Đề thi toán cao cấp 3 trường ĐHSPKT Hưng Yên - đề số 8 pdf

TRƯỜNG ĐHSPKT HƯNG YÊN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
Khoa Khoa học cơ bản
Đề số: 08
Học phần: Toán cao cấp 3
Ngày thi:
Thời gian làm bài: 90 phút.
Câu 1: Cho hàm số:
3 2 2
2 7 1 5 2
3 2 4 8 8
z x x y xy x y= − − − + −
1. Tìm điểm cực trị của hàm.
2. Tại điểm
1 1
( , )
2 2
N
, hàm z tăng hay giảm nếu dịch chuyển ra khỏi điểm N
theo hướng lập với trục Ox một góc
0
30
.
3. Tại điểm N đó hãy tìm hướng để hàm z thay đổi nhanh nhất .
Biểu diễn trên hình vẽ.
Câu 2: Trong không gian Oxyz, dùng tích phân mặt tìm trọng tâm của tam giác phẳng
đồng nhất ABC với A (0, -3, 0), B (-2, 0, 0) và C (0, 1, 3).
Câu 3: Tính
( ) ( )
2 2
2
L

I x xy dx xy y y dy
= − + − +
∫
Ñ
L là đường cong nối 3 điểm A (-1, 1), B (0, 0), C (1, 1) trong đó đoạn AB là
đường thẳng, đoạn BC là đường
2
y x=
và đoạn CA là đường thẳng bằng 2
cách:
Cách 1: Tính trực tiếp tích phân đường loại 2.
Cách 2: Áp dụng công thức Green.
Câu 4: Giải hệ phương trình vi phân:
'
' 2
3 2
1
2
x
y y z
z y z e
−
= +
=− + +



thoả mãn điều kiện: khi x=0 thì y=0 và z=0.
Giảng viên ra đề 1: Khoa / Bộ môn
Giảng viên ra đề 2:

2
-2
y
x
1/2
1/2
N
Bài 1:
' 2
'
5
2 7 0
8
2
0
2 8
x
y
z x x y
y
z x
= − + − =
=− − − =



→
4
2
8

y x= − −
Suy ra
' 2 2
5 4 9
2 7 2 2 5 0
8 8 8
x
z x x x x x= − + + + = − + =
1 1
9
25 8. 16 4
8
5 4 9 18 4 36 4
5
4 4 4 8 8
x y
∆ = − = → ∆ = ±
+ +
→ = = → = − − = − = −
2 2
5 4 1 2 4
1
4 4 4 8
x y
−
= = → = − − = −
M
1
(
9

4
, -5) , M
2
(
1
4
, -1)
M
1
(
9
4
, -5) M
2
(
1
4
, -1)
''
4 7
xx
z x r
= − =
2 -6

''
1
xy
z s
= − =

-2 -1
''
1
2
yy
z t
=− =
-
1
2
-
1
2
s
2
- rt 1-2.
1
2
−
=3 1-(-6).(
1
2
−
)=-2
Không cực trị Có cực trị
r = -6 cực đại
2.
'
1 1 5 1 23
( ) 2. 7.

4 2 8 2 8
x
z N
= − + − = −
'
1 2 1
( ) 1
4 8 2
y
z N
= − − − = −

23 23 3 1
os 1. os . 0
8 6 3 8 2 2
z
l
c c
π π
∂
∂
− −
= + = + <
Vậy hàm z sẽ giảm nếu dịch chuyển ra khỏi điểm N theo hướng lập với trục
Ox một góc
0
30
.
3. Hướng thay đổi nhanh nhất là
23

8
i j
− −
z
x
y
C
B
O
A
Bài 2:
1. * Vẽ hình
*Tìm toạ độ D để viết phương
trình mặt phẳng.
Phương trình đường AC:
3 9
4 4
z y= +
Vậy
9
4
D
z =
Phương trình mặt phẳng:
1
9
2 3
4
9 9 3 9
3 4 9

2 8 4 4
x y z
x y z z x y
+ + =
−
→ − + = → = − + +
* Phương trình đường thẳng AB:
3
3
2
y x= − −
* Phương trình đường thẳng BC:
1
2
x
y = +
2. Diện tích S:

2 2
3 9
1
4 8
181 181 181
. .4 .
8 8 2
xy
xy
S D
D
ds dxdy

S
   
= = + +
 ÷  ÷
   
= = =
∫∫ ∫∫
3.Tính x
G

( )
'
2 2
0
2
0
3
2 2 0
2
2
3 9 181 181
1 .
4 8 8 8
181 181 2 181 8 181
2 4 2 .
8 8 3 8 3 3
2
3
xy xy
C B

S D D AB
G
xdxdy xdxdy xdxdy dx xdy
x
x x dx x
x
−
−
−
 
   
= + + = =
 ÷
 ÷  ÷
 ÷
   
 
 
− −
= + = + = =
 ÷
 
−
→ =
∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫
∫
4
2
-2
y

5
x
C
A
B
-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5
-1
1
x
y
A
B
C
1
0
2
3
2
3
2
2 2
0
2
181 181
8 8
181 3
1 3
8 2 2
181 16 2 181
.

8 3 3
1
3
xy
x
G
D
x
G
y dxdy dx ydy
x
x dx
y
+
−
− −
−
= =
 
   
= + − − −
 
 ÷  ÷
   
 
 
 
= − = −
 ÷
 

= −
∫∫ ∫ ∫
∫
1
2
2
3
0
2
2
1
2
2
3
2
0
181 181 9 3 9
.
8 8 8 4 4
181 9 3 9
8 8 8 4
181
2
1
xy
x
G
x
D
x

y
x
y
G
z z dxdy dx x y dy
xy y y dx
z
− +
=− +
=
 
= = − + +
 ÷
 
 
= − + +
 ÷
 
=
→ =
∫∫ ∫ ∫
∫
Bài 3:
( ) ( )
2 2
2
L
I x xy dx xy y y dy
= − + − +
∫

Ñ
Trên đoạn AB :
, 1 0y x x
= − − ≤ ≤
, nên dy = -dx. Do đó :
( ) ( )
0
2 2 2 2 2 2
1
0
2 3 2
1
2 [( 2 ) ( )]
0
5 1 5 1 7
(5 ) ( )
1
3 2 3 2 6
AB
I x xy dx xy y y dy x x x x x dx
x x dx x x
−
−
= − + − + = + − − − −
= + = + = − =
−
∫ ∫
∫
Trên cung BC :
2

, 2 ,0 1y x dy xdx x= = ≤ ≤
Do đó:
( ) ( )
1
2 2 2 3 3 4 2
0
1
5 4 2 6 5 3
0
2 [( 2 ) ( ).2 ]
1
1 2 1 2
( 2 2 ) ( )
0
3 5 3 5
BC
I x xy dx xy y y dy x x x x x x dx
x x x dx x x x
= − + − + = − + − +
−
= − + + = + + =
∫ ∫
∫
Trên đoạn AC có: y = 1,
1 1x
− ≤ ≤
. Do đó :
( ) ( )
2 2
1

3
2 2
1
2
1
1 1 2
( 2 ) ( ) 1 1
1
3 3 3 3
CA
I x xy dx xy y y dy
x
x x dx x
−
= − + − +
−
−
= − = − = − − − + =
∫
∫
Vậy
7 2 2 9
6 5 3 10
I
= + − =
Áp dụng công thức Green

2
2P x xy= −
2

P
x
y
∂
= −
∂
2
Q xy y y= − +
Q
y
x
∂
=
∂
Vậy
( )
1 1
5
2
2
0 0
1
2 1 9
2 ( 2 ) ( ) ( )
0
5 2 10
y
D y
I y x dxdy dy y x dx y y y dy y y
−

= + = + = + = + =
∫∫ ∫ ∫ ∫
Bài 4:
'
'
3 2
1
2
x
y y z
z y z e
= +
=− + +



'' ' ' '
' ' '
'' '
3 2 3 2 2 .
3 3 2 . 4 4 2 .
4 4 2 .
x
x x
x
y y z y y z e x
y y y y e x y y e x
y y y e x
= + = − + +
= − + − + = − +

→ − + =
Phương trình thuần nhất:
'' '
4 4 0y y y− + =
Phương trình đặc trưng:
2
1 2
2
1
2
2
4 4 0 2
x
x
y e
y xe
λ λ λ λ
− + = → = =
→ =
→ =
Phương trình không thuần nhất:
{
' 2 ' 2
1 2
' 2 ' 2 2
1 2
0
2 ( 2 ) 2 .
x x
x x x x

c e c xe
c e c e xe e x
+ =
+ + =
' '
1 2
' '
1 2
0
1
( ) .
2
x
c c x
c c x e x
−
+ =
+ + =

→


( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
' * *

2 2 2 2
' ' 2
1 2
2 2 *
1 1
2 * 2 * 2
1 2
* 2 * 2 2 2
1 2
* *
1 2
1
. 2 . 2 . 2 1
2
.2. 2
2 4 2 2
2 2 2 1 .
2 2 2 2
x x x x x
x x
x x
x x x x
x x x
c x e c x e dx c x e e x e c
c xc x xe x e
c x e dx x x e c
y x x e c e x e c xe
c e c xe x x x x e
y c c x e
− − − −

− −
− −
− −
→ = → = + = − − = − + +
→ = − = − = −
= − = + + +
 
 
= − − + + + − + +
 
 
= + + − − + + +
= +
∫
∫
( )
2 2
2
x x
x e
+ +
Thay vào tìm z ta có:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
' * * * 2 2 * * 2 2
1 2 2 1 2
2 * * * 2
2 1 2
* * * 2 2

2 1 2
2 3 2 2 2 2 3 3 2
2 2 4
1
2
2
x x x x
x x
x x
z y y c c x c e x x e c c x e x e
e c c c x e x x
z c c c x e x x e
= − = + + + + + − + − +
= − + + − + −
= − + − − +
Khi x=0, y=0, z=0
( )
* *
1 1
* * *
2 1 2
0 2 2
1
0 2 2
2
c c
c c c
→ = + → = −
→ = − − → =
( )

( )
( )
( )
2 2
2 2
2 1 2
2 2
x x
x x
y x e x e
z x e x x e
= − + +
= + − − +
Thang điểm
Bài 1(1.5đ) :
* PT tìm x,y:
1
2
2
y x= − −

2
9
2 5 0
8
x x− + =
(0.25)
* M
1
(

9
4
, -5) , M
2
(
1
4
, -1) (0.25)
* Tại M
1
s
2
-rt=3 không cực trị (0.25)
Tại M
2
s
2
-rt=-2, r=-6 →Cực trị. (0.25)
2. Hàm z sẽ giảm nếu dịch chuyển ra khỏi điểm N theo hướng lập với
trục Ox một góc
0
30
. (0.25)
3. Hướng thay đổi nhanh nhất là
23
8
i j
− −
(0.25)
Bài 2(3đ):

*Vẽ hình, (0.5)
*PT mặt phẳng:
9 3 9
8 4 4
z x y= − + +
(0.5)
AB=
3
3
2
x +
BC
’
=
1
2
x
+
*Tính diện tích, S=
2 2
3 9 181 181
1 .4
4 8 8 2
xy
D
dxdy
   
+ + = =
 ÷  ÷
   

∫∫
(0.5)
*
'
1
0 0
2
3
2 2
3
2
181 181 181 2
8 8 3 3
x
C B
G G
AB
x
x dx xdy dx xdy x
+
− −
− +
= = = − → = −
∫ ∫ ∫ ∫
(1/2)
'
0
2
181 2 181 1
8 3 3

C D
G G
AB
y dx ydy y
−
= = − → = −
∫ ∫

(1/2)
181 181

8 2
1
G
G
z
z
= =
→ =
(1/2)
Bài 3(2đ):
Trên đoạn AB :
0
2 2 2 2
1
7
[( 2 ) ( )]
6
I x x x x x dx
−

= + − − − − =
∫
(1/2)
Trên cung BC :
1
2 3 3 4 2
0
2
[( 2 ) ( ).2 ]
5
I x x x x x x dx
= − + − + =
∫
(1/2)
Trên đoạn AC có
1
2
1
2
( 2 )
3
I x x dx
−
−
= − =
∫
(1/2)
Áp dụng công thức Green
( )
1 1

5
2
2
0 0
2
1
2 1 9
( 2 ) ( ) ( )
0
5 2 10
D
y
y
I y x dxdy
dy y x dx y y y dy y y
−
= +
= + = + = + =
∫∫
∫ ∫ ∫
(1/2)
Bài 4(3.5đ):
*
'' '
4 4 2 .
x
y y y e x
− + =
(1/2)
*

2
1 2
2
1
2
2
4 4 0 2
x
x
y e
y xe
λ λ λ λ
− + = → = =
→ =
→ =
(1/2)
* PT hằng số:
{
' 2 ' 2
1 2
' 2 ' 2 2
1 2
0
2 ( 2 ) 2 .
x x
x x x x
c e c xe
c e c e xe e x
+ =
+ + =

(1/2)
4 4
1
1 1
2 8
x x
c xe e
− −
 
→ = − +
 ÷
 
(1/2)

4
2
1
2
x
c e
−
=−
(1/2)
( )
* * 2 2
1 2
1
8
x x
y c c x e e

−
→ = + +
(1/2)

( ) ( )
* * * 2 2
2 1 2
1
2
2
x x
z c c c x e x x e
= − + − − +
(1/2)