Đề thi toán cao cấp 3 trường ĐHSPKT Hưng Yên - đề số 3 doc

TRƯỜNG ĐHSPKT HƯNG YÊN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
Khoa Khoa học cơ bản
Đề số:03
Học phần: Toán cao cấp 3
Ngày thi:
Thời gian làm bài: 90 phút.
Câu 1: Cho hàm số
2 3 2
5
6 2
2
z x x xy y y
= − − + +
1. Tìm cực trị của hàm số.
2. Tại M(2;1) hàm số sẽ tăng hay giảm nếu dịch chuyển ra khỏi
điểm M theo hướng lập với trục Ox một góc
0
30
.
3. Tại M, hãy tìm hướng để hàm z tăng nhah nhất.
Biểu diễn trên hình vẽ.
Câu 2: Trong không gian với hệ toạ độ trục Oxyz, dung tích phân mặt tính
trọng tâm của tam giác phẳng ABC với A (-2,3,0),
B ( 4,0,0) và C (-2,0,
3
2
) với hàm mật độ ρ (x,y,z) = y.
Câu 3: Tính
2 2
C
xy dy x ydx

−
∫
Ñ
trong đó C là đường tròn
2 2 2
x y a+ =
lấy theo chiều ngược chiều kim
đồng hồ.
Kiểm chứng kết quả thông qua sử dụng công thức Green.
Câu 4: Giải hệ phương trình vi phân:
, ,
,
4 sin 3
cos
x
y z x y
y x z xe

− = −


= − +


thoả mãn điều kiện khi x=0 thì y=0 và z=0
Giảng viên ra đề 1: Khoa / Bộ môn
Giảng viên ra đề 2:
y
z
x

C
A
B
O
Câu 1(2đ):
,
2 2 6 0 3
x
z y x x y
= − + − = ⇒ = +

, 2
3 5 2 0
y
z y y x
= + − =
(0.25đ)
Thay vào ta có :
2 2
3 5 2 6 3 3 6 0y y y y y
+ − − = + − =
2
1 2 1 2
2 0 1, 2 4, 1y y y y x x
⇒ + − = ⇒ = = − ⇒ = =

Hàm số có 2 điểm tới hạn
1 2
(4,1), (1, 2)M M= = −
(0.25đ)

1
(4,1)M =

2
(1, 2)M = −
,,
2
xx
z =
=r 2 2
,,
2
xy
z = −
=s -2 -2
,,
6 5
yy
z y= +
=t 11 -7
2
s rt−
4-22<0 4+14>0
r=2 hsố đạt cực tiểu không cực trị (0.5)

2. Ta có:

( ) 2 4 6 4
x
z N = − + − = −

,
( ) 3 5 4 4
y
z N
= + − =

0 0
3 1
4cos30 4cos60 4( ) 0
2 2
z
l
∂
= − + = − >
∂
(0.5đ)
Vậy hàm số sẽ tăng nếu dịch chuyển ra khỏi điểm M theo hướng lập với trục
Ox một góc
0
30
.
3. Hướng thay đổi nhanh nhất -4i+4j (0.5đ)

Câu 2(3đ): +vẽ hình (0.5đ)
+) Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng ABC.
2 3
9
6 3 0 0 ( 2) 9( 3) 18 0
2
3

3
2
0
x y
x y z
z
 
 ÷
+ −
 ÷
− = ⇔ − + − − − =
 ÷
 ÷
−
 ÷
 
1 1
4 2 4 2
x y x y
z z⇔ + + = ⇔ = − −
(0.5đ)
+) Bước 2: Đưa tích phân mặt về tích phân bội 2 bằng cách chiếu xuống mặt phẳng
Oxy. Khi đó ta có:
6
4
2
y
-5
x
M

, 2 , 2
1 ( ) ( )
x y
S D
m yds y z z dxdy
= = + +
∫∫ ∫∫

2 2
1 1 21
1 ( ) ( )
4 2 4
D D
m y dxdy ydxdy
− −
= + + =
∫∫ ∫∫
(0.25đ)
Tính tích phân này có 2 cách: (0.25đ)
Cách 1:
2
4
2
2 0
21 21
9.
4 4
x
y
y

dx ydy
−
= +
− =
=
∫ ∫
Cách 2:
2 4
3
0 2
21 21
9.
4 4
x y
x
dy ydx
=− +
=−
=
∫ ∫
+) Bước 3: Tính toạ độ trọng tâm:
, 2 , 2
1 1 1 21
1 ( ) ( ) .
4
G x y
S D D
x xyds xy z z dxdy ydxdy
m m m
= = + + =

∫∫ ∫∫ ∫∫

2
4
2
2 0
4
3 4
2 3 2
2
1 21
.
2 4
4
1 21 1 21 2 1
. ( 2 4 ) . ( 2 )
2
2 4 4 2 4 16 3 2
x
y
y
dx xydy
m
x x
x x dx x x
m m
−
= +
− =
−

=
−
= − + = − + =
−
∫ ∫
∫
(0.5đ)
2 2 , 2 , 2
1 1
1 ( ) ( )
G x y
S D
y y ds y z z dxdy
m m
= = + +
∫∫ ∫∫

2
4
2
2 2
2 0
4
3 4
2 2 3
2
1 21 1 21
. .
4 3 4
4

1 21 3 1 21 1
. (8 6 ) . (8 6 )
2
3 4 2 8 3 4 2 32
18 21 21 27
.
7 4 2
x
y
D y
y dxdy dx y dy
m m
x x
x x dx x x x
m m
−
= +
− =
−
= =
= − + − = − + −
−
= =
∫∫ ∫ ∫
∫
(0.5đ)
, 2 , 2
1 1
1 ( ) ( )
G x y

S D
z zyds yz z z dxdy
m m
= = + +
∫∫ ∫∫

4
2
-2
y
5
x
C
B
A

2
4
2
2 0
4
2 2
2
2
4
3 2
2
1 21
. (1 )
4 4 2

1 21
. (1 )
4 4 2
2
1 21 1
. ( )
2
4 2 8 4
0
1 21 2 37
. ( )
4 96 8 2 3 72
D
x
y
y
x y
y dxdy
m
x y
dx y dy
m
x
y
xy y
y dx
m
y
x x x
dx

m
−
= +
− =
−
−
= − −
= − −
−
= +
= − −
=
− −
= + − − =
∫∫
∫ ∫
∫
∫
(0.5đ)
Vậy trọng tâm G(
1 27 37
, ,
2 2 72
− −
).
Câu 3(2đ):
Tham số hoá đường tròn C:
cos
sin
x a t

y a t
=


=

với
0 2t
π
≤ ≤
(0.25đ)
2
2 2 3 2 2 2
0
( cos sin . cos cos . sin . sin )
C
xy dy x ydx a t t a t a t a t a t dt
π
− = +
∫ ∫
Ñ
(0.25đ)

2 2
4
4 2 2 2
0 0
2
4
0

4 4 4
2 cos sin sin 2
2
1 cos 4
2 2
2
sin 4 2
( )
0
4 2 4 4 2
a
a t tdt tdt
a t
dt
a t t a a
π π
π
π
π π
= =
−
=
= − = =
∫ ∫
∫
(0.5đ)
Áp dụng công thức Green ta có:
Đặt
2
P x y= −

,
2
Q xy=
. Khi đó:

2 2 2
2 2 2 2
( )
C
x y a
I xy dy x ydx x y dxdy
+ ≤
= − = +
∫ ∫∫
Ñ
(0.5 đ)
chuyển sang hệ toạ độ cực

cos , sin ,0 2x r y r
ϕ ϕ ϕ π
= = ≤ ≤
(0.25 đ)
Ta có:

2
4
3
0 0
2
a

a
I d r dr
π
π
ϕ
= =
∫ ∫
(0.25 đ)
Câu 4(3đ):

, ,
,
4 sin 3
cos
x
y z x y
y x z xe

− = −


= − +



(1)
(2)
,, ,
(2) sin ( 1)
x

y x z x e⇒ = − − + +
. Thế vào (1) ta được :
,, , ,, ,
sin (4 sin 3 ) ( 1) 4 3 ( 1)
x x
y x y x y x e y y y x e
= − − − + + + ⇔ + + = +
(3) (0.5đ)
+ Phương trình thuần nhất:
,, ,
4 3 0y y y+ + =
Phương trình đặc trưng
2
1 2
4 3 0 1, 3
λ λ λ λ
+ + = ⇔ = − =
.
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là :
3
1 2
x x
C e C e
−
+
. (0.5 đ)
+ Tìm nghiệm của phương trình (3) bằng phương pháp biến thiên hằng số:
' 2
' ' 3
1

1 2
' ' 3
' 2
1 2
2
1
( 1)
0
4
1
3 ( 1)
( 1)
4
x
x x
x x x
x
C x e
C e C e
C e C e x e
C x e
−
−
−

= − +


+ =
 

⇔
 
− + = +



= +


2 * 2 2 *
2 2 2
1 1 3
( 1)
4 8 16
x x x
C x e dx C xe e C
− − −
−
⇒ = + + = + +
∫
(0.5 đ)
2 * 2 2 *
1 1 1 1
1 1 1
( 1)
4 8 16
x x x
C x e dx C C xe e C⇒ = − + + ⇒ = − + +
∫
(0.5 đ)

2 2 * 2 2 * 3
1 2
* * 3
1 2
1 1 1 3
( ) ( )
8 16 8 16
1 1
4 4
x x x x x x
x x x x
y xe e C e xe e C e
y xe e C e C e
− − −
−
−
⇒ = − + + + + +
⇒ = − + + +
(0.25 đ)
* * 3
1 2
5
3 cos
4
x x x
z xe C e C e x
−
⇒ = + − +
(0.25 đ)

Từ điều kiện ta có:
*
* *
1
1 2
*
* *
2
1 2
7
1
0
16
4
3
1 3 0
16
C
C C
C
C C
−


=

+ + =
 
⇔
 

 
=
+ − =



(0.25 đ)
3
1 1 7 3
4 4 16 16
x x x x
y xe e e e
−
⇒ = − + − +
3
5 9
7
cos
16
4 16
x x x
z xe e e x
−
⇒ = − − +
(0.25)