Đề thi toán cao cấp tổng hợp

1

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
HỘI ĐỒNG RA ĐỀ THI MÔN HỌC, HỌC PHẦN

Độc lập - Tự do – Hạnh phúc


NGÂN HÀNG ĐỀ THI
Môn: TOÁN CAO CẤP 2

Ban hành kèm theo Quyết định số: ………/QĐ-TTĐT1của Giám
đốc Học viện Công nghệ Bưu chính viễn thông ký ngày /04/2006

DÙNG CHO ĐÀO TẠO HỆ ĐẠI HỌC TỪ XA NGÀNH QUẢN TRỊ KINH DOANH
THỜI GIAN : 120 phút
MỖI ĐỀ 3 CÂU
( một câu loại A, một câu loại B và một câu loại C)


A. LOẠI CÂU HỎI 2 ĐIỂM
Câu 1: Cho ma trận
1 2 0
3 1 4
A
 

 

 

. Hãy tính
t
AA
và
t
A A
.
Câu 2: Cho các ma trận
1 3 2
3 2 1
A
 

 

 
,
2 4 2
1 3 2
B

 

 
 
 
,
2 5 6
1 2 5
1 3 2

C
 
 

 
 
 
.
Hãy tính
( )
A B C


Câu 3: Cho ma trận
4 3 1
2 3 3
7 1 5
A

 
 
 
 
 
 
, hãy tính
I
A
A
4

4
2


.
Câu 4: Cho các ma trận:
2 5 1
3 4
A
x

 

 

 
,
1 2 3
1 5
B
y
 
 

 

 
,
1 2
1 1 1

z
C

 

 
 
 
.
Hãy tính
3 4 2
 
A B C
.
Câu 5: Tìm
, ,
x y z
và
w
nếu
6 4
3
1 2 3

     
 
     
 
     
x y x x y

z w w z w
.
Câu 6: Tính định thức
5 2 7
2 1 2
3 1 4
D 
 
.
Câu 7: Tính định thức
5 5 8
3 2 2
9 5 10
D 
.
Câu 8
: Cho hai phép biến đổi tuyến tính
3 3
, :f g 
 
có công thức xác định ảnh

2

( , , ) (2 3 , , 5 4 )
f x y z x y z y z x y z
     
,
( , , ) ( , 3 5 ,2 5 3 )
g x y z x z x y z x y z

      
. Tìm
công thức xác định
g
f
5
2

.
Câu 9: Tìm hạng
)
(
A
r
của ma trận
1 3 1 2
1 4 3 1
2 3 4 7
3 8 1 7
A

 
 

 

 
 
 


 
.
Câu 10: Tìm hạng
)
(
A
r
của ma trận
1 2 3
2 1 0
2 1 3
1 4 2

 
 
 

 
 
 
 
 
A
.
Câu 11: Hệ véc tơ sau của không gian
3

độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính
1 2 3
(2, 3,1); (3, 1,5); (1, 4,3)

     
v v v
.
Câu 12: Hệ véc tơ sau của không gian
3

độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính
1 2 3
(1,3, 4); (1,4, 3); (2,3, 11)
     
v v v
.
Câu 13
: Giải hệ phương trình tuyến tính:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
5 4 2 7
7 6 3 9
9 3 4 11
x x x
x x x
x x x
  


  


  



Câu 14
: Tìm hạng của hệ véc tơ sau của không gian
4

:

1
(3,2,5, 4)
v
 
;
2
(5,12,7, 14)
v
 
;
3
(2, 3,4,1)
v
 
.
Câu 15: Tìm hạng của hệ véc tơ sau của không gian
4

:

1
(1, 2,4,1)

 
v
;
2
(2, 3,9, 1)
  
v
;
3
(1,0,6, 5)
 
v
,
4
(2, 5,7,5)
 
v
.

B. LOẠI CÂU HỎI 3 ĐIỂM
Câu 1
: Biểu diễn véc tơ
(1, 2,5)
u
 
thành tổ hợp tuyến tính của 3 véc tơ sau:
1
(1,1,1)
v 
,

2
(1,2,3)
v 
,
3
(2, 1,1)
v  
.
Câu 2: Biểu diễn véc tơ
(2, 5,3)
 
u
thành tổ hợp tuyến tính của 3 véc tơ sau:
1
(1, 3,2)
 v
,
2
(2, 4, 1)
  
v
,
3
(1, 5,7)
 v
.
Câu 3: Tìm tất cả các giá trị của
m
để véc tơ
(1,3,5)


u
biểu diễn được thành tổ hợp tuyến
tính của các véc tơ:
1
(3,2,5)

v
,
2
(2,4,7)

v
,
3
(5,6, )

v m
.
Câu 4: Tìm tất cả các giá trị của m để
(7, 2, )
 
u m
biểu diễn được thành tổ hợp tuyến tính
của:
1
(2,3,5)

v
,

2
(3,7,8)

v
,
3
(1, 6,1)
 
v
.

3

Câu 5: Tìm tất cả các giá trị của
m
để véc tơ
(1, 2, )
 
u m
biểu diễn được thành tổ hợp
tuyến tính của các véc tơ:
1
(3,0, 2)
 
v
,
2
(2, 1, 5)
  
v

.
Câu 6: Chứng tỏ rằng hệ véc tơ
1 2 3
(2,1, 3); (3,2, 5); (1, 1,1)
     
v v v
là một cơ sở
của không gian véc tơ
3

. Tìm toạ độ của véc tơ
(6,2, 7)
 
u
trong cơ sở này.
Câu 7: Giải và biện luận theo tham số
m
hệ phương trình tuyến tính:

1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
3 2 4 5
9 4 10 11
7 3 6 8 9
5 2 4 6 7
   



   


   


   

x x x x
x x mx x
x x x x
x x x x

Câu 8
: Giải và biện luận theo tham số
m
hệ phương trình tuyến tính:

1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
5 3 2 4 3
7 3 7 17
4 2 3 7 1
8 6 5 9
   


   



   


   

x x x x
x x x x m
x x x x
x x x x

Câu 9: Tìm điều kiện đối với
, ,
a b c
để véc tơ
( , , )

u a b c
thuộc vào không gian véc tơ sinh
bởi các véc tơ:
1
(2,1,0)

v
,
2
(1, 1,2)
 
v

,
3
(0,3, 4)
 
v
.
Câu 10: Xét các véc tơ
(1, 3,2), (2, 1,1), ( , , )
u v w a b c
    
của không gian véc tơ
3

.
Tìm điều kiện
, ,
a b c
để
w
là tổ hợp tuyến tính của
u
và
v
.
Câu 11: Giải phương trình ma trận














95
53
43
21
X
.
Câu 12: Giải phương trình ma trận
2 1
1 3
X
 
 
 
=
4 5
3 1

 
 
 
.
Câu 13: Chứng minh rằng



( , , ): 0
   
W x y z x y z
là một không gian véc tơ con của
3

. Tìm một cơ sở của
W
.
Câu 14: Gọi
2
M
là không gian véc tơ các ma trận vuông cấp 2. Tìm tọa độ của
2
A
M
,
2 3
4 7
 

 

 
A
trong cơ sở
1 1 0 1 1 1 1 0
, , ,

1 1 1 0 0 0 0 0
 
 
       
 
       
       
 
.
Câu 15: Gọi
W
là không gian véc tơ gồm các ma trận vuông cấp 2 đối xứng. Tìm tọa độ của

A W
,
4 11
11 7

 

 
 
 
A
trong cơ sở
1 2 2 1 4 1
, ,
2 1 1 3 1 5
 
 

     
 
     
  
     
 
.



4

C. LOẠI CÂU HỎI 5 ĐIỂM
Câu 1
: Đặt
1
V
,
2
V
lần lượt là hai không gian véc tơ con của
4

:



1
( , , , ) : 0
V a b c d b c d

   
,


2
( , , , ) : 0, 2
V a b c d a b c d
   

Hãy tìm số chiều và một cơ sở của các không gian con
1
V
,
2
V
,
1
V

2
V
.
Câu 2
: Trong không gian
4

xét các véc tơ:

1
(1,1,0. 1)

v
 
;
2
(1,2,3,0)
v 
;
3
(2,3,3, 1)
v
 
;

1
(1,2,2, 2)
u
 
;
2
(2,3,2, 3)
u
 
;
3
(1,3,4, 3)
u
 
.
Đặt
V

,
U
là hai không gian véc tơ con của
4

lần lượt sinh bởi hệ véc tơ


321
,, vvv
và


321
,, uuu
. Hãy tìm số chiều của các không gian con
V U

,
V U

.
Câu 3: Chứng minh rằng ánh xạ
33
:  f
có công thức xác định ảnh
( , , ) ( 2 2 ,3 , )
f x y z x y z x y x y z
     
.

a) Viết ma trận
A
của
f
trong cơ sở chính tắc.
b) Tìm ma trận nghịch đảo
1
A

.
c) Tìm công thức xác định ảnh của ánh xạ ngược
),,(
1
zyxf

.
Câu 4: Cho ánh xạ tuyến tính
33
:  f
có công thức xác định ảnh

( , , ) (2 3 , 2 ,3 5 )
f x y z x y z x y z x y z
      
.
a) Viết ma trận
A
của
f
trong cơ sở chính tắc.

b) Tìm ma trận nghịch đảo
1
A

.
c) Tìm công thức xác định ảnh của ánh xạ ngược
),,(
1
zyxf

.
Câu 5: Cho ánh xạ tuyến tính
33
:  f
có ma trận trong cơ sở chính tắc là

0 2 1
1 4 0
3 0 0
 
 
 
 
 
 
A

a) Viết công thức xác định ảnh
( , , )
f x y z

.
b) Viết ma trận của
f
trong cơ sở


1 2 3
(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)
  v v v
.
Câu 6
: Cho ánh xạ tuyến tính
33
:  f
có công thức xác định ảnh

( , , ) (2 3 4 ,5 2 ,4 7 )
     
f x y z x y z x y z x y
.
a) Viết ma trận
A
của
f
trong cơ sở chính tắc.

5

b) Viết ma trận
'

A
của
f
trong cơ sở


1 2 3
(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)
  v v v
.
Câu 7: Chứng minh rằng tập hợp
W
các ma trận vuông cấp 2 có dạng

a b
A
c d
 

 
 
thoả mãn
3 0
3 2 0
a b c d
a b d
   


  



là không gian véc tơ con của không gian véc tơ các ma trận vuông cấp 2. Tìm một cơ sở và
suy ra số chiều của
W
.
Câu 8
: Cho ma trận
3 1 1
7 5 1
6 6 2
A
 
 
 
  
 
 
 
 
.
a) Tìm đa thức đặc trưng của ma trận
A
.
b) Với mỗi giá trị riêng tìm một cơ sở của không gian riêng tương ứng.
Câu 9 Cho ma trận
1 3 3
3 5 3
6 6 4
 

 
 
   
 
 
 
 
m
A m
m
;
m


.
a) Với giá trị nào của
m
thì tồn tại ma trận nghịch đảo
1
A

.
b) Cho
2
m

tìm
1
A


.
Câu 10
Cho ma trận
3 1 1
7 5 1
6 6 2
 
 
 
 
 
 
 
 
m
A m
m
;
m


.
a) Với giá trị nào của
m
thì tồn tại ma trận nghịch đảo
1
A

.
b) Cho

1

m
tìm
1
A

.
Câu 11: Cho ma trận
1 3 3
3 5 3
6 6 4
A

 
 
 
 
 

 
, tìm ma trận
P
sao cho
1
P AP

là ma trận chéo.
Câu 12: Cho dạng toàn phương
3

:Q

 
xác định bởi:

( )
2 2 2
, , 5 2 2 4
Q
x y z x y z xy xz yz

     

a) Viết ma trận của
Q
trong cơ sở chính tắc.
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số

để
Q
là dạng toàn phương xác định dương.
Câu 13: Cho dạng toàn phương
3
:Q

 
xác định bởi:

( ) 7
2 2 2

, , 7 7 2 2 2
Q
x y z x y z xy xz yz
 
   

a) Viết ma trận của
Q
trong cơ sở chính tắc.

6

b) Tìm một cơ sở của
3

để biểu thức toạ độ của
Q
trong cơ sở này có dạng chính
tắc.
Câu 14: Cho hai phép biến đổi tuyến tính
3 3
, :f g 
 
xác định bởi:
( , , ) ( 3 2 ,3 3 , 5 )
f x y z x y z x y z x y z
       
,
( , , ) ( 2 3 , 2 3 ,4 2 5 )
g x y z x y z x y z x y z

       
.
a) Viết ma trận
A
của
f
và ma trận
B
của
g
trong cơ sở chính tắc.
b) Tính tích ma trận
AB
, suy ra công thức xác định ảnh
( , , )
f g x y z

.
c)
Tính định thức của các ma trận
A
,
B
và
AB
.

Câu 15: Cho hai phép biến đổi tuyến tính
3 3
, :f g 

 
xác định bởi:
( , , ) (2 ,3 2 3 , 3 5 )
      
f x y z x z x y z x y z
,
( , , ) ( 2 3 ,2 3 4 , 5 7 )
g x y z x y z x y z x y z
      
.
a) Viết ma trận
A
của
f
và ma trận
B
của
g
trong cơ sở chính tắc.
b) Tính tích ma trận
AB
, suy ra công thức xác định ảnh
( , , )
f g x y z

.
c)
Tính định thức của các ma trận
A
,

B
và
AB
.