NHIỀU CÁCH GIẢI CHO MỘT BÀI TOÁN THCS docx

1
NHIỀUCÁCHGIẢICHOMỘTBÀITOÁNTHCS
Trongtoánhọccórấtnhiềubàitoáncórấtnhiềucáchgiải.Vớibàiviếtnàytácgiảxinđượcđềcậpđếnmộtsố
cáchgiảibàitoáncấpTHCSthôngquaviệcvẽđườngphụ,Đâylàcáccáchgiảiđượckhaitháctheocáchướng
khácnhautrêncơsởtính chấtđườngtrungbìnhcủatamgiác,nhằmpháthuytínhsángtạochohọcsinhnhằm
giúpcácemhứngthúhơntrongviệchọcvàlàmtoán.Tácgiảbàiviếtmongnhậnđượcsựđónggópýkiến,
nhậnxétcủacácthầycô,bạnđọctrongcảnướcnhằmngàycànghoànthiệnhơn.
Bàitoán:ChotamgiácABCcântạiA,đườngtrungtuyếnCD.TrêntiađốicủatiaBAlấyđiểmK
saochoBK=BA.Chứngminhrằng CD=
1
2
CK
(1)
Giải:Ởđâyxinđượcgiớithiệu 10cáchgiảibàitoántrên.
Cách1:(Hình 1)
GọiElàtrungđiểmcủaAC.
CóBElàđườngtrungbìnhcủa D AKC=>BE=
1
2
KC(1)
Xét D BDCvà D CEBcó:
BD=CE(vìBD=
1
2
AB;CE=
1
2
ACmàAB=AC); Cạnh BCchung;
·
·
DBC ECB = (vì D ABCcântạiA);

Vậy D BDC= D CEB(c.g.c);
SuyraCD=BE(haicạnhtươngứng)(2)
Từ(1)và(2)suyraCD=
1
2
CK(đ.p.c.m)
Cách2: (Hình2)
GọiHlàtrungđiểmcủaKC.BHlàđườngtrungbìnhcủa DAKC=>BH=
1
2
AC
Xét D BDCvà D BHCcó:
BD=BH(vìBD=
1
2
AB;BH=
1
2
ACmàAB=AC);
·
·
HBC DBC = vì
· · ·
·
DBC ACB mµ ACB HBC (do so le trong, BH//AC) = = ;
BCcạnhchung;
Vậy DBDC= DBHC(c.g.c)
SuyraCH=DC(haicạnhtươngứng);(1)
MàHlàtrungđiểmcủaKCnênCH=
1

2
CK(2).
Từ(1)và(2)suyra:CD=
1
2
CK.
Cách3: (hìnhbên)
TrêntiađốicủatiaCAlấyđiểm MsaochoCA=CM;CDlàđường
trungbìnhcủa DABM=>DC=
1
2
BM (1) Xét D KBCvà D MCBcó:
BCcạnhchung;
·
·
KBC MCB = (cùng bùvới
·
ABC );
(1)
TríchNângcaovàphát triểntoán7Nhà xuất bảnGiáodục.
H.1
E
K
D
B
C
A
H.2
H
K

D
B
C
A
M
K
D
B
C
A
2
KB=MC(vìKB=AB;MC=AC;AB=AC);
Vậy D KBC= D MCB(c.g.c)=>KC=MB(haicạnhtươngứng)(2).
Từ(1)và(2)suyraDC=
1
2
CK. (đ.p.c.m);
Cách4: (hình4)
TrêntiađốicủatiaCBlấyđiểmNsaochoCB=CN; Tacó: DClàđường
trungbìnhcủa D ABN=>CD=
1
2
AN (1);
Xét D KBCvà DACNcó:
BC=CN;
·
·
KBC ACN =
· ·
·

·
·
·
0 0
(v× KBC 180 ABC; ACN 180 ACB mµ ABC ACB) = - = - =
KB=AC(cùngbằngAB);
Vậy DKBC= DACN(c.g.c)=>CK=AN (haicạnhtươngứng) (2);
Từ(1)và(2)suyra: CD=
1
2
CK.(đ.p.c.m);
Cách5: (hình5)
GọiP;QlầnlượtlàtrungđiểmcủaBCvàBK;
CóDPlàđườngtrungbìnhcủa D ABC=>DP=
1 1
AC = AB = DB
2 2
;
DP//AC=>
·
·
DPB ACP = (cùngbùvới
·
DPC );Theogiảthiết
·
·
ABC ACB =
(D ABCcântại A);
·
·

DPB DBP = mà
· ·
0
QBP 180 DBP = - ;
·
·
0
DPC 180 DPB = - =>
·
·
QBP DPC =
Xét D QBPvà D DPCcó:
QB=DP;
·
·
QBP DPC = (chứngminhtrên);BP=CP(cùngbằng
1
2
BC);
Vậy D QBP= D DPC(c.g.c)=>DC=QB (1);
MặtkhácQPlàđườngtrungbìnhcủa DKBCnênQP=
1
2
CK(2);
Từ(1)và(2)suyra:CD=
1
2
CK(đ.p.c.m);
Cách6: (Hình6).
GọiE;OlầnlượtlàtrungđiểmcủaACvàKC;OElàđườngtrungbìnhcủa DACK

nênOE=
1
2
AKmàAK=2AB=2AC=>OE=AB=AC;
Xét D CDAvà D OCEcó:
AD=CE(cùngbằng
1
2
AC);OE=CA;
·
·
DAC CEO = (đồngvị,OE//AD);
Vậy D CDA= DOCE(c.g.c)=>OC=CD; (1)
MặtkhácOlàtrungđiểmCKnênOC=
1
2
CK(2)
Từ(1)và(2)suyraCD=
1
2
CK.(đ.p.c.m);
Cách7: (hình7)
GọiP;OlầnlượtlàtrungđiểmcủaBCvàCK;
DPlàđườngtrungbìnhcủa DABCnênDP=
1
2
AC
H.4
N
K

D
B
C
A
H.5
Q
K
D
P
B
C
A
H.6
O
E
K
D
B
C
A
H.7
O
K
D
P
B
C
A
3
OPlàđườngtrungbìnhcủa DCBKnênOP=

1
2
BK
Theobài ra,tacóBK=ACnênDP=OP;
·
· ·
· ·
· · ·
· ·
OPB DBP (so le trong, OP//DB); DBP ACP vµ ACP DPB OPB DPB OPC DPC = = = Þ = Þ =
Xét D DPCvà D OPCcó:
DP=OP(c/mtrên);
· ·
OPC DPC = (c/mtrên);
Cạnh PCchung
Vậy D DPC= D OPC(c.g.c)=>OC=CDmàOC=
1
2
CK=>CD=
1
2
CK. (đ.p.c.m).
Cách8: (hình8)
TrêntiađốicủatiaDClấyđiểmFsaochoDF=DC;
Xét D BDFvà D ADCcó:
DF=DC;DA=DB;
·
·
FDB CDA = (haigócđốiđỉnh);
suyra: DBDF= DADC(c.g.c)=>BF=ACmàAC=BKnênBF=BK;

Talạicó:
·
·
0
FBC ACB 180 (BF // AC nªn hai gãc trong cïng phÝa bï nhau); + =
· ·
0
KBC ABC 180 (hai gãc kÒ bï) + =
mà
·
·
ABC ACB ( ABC c©n t¹i A) = D =>
·
·
KBC FBC =
Xét D FBCvà D KBCcó:
FB=KB(c/mtrên);
·
·
KBC FBC = ;
BCcạnhchung;
Vậy D FBC= D KBC(c.g.c)=>FC=CK=>2CD=CK=>CD=
1
2
CK.(đ.p.c.m);
Cách9:( hình 9);
TừBkẻđường thẳng songsongvớiCKcắtACtạiO;TừCkẻđường
thẳng songsongvớiBKcắtBOkéodàitạiR;
Dễdàng chứngminhđược CR=BK=AB;BR=CK;
Xét DROCvà DBOAcó:

· ·
CRO ABO (so le trong, CR//AB) = ;CR=AB;
·
·
RCO BAO (so le trong, CR//AB) = Suyra: DROC= DBOA(g.c.g);
=>OA=OC=
1
2
AC==
1
2
AB;OB=OR;=>OR=
1
2
BR=
1
2
CK;(1);
Xét DADCvà D CORcó:
AD=OC(cùngbằng
1
2
AB);
·
·
RCO DAO (so le trong, CR//AB) = ;
CR=AC(cùngbằngAB);
Vậy DADC= D COR(c.g.c);=>OR=CD (2);
Từ(1)và(2)=>CD=
1

2
CK.(đ.p.c.m);
Cách10: (hình10)
H.8
F
K
D
B
C
A
H.9
R
O
K
D
B
C
A
4
TrêntiađốicủatiaBClấyđiểmFsaochoBF=BC;NốiFK;GọiIlàtrung
điểmcủaFK;
Xét D FBKvà D CBAcó:
FB=CB;
·
·
FBK CBA (hai gãc ®èi ®Ønh); = AB=KB(giảthiết);
nên DFBK= DCBA(c.g.c)=>FK=AC
màAB=AC=>FK=AB=>
1
2

FK=
1
2
AB
=>FI=DB;(1)
Theobài ra,tacó:
·
·
·
· ·
·
·
ACB ABC mµ ACB = BFI BFI = ABC = DBC = Þ
(2)
Xét D FBIvà D BCDcó:
FB=BC;
·
·
BFI = DBC (theo(2));
FI=BD (theo(1));
Vậy DFBI= DBCD(c.g.c)=>BI=CD(3);
MặtkhácdoI;BlầnlượtlàtrungđiểmcủaFKvàFC=>IBlàđườngtrungbìnhcủa DKFC
=>BI=
1
2
CK(4);Từ(3)và(4)suyra:CD=
1
2
CK.(đ.p.c.m);
Chúý:Trongcáccáchvẽđườngphụ,cóthểlậpluậntheonhiềucáchkhácnhauđểchứngminhđược

CD=
1
2
CK.
NguyễnVănChương
Trường THCSNguyễnHàm Ninh
BaĐồnQuảng TrạchQuảng Bình
Điệnthoại:0935187009
H.10
I
F
K
D
B
C
A