 1 1 1 2 4! 24A n n n n n n

= + = + + =

M
Bi tp t luyn:
2. Chng minh rng
a.
4886
23
nnn
++
vi n chn
b.
384910
24

+

nn
vi n l
3. Chng minh rng :
722
246
nnn
+
vi n nguyờn
4. CMR vi mi s nguyờn a biu thc sau:
a) a(a 1) (a +3)(a + 2) chia ht cho 6.
a b M
có số nguyên q sao cho a = b.q
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8
b) a(a + 2) – (a – 7)(a -5) chia hết cho 7.
c) (a
2
+ a + 1)
2
– 1 chia hết cho 24
d) n
3
+ 6n
2
+ 8n chia hết cho 48 (mọi n chẵn)
5. CMR với mọi số tự nhiên n thì biểu thức:
a) n(n + 1)(n +2) chia hết cho 6
b) 2n ( 2n + 2) chia hết cho 8.
Ti liu bi dng hc sinh gii Toỏn lp 8
3. Đồng d thức
I.Lớ thuyt ng d :

a) Định nghĩa : Cho số nguyên m > 0. Nếu 2 số nguyên a, b cho cùng số d khi
chia cho m thì ta nói a đồng d với b theo môđun m .
Kí hiệu :
(mod )a b m
b) Tính chất
a)
(mod ) (mod )a b m a c b c m
b)
(mod ) (mod )a b m na nb mM M
c)
(mod ) (mod )
n n
a b m a b m
d)
(mod ) (mod )a b m ac bc m
c) Mt s hng ng thc:

m m
a b a b M

n n
a b a b+ +M
(n l)

( )
( )
n
a b B a b+ = +
II.Vớ d:
1. Chng minh:

9 99
2 2 200+ M

Gii:
2 + 2 = 2 = 512 112(mod 200) (1)
2 = 2 112 (mod 200) .
112 = 12544 12 (mod 200) 112 12 (mod 200)
12 = 61917364224 24(mod 200) .
112 24.112(mod 200) 2688(mod 200) 88(mod 200)
2 88(mod 200) (2)
T (1) v (2) 2 + 2 = 200(mod 200) hay
9 99
2 2 200+ M

III,Bi tp t luyn:
S dng hng ng thc v ng d
1.
( )
72196519631961
196619641962

+++
2.
( )
191424
19171917

+
3.
( )

20022
999

+
4.
( )
183113
123456789


5.
( )
1980198219811979
19811979

+
6.
( )
1203 333
10032

++++
7.
( )
755552222
22225555

+

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8

QUY NẠP TOÁN HỌC
I.PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH
B
1
: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1?
B
2
: Giả sử Mệnh đề đúng với n = k
≥
1. Chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1
II.VÍ DỤ :
1. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì:
2 2 1
7 8 57
n n+ +
+ M
Giải:

-Với n = 1:A
1
= 7 + 8 = 855 + 57
- Giả sử A
k
+ 57 nghĩa là
2 2 1
7 8 57
n n+ +
+ M

⇒ A

k+1
= 7 + 8 =7. 7 + 64.8 = 7(7 + 8 ) + 57.8 .
Vì 7 + 8 ( giả thiết qui nạp) và 57.8
M
57
⇒ A
k+1
M
57
Vậy theo nguyên lí qui nạp A = 7 + 8
M
57.
*Chú í: Trong trường hợp tổng quát với n là số nguyên và n
≥
n
0
. Thì ta
kiểm tra mệnh đề đúng khi n = n
0
?
III.BÀI TẬP:
Chứng minh : Với n là số tự nhiên thì:
1.
( )
23225
1412

+++
++
nnn

2. 11 + 12
M
133
3.
( )
5985.265
122

++
++
nnn

4.
( )
532
1312

++
+
nn

5.
( )
1814242
22

++
+
n
n

LUYỆN TẬP
1.
102521 cabA =
2.
( )
2
15
+==
cabcaB
3.
abE
=
sao cho
( )
3
2
baab +=
4. A =
( )
2
baab
+=
HD:
( )
2
baab
+=
⇔
( )( )
2

991
≤=−++
ababa
⇒
(a + b)
≤
9 và (a + b) = 9k
⇒
k
= 1
⇒
a + b = 9
⇒
9a = 9.8 = 72
⇒
a = 8 và b = 1
5. B =
( )
2
cdababcd
+=
HD: Đặt
abx
=
;
cdy
=

⇒
99x = (x + y)(x + y - 1)

≤
99
2

Xét 2 khả năng :



<
=
)2(99
)1(99
x
x

(1)
⇒
B = 9801
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8
(2)
⇒












=−+
=+



=−+
=+
lyx
kyx
lyx
kyx
91
11
111
9

⇒




=
=
3025
2025
B
B
ĐS: B = 9801;2025;3025

6.
abcdefC
=
=
( )
2
defabc
+
7.
abcdH =
sao cho

3
1 1








+=+

n
n
nn
dddcccbbbaaa
8. Tìm
2

41 zzxyy
=+
9. Tính giá trị của biểu thức:
1/ Cho x +y = 3, tính giá trị A = x
2
+ 2xy + y
2
– 4x – 4y + 3.
2/ Cho x +y = 1.Tính giá trị B = x
3
+ y
3
+ 3xy
3/ Cho x – y =1.Tính giá trị C = x
3
– y
3
– 3xy.
4/ Cho x + y = m và x.y = n.Tính giá trị các biểu thức sau theo m,n.
a) x
2
+ y
2
b) x
3
+ y
3
c) x
4
+

y
4

5/ Cho x + y = m và x
2
+ y
2
= n.Tính giá trị biểu thức x
3
+ y
3
theo m và n.
6/ a) Cho a +b +c = 0 và a
2
+ b
2
+ c
2
= 2.Tính giá trị của bt: a
4
+ b
4
+ c
4
.
b) Cho a +b +c = 0 và a
2
+ b
2
+ c

2
= 1.Tính giá trị của bt: a
4
+ b
4
+ c
4
.
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8
I.BẤT ĐẲNG THỨC CÔ – SI VÀ CÁC HỆ QUẢ
1. Chứnh minh : (Với a , b ≥ 0) (BĐT Cô-si)
Giải:
( a – b ) = a - 2ab + b ≥ 0 ⇒ a + b ≥ 2ab .Đẳng thức xảy ra khi a = b
2. Chứng minh: . (Với a , b ≥ 0)
Giải:
( a+b ) = (a - 2ab + b )+ 4ab = (a-b) + 4ab ≥ 0 + 4ab ⇒ ( a + b ) ≥ 4ab .Đẳng
thức xảy ra khi a = b.
3. Chứng minh: (Với a , b ≥ 0)
Giải:
2(a + b) – ( a+b ) = a-2ab+b = (a-b) ≥ 0 ⇒ 2(a + b) ≥ ( a+b ). Đẳng thức xảy ra
khi a = b.
4. Chứng minh: .(Với a.b > 0)
Giải:
+ = .Do ab ≤ ⇒ ≥ 2 .Hay + ≥ 2 . Đẳng thức xảy ra khi a = b
5. Chứng minh: .(Với a.b < 0)
Giải:
+ = - .Do ≥ 2 ⇒ - ≤ -2. Hay + ≤ - 2. Đẳng thức xảy ra khi a = -b.
6. Chứng minh: . (Với a , b > 0)
Giải:
+ - = = ≥ 0 ⇒ + ≥ . Đẳng thức xảy ra khi a = b.

7. Chứng minh rằng: .
Giải:
2(a +b +c) – 2(ab+bc+ca) =(a-b) +(b-c) +(c-a) ≥ 0
⇒ 2(a +b +c) ≥ 2(ab+bc+ca) .Hay a +b +c ≥ ab+bc+ca . Đẳng thức xảy ra khi a
= b;b = c;c = a ⇔ a = b= c.
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8
•
0A B A B
≥ ⇔ − ≥
• Cần lưu ý tính chất:
0
2
≥
A
• Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A = 0
• Có thể nhân hai vế bất đẳng thức với một số khác 0 thích hợp
B.Bài tập vận dụng:
Chứng minh các bất đẳng thức sau
1. a
2
+ 4b
2
+ 4c
2

≥
4ab - 4ac + 8bc
2.
( )
edcbaedcba

+++≥++++
22222
3.
( )( )( )( )
1106431 ≥+−−−− xxxx
4. a
2
+ 4b
2
+ 3c
2
> 2a + 12b + 6c – 14
5. 10a
2
+ 5b
2
+12ab + 4a - 6b + 13
≥
0
6. a
2
+ 9b
2
+ c
2
+
2
19
> 2a + 12b + 4c
7. a

2
– 4ab + 5b
2
– 2b + 5
≥
4
8. x
2
– xy + y
2

≥
0
9. x
2
+ xy + y
2
-3x – 3y + 3
≥
0
10. x
2
+ xy + y
2
-5x - 4y + 7
≥
0
11. x
4
+ x

3
y + xy
3
+y
4

≥
0
12. x
5
+ x
4
y + xy
4
+y
5

≥
0 với x + y
≥
0
13. a
4
+ b
4
+c
4

≥
a

2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
14. (a
2
+ b
2
).(a
2
+ 1)
≥
4a
2
b
15. ac +bd
≥
bc + ad với ( a
≥
b ; c
≥
d )
16.

2
22
22






+
≥
+
baba
17.
2
222
33






++
≥
++
cbacba
18.
b
c

c
a
a
b
a
c
c
b
b
a
++≤++
(với a
≥
b ≥ c > 0)
19.
ab
ab
ba
+
≥+
9
12
( Với a,b > 0)
20.
cbaab
c
ca
b
bc
a 111

++≥++
(Với a,b,c > 0)
HƯỚNG DẪN:
Bài 1: Gọi VT của bất đẳng thức là A và VP của bất đẳng thức là B (Nếu không
nói gì thêm qui ước này được dùng cho các bài tập khác).Với các BĐT
có dấu
;≤ ≥
thì cần tìm điều kiện của các biến để đẳng thức xảy ra.
A – B =
( )
2
22 bca
−+
Bài 2:
4A – 4B =
( ) ( ) ( ) ( )
2222
2222 eadacaba
−+−+−+−
Bài 3:
A – 1 =
( )( )( )( )
96431
+−−−−
xxxx
=
( )
2
3+Y
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8

Bài 4:
A – B =
( ) ( ) ( )
113321
222
+−+−+−
cba
Bài 5: A = ( a – 1)
2
+ (3a – 2b)
2
+ (b + 3)
2
Bài 6:
A–B = ( a – 1)
2
+(3b – 2)
2
+ (c - 2)
2
+
2
1
Bài 7:
A – B =
( ) ( )
22
12
−+−
bba

Bài 8:
x
2
– xy + y
2
=
4
3
2
2
2
yy
x
+






−
Bài 9:
.x
2
– xy + y
2
-3x – 3y + 3 =
( ) ( )( ) ( )
22
1111

−+−−−−
yyxx
.
Biến đổi tiếp như bài 8
Bài 10: Tương tự bài 9
Bài 11:
x
4
+ x
3
y + xy
3
+y
4
=
( )
( )
2
22
yxyxyx ++−
Bài 12: Tương tự bài 11
Bài 13: Xem ví dụ 7
Bài 14: A – B = (a
2
+ b
2
).(a
2
+ 1) - 4a
2

b
Bài 15: A - B = ac + bd - bc - ad với ( a
≥
b ; c
≥
d )
=
( )( )
badc −−
Bài 16:
A - B =
( )
( )
4
2
2
22
baba
+−+
.
Bài 17: Xem bài tập 16
Bài 18: A - B = (a-c)(b-a)( .
(Với a
≥
b
≥
c
≥
0)
Bài 19:

A - B =
( ) ( )
ab
baab
+
−+−
9
33
22

( Với a,b > 0)
Bài 20:
A - B =
( ) ( ) ( )
abc
abacacbcbcab
222
−+−+−
(Với a,b,c > 0)
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
I: DẠNG

• Nếu a > 0 :
2
2
2
4ac-b
ax + bx +c =
4a 2

b
P a x
a
 
= + +
 ÷
 
Suy ra
2
4ac-b
=
4a
MinP
Khi
b
x=-
2a
• Nếu a < 0 :
2
2
2
4 a c+b
ax + bx +c =
4 a 2
b
P a x
a
 
= − −
 ÷

 ÷
 

Suy ra
2
4 a c+b
ax
4 a
M P
=
Khi
b
x=
2 a
Một số ví dụ:
1. Tìm GTNN của A = 2x
2
+ 5x + 7
Giải:A = 2x
2
+ 5x + 7 =
2
5 25 25
2( 2. ) 7
4 16 16
x x
+ + − +
=

2 2 2

5 25 56 25 5 31 5
2( ) 7 2( ) 2( )
4 8 8 4 8 4
x x x
−
= + − + = + + = + +
.
Suy ra
31 5
8 4
MinA Khi x= = −
.
2. Tìm GTLN của A = -2x
2
+ 5x + 7
Giải: A = -2x
2
+ 5x + 7 = -
2
5 25 25
2( 2. ) 7
4 16 16
x x
− + − +
=

2 2 2
5 25 56 25 5 81 5
2( ) 7 2( ) 2( )
4 8 8 4 8 4

x x x
+
= − − + + = − − = − −
≤ .
Suy ra
81 5
8 4
MinA Khi x
= =
.
3. Tìm GTNN của B = 3x + y - 8x + 2xy + 16.
Giải: B = 3x + y - 8x + 2xy + 16 = 2(x - 2) + (x + y) + 8 ≥ 8.
⇒ MinB = 8 khi : ⇔ .
4. Tìm GTLN của C = -3x - y + 8x - 2xy + 2.
Giải: C = -3x - y + 8x - 2xy + 2 = 10 - ≤ 10.
⇒ GTLNC = 10 khi: ⇔ .
BÀI TẬP:
5. Tìm GTNN
2
5 2008A x x
= − +
6. Tìm GTLN B = 1 + 3x - x
2
7. Tìm GTLN D =
2
2007 5x x
− −
8. Tìm GTNN của F = x
4
+ 2x

3
+ 3x
2
+ 2x + 1.
9. Tìm GTNN của G =
4 3 2
10 25 12x x x
− + +
10. Tìm GTNN của M = x + 2y - 2xy + 2x - 10y.
11. Tìm GTNN C =
( )
513413
2
+−−−
xx
12. Tìm GTNN của N = (x +1) + ( x - 3)
13. Tìm GTNN của K = x + y - xy +x + y
HƯỚNG DẪN
5. A = x - 5x + 2008 = (x - 2,5)
2
+ 2001,75
⇒ MinA = 2001,75 khi x = 2,5
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8
6. B = 1 + 3x - x
2
= -1,25 - ( x - 1,5)
2

7. D = 2007 - x - 5x = 2004,5 - ( x + 2,5)
2

8. F = x
4
+ 2x
3
+ 3x
2
+ 2x + 1 = (x +x+1) = .
9. G = x - 10x +25x + 12 = x(x - 5) + 12
10. M = x + 2y - 2xy + 2x - 10y = (x - y + 1) + (y - 4) -16.
11.C =
( )
513413
2
+−−−
xx
* Nếu x ≥ . C = (3x - 3) + 1
* Nếu x < .C = (3x + 1) + 6
12. N = (x +1) + ( x - 3) = 2(x- 1) + 8
13. K = x + y - xy +x + y = ( x - y) + (x + 1) + (y + 1) - 1.

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8
Tiết 31-36
* Một trong những phương pháp thường dùng là sử dụng các bất đẳng thức đã biết để
chứng minh một bất đẳng thức khác.Tuy nhiên khi sử dụng ,ngoài hai bất đẳng thức Cô-si
và bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski
. Các bất đẳng thức khác khi sử dụng làm bài thi cần chứng minh lại (Xem phần trên).Để
tiện theo dõi, tôi sẽ liệt kê các bất đẳng thức vào dưới đây.
1.
abba 2

22
≥+
(a,b>0). (BĐT Cô-si)
2.
( )
abba 4
2
≥+
3.
( )
( )
2
22
2 baba
+≥+
4.
0,;2 >≥+ ba
a
b
b
a
5.
0,;
411
>
+
≥+
ba
baba
6.

cabcabcba
++≥++
222
7.
( )
( )( )
2222
2
yxbabyax
++≤+
( Bu nhi a cop xki)
8.
( )
yx
ba
y
b
x
a
+
+
≥+
2
22
9.
( )
zyx
cba
z
c

y
b
x
a
++
++
≥++
2
222
Ví dụ 9:Chứng minh
cba
b
ca
a
bc
c
ab
++≥++
(Với a,b,c > 0)
Giải:2A - 2B =
cba
b
ca
a
bc
c
ab
222222 −−−++
=







−++






−++






−+ 222
b
a
a
b
c
a
c
c
a
b

b
c
c
b
a

Áp dụng bất đẳng thức
0,;2
>≥+
ba
a
b
b
a
.Ta có:2A - 2B
( ) ( ) ( )
0222222
≥−+−+−≥
cba
.Vậy A
≥
B.Đẳng thức xảy ra khi a = b = c > 0
Ví dụ 10: Cho các số dương x , y thoả mãn x + y = 1. Chứng minh rằng :
8
21
22
≥
+
+
yx

xy
.
Giải:
22222222
2
4
2
1
2
1
2
2
2
221
yxyxyx
xy
yx
xy
yx
xy
++
≥









+
+=
+
+=
+
+
( )
8
8
2
=
+
=
yx
.Đẳng thức xảy ra khi
2
1
==
yx
Ví dụ 11: Chứng minh bất đẳng thức :
a
b
b
c
c
a
a
c
c
b

b
a
++≥++
2
2
2
2
2
2
Giải:
c
a
c
b
b
a
c
b
b
a
.2.2
2
2
2
2
=≥+
;
a
b
a

c
c
b
a
c
c
b
.2 2
2
2
2
2
=≥+
;
b
c
b
a
a
c
b
a
a
c
.2 2
2
2
2
2
=≥+

Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có:
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8
a
b
b
c
c
a
a
c
c
b
b
a
a
b
b
c
c
a
a
c
c
b
b
a
++≥++⇒







++≥








++
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8
Bài tập:
1. Cho a,b,c là 3 số dương.Chứng minh rằng

( )
9
111
≥






++++
cba
cba
2. Cho các số dương a,b,c biết a.b.c = 1. Chứng minh rằng: (a + 1)(b + 1)(c + 1)≥ 8
3. Cho các số a,b biết a + b = 1. Chứng minh rằng
a) a + b ≥ b) a + b ≥
4. Cho 3 số dương a,b,c và a + b + c = 1. Chứng minh: + + ≥ 9
5. Cho x , y , z ≥ 0và x + y + z ≤ 3 . Chứng minh rằng:
+ + ≤ ≤ + +
6. Cho 2 số dương a , b có tổng bằng 1 .Chứng minh rằng
a. + ≥ 6
b. + ≥ 14
7. Cho 2 số dương a , b có tổng bằng 1 .Chứng minh rằng
(a + ) + (b + ) ≥
8. Chứng minh bất đẳng thức sau với mọi a,b,c>0
,
2
1
2
1

2
1
3
1
3
1
3
1
bacacbcbaaccbba ++
+
++
+
++
≥
+
+
+
+
+
9. Cho a,b,c là 3 số dương.
Chứng minh :
cbaab
c
ac
b
bc
a 111
++≥++
.
10. Cho a,b,c là 3 số dương.

Chứng minh rằng :
2
222
cba
ab
c
ca
b
cb
a
++
≥
+
+
+
+
+
.
11. Chứng minh: a + b ≥ với a + b ≥ 1
12. Chứng minh:
2
3
≥
+
+
+
+
+ ba
c
ac

b
cb
a
Với a,b,c > 0
13. Chứng minh:
( )
cbaabccba
++≥++
444
14. Bài 28: Cho
;0;0;0
≥≥≥
zyx
Chứng minh rằng :(x + y).(y + z).(z + x) ≥ 8xyz
15. Cho A =
13
1

22
1
12
1

2
1
1
1
+
++
+

+
+
++
+
+
+
nnnnn
Chứng minh rằng
1>A
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8
HƯỚNG DẪN:
1. A =
922233
=+++≥






++






++







++
a
c
c
b
a
c
c
a
a
b
b
a

2. Áp dụng (a + 1) ≥ 2a
3. a) A - B = a + b - =2( a + b) - (a + b) ≥ 0.
b) Áp dụng câu a.
4. Xem bài 1
5. + + ≤ + + = + + = .
+ + ≥ ≥ =
6. A = + = ( + ) + ≥ + = 6 ( vì 2ab
≤
(a+b) )
B = + = 3( +) +
7. (a + ) + + (b + ) + = + ≥ 5(a + ) + 5(b + )
= 5( a + b) + 5( + ) ≥ 5( a + b) + 5. = 25

Suy ra: (a + ) + (b + ) ≥
8. + ≥ ; + ≥ ; + ≥
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta được Đpcm
9. Ta có: + = ( + )
≥
2.
ab
c
c
b
aab
c
ac
b 1
.2
1
≥






+=+
bc
a
a
c
bbc
a

ab
c 1
.2
1
≥






+=+
Cộng từng vế 3 bất đẳng thức trên ta được đpcm. Đẳng thức xáy ra khi và chỉ khi a = b =
c.(Hãy kiểm tra lại)
10.Áp dụng BĐT
( )
zyx
cba
z
c
y
b
x
a
++
++
≥++
2
222
11. a + b ≥ ( a + b ) ≥ ≥

12. ( + 1) + ( + 1) + ( + 1) = + +
= (a+b+c) ( + + ) ≥ (a+b+c) . = Suy ra:
2
3
≥
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
13.Áp dụng BĐT ở ví dụ 6 cho 3 số
444
cba
++
rồi tiếp tục áp dụng lần nửa cho 3 số
a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2

a
2
ta có đpcm.
14.Áp dụng BĐT
( )
xyyx 4
2
≥+
.Nhân từng thừa số của 3 BĐT suy ra ĐPCM
15.A có 2n + 1 số hạng (Kiểm tra lại !).Áp dụng BĐT
0,;
411
>
+
≥+
ba
baba
Với từng
cặp số hạng thích hợp sẽ có đpcm
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8

• Ví dụ 8:
a. Rút gọn Biếu thức
62
9124
2
2
−−
++
=

aa
aa
B
Với a
2
3
−≠
b. Thực hiện phép tính:
( )
aaa
a
a
aa
−
+
+
−
+
++
2
2
2
8
:
5,01
25,0
32
(a
≠
±

2.)
Giải:
a.
62
9124
2
2
−−
++
=
aa
aa
B
( )
( )( )
2
32
232
32
2
−
+
=
−+
+
=
a
a
aa
a

b.
( ) ( )
aaa
a
a
aa
aaa
a
a
aa
−
+
−
+
⋅
+
++
=
−
+
+
−
+
++
2
2
8
2
2
42

2
2
2
8
:
5,01
25,0
3
232
( )
( )
( ) ( )
aaa
a
aa
aaa
aa 1
2
2
2
2
422
42
2
2
=
−
−
=
−

−
++−
++
=
• Ví dụ 9: Thực hiện phép tính:
xyyx
yx
yx
xyyx
A
2
:
22
33
22
22
−+
+
−
−+
=
.( Với x
≠

±
y)
Giải:
( )( )
( )
( )

( )
( )
2
22
2
22
22
33
22
22
2
:
yx
yx
xyyxyx
yx
yxyx
xyyx
xyyx
yx
yx
xyyx
A
+
−
=
−++
−
⋅
+−

−+
=
−+
+
−
−+
=
• Ví dụ 10: Cho biểu thức :
12
1
234
34
+−+−
+++
=
xxxx
xxx
A
.
a. Rút gọn biểu thức A.
b. Chứng minh rằng A không âm với mọi giá trị của x .
Giải:
1
1
12
1
2234
34
234
34

+−++−
+++
=
+−+−
+++
=
xxxxx
xxx
xxxx
xxx
A
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )( )
( )
( )
( )( )
( )
( )
1
1
11
11
11
11
11
11
2

2
22
2
2
22
3
222
3
+
+
=
++−
+−+
=
++−
++
=
+−++−
+++
=
x
x
xxx
xxx
xxx
xx
xxxxx
xxx
b.
( )

( )
001;01;
1
1
2
2
2
2
≥⇒>+≥+
+
+
= Axx
x
x
A
• Ví dụ 11: Tính giá trị biếu thức :
8765
8765
−−−−
+++
+++
aaaa
aaaa

với a = 2007.
Giải:
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8
( )
( )
1313

23
3213
23
87658
8
123
8765
8765
8765
8765
8765
2007
1
1
11
1111
=⇒=
+++
+++
=
+++
+++
=
+++
+++
=
+++
+++
=
+++

+++
=
−−−−
Ba
aaa
aaaa
aaa
aaaaa
a
aaa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
B
• Ví dụ 12: Tính giá trị biếu thức :
2
2
:
2510
25
223
2
−−
−
+−
−
yy
y

xxx
x
.
Biết x
2
+ 9y
2
- 4xy = 2xy -
3
−
x
.
Giải:
x
2
+ 9y
2
- 4xy = 2xy -
3
−
x
( )
033
2
=−+−⇔ xyx



=
=

⇔



=
=
⇔
1
3
3
3
y
x
x
yx
( )( )
( )
( )( )
2
12
5
55
2
2
:
2510
25
2223
2
−

+−
⋅
−
+−
=
−−
−
+−
−
=
y
yy
xx
xx
yy
y
xxx
x
C
( )( )
( ) ( )
3
8
2.3
2.8
5
15
−=
−
=

−
++
=
xx
yx
Bài tập:
13. Chứng minh rằng Biếu thức
P =
( )
( )
( )
( )
11
11
222
222
++−−
++++
xaaax
xaaax
không phụ thuộc vào x.
14. Cho biểu thức M =
82
63422
2
2345
−+
+−−+−
xx
xxxxx

.
a. Tìm tập xác định của M.
b. Tính giá trị của x để M = 0.
c. Rút gọn M.
15. Cho a,b,c là 3 số đôi một khác nhau. Chứng minh rằng :
( )( ) ( )( ) ( )( )
accbbabcac
ba
cbab
ac
caba
cb
−
+
−
+
−
=
−−
−
+
−−
−
+
−−
−
222
16. Cho biểu thức : B =
10999
10

234
−+−+
+
xxxx
x
a. Rút gọn B
b. Chứng minh rằng : n
8
+ 4n
7
+ 6n
6
+ 4n
5
+ n
4


16 với n
∈
Z
a. Rút gọn biểu thức :
9
9
632
6
632
32
2
2

−
+
−
+++
−
−
−−+
+
=
x
x
yxxy
xy
yxxy
yx
A
với x
≠
-3; x
≠
3; y
≠
-2.
b. Cho Biếu thức : A =
32
2
2
2
2
3

:
2
2
4
4
2
2
xx
xx
x
x
x
x
x
x
−
−








+
−
−
−
−

−
+
.
a. Tìm điều kiện có nghĩa và Rút gọn biểu thức A.
b. Tìm giá trị của x để A > 0.
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8
c. Tìm giá trị của A trong trường hợp
47
=−
x
.
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8
19. a.Thực hiện phép tính:
a.A =
16842
1
16
1
8
1
4
1
2
1
1
1
1
xxxx
xx
+

+
+
+
+
+
+
+
+
+
−
.
b. Rút gọn C =
2
2
22
22
9
9
1
9
1
9
1
9
1
a
a
aa
aa
+

−
+
+
−
+
−
−
.
20. Cho a,b,c là 3 số
≠
nhau đôi một.
Tính S =
( )( ) ( )( ) ( )( )
bacb
ac
acba
bc
accb
ab
−−
+
−−
+
−−
.
21. Tính giá trị của biểu thức :
3
3
5
3

2
−
+
−
+
−
−
ba
ab
ba
ba
biết:
09&05310
2222
≠−=−−
baabba
22. Cho a + b + c = 1 và
1
222
=++
cba
.
a. Nếu
c
z
b
y
a
x
==

. Chứng minh rằng xy + yz + zx = 0.
b.Nếu a
3
+ b
3
+ c
3
= 1. Tính giá trị của a,b,c
23. Bài 11: Cho Biếu thức :
13
5
13
12
+
−
+
−
−
=
a
a
a
a
A
.
a. Tính giá trị của A khi a = -0,5.
b. Tính giá trị của A khi : 10a
2
+ 5a = 3.
24. Chứng minh nếu xyz = 1 thì:

1
1
1
1
1
1
1
=
++
+
++
+
++
zxzyzyxyx
.
25. Chứng minh đẳng thức sau:
abanabn
abbnana
baab
baba
ba
aba
3396
352
9
3
2
2
22
22

22
2
+−−
++−
=
−−
−−
+
−
+
26. Thực hiện phép tính:






−






−







−






−
2222
2008
1
1
4
1
1
3
1
1
2
1
1
.
27. Tính tổng : S(n) =
( )( )
2313
1

8.5
1

5.2
1
+−
+++
nn
.
28. Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức :
A =
2
217122
23
−
−+−
a
aaa
.
Biết a là nghiệm của Phương trình :
113
2
=+−
aa
.
29. Gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác biết rằng:
8111
=







+






+






+
c
a
b
c
a
b
Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều.
30. Chứng minh rằng nếu a,b là 2 số dương thỏa điều kiện: a + b = 1 thì :
( )
3
2
11
2233
+

−
=
−
−
−
ba
ab
a
b
b
a
31. Thực hiện phép tính:
A =
( )( ) ( )( ) ( )( )
zxzy
xyz
zyyx
xzy
zxyx
yzx
++
−
+
++
−
+
++
−
222
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8

32. Rút gọn biểu thức : A =
cba
abccb
++
−++
3a
333
.
33. Chứng minh rằng biểu thức sau luôn dương trong TXĐ:
B =
( )














−
+
+









+
−
−
+
−
x
x
x
x
x
x
x
x
1
1
1
1
:
1
1
33
2
2
2

34. Rút gọn rồi Tính giá trị biếu thức với x + y = 2007.
A =
xyyyxx
xyyyxx
2)6()6(
)3(2)5()5(
++++
−++++
.
35. Cho 3 số a,b,c
≠
0 thỏa mãn đẳng thức:
a
acb
b
bca
c
cba −+
=
−+
=
−+
.
Tính giá trị biểu thức P =
( )( )( )
abc
accbba
+++
.
36. Cho biểu thức :

2
2
2
2
2
2
2
4
.
2
4
.
2
4
yxz
yzx
xyz
xyz
zxy
zxy
A
+
−
+
−
+
−
=
. Chứng minh rằng nếu :
x + y + z = 0 thì A = 1.

HƯỚNG DẪN:
13. P =
( )
( )
( )
( )
2
2
222
222
1
1
11
11
aa
aa
xaaax
xaaax
+−
++
=
++−−
++++
14. M =
82
63422
2
2345
−+
+−−+−

xx
xxxxx
.

( ) ( )
4
13
2
2
3
+
−+
=
x
xx
15.
( )( )
acbacaba
cb
−
+
−
=
−−
−
11
=
( )( )
bacbcbab
ac

−
+
−
=
−−
−
11
=
( )( )
accbbcac
ba
−
+
−
=
−−
− 11
16.
a.Rút gọn B =
( )( )
( )
1101
10
10999
10
2234
++−
+
=
−+−+

+
xxx
x
xxxx
x
( )
( )
( )
( )
( )( )
( )
( )






−<
++−
+−
≠−>
+−
=
10;
1101
10
110;
11
1

2
2
x
xxx
x
lxx
xx
b. n
8
+ 4n
7
+ 6n
6
+ 4n
5
+ n
4

( )
[ ]
4
1
+=
nn
17.
9
9
632
6
632

32
2
2
−
+
−
+++
−
−
−−+
+
=
x
x
yxxy
xy
yxxy
yx
A

( )( )( )
233
0
9
9
632
6
632
32
2

2
++−
=
−
+
−
+++
−
−
−−+
+
=
yxx
x
x
yxxy
xy
yxxy
yx