Đề thi toán cao cấp 3 trường ĐHSPKT Hưng Yên - đề số 9 pptx

TRƯỜNG ĐHSPKT HƯNG YÊN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
Khoa Khoa học cơ bản
Đề số: 09
Học phần: Toán cao cấp 3
Ngày thi:
Thời gian làm bài: 90 phút.
Câu 1: Cho hàm số :
2 3 2
4 2 3 2
x x y y
z xy y= − + + − −
1. Tìm cực trị của hàm
2. Tại điểm N(1;-1) hàm số sẽ tăng hay giảm nếu dịch chuyển
ra khỏi điểm N theo hướng lập với truc Ox một góc
0
30
3. Tại điểm N đó hãy tìm hướng để hàm z thay đổi nhanh nhất.
Biểu diễn trên hình vẽ.
Câu 2: Trong không gian Oxyz, tìm trọng tâm của tam giác đồng nhất
ABC với A(2,0,0), B(0,1,0), C(0,0,3).
Câu 3: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy chọn 3 điểm A(-1,1), B(0,0) và
C(2,1).
L là đường cong kín theo chiều dương, trong đó :
• Đoạn nối A với B có phương trình
2
y x
=
• Đoạn nối B với C có phương trình
2
2x y=
• Đoạn thẳng nối C với A là đường thẳng.

Tính
2 2
3 (2 1) 2( )
L
I x y dy x y dx
= + + +
∫
i
Kiểm chứng kết quả thông qua việc sử dụng công thức Green
Câu 4: Giải hệ phương trình vi phân:
{
'
' 2
2 2
3
x
x
y y z e
z y z e
−
=− + +
= − +
thoả mãn điều kiện: khi x=0 thì y=0 và z=0.
Giảng viên ra đề 1: Khoa / Bộ môn
Giảng viên ra đề 2:
z
x
y
3
2

B
C
2
1
3
A
1
O
2
-2
y
x
N
Bài 1:
1.Tìm cực trị:
'
' 2
2 2
1 1
2 2
1
0 2 1
2 2
1
2 1 1 0 2 0
1 1
2 5
x
y
x

z y x y
z y y x
y y y y y
y x
y x
= − − = → = +
= + − −
⇒ + − − − = ⇒ − − =
= − → = −
= → =
( )
1 2
( 1, 1), 5,2M M− −

1
( 1, 1)M − −

( )
2
5,2M
''
1
2
xx
z r
= =

1
2
1

2

''
1
xy
z s
= − =
-2 -1

''
2 1
yy
z y t
= +=
-1 5
s
2
- rt (-1)
2
+
1
2
>0 (-1)
2
-
5
2
<0
Không cực trị Có cực tiểu
2.Ta có:

'
'
( ) 1 1 1 1 2
1 1
( ) 1 1
2 2
y
x
z N
z N

= − − − = −


= + − =


0 0
3
cos30 2cos60 1 0
2
z
l
∂
= − = − <
∂
<0
Vậy hàm số sẽ giảm nếu dịch chuyển ra khỏi điểm N theo hướng lập với truc
Ox một góc
0

30
3. Hướng thay đổi nhanh nhất là : i-2j

Bài 2:
+) Hình vẽ :

Hình chiếu của mặt phẳng ABC lên mặt phẳng Oxy
là miền tam giác OAB.
Phương trình mặt phẳng ABC:
2
1
2 3
x
y+ + =
Phương trình đường thẳng AB:
1
2
x
y+ =
1. Khối lượng của tam giác ABC:
( )
1
2
2
2
2
0 0
3 7 7 7 7
1 3 .1
2 2 2 2 2

xy xy
x
S D D
ds dxdy dxdy dx dy
−
 
= + + = = = =
 ÷
 
∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫
2. Tìm x
G
:
1
2 2
2
1
2
0
0 0 0
2 2
2 2 3
2
0
0 0
7 7 7
. .
2 2 2
7 7 7 7 4 7
. 1 2

2 2 2 2 2 2 6 2 3 3
xy
x
x
y
y
S D
xds x dxdy dx xdy dx xy
x x x x
dx x x dx
−
= −
=
= = =
   
   
= − = − = − = − =
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
   
∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
7
2
3
7
3
2
G

x→ = =
3. Tìm y
G
:
1
2 2
2
2
1
2
0
0 0 0
2
2 2
2
0 0
7 7 7
. .
2 2 2 2
7 1 7 7
. 1 1
2 2 2 4 4 6
xy
x
x
y
y
S D
y
yds y dxdy dx ydy dx

x x
dx x dx
−
= −
=
= = =
 
 
= − = − + =
 ÷
 ÷
 
 
∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
7
1
6
7
3
2
G
y→ = =
4. Tìm z
G
:
2
2
1
2

0
0
2
2 2 3
2
0
0
7 3 7 3 3
2 3 3 3
2 2 2 2 2
7 3 3 3 7 3 3 3 7
2 2 4 8 2 2 4 8 2
7
2
1
7
2
xy
x
y
y
S D
G
xy y
ds x y dxdy dx y
x x x x x
dx
z
= −
=

 
 
= − − = − −
 ÷
 ÷
 
 
   
= − − = − − =
 ÷  ÷
   
→ = =
∫∫ ∫∫ ∫
∫
Bài 3:
L BA AC CB
= + +
∫ ∫ ∫ ∫
i
-2 -1 1 2
-2
2
x
y
A
B
C
1.Trên đoạn AB:
2
, : 1 0y x x= − →

0
2 2 2 4 2
1
0
3 4 2
1
0
4 2 5 3
1
3 (2 1) 2( ) [3 (2 1)2 2( )]dx
[(6x 3 ).2 2 2 ]
0
14 8 14 8 82
(14x 8 ) ( )
1
5 3 5 3 15
AB
x y dy x y dx x x x x x
x x x x dx
x dx x x
−
−
−
+ + + = + + +
= + + + =
= + = + = + =
−
∫ ∫
∫
∫

2. Trên đoạn CA:
1, :1 1y x
= → −
1
2 2 2 3
1
1
2 16
3 (2 1) 2( ) 2(1 ) (2 )
1
3 3
CA
x y dy x y dx x dx x x
−
−
−
+ + + = + = + =
∫ ∫
3. Trên đoạn BC:
, : 0 1y x x= →
1 1
2 2 2 2
0 0
3
3 2
2
1 3
3 (2 1) 2( ) [2(x ) 3(2 +1). ] (2x 5 )
2
2

1
2 5 2 5 25
( ) 1
0
3 2 3 2 6
BC
x y dy x y dx x x dx x x dx
x
x x x
+ + + = + + = + +
= + + = + + =
∫ ∫ ∫
Vậy
2 2
82 16 25 43
3 (2 1) 2( )
15 3 6 10
L
x y dy x y dx+ + + = − + =
∫
i
.
Dùng công thức Green:
2 2
2( )P x y= +
,
3 (2 1)Q x y
= +
6 3 4 2 3
Q P

y y y
x y
∂ ∂
− = + − = +
∂ ∂
2
1
0
1
5 3
2 4 3
2 2
0
(2 3) (2 3)
1
2 4
(2 3)( ) ( 2 )
0
4 5
2 4 43
1 2
4 5 10
y
D
y
y dxdy dy y dx
y y y dy y y y y
−
+ = +
= + + = + + +

= + + + =
∫∫ ∫ ∫
∫
Bài 4:
( )
'' ' ' ' 2
2 2 2 2 3
x x x
y y z e y y z e e
−
= − + + = − + − + +
' 2
' ' 2
' 2
'' ' 2
2 6 2 2
2 6 2 2
3 4 2 2
3 4 2 2
x x
x x x
x x
x x
y y z e e
y y y y e e e
y y e e
y y y e e
−
−
−

−
=− + − + +
= + − − + + +
=− + + +
⇒ + − = +
Phương trình thuần nhất:
'' '
3 4 0y y y
+ − =
2
4
1 2 1 2
3 4 0
1, 4 ,
x x
y e y e
λ λ
λ λ
−
+ − =
→ = = ⇒ = =
Phương pháp biến thiên hằng số:
{
' ' 4
1 2
' ' 4 2
1 2
0
4 2 2
x x

x x x x
c e c e
c e c e e e
−
− −
+ =
− = +
' 4 2
2
5 2 2
x x x
c e e e
− −
⇒ = − −
' 5 2 5 2 *
2 2 2
2 2 2 1
5 5 25 5
x x x x
c e e c e e c= − − ⇒ = − − +
' 2 ' 3 3 *
1 1 1 1
2 2 2 2
5 2 2
5 5 5 15
x x x x x
c e e e c e c x e c
− − −
= + → = + → = − +
Vậy nghiệm tổng quát:

3 * 5 2 * 4
1 2
2 * 2 * 4
1 2
* 2 * 4
1 2
2 2 2 1
5 15 25 5
2 2 2 1
5 15 25 5
2 2 1
5 25 15
x x x x x
x x x x x x
x x x x
y x e c e e e c e
xe e c e e e c e
xe c e e c e
− −
− − −
− −
   
= − + + + +
 ÷  ÷
   
= − + + + +
 
= + + + +
 ÷
 

Thay vào tìm được z.
* * 4
1 2
3 3 3
5 2 25
x x x
z xe c e c e
−
 
= + − −
 ÷
 
Từ điều kiện ban đầu ta có:
* * *
1 2 1
* * *
1 2 2
11 1
75 75
3 9 4
2 50 25
C C C
C C C
−
 
+ = =
 
 
⇒
 

−
 
− = =
 
 
Thay vào ta có:
2 4
2 7 1 4
5 25 15 25
x x x x
y xe e e e
− −
 
= + + −
 ÷
 
,
4
3 4 4
5 25 25
x x x
z xe e e
−
= − +
Thang điểm:
Bài 1:
(1.5đ)
'
' 2
2 2

1 1
2 2
1
0 2 1
2 2
1
2 1 1 0 2 0
1 1
2 5
x
y
x
z y x y
z y y x
y y y y y
y x
y x
= − − = → = +
= + − =
⇒ + − − − = ⇒ − − =
= − → = −
= → =
0.5
Hàm số không đạt cực trị tại
1
( 1, 1)M − −
Hàm số đạt cực đại tại
( )
2
5,2M

Hàm số sẽ giảm nếu dịch chuyển ra khỏi điểm N theo hướng hợp
với trục Ox một góc
0
30
Hướng thay đổi nhanh nhất là : i-2j
0.25
0.25
0.25
0.25
Bài 2
(2.5 đ )
Vẽ hình 0.25
Phương trình mặt phẳng ABC 0.25
Lập công thức ,tính khối lượng
( )
2
2
3
1 3
2
7 7 7
.1
2 2 2
xy
xy
S D
D
ds dxdy
dxdy
 

= + +
 ÷
 
= = =
∫∫ ∫∫
∫∫
0.25
0.25
Lập công thức ,tính
7
2
3
7
3
2
G
x→ = =
0.25
0.25
Lập công thức ,tính
7
1
6
7
3
2
G
y→ = =
0.25
0.25

7
2
2
7
2
1
7
2
S
G
ds
z
=
→ = =
∫∫
0.25
0.25
Bài 3:
(3 đ)
Trên AB
0
2 2 2 4 2
1
3 (2 1) 2( ) [3 (2 1)2 2( )]dx
82
15
AB
x y dy x y dx x x x x x
−
+ + + = + + +

=
∫ ∫
0.5
0.5
Trên BC
1
2 2 2
0
1
3 (2 1) 2( ) [2(x ) 3(2 +1). ]
2
25
6
BC
x y dy x y dx x x dx
x
+ + + = + +
=
∫ ∫
0.5
0.5
Trên CA
1
2 2 2 3
1
1
2
3 (2 1) 2( ) 2(1 ) (2 )
1
3

16
3
CA
x y dy x y dx x dx x x
−
−
+ + + = + = +
−
=
∫ ∫
0.5
0.5
Bài 4
(3 đ)
'' ' 2
3 4 2 2
x x
y y y e e
−
⇒ + − = +
0.5
Phương trình thuần nhất:
Nghiệm tổng quát
4
1 2
x x
y C e C e= +
0.5
' 5 2
2

2 2
5 5
x x
c e e= − −
5 2 *
2 2
2 1
25 5
x x
c e e c= − − +
0.25
0.5
' 2 ' 3
1 1
3 *
1 1
2 2
5 2 2
5 5
2 2
5 15
x x x x
x
c e e e c e
c x e c
− −
−
= + → = +
→ = − +
0.25

0.5
Tìm ra y 0.25
Tìm ra Z 0.25