Đề thi toán cao cấp 3 trường ĐHSPKT Hưng Yên - đề số 5 pot

TRƯỜNG ĐHSPKT HƯNG YÊN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
Khoa Khoa học cơ bản
Đề số: 05
Học phần: Toán cao cấp 3
Ngày thi:
Thời gian làm bài: 90 phút.
Câu 1: Cho hàm số :

2 3 2
1 5
3 2
2 4
z x x xy y y y
−
= − + + − +
1. Tìm cực trị của hàm.
2. Tại A(0,1) hàm số sẽ tăng hay giảm nếu dịch chuyển ra khỏi
điểm A theo hướng lập với trục Ox một góc
0
150
3. Tại A(0,1) hãy tìm hướng để hàm z thay đổi nhanh nhất, biểu
diễn trên hình vẽ.
Câu 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, dung tích phân mặt tính
khối lượng của tam giác phẳng ABC với A(5,1,3), B(1,6,2),
C(5,0,4). Với hàm mật độ
( , )x y x
ρ
=
.
Câu 3: Tính
ar

OmAnO
y
I ctg dy dx
x
= −
∫
i
trong đó OmA là cung parabol
2
y x=
; OnA là đường thẳng
y x
=
.
Áp dụng công thức Green kiểm chứng kết quả.
Câu 4: Giải hệ phương trình vi phân:
,
, 3
8
2
x
x
y y z e
z y z e
−

= + +


= + +




thoả mãn điều kiện x=0 thì y=0 và z=0
Giảng viên ra đề 1: Khoa / Bộ môn
Giảng viên ra đề 2:
x
y
z
C
A
B
O
Câu 1: Tìm cực trị:

,
, 2
5
0
5
4
4
3 6 2 0
x
y
z y x
x y
z y y x

= − − =


⇔ = −


= − + + =

Thay vào ta được
2 2
5 3
3 6 2 0 3 5 0
4 4
y y y y y
− + − + = ⇔ − + =

2 2
1 13
6 12
y x
−
= → =

2 1
3 1
2 4
y x= → =

Vậy hàm số có 2 điểm tới hạn là
1
13 1
( , ),

12 6
M
−

2
1 3
( , )
4 2
M


1
13 1
( , ),
12 6
M
−

2
1 3
( , )
4 2
M

,,
1
xx
z r
= − =
-1 -1

,,
1
xy
z s
= =
1 1
,,
6 6
yy
z y t
= − =
-5 3
2
s rt−
1-5=-4 1+3=4>0
có cực trị không cực trị
Do r=-1 <0 nên hàm số đạt cực đại tại
1
13 1
( , ),
12 6
M
−
2.
,
1
( )
4
x
z A

−
=

,
( ) 1
y
z A
= −


1 5 3 1
. os 1. os 0
4 6 3 8 2
z
c c
l
π π
∂ −
= − = − <
∂
Vậy hàm z sẽ giảm nếu dịch chuyển ra khỏi điểm A theo hướng lập với
trục Ox một góc
0
150
3. Vậy hướng thay đổi nhất là:
1
4
i j
−
−

Câu 2:
+ Vẽ hình
+ Lập phương trình mặt phẳng ABC:

5 1 3
4 5 1 0
0 1 1
x y z
− − −
 
 ÷
− − =
 ÷
 ÷
−
 
2
y
x
A
-2 -1 1 2 3 4 5 6
-2
2
4
6
x
y
B
A
C

-0.5 0.5 1 1.5
-0.5
0.5
1
1.5
x
y
O
A
n
m
4( 5) 4( 1) 4( 3) 0 5 1 3 0
9 0 9
x y z x y z
x y z z x y
⇔ − + − + − = ⇔ − + − + − =
⇔ + + − = ⇔ = − − +
Khối lượng của tam giác:
' 2 ' 2 2 2
1 ( ) ( ) 1 ( 1) ( 1) 3
x y
S D D D
m xds x Z Z dxdy x dxdy xdxdy= = + + = + − + − =
∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫
Trong đó D là hình chiếu của mặt phẳng ABC lên mặt phẳng Z= 0.
Phương trình đường thẳng BC:
2 6 3 15
6( 1) 4( 6)
4 6 2 2
x y

x y x y
− − −
= ⇔ − − = − ⇔ + =
−
Phương trình đường thẳng AB:
5 1 5 29
4 5 4 4
x y
x y
− − −
= ⇔ + =
−
Vậy:
5 29
5 5
4 4
2
3 15
1 1
2 2
3 2
1 1
3 3 ( )
2 4
5
1 1 53
3( ) 3
1
6 8 3
x

x
m xdx dy x x dx
x x
−
+
−
+
= = −
= − =
∫ ∫ ∫
Câu 3:
ar ar
OmA OnA
y y
I ctg dy dx ctg dy dx
x x
= − − −
∫ ∫
Trên cung OmA:
2
, :0 1y x x= →

1
1
0
1
2
2
2
0

1
2
0
(ar .2 1)
1
ar 1
0
1
1
2 2
4 1 2
I ctgx x dx
x
x ctgx dx
x
dx
x
π π
= −
= − −
+
= − + = −
+
∫
∫
∫

Trên cung OnA :
, : 0 1y x x
= →

,ar ar 1
4
y
dy dx ctg ctg
x
π
⇒ = = =
1
0
ar ( 1) 1
4 4
OnA
y
ctg dy dx dx
x
π π
− = − = −
∫ ∫
Vậy
1 2
2 1 1
2 4 4
I I I
π π π
= + = − − + = −
+ Áp dụng công thức Green :
1, ar
y
p Q ctg
x

= − =
2
1
2 2 2 2
0
1
2 2
2
0
1 1
2 2
0 0
1
ln( )
2
1 1 1
[ln(1 ) ln 2] ln(1 ) ln 2
2 2 2
y x
D
y x
y y
I dxdy dx dy
x y x y
x
x y dx
x
x dx x dx
=
=

− −
= =
+ +
−
= +
= + − = + −
∫∫ ∫ ∫
∫
∫ ∫
Đặt
2
2
2
ln( 1)
1
x
u x du dx
x
= + ⇒ =
+
,
dv dx v x
= ⇒ =
1
2
2
2
0
1 1
1 1 1 1

ln(1 ) ln 2 ln 2 1 ar ln 2 1
0 0
2 1 2 2 2 4
x
I x x dx ctgx
x
π
= + − − = − + − = −
+
∫
Câu 4:

,
, 3
8
2
x
x
y y z e
z y z e
−

= + +


= + +


,, , , 3 , 3
, 3 , 3

, 3
2 3 2( 8 ) 3
16 2 3
2 15 2 4
x x x
x x x
x x
z y z e y z e z e
z z e z e z e
z z e e
− −
− −
−
= + − = + + + −
= − − + + + −
= + + −

,, , 3
2 15 2 4
x x
z z z e e
−
⇔ − − = −
(1)
+ Giải phương trình thuần nhất :
,, ,
2 15 0z z z
− − =
Phương trình đặc trưng :
2

1 2
2 15 0 3, 5
λ λ λ λ
− − = ⇔ = − =
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất:
3 5
1 2
x x
C e C e
−
+
.
+ T ìm nghiệm của (1) bằng phương pháp biến thiên hằng số:
' 3 ' 5
1 2
' 3 ' 5 3
1 2
' 5 3
2
0
3 5 2 4
8 2 4
x x
x x x x
x x x
C e C e
C e C e e e
C e e e
−
− −

−

+ =


− + = −


⇒ = −
' 4 8
2
4 8 *
2 2
4 8 *
2 2
1
(2 4 )
8
1
(2 4 )
8
1 1
16 2
x x
x x
x x
C e e
C e e dx C
C e e C
− −

− −
− −
⇔ = −
⇔ = − +
−
⇔ = + +
∫

' 4 4 *
1 1 1
4 *
1 1
1 1 1 1
( )
4 2 4 2
1 1
16 2
x x
x
C e C e dx C
C e x C
= − + ⇔ = − + +
⇔ = − + +
∫
3 3 * 3 * 5
1 2
, 3 3 3 * 3 * 5
1 2
3 3 * 3 * 5
1 2

1 1 1
8 2 2
1 1 3 3
3 5
8 2 2 2
5
2 2
4
x x x x x
x x x x x x
x x x x
z e xe e C e C e
z e e xe e C e C e
y e xe C e C e
− − −
− − − −
− − −
⇒ = − + + + +
⇒ = − + − − − +
−
⇒ = − − +
+ Thay vào điều kiện:
* * *
1 2 1
* * *
1 2 2
1 1 1
0
8 2 8
5 1

2 2 0
4 2
C C C
C C C
−
 
+ + + = =
 
 
⇔
 
− −
 
− + = =
 
 
Vậy nghiệm của hệ là:
3 3 5
1 1
4 4
x x x
y e xe e
− −
−
= − +
3 5
1 1 1
8 2 8
x x x
z e xe e

−
= − + +
Câu 1:
(1.5)
,
, 2
5
0
5
4
4
3 6 2 0
x
y
z y x
x y
z y y x

= − − =

⇔ = −


= − + + =

0.25
Tìm ra 2 điểm tới hạn
1
13 1
( , ),

12 6
M
−
2
1 3
( , )
4 2
M
0.25
Do r=-1 <0 nên hàm số đạt cực đại tại
1
13 1
( , ),
12 6
M
−
Hàm số không đạt cực trị tại
2
1 3
( , )
4 2
M
0.5
hàm số sẽ giảm nếu dịch chuyển ra khỏi
điểm A theo hướng lập với trục Ox một góc
0
150
hướng thay đổi nhất là:
i j−
0.25

0.25
Câu 2:
(2đ)
+ Vẽ hình 0.5
+ Lập phương trình mặt phẳng ABC:
9z x y
⇔ = − − +
0.5
' 2 ' 2
1 ( ) ( ) 3
x y
S D D
m ds Z Z dxdy dxdy= = + + =
∫∫ ∫∫ ∫∫
0.5
5 29
5
4 4
3 15
1
2 2
53
3 3
3
x
x
m xdx dy
−
+
−

+
= =
∫ ∫
0.5
Câu 3:
(3.5 đ)
Trên cung OmA:
2
, :0 1y x x= →

1
1
0
1
2
2
2
0
1
2
0
(ar .2 1)
1
ar 1
0
1
1
2 2
4 1 2
I ctgx x dx

x
x ctgx dx
x
dx
x
π π
= −
= − −
+
= − + = −
+
∫
∫
∫
0.25
0.25
0,5
Trên cung OnA
1
0
ar ( 1) 1
4 4
OnA
y
ctg dy dx dx
x
π π
− = − = −
∫ ∫
0.5

+ Áp dụng công thức Green
2 2
D
y
I dxdy
x y
−
=
+
∫∫
0.5
1
2
0
1 1
ln(1 ) ln 2
2 2
I x dx
= + −
∫
1.0
1
4
I
π
= −
0.5
Câu 4:
(3đ)
,, , 3

2 15 2 4
x x
z z z e e
−
= + + −
0.5
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất:
3 5
1 2
x x
C e C e
−
+
.
0.5
' 4 8
2
4 8 *
2 2
1
(2 4 )
8
1 1
16 2
x x
x x
C e e
C e e C
− −
− −

⇔ = −
−
⇔ = + +
0.25
0.25
' 4 4 *
1 1 1
4 *
1 1
1 1 1 1
( )
4 2 4 2
1 1
16 2
x x
x
C e C e dx C
C e x C
= − + ⇔ = − + +
⇔ = − + +
∫
0.25
0.25
3 3 * 3 * 5
1 2
3 3 * 3 * 5
1 2
1 1 1
8 2 2
5

2 2
4
x x x x x
x x x x
z e xe e C e C e
y e xe C e C e
− − −
− − −
⇒ = − + + + +
−
⇒ = − − +
0.25
0.25
* * *
1 2 1
* * *
1 2 2
1 1 1
0
8 2 8
5 1
2 2 0
4 2
C C C
C C C
−
 
+ + + = =
 
 

⇔
 
− −
 
− + = =
 
 
0.25
0.25
3 3 5
1 1
4 4
x x x
y e xe e
− −
−
= − +
3 5
1 1 1
8 2 8
x x x
z e xe e
−
= − + +
0.25
0.25