Giáo án thiết kế cơ khí - Chương 4 pps

Chương 4 Ứng suất tổng hợp và vòng Mo
Tổng quan
Bạn là nhà thiết kế
4.1 Nội dung của chương
4.2 Trường hợp tổng quát của ứng suất tổng hợp
4.3 Vòng tròn Mo
4.4 Bài tập về vòng tròn Mo
4.5 Trường hợp cả hai ứng suất chính có cùng dấu
4.6 Vòng tròn Mo của những chế độ ứng suất cụ thể.
4.7 Phân tích các chế độ tải trọng phức tạp
150
Tổng quan: Ứng suất tổng hợp và vòng Mo
Nội dung thảo luận
 Bạn cần có năng
phân tích các chi
tiết và sơ đồ tải
trọng phức tạp
hơn.
Tìm hiểu
Tìm các sản phẩm xung quanh bạn có hình dạng hoặc sơ đồ tải
trọng phức tạp.
Thảo luận về những sản phẩm đó với bạn học của mình.
Chương này giúp bạn phân tích những trường hợp phức tạp để xác
định ứng suất cực đại. Chúng ta sẽ sử dụng một phương pháp hình
học là vòng Mo để phân tích ứng suất giúp chúng ta thấy được ứng
suất thay đổi như thế nào trong bộ phận chịu tải.
Trong chương 3, bạn đã ôn lại các khái niệm cơ bản về phân tích ứng suất và biến dạng, thực tập
áp dụng vào các vấn đề trong thiết kế máy, và giải quyết một số vấn đề dựa vào nguyên lý cộng
tác dụng khi hai hoặc nhiều loại tải trọng gây ra ứng suất pháp, kéo hoặc nén.
Nhưng vấn đề gì sẽ xảy ra khi sơ đồ tải trọng phức tạp hơn?
Nhiều bộ phận máy trong thực tế chịu tổng hợp cả ứng suất pháp và ứng suất tiếp. Đôi lúc

sơ đồ tải trọng hoặc hình dạng của chi tiết là nguyên nhân gây khó khăn trong việc phân tích trực
tiếp bằng những phương pháp phân tích ứng suất cơ bản.
Bạn hãy xem xét xung quanh và tìm ra các sản phẩm, các bộ phận kết cấu, hoặc các bộ
phận máy có tải trọng hoặc hình dạng phức tạp hơn. Có thể một số trường hợp đã có trong phần
tổng quan của chương 3.
Thảo luận xem chọn các bộ phận chịu tải nào, ứng suất cực đại có khả năng xuất hiện ở
đâu, tải trọng và hình dạng liên quan với nhau như thế nào. Người thiết kế đã điều chỉnh hình
dạng của các đối tượng như thế nào để tải trọng tác dụng theo hướng có lợi? Hình dạng và kích cỡ
các chi tiết ảnh hưởng đến ứng suất mong muốn như thế nào?
Khi học chương 5: Thiết kế với các loại tải trọng khác nhau, chúng ta sẽ cần các công
cụ để xác định độ lớn và phương chiều của ứng suất tiếp cực đại hoặc ứng suất chính (ứng suất
pháp) cực đại.
Hoàn thành chương này sẽ giúp bạn phát triển sự hiểu biết trọn vẹn về phân bố của ứng
suất trong các chi tiết khi chịu tải, và nó sẽ giúp xác định ứng suất pháp hoặc tiếp lớn nhất, từ đó
bạn có thể hoàn thành thiết kế hoặc phân tích một cách đáng tin cậy.
Một số cách xác định ứng suất tổng hợp sử dụng những phương trình khá là phức tạp.
Vòng tròn Mo, một phương pháp hình học có thể được sử dụng để giúp hoàn thành việc phân tích.
Ứng dụng một cách đúng đắn, phương pháp này sẽ giúp bạn hiểu được ứng suất thay đổi như thế
nào trong một chi tiết chịu tải trọng phức tạp. Nó cũng sẽ giúp bạn sử dụng phần mềm phân tích
ứng suất sẵn có một cách hợp lý.
Bạn là nhà thiết kế
Công ty của bạn đang thiết kế một máy đặc
biệt để kiểm tra sợi độ bền cao dưới tác dụng
của tải trọng tĩnh kéo dài để xác định xem nó
151
có tiếp tục biến dạng một lượng lớn hơn theo
thời gian. Thí nghiệm sẽ thực hiện ở nhiều
mức nhiệt độ khác nhau, yêu cầu môi trường
quanh mẫu thử có thể điều chỉnh được. Hình
4-1 chỉ ra bản thiết kế tổng quát dự kiến. Hai

gối tựa cứng ở phía sau của máy với khoảng
cách giữa chúng là 24 in. Đường tác dụng của
tải trọng trên sợi thí nghiệm là ở tâm khe hở
và cách hai gối ra phía trước 15 in. Bạn phải
thiết kế dầm công xôn để đỡ đầu bên trên của
khung chịu tải.
Giả sử một trong các ý tưởng thiết kế của
bạn bố trí như trong hình 4-2. Hai thanh tròn
uốn cong 90
0
. Một trong hai đầu của mỗi
thanh được hàn chắc vào mặt đứng của gối
tựa. Một thanh phẳng được gắn ngang qua đầu
bên ngoài của mỗi thanh để phân bố đều tải
trọng cho hai thanh.
Hình 4-1 Bố trí gối tựa của khung chịu tải – hình chiếu bằng
Hình 4-2 Thiết kế dự kiến của dầm công xôn
152
Một trong những nội dung thiết kế của bạn
là xác định ứng suất lớn nhất tồn tại trên thanh
cong để đảm bảo chúng làm việc an toàn. Loại
ứng suất sinh ra trong thanh? Ứng suất ở đâu
có khả năng là lớn nhất? Làm thế nào để tính
được giá trị của ứng suất đó? Chú ý rằng phần
của thanh gần chỗ liên kết với gối có tổ hợp
các ứng suất tác dụng.
Xét một phân tố ở mặt trên của thanh, phân
tố A trong hình 4-2. Mômen uốn được tạo ra
bởi lực cách gối tựa 6 in làm cho phân tố A
chịu kéo. Mômen xoắn do lực tác dụng cách

trục của thanh 15 in tạo ra ứng suất tiếp trên
phân tố A. Cả hai ứng suất đó đều tác dụng
trong mặt phẳng x-y, làm cho phân tố A chịu
ứng suất pháp và tiếp tổng hợp. Bạn phân tích
chế độ ứng suất đó như thế nào? Ứng suất
pháp và ứng suất tiếp tác dụng cùng nhau như
thế nào? Ứng suất pháp và ứng suất tiếp cực
đại trên phân tố A là bao nhiêu, và chúng xuất
hiện ở đâu?
Bạn cần những câu trả lời để hoàn thành
thiết kế của các thanh. Các kiến thức trong
chương này sẽ cho phép bạn hoàn thành các
phân tích cần thiết.
4-1 Nội dung của chương
Sau khi hoàn thành chương này bạn sẽ:
1. Minh hoạ sự đa dạng của ứng suất tổng hợp trên các phân tố ứng suất
2. Phân tích một cấu kiện mang tải trọng chịu ứng suất tổng hợp để xác định ứng suất
pháp cực đại và ứng suất tiếp cực đại trên một phân tố bất kì đã cho.
3. Xác định hướng mà các ứng suất lớn nhất cùng phương.
4. Xác định trạng thái của ứng suất trên một phân tố theo phương bất kì.
5. Vẽ đầy đủ vòng Mo giúp cho việc hoàn thành các phân tích tìm các ứng suất lớn nhất.
4-2 Trường hợp tổng quát của ứng suất tổng hợp
Để hình dung về trường hợp tổng quát của ứng suất tổng hợp, xét một phân tố của chi tiết
mang tải trọng trên đó có cả ứng suất pháp và ứng suất tiếp tác dụng. Để thảo luận về vấn đề này
chúng ta xét một trạng thái ứng suất phẳng, như đã minh hoạ trong hình 4-3. Hệ trục x - y ứng với
các trục trên chi tiết đang phân tích.
Ứng suất pháp σ
x
, σ
y

có thể do lực kéo hoặc do uốn. Nếu các ứng suất pháp là nén (âm)
các véctơ sẽ hướng theo chiều ngược lại, vào phân tố ứng suất.
Ứng suất tiếp có thể là do lực cắt (cắt ngang, cắt đứng), hoặc do xoắn. Hai chỉ số dưới
giúp xác định hướng của ứng suất tiếp. Ví dụ, τ
xy
, thể hiện ứng suất tiếp tác dụng trên mặt phân tố
vuông góc với trục x và song song với trục y.
Một ứng suất tiếp dương có xu hướng làm quay phân tố theo chiều kin đồng hồ
Trong hình 4-3, τ
xy
là dương, và τ
yx
là âm. Độ lớn của chúng phải bằng nhau để đảm bảo
sự cân bằng của phân tố.
Chúng ta cần phải xác định độ lớn và dấu của các ứng suất để thể hiện chính xác trên phân
tố ứng suất. Ví dụ 4-1 sau đây xác định các ứng suất chính sẽ minh hoạ quá trình này.
153
Hình 4-3 Phân tố ứng suất phẳng tổng quát
Với một phân tố ứng suất xác định, mục đích của các phân tích là xác định ứng suất pháp
cực đại, ứng suất tiếp cực đại, và mặt phẳng xuất hiện các ứng suất đó. Sau đây là các công thức
chủ yếu. (Xem tham khảo 1 để biết nguồn gốc)
Ứng suất pháp cực đại: Các ứng suất chính
Tổng hợp các ứng suất pháp và ứng suất tiếp tác dụng tạo ra ứng suất pháp cực đại gọi là
ứng suất chính lớn nhất, σ
1
. Độ lớn của σ
1
có thể được tính từ công thức sau:
Ứng suất chính lớn nhất:
τ

σσ
σσ
σ
2
2
1
22
xy
yx
yx
+








−
+
+
=
(4-1)
Tổng hợp của các ứng suất tác dụng tạo ra ứng suất pháp nhỏ nhất được gọi là ứng suất
chính nhỏ nhất, σ
2
. Độ lớn của nó được tính theo
Ứng suất chính nhỏ nhất:
τ

σσ
σσ
σ
2
2
2
22
xy
yx
yx
+








−
−
+
=
(4-2)
Trong phân tích ứng suất việc biết hướng của ứng suất chính là rất quan trọng. Góc
nghiêng của các mặt phẳng trên đó các ứng suất chính tác dụng, gọi là mặt chính, có thể tính từ
Góc có ứng suất chính:
( )
[ ]
σστ

φ
σ
yxxy
arctg −= /2
2
1
(4-3)
Góc φ
σ
được xác định từ chiều dương trục x của phân tố ứng suất ban đầu với ứng suất
chính lớn nhất σ
1
. Khi đó ứng suất chính nhỏ nhất σ
2
ở trên mặt phẳng vuông góc với σ
1
.
Khi phân tố ứng suất được định hướng sao cho ứng suất chính đang tác dụng lên phân tố,
ứng suất tiếp bằng không. Phân tố ứng suất thu được chỉ ra trong hình 4-4.
154
Hình 4-4 Phân tố ứng suất chính
Hình 4-5 Phân tố ứng suất có ứng suất tiếp cực đại
Ứng suất tiếp cực đại
Theo một hướng khác của phân tố ứng suất, ứng suất tiếp cực đại sẽ xuất hiện. Độ lớn của
nó có thể được tính từ
Ứng suất tiếp cực đại:
τ
σσ
τ
2

2
max
2
xy
yx
+








−
=
(4-4)
Góc nghiêng của phân tố mà ứng suất tiếp cực đại xuất hiện được tính như sau
Góc của phân tố có ứng suất tiếp cực đại:
( )
[ ]
τσσ
φ
τ
xyyx
arctg 2/
2
1
−−=
(4-5)

Góc giữa phân tố chính và phân tố ứng suất ứng suất tiếp cực đại là 45
0
.
Trên phân tố ứng suất tiếp cực đại, các ứng suất pháp có độ lớn bằng nhau sẽ tác dụng
vuông góc với các mặt phẳng có ứng suất tiếp cực đại tác dụng. Những ứng suất pháp đó có giá trị
Ứng suất pháp trung bình:
( )
2/
σσσ
yxavg
+=
(4-6)
155
Chú ý rằng đây là trung bình của hai ứng suất pháp tác dụng. Kết quả của phân tố ứng suất
tiếp cực đại được chỉ ra trong hình 4-5. Chú ý phát biểu bên trên, đó là góc giữa phân tố chính và
phân tố ứng suất tiếp cực đại là 45
0
.
Tổng kết và qui trình chung để phân tích các ứng suất tổng hợp
Danh sách dưới đây tóm tắt các bước được trình bày trong mục này; nó cũng là một qui
trình tổng quát áp dụng trong phân tích ứng suất.
Hình 4-6 Liên hệ giữa phân tố ứng suất ban đầu, phân tố chính, và phân tố ứng suất tiếp
lớn nhất với tải trọng đã cho.
Qui trình chung để tính các ứng suất chính và ứng suất tiếp cực đại
1. Quyết định điểm bạn muốn tính các ứng suất.
2. Định rõ hệ toạ độ cho đối tượng, sơ đồ tách vật, độ lớn cũng như phương chiều các
lực.
3. Tính ứng suất tại điểm đã chọn, và chỉ ra các ứng suất tác dụng trên một phân tố ứng
suất tại điểm mong muốn với sự chú ý cẩn thận đến phương chiều. Hình 4-3 là một
cách để biểu diễn các ứng suất đó.

4. Tính các ứng suất chính tại điểm đó và hướng tác dụng của chúng. Sử dụng các công
thức (4-1), (4-2), và (4-3).
5. Vẽ phân tố ứng suất trên đó các ứng suất chính tác dụng, và chỉ ra hướng của nó so
với trục x ban đầu. Chú ý rằng phân tố chính được vẽ bên cạnh phân tố ứng suất ban
đầu để minh hoạ cho liên hệ giữa chúng.
6. Tính ứng suất tiếp cực đại trên phân tố và hướng của mặt phẳng mà nó tác dụng.
Ngoài ra cần tính ứng suất pháp tác dụng trên phân tố có ứng suất tiếp cực đại. Sử
dụng các công thức (4-4), (4-5), và (4-6).
7. Vẽ phân tố ứng suất trên đó ứng suất tiếp cực đại tác dụng, và chỉ ra hướng của nó so
với trục x ban đầu. Chú ý rằng phân tố có ứng suất tiếp cực đại được vẽ bên cạnh phân
tố ứng suất chính cực đại để minh hoạ liên hệ giữa chúng.
8. Kết quả thu được là 3 phân tố ứng suất như đã trình bày trong hình 4-6
Ví dụ sau đây sẽ minh hoạ việc sử dụng qui trình này.
156
Ví dụ 4-1 Trục trong hình 4-7 được đỡ bởi hai ổ và mang hai bánh đai thang. Lực căng của đai
gây ra các lực ngang trên trục, có xu hướng gây uốn trục trong mặt phẳng x-z. Bánh đai B gây ra
một mômen xoắn theo chiều kim đồng hồ trên trục khi nhìn hướng về gốc của hệ tọa độ dọc theo
trục x. Bánh đai C gây ra một mômen xoắn tương đương nhưng ngược chiều. Với điều kiện đặt tải
đã cho, xác định các ứng suất chính và ứng suất tiếp lớn nhất trên phân tố K ở mặt trước của trục
(z dương) ngay bên phải của bánh đai B. Áp dụng qui trình chung để phân tích các ứng suất tổng
hợp.
Lời giải
Vấn đề: tính các ứng suất chính và ứng suất tiếp lớn nhất trên phân tố K.
Đã cho: trục và sơ đồ tải trong hình 4-7.
Tính toán: Sử dụng qui trình chung để phân tích các ứng suất tổng hợp.
Kết quả: Phân tố K chịu uốn tạo nên một ứng suất kéo tác dụng theo phương x. Ngoài ra
còn có một ứng suất tiếp do xoắn tác dụng tại K. Hình 4-8 đưa ra biểu đồ lực cắt và mômen uốn
của trục và chỉ ra mômen uốn tại K là 1540 lb.in. Vì vậy ứng suất uốn là:
/
x

M S
σ
=
; S = π.D
3
/32 = [π(1.25in)
3
]/32 = 0.192 in
3
x
σ
= (1540 lb.in)/(0.192 in
3
) = 8030 psi
Trên phân tố K một ứng suất tiếp đi xuống trên cạnh phải của phân tố và một ứng suất tiếp
đi lên trên cạnh trái. Kết quả của tác động này có xu hướng làm quay phân tố theo chiều kim đồng
hồ, nghĩa là các ứng suất dương theo qui ước. Cũng cần lưu ý các ứng suất tiếp có hai chỉ số dưới.
Ví dụ, τ
xy
biểu diễn ứng suất tiếp tác dụng trên mặt của phân tố vuông góc với trục x và song song
với trục y. Vì vậy, với phân tố K:
Hình 4-7 Trục mang hai bánh đai thang và được đỡ bằng hai ổ
157
Hình 4-8 Biểu đồ lực cắt và mômen uốn của trục
τ
xy
= T/Z
P
Z
P

= πD
3
/16 = π(1.225 in)
3
/16 = 0.383 in
3
τ
xy
= (1100 lb.in)/(0.383 in
3
) = 2870 psi
Giá trị của ứng suất pháp σ
x
, và ứng suất tiếp τ
xy
, được chỉ ra trên phân tố ứng suất K
trong hình 4-9. Lưu ý rằng ứng suất theo phương y bằng 0 với tải trọng đã cho. Ngoài ra, giá trị
của ứng suất tiếp τ
yx
bằng với τ
xy
và phải tác dụng như trên hình vẽ để cho phân tố ở trạng thái cân
bằng.
Bây giờ chúng ta có thể tính các ứng suất chính trên phân tố sử dụng các công thức từ (4-
1) đến (4-3). Ứng suất chính lớn nhất là:
2
2
1
2
2

x y
xy
x y
σ σ
σ σ
σ τ
−
 
+
= + +
 ÷
 ÷
 
(4-1)
2
2
1
(8030/ 2)
(8030/ 2)
2780
σ
= + +
1
σ
= 4015 + 4935 = 8950 psi
Ứng suất chính nhỏ nhất là
2
2
2
2

2
x y
xy
x y
σ σ
σ σ
σ τ
−
 
+
= − +
 ÷
 ÷
 
(4-2)
2
2
2
(8030/ 2)
(8030/ 2)
2780
σ
= − +
2
σ
= 4015 – 4935 = - 920 psi (nén)
Phương có ứng suất chính lớn nhất tác dụng là :
( )
1
2 /

2
xy x y
arctg
σ
φ
τ σ σ
 
= −
 
(4-3)
158
[ ]
8.17
)8030/()2870)(2(
2
1
0
== arctg
φ
σ
Dấu dương cho thấy phân tố quay theo chiều kim đồng hồ.
Các ứng suất chính có thể được biểu diễn trên một phân tố như minh họa trong hình 4-10.
Lưu ý phân tố đó được biểu diễn cùng phân tố ban đầu để nhấn mạnh hướng của các ứng suất
chính so với trục x ban đầu. Dấu dương của φ
σ
thể hiện rằng phân tố ứng suất chính được quay
cùng chiều kim đồng hồ từ vị trí ban đầu của nó.
Bây giờ xác định phân tố ứng suất tiếp cực đại, sử dụng các công thức (4-4) đến (4-6):
2
2

max
2
xy
x y
σ σ
τ τ
−
 
= +
 ÷
 ÷
 
(4-4)
2 2
max
(8030/ 2) (2780)
τ
= +
max
τ
= ± 4935 psi
Hai cặp ứng suất tiếp,
τ
max
+
và
τ
max
−
có độ lớn tương đương nhưng hướng ngược

nhau.
Hình 4-9 Các ứng suất trên phân tố K
Hình 4-10 Phân tố chính
Hướng của phân tố có ứng suất tiếp lớn nhất tác dụng xác định từ công thức (4-5):
( )
[ ]
τσσ
φ
τ
xyyx
arctg 2/
2
1
−−=
(4-5)
159
( )
2.27
)]2870)(2/[(8030
2
1
0
−
=−= arctg
φ
τ
Dấu âm cho thấy quay phân tố ngược chiều kim đồng hồ.
Các ứng suất pháp bằng nhau tác dụng trên các mặt của phân tố ứng suất này có độ lớn là:
( )
/ 2

avg x y
σ σ σ
= +
(4-6)
8030/ 2 4015
avg
σ
= =
psi
Nhận xét: hình 4-11 chỉ ra phân tố ứng suất trên đó ứng suất tiếp lớn nhất tác dụng và
liên hệ với phân tố ban đầu. Lưu ý rằng góc giữa phân tố này và phân tố chính là 45
0
.
Khảo sát các kết quả của ví dụ 4-1. Ứng suất chính lớn nhất,
σ
1
= 8950 psi, lớn hơn 11%
so với
σ
x
= 8030 psi tính từ ứng suất uốn tác dụng lên trục theo phương x. Ứng suất tiếp cực đại,
τ
max
= 4935 psi, lớn hơn 72% so với ứng suất tiếp
τ
xy
= 2870 psi.
Bạn sẽ học chương 5 ở đó ứng suất pháp cực đại hoặc ứng suất tiếp cực đại thường được
dùng để dự đoán chính xác các hư hỏng và để đưa ra các giải pháp thiết kế an toàn. Các góc của
các phân tố ứng suất này cũng dự báo sự định hướng của hầu hết các ứng suất phá hủy, trợ giúp

trong phân tích ứng suất thí nghiệm và phân tích các bộ phận bị hỏng trong thực tế.
Một khái niệm khác là ứng suất von Mises, được dùng trong thuyết năng lượng biến dạng
của phá hủy nhắc đến trong chương 5. Ứng suất von Mises là một sự tổ hợp duy nhất của ứng suất
chính lớn nhất σ
1
và ứng suất chính nhỏ nhất σ
2
, có thể so sánh trực tiếp với giới hạn chảy của vật
liệu để dự đoán hỏng hóc do độ võng.
Hình 4-11 Liên hệ giữa phân tố ứng suất tiếp lớn nhất với phân tố ứng suất ban đầu và
phân tố ứng suất chính.
Phương pháp tính các ứng suất chính và ứng suất tiếp cực đại đã nêu trong ví dụ 4-1 có
thể coi như là một bản tóm tắt. Ta có thể đạt được những kết quả tương tự khi sử dụng vòng tròn
Mo, sẽ được thảo luận ở phần tiếp theo. Phương pháp này sử dụng kết hợp sự hỗ trợ của hình học
và các tính toán đơn giản. Trong thực tế, sử dụng vòng Mo sẽ cung cấp cho bạn cảm giác trực
quan hơn với các thay đổi của ứng suất tại từng điểm phụ thuộc vào góc định hướng của phân tố
160
ứng suất. Ngoài ra, nó còn cung cấp một cách tiếp cận hợp lí để xác định chế độ ứng suất trên một
mặt bất kì mà bạn quan tâm.
4-3 Vòng tròn MO
MDESIGN
Bởi vì có nhiều thuật ngữ và kí hiệu phức tạp, và cần nhiều tính toán trong tính các ứng
suất chính và ứng suất tiếp cực đại, nên khả năng xuất hiện lỗi là khá cao. Sử dụng vòng Mo với
sự hỗ trợ của hình học giúp giảm thiểu các lỗi và trực quan hơn khi xác định chế độ ứng suất tại
một điểm cần quan tâm.
Sau khi dựng vòng Mo, có thể sử dụng để:
1. Tìm ứng suất chính lớn nhất và nhỏ nhất, và hướng tác dụng của chúng.
2. Tìm ứng suất tiếp cực đại và hướng của mặt mà chúng tác dụng trên đó.
3. Tìm giá trị của các ứng suất pháp tác dụng trên các mặt có ứng suất tiếp cực đại
4. Tìm các giá trị của ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên một phân tố có hướng bất kì.

Tất nhiên, các thông số cần để dựng vòng Mo cũng giống với khi tính các giá trị trên đây,
vì phương pháp hình học cũng tương tự với phương pháp tính toán.
Nếu biết các ứng suất pháp và ứng suất tiếp tác dụng trên hai mặt phẳng vuông góc bất kì
của một phân tố, có thể dựng vòng tròn Mo và tìm được các thông số từ 1 đến 4.
Vòng Mo trên thực tế là một bản vẽ tổ hợp của các ứng suất pháp và ứng suất tiếp có trên
một phân tố cho tất cả các góc định hướng của phân tố. Phương pháp này đặc biệt hữu ích trong
việc phân tích ứng suất thực nghiệm vì các kết quả đã đạt được từ nhiều dụng cụ đo biến dạng tiêu
chuẩn cung cấp những thông số đầu vào cần thiết để vẽ ra vòng Mo. (xem tham khảo 1.) Khi đã
tìm được các ứng suất chính và ứng suất tiếp cực đại, có thể hoàn thiện phân tích và thiết kế, sử
dụng các lí thuyết khác nhau về phá hủy thảo luận trong chương 5.
Qui trình dựng vòng tròn Mo
1. Thực hiện phân tích ứng suất để xác định độ lớn cũng như hướng của các ứng suất
pháp và ứng suất tiếp tác dụng tại điểm đang xét.
2. Tại điểm đang xét vẽ phân tố ứng suất như trong hình 4-12(a). Vẽ ứng suất pháp trên
hai mặt vuông góc bất kì sao cho ứng suất kéo là dương hướng từ phân tố ra ngoài.
Các ứng suất nén là âm và hướng vào mặt phân tố. Chú ý rằng phải vẽ tổng hợp của
tất cả các ứng suất pháp theo hướng đã chọn. Các ứng suất tiếp được coi là dương nếu
chúng làm quay phân tố theo chiều kim đồng hồ (cw), và âm khi ngược lại.
Lưu ý trên phân tố ứng suất đã minh họa, σ
x
là dương, σ
y
là âm, τ
xy
là dương, và τ
yx
là
âm. Việc qui ước như vậy là tùy ý. Trong trường hợp chung, ứng suất tổng hợp là
dương hoặc âm đều có thể tồn tại.
3. Tham khảo hình 4-12(b). Dựng một hệ tọa độ vuông góc trong đó chiều dương trục

hoành (ngang) biểu diễn ứng suất pháp dương (kéo), và chiều dương trục tung (đứng)
biểu diễn ứng suất tiếp dương (chiều kim đồng hồ). Vì vậy mặt phẳng đã tạo sẽ được
xem như là mặt σ-τ.
161
4. Vẽ các điểm trên mặt σ-τ ứng với các ứng suất tác dụng trên các mặt của phân tố ứng
suất. Nếu phân tố được vẽ trên mặt x-y, hai điểm vẽ ra sẽ là σ
x
, τ
xy
và σ
y
, τ
yx
.
5. Vẽ đường thẳng nối hai điểm đó.
6. Tâm của vòng tròn Mo là giao điểm của đường thẳng này và trục σ, đó là giá trị trung
bình của hai ứng suất pháp tác dụng, trong đó
2
x y
avg
σ σ
σ
+
=
Trong hình 4-12 tâm của vòng trong Mo là O.
7. Chú ý trong hình 4-12 tam giác bên phải có các cạnh là a, b, và R, trong đó
2 2
R
a b
= +

Kiểm tra chúng ta thấy rằng
2
x y
a
σ σ
−
=
b = τ
xy
Điểm O cách gốc tọa độ ban đầu là σ
x
– a. Bây giờ chúng ta có thể tiếp tục.
8. Vẽ vòng tròn hoàn thiện với tâm tại O và bán kính R, như trong hình 4-13.
9. Vòng tròn cắt trục σ tại điểm bên phải cho ta giá trị của ứng suất chính lớn nhất, σ
1
.
Chú ý σ
1
= σ
avg
+ R.
10. Vòng tròn cắt trục σ tại điểm bên trái cho ta giá trị của ứng suất chính nhỏ nhất, σ
2
.
Chú ý σ
2
= σ
avg
– R.
11. Tọa độ điểm cao nhất của vòng tròn cho ta ứng suất tiếp cực đại và ứng suất pháp

trung bình tác dụng trên phân tố có ứng suất tiếp cực đại. Chú ý rằng,
max
R
τ
=
.
Lưu ý: Các bước sau đây liên quan đến xác định các góc nghiêng của phân tố
chính và phân tố ứng suất tiếp cực đại so với trục x ban đầu. Một vấn đề quan trọng
khi xác định các góc này là các góc trên vòng tròn Mo thực tế gấp đôi góc thực. Xem
hình 4-13; đường thẳng từ O qua điểm đầu tiên σ
x
, τ
xy
biểu diễn trục x ban đầu. Đường
từ O qua điểm σ
y
, τ
yx
biểu diễn trục y ban đầu. Dĩ nhiên, trên phân tố ban đầu các trục
này vuông góc với nhau, chứ không tạo thành một góc 180
0
, như đặc điểm gấp đôi góc
của vòng Mo. Với sự lưu ý như vậy, chúng ta tiếp tục các bước tiếp theo.
12. Góc 2φ
σ
được đo từ trục x trên vòng tròn đến trục σ. Lưu ý rằng
2 arctg(b/a)
σ
φ
=

Một vấn đề quan trọng cần lưu ý là hướng từ trục x đến trục σ (thuận chiều hay ngược
chiều kim đồng hồ). Nó rất cần thiết để biểu diễn các mối tương quan giữa phân tố
chính với phân tố ứng suất ban đầu một cách đúng đắn.
162
Hình 4-12 Vòng Mo gần hoàn thiện, các bước từ 1-7
Hình 4-13 Vòng Mo hoàn thiện, các bước từ 8-14
163
Hình 4-14 Biểu diễn các kết quả từ vòng Mo
13. Góc từ trục x trên vòng tròn đến đường thẳng đứng qua τ
max
là 2φ
τ
. Trong ví dụ đã nêu,
từ các thông số hình học của vòng tròn chúng ta thấy được
0
2 2
90
τ σ
φ φ
= −
Với những ứng suất ban đầu khác cũng vẫn cho liên hệ tương tự giữa 2φ
σ
và 2φ
τ
. Các
thông số hình học cụ thể của vòng tròn được sử dụng tùy từng thời điểm. Xem các ví
dụ 4-3 đến 4-8 sau mục này.
Như phần trên việc lưu ý hướng từ trục x đến trục τ
max
là rất quan trọng trong định

hướng của phân tố ứng suất tiếp lớn nhất. Bạn cũng cần lưu ý trục σ và trục τ
max
tạo
thành góc 90
0
trên vòng tròn và bởi vậy chúng tạo ra góc 45
0
trên phân tố thực.
14. Bước cuối cùng trong phương pháp sử dụng vòng Mo là vẽ các phân tố ứng suất thu
được theo sự liên hệ chính xác của chúng với phân tố ban đầu, như đã chỉ trong hình
4-14.
Bây giờ chúng ta sẽ minh họa việc dựng vòng tròn Mo bằng cách sử dụng các thông số
tương tự như trong ví dụ 4-1 với các ứng suất chính và ứng suất tiếp lớn nhất đã được tính trực
tiếp từ các công thức.
Ví dụ 4-2 Trục đã nêu trong hình 4-7 được đỡ bằng hai ổ và mang hai bánh đai thang. Lực căng
trong các dây đai gây ra các lực ngang trên trục, dẫn đến uốn trục trong mặt x-z. Bánh đai B gây
ra mômen xoắn thuận chiều kim đồng hồ trên trục khi khi nhìn hướng về gốc hệ tọa độ dọc theo
trục x. Bánh đai C gây ra mômen xoắn tương đương nhưng ngược chiều trên trục. Với điều kiện
tải như vậy, xác định các ứng suất chính và ứng suất tiếp lớn nhất trên phân tố K ở mặt trước của
trục (z dương) ngay bên phải của bánh đai B. Sử dụng qui trình xây dựng vòng tròn Mo trong
mục này.
Lời giải:
Vấn đề: xác định các ứng suất chính và ứng suất tiếp lớn nhất trên phân tố K.
Đã cho: trục và chế độ tải trọng trong hình 4-7.
164
Hình 4-15 Các ứng suất trên phân tố K
Hình 4-16 Vòng Mo gần hoàn thiện
Tính toán: sử dụng qui trình dựng vòng tròn Mo. Một số kết quả có thể có ngay từ lời
giải của ví dụ 4-1 và từ các hình 4-7, 4-8, 4-9.
Kết quả:

Bước 1 và 2: phân tích ứng suất với tải trọng đã cho được hoàn thành trong ví dụ 4-1.
Hình 4-15 giống với hình 4-9 và trình bày các kết quả của bước 2.
Bước 3-6: hình 4-16 chỉ ra các kết quả. Điểm đầu tiên được vẽ là
σ
x
= 8030 psi, τ
xy
= 2870 psi
Điểm thứ hai được vẽ tại
σ
y
= 0 psi, τ
yx
= - 2870 psi
Nối hai điểm bằng một đường thẳng cắt trục σ tại O. Giá trị của ứng suất tại O là:
σ
avg
= (σ
x
+ σ
y
)/2 = (8030 + 0)/2 = 4015 psi
Bước 7: chúng ta tính các giá trị của a, b, và R
a = (σ
x
- σ
y
)/2 = (8030 – 0)/2 = 4015 psi
165
b = τ

xy
= 2870 psi
2 2 2 2
4935
4015 2870
R
a b
= + = + =
psi
Bước 8: hình 4-17 chỉ ra vòng Mo hoàn thiện. Vòng tròn này có tâm tại O và bán kính là
R. Chú ý rằng vòng tròn này đi qua hai điểm đã vẽ ở trên. Có điều đó vì vòng Mo biểu diễn tất cả
các trạng thái ứng suất có thể trên phân tố K.
Bước 9: ứng suất chính lớn nhất là tại bên phải của vòng.
σ
1
= σ
avg
+ R
σ
1
= 4015 + 4935 = 8950 psi
Bước 10: ứng suất chính nhỏ nhất là tại bên trái của vòng
σ
2
= σ
avg
- R
σ
2
= 4015 – 4935 = - 920 psi

Bước 11: tại đỉnh của vòng tròn
σ = σ
avg
= 4015 psi
τ = τ
max
= R = 4935 psi
Giá trị của ứng suất pháp trên phân tố ứng suất tiếp lớn nhất là tọa độ của O, tâm vòng
tròn.
Bước 12: tính góc 2φ
σ
và φ
σ
. Sử dụng vòng Mo
2φ
σ
= arctg (b/a) = arctg (2870/4015) = 35.6
0
φ
σ
= 35.6
0
/2 = 17.8
0
Hình 4-17 Vòng Mo hoàn thiện
166
Hình 4-18 Các kết quả từ phân tích vòng Mo
Chú ý rằng φ
σ
cần được đo theo chiều kim đồng hồ từ trục x ban đầu đến hướng đường tác

dụng của σ
1
. Phân tố chính sẽ được quay theo hướng tương tự, như một phần của bước 14.
Bước 13: tính góc 2φ
τ
và φ
τ
. Từ vòng Mo chúng ta thấy rằng
2φ
τ
= 90
0
- 2φ
σ
= 90
0
– 35.6
0
= 54.4
0
φ
τ
= 54.4
0
/2 = 27.2
0
Chú ý rằng phân tố ứng suất tiếp lớn nhất có được nhờ quay phân tố ban đầu ngược chiều
kim đồng hồ một góc như trên.
Bước 14: hình 4-18 chỉ ra các phân tố ứng suất yêu cầu. Chúng giống như các phân tố đã
có trong hình 4-11.

4-4 Bài tập về vòng tròn Mo
MDESIGN
Với một người thấy vòng Mo lần đầu tiên, nó dường như dài và phức tạp. Nhưng việc
luyện tập với các tổ hợp khác nhau của ứng suất pháp và tiếp, bạn có thể thực hiện 14 bước nhanh
chóng và chính xác.
Bảng 4-1 đưa ra 6 cụm thông số (ví dụ 4-3 đến 4-8) các ứng suất pháp và ứng suất tiếp
trong mặt x-y. Bạn được yêu cầu hoàn thiện vòng tròn Mo cho từng trường hợp trước khi xem lời
giải trong hình 4-19 đến 4-24. Từ vòng Mo, xác định hai ứng suất chính, ứng suất tiếp lớn nhất, và
các mặt mà những ứng suất đó tác dụng. Sau đó vẽ phân tố ứng suất đã cho, phân tố chính, và
phân số ứng suất tiếp lớn nhất, tất cả phải định hướng chính xác so với hướng của trục x, y.
167
Bảng 4-1 Các ví dụ với vòng Mo
Ví dụ
σ
x
σ
y
τ
xy
Hình số
4-3 + 10.0 ksi - 4.0 ksi + 5.0 ksi 4-19
4-4 + 10.0 ksi - 2.0 ksi - 4.0 ksi 4-20
4-5 + 4.0 ksi - 10.0 ksi + 4.0 ksi 4-21
4-6 + 120 MPa - 30 MPa + 60 MPa 4-22
4-7 - 80 MPa + 20 MPa - 50 MPa 4-23
4-8 - 80 MPa + 20 MPa + 50 MPa 4-24
Ví dụ 4-3
Hình 4-19
Lời giải cho
ví dụ 4-3

168
Ví dụ 4-4
Hình 4-20
Lời giải cho
ví dụ 4-4
Ví dụ 4-5
Hình 4-21
Lời giải cho
ví dụ 4-5
169
Ví dụ 4-6
Hình 4-22
Lời giải cho
ví dụ 4-6
Ví dụ 4-7
Hình 4-23
Lời giải cho
ví dụ 4-7
170
Ví dụ 4-8
Hình 4-24
Lời giải cho
ví dụ 4-8
4-5 Trường hợp cả hai ứng suất chính cùng dấu
MDESIGN
Nhớ rằng tất cả các ví dụ đã trình bày đều là các vấn đề về ứng suất trong mặt phẳng, còn
được gọi là ứng suất phẳng (hai chiều) vì các ứng suất chỉ tác dụng theo hai phương trong một
mặt phẳng. Hiển nhiên, các bộ phận mang tải trọng thực là đối tượng ba chiều. Giả thiết ở đây là
nếu không cho ứng suất theo phương thứ 3, coi nó bằng không. Trong hầu hết các trường hợp, lời
giải đưa ra các giá trị thực của ứng suất tiếp lớn nhất, cùng với hai ứng suất chính của mặt đã cho.

Điều này luôn đúng nếu hai ứng suất chính ngược dấu, tức là một ứng suất là kéo thì cái còn lại là
nén.
Nhưng ứng suất tiếp thực lớn nhất trên phân tố sẽ không thể tìm được nếu hai ứng suất
chính có cùng dấu. Trong trường hợp như vậy, bạn cần xét đến trường hợp ba chiều.
Những ví dụ quen thuộc về sản phẩm thực có hai ứng suất chính cùng dấu là các dạng
bình áp suất. Một xylanh thủy lực với các đầu đóng kín chứa chất lỏng có áp suất cao dẫn đến làm
hỏng thành của xylanh. Trong sức bền vật liệu, bạn đã học rằng mặt ngoài của thành những
xylanh như vậy chịu ứng suất kéo theo hai phương: (1) tiếp tuyến với chu vi và (2) dọc trục, song
song với trục của xylanh. Ứng suất vuông góc với thành tại mặt ngoài bằng không.
Hình 4-25 chỉ ra chế độ ứng suất trên một phân tố của mặt xylanh. Ứng suất tiếp tuyến
hướng theo phương x và được kí hiệu là σ
x
. Ứng suất hướng trục, còn gọi là ứng suất dọc trục, tác
dụng theo phương y và kí hiệu là σ
y
.
171
Hình 4-25 Xylanh thành mỏng chịu áp suất với hai đầu bịt kín
Trong phần sức bền vật liệu, bạn đã học rằng nếu thành xylanh là tương đối mỏng, ứng
suất tiếp tuyến lớn nhất là
σ
x
= pD/2t
Trong đó: p là áp suất bên trong xylanh
D là đường kính xylanh
t là chiều dày thành xylanh
Và ứng suất dọc trục là
σ
y
= pD/4t

Cả hai ứng suất đều là kéo, và ứng suất tiếp tuyến lớn gấp hai lần ứng suất dọc trục.
Với mọi loại bình chứa hình trụ thành mỏng có áp suất bên trong cũng phân tích tương tự.
Ví dụ như thùng chứa khí nén, ống chứa chất lỏng chuyển động dưới áp lực, và hộp chứa đồ uống
thông thường có áp lực bên trong để bật nắp khi mở.
Chúng ta hãy sử dụng xylanh thủy lực làm ví dụ minh họa cho trường hợp riêng khi sử
dụng vòng tròn Mo với cả hai ứng suất chính có cùng dấu. Hình 4-25 chỉ ra một xylanh kín hai
đầu với áp suất bên trong là 500 psi. Chiều dày thành là t = 0.080 in, và đường kính xylanh D =
4.00 in. Tỷ lệ D/t = 50 cho thấy xylanh có thể được xem là thành mỏng. Mọi tỷ lệ lớn hơn 20 đều
có thể coi là thành mỏng.
Tính các ứng suất tiếp tuyến và dọc trục trong thành
Ứng suất tiếp tuyến
(500 )(4.0 )
12500
2 (2)(0.080 )
x
pD psi in
t in
σ
= = =
psi (kéo)
Ứng suất dọc trục
(500 )(4.0 )
6250
4 (4)(0.080 )
y
pD psi in
t in
σ
= = =
psi (kéo)

Không xảy ra cắt theo phương x và y.
172
Hình 4-26 Phân tích ứng suất cho xylanh thành mỏng
Hình 4-26(a) chỉ ra phân tố ứng suất trong mặt phẳng x-y, và phần (b) chỉ ra vòng tròn Mo
tương ứng. Bởi vì không có ứng suất tiếp tác dụng, σ
x
, σ
y
là ứng suất chính của mặt này. Vòng
Mo giúp xác định ứng suất tiếp lớn nhất bằng với bán kính của vòng tròn, 3125 psi.
Nhưng chú ý phần (c) của hình. Chúng ta có thể chọn mặt x-z để phân tích, thay vì chọn
mặt x-y. Ứng suất theo phương z bằng 0 vì nó vuông góc mặt tự do của phân tố. Tương tự như
vậy, không có ứng suất tiếp trên mặt này. Vòng tròn Mo cho mặt này được chỉ ra trong phần (d)
của hình. Ứng suất tiếp lớn nhất bằng bán kính của vòng là 6250 psi, lớn gấp 2 lần so với trong
mặt x-y. Cách tiếp cận này sẽ được sử dụng cho mọi trường hợp hai ứng suất chính trong ứng suất
phẳng có cùng dấu.
Trên một phân tố ứng suất ba chiều tổng quát, sẽ có một hướng của phân tố mà trên đó
không có ứng suất tiếp tác dụng. Các ứng suất pháp trên ba mặt vuông góc là ba ứng suất chính.
Nếu chúng ta gọi các ứng suất này là σ
1
, σ
2
, và σ
3
và xếp chúng theo thứ tự như sau σ
1
> σ
2
> σ
3

,
khi đó ứng suất tiếp lớn nhất trên phân tố sẽ là
1 3
ax
2
m
σ σ
τ
−
=
Hình 4-27 chỉ ra phân tố ba chiều.
Với xylanh trong hình 4-25, chúng ta có thể thu được
σ
1
= σ
x
= 12 500 psi
σ
2
= σ
y
= 6250 psi
173
σ
3
= σ
z
= 0 psi
τ
max

= (σ
1
- σ
3
)/2 = (12 500 – 0)/2 = 6250 psi
Hình 4-28 chỉ ra hai ví dụ bổ xung ở đó hai ứng suất chính trong mặt đã cho có cùng dấu.
Khi đó ứng suất bằng 0 theo phương thứ 3 được bổ xung vào sơ đồ, và vòng tròn Mo mới được vẽ
chồng lên vòng ban đầu. Nó cho thấy ứng suất tiếp lớn nhất sẽ xuất hiện trên vòng Mo có bán
kính lớn nhất.
Hình 4-27 Phân tố ứng suất ba chiều
Hình 4-28 Vòng Mo của các trường hợp hai ứng suất chính cùng dấu
174