cac bai toan lien quan khao sat ham so pps

Nguyễn Vũ Minh Các chuyên đề về Hàm Số
CHƯƠNG I :CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KSHS
@@@@@@@
VẤN ĐỀ 1:TIẾP TUYẾN VỚI ĐỒ THỊ
Cho hàm số
( )y f x=
( C ) .Tìm phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C ) ta có 2 cách :
Cách 1 : dùng ý nghĩa hình học của đạo hàm
Định lý : Đạo hàm của hàm số
( )y f x=
tại điểm
0
x
là hệ số góc của tiếp tuyến
với đồ thị tại điểm M
( ; ( ))
o o o
x y f x=
:
'( )
o
k f x=
Dạng Tiếp Tuyến (yêu cầu bài toán) Phương trình tiếp tuyến ( cách tìm )
Tiếp tuyến tại
( ; ) ( )
o o
M x y C∈
'( ).( )
o o o
y f x x x y
= − +

(1)
'( )
o
k f x=
:hệ số góc
Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước
_Gọi
( ; ) ( )
o o
M x y C∈
_Giải pt :
'( )
o o o
f x k x y= ⇒ ⇒
_Áp Dụng (1)
Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d)
cho trước :
d
y k x b
= +
_Gọi
( ; ) ( )
o o
M x y C∈
_Giải pt :
'( )
o d o o
f x k x y= ⇒ ⇒
_Áp Dụng (1)
Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d)

trước :
d
y k x b
= +
_Gọi
( ; ) ( )
o o
M x y C∈
_Giải pt :
1
'( )
o o o
d
f x x y
k
= − ⇒ ⇒
_Áp Dụng (1)
Tiếp tuyến đi qua điểm
( ; ) ( )
A A
A x y C∉
cho
trước
_Gọi
( ; ) ( )
o o
M x y C∈
,tt tại M là
( )∆
: (1)

_
( )∆
qua A: thay tọa độ A vào (1)
o o
x y⇒ ⇒
PTTT⇒
Cách 2 : dùng đk tiếp xúc :hai đths
( )
( )
y f x
y g x
=


=

tiếp xúc với nhau
( ) ( )
'( ) '( )
f x g x
f x g x
=

⇔

=

Dạng Tiếp Tuyến (yêu cầu bài toán) Phương trình tiếp tuyến ( cách tìm )
Tiếp tuyến tại
( ; ) ( )

o o
M x y C∈
'( ).( )
o o o
y f x x x y
= − +
(1)

'( )
o
k f x=
:hệ số góc
Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước
_PTTT có dạng
(*)y kx C
= +
_ĐKTX
( )
'( )
f x kx C
f x k
= +


=

_Giải hệ
C⇒

1

Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số
Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d) cho
trước :
y ax b
= +
_PTTT có dạng
(*)y ax C
= +
_ĐKTX
( )
'( )
f x ax C
f x a
= +


=

_Giải hệ
C
⇒
Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (d) cho trước
:
y ax b
= +
_PTTT có dạng
1
(*)y x C
a
= − +

_ĐKTX
1
( )
1
'( )
f x x C
a
f x
a

= − +




= −


_Giải hệ
C
⇒
Tiếp tuyến đi qua điểm
( ; ) ( )
A A
A x y C∉
cho trước
_PTTT có dạng:
( )
A A
y k x x y= − +

_ĐK TX
( ) ( )
'( )
A A
f x k x x y
f x k
= − +


=

_Thế pt dưới vào trên
x k⇒ ⇒
ứng với 1 giá trị
x
sẽ có 1 giá trị
k
Lưu ý : hai đt :
1 1
2 2
y k x c
y k x c
= +


= +

vng góc với nhau
1 2
. 1k k⇔ = −

,song song
1 2
k k⇔ =
Với
1 2
,k k
là hệ số góc
Bài tập có HD
Bài toán 1: Cho hàm số (C)
22
43
2
−
+−
=
x
xx
y
. M là một điểm tuý ý trên (C) Tiếp
tuyến của (C) tại M cắt đường tiệm cận xiên và đứng tại A và B .
Chứng tỏ rằg M là trung điểm của AB, và tam giác IAB (I là giao điểm
của hai đường tiệm cận) có diện tích không phụ thuộc vào M
Giải:
( )
(C) 1x ≠
−
+−=
−
+−
=

1
1
1
222
43
2
x
x
x
xx
y

( ) ( )
⇒∈ CbaM ;
tiếp tuyến tại M là (d)
( )
( )
baxyy
a
+−
′
=







−

+−=
1
1
1
2 a
a
b
( )
( )
1
1
1
2
1
1
2
1
2
−
+−+−






−
−=⇔
a
a

ax
a
y
Tiệm cận đứng của (C) là (d
1
) : x = 1
( ) ( )






−
+−=∩⇒
1
2
2
1
;1
1
a
Add
Tiệm cận xiên của (C) là (d
2
) :
( ) ( )







−−=∩⇒−=
2
3
;121
2
2
aaBdd
x
y

2
Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số
Ta có :
( ) ( )
MBA
xaaxx ==−+=+ 121
2
1
2
1

( )
MBA
y
a
a
a

a
yy =
−
+−=






−+
−
+−=+
1
1
1
22
3
1
2
2
1
2
1
2
1
Vậy M là trung điểm của AB
Giao điểm của 2 tiệm cận là
IBIAIAB
xxyySI −−=⇒







−
2
1
2
1
;1

222.
1
2
.
2
1
=−
−
= a
a
Vậy S
IAB
không phụ thuộc vào M
Bài toán 2: Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2

– 9x + 5 (C) .
Tìm tiếp tuyến của đồ thò (C) có hệ số góc nhỏ nhất
Giải : Gọi M(x
0
; y
0
)
( )
C∈
: hệ số góc tiếp tuyến tại M : k = f’(x
0
) =
963
0
2
0
−+ xx
Ta có
( )
121213
2
0
−≥−+= xk
. Dấu “=” xảy ra khi x
0
= – 1
Vậy Min k = – 12
⇔
M(–1; 16)
Do đó trong tất cả các tiếp tuyến của (C) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số

góc nhỏ nhất
Bài toán 3: Cho hàm số y = x
3
+ mx
2
+ 1 (Cm)
Tìm m để (Cm) cắt (d) y = – x + 1 tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C
sao
cho các tiếp tuyến của Cm) tại B và C vuông góc nhau
Giải: Phương trình hoành độ giao điểm (d) và (Cm)
x
3
+ mx
2
+ 1 = – x + 1
⇔
x(x
2
+ mx + 1) = 0 (*)
Đặt g(x) = x
2
+ mx + 1 . (d) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt
⇔
g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0
( )



−<
>

⇔



≠=
>−=∆
⇔
2
2
010
04
2
m
m
g
mg
Vì x
B
, x
C
là nghiệm của g(x) = 0



==
−=+=
⇒
1
CB
CB

xxP
mxxS
Tiếp tuyến tại B và C vuông góc
( ) ( )
1−=
′′
⇔
BC
xfxf
( )( )
12323 −=++⇔ mxmxxx
CBCB
( )
[ ]
1469
2
−=+++⇔ mxxmxxxx
CBCBCB
( )
[ ]
14691
2
−=+−+⇔ mmm
102
2
=⇔ m

3
Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số
5±=⇔ m

(nhận so với điều kiện)
Bài toán 4: Cho hàm số y = x
3
– 3x – 2 (H)
Xét 3 điểm A, B, C thẳng hàng thuộc (H). Gọi A
1
, B
1
, C
1
lần lït là giao
điểm của (H) với các tiếp tuyến của (H) tại A, B, C. Chứng minh rằng
A
1
, B
1
, C
1
thẳng hàng.
Giải: Gọi M(x
0
; y
0
) thuộc (H). Phương trình tiếp tuyến của (H) tại M
( )
( )
( )
( ) ( )
12132313
32

00
3
0
2
0
+−−=−−+−−= xxxxxxxxyd

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (H)
( ) ( )
121323
32
0
3
+−−=−− xxxxx
( ) ( )
02
0
2
0
=+−⇔ xxxx
( )



−=
=
⇔
0
0
2xx

xx ùpnghiệm ke
Gọi A(a; y
A
) , B(b; y
B
) , C(c; y
C
)
⇒
giao điểm A
1
, B
1
, C
1
của các tiếp tuyến tại A, B, C với (H)
( )
268;2
3
1
−+−−= aaaA
( )
268;2
3
1
−+−−= bbbB
( )
268;2
3
1

−+−−= cccC
* A, B, C thẳng hàng :
( )
( )
acac
abab
ac
ab
−−−
−−−
=
−
−
⇔
3
3
33
33
3
3
1
22
22
−++
−++
=⇔
acac
abab
abbacc +=+⇔
22

( )( )
0=++−⇔ cbabc
( )
bc ≠=++⇔ 0cba
* A
1
, B
1
, C
1
thẳng hàng :
( )
( )
( )
( )
caca
baba
ca
ba
−−−
−−−
=
−
−
⇔
68
68
22
22
33

33
( )
( )
34
34
1
22
22
−++
−++
=⇔
caca
baba
abbacc +=+⇔
22
( )( )
0=++−⇔ cbacb
( )
bc ≠=++⇔ 0cba
Vậy : A, B, C thẳng hàng
⇔
A
1
, B
1
, C
1
thẳng hàng
Bài Tập :
Bài 1 : Cho hàm số

( )y f x=
có đồ thị là ( C ) .Tìm hệ số góc và viết pttt với ( C ) tại điểm
o
M

4
Nguyễn Vũ Minh Các chuyên đề về Hàm Số
1) ( C ) :
2
3 3
1
x x
y
x
+ +
=
−
với
( )
o
M C∈
có hoành độ
2
o
x =
2) ( C ) :
3
1y x x= + +
với
( 2; 9) ( )

o
M C− − ∈
3) ( C ) :
4 2
2 5y x x= − +
với
( )
o
M C∈
có tung độ
8
o
y =
4) ( C ) :
2
,
1
o
x
y M
x
+
=
− −
là giao điểm của ( C ) và Oy
5) ( C ) :
2
3 2
,
3

o
x x
y M
x
− +
=
−
là giao điểm của ( C ) và Ox
6) ( C ) :
3
2 2,
o
y x x M= − +
là giao điểm của ( C ) với đt
2y =
7) ( C ) :
3
2 ,y x x= −
với
o
M
là giao điểm của ( C ) và Oy
8) ( C ) :
4 2
2 5 3y x x= − +
với
( )
o
M C∈
là giao điểm của ( C ) và Ox

Bài 2 : Cho hàm số
3
2
x
y
x
−
=
+
( C ),viết pttt với đths :
1) Tại giao điểm của ( C ) với 2 trục tọa độ
2) Biết tiếp tuyến song song với đt
5 2y x= +
Bài 3 : Cho hàm số
3 2
3 4y x x= − +
( C ),viết pttt với đths :
1) Tại
( )
o
M C∈
có hoành độ
2
o
x = −
2) Biết tiếp tuyến của ( C ) đi qua điểm
(2;0)A
Bài 4 : Viết pttt trong các trường hợp sau :
1)
2

3 6
,
1
x x
y
x
+ +
=
+
biết tiếp tuyến vuông góc với đt
1
3
y x=
2)
2
3 ,y x x= +
biết tiếp tuyến qua
(1;4)A
3)
3 2
3 ,y x x= −
biết tiếp tuyến đó vuông góc với đt
1
3
y x=
4)
2
2 2
,
1

x x
y
x
− +
=
−
biết tiếp tuyến song song với đt
3
15
4
y x= +
5)
3
2
2 3 1
3
x
y x x= − + −
, biết tiếp tuyến đó qua
(0; 1)K −
6)
2
3 1
,
2
x x
y
x
− +
=

−
biết tiếp tuyến song song với đt
2 3y x= +
Bài 5 : cho ( C ) :
2
4
,
1
x x
y
x
−
=
−
tìm pttt với ( C ) trong các trường hợp sau :
1) Tiếp xúc với ( C ) tại
(2; 4)A −
2) Song song với
1
( ) : 13 1d y x= +
3) Vuông góc với
2
1
( ):
4
d y x= −
4) Vẽ từ
(1;5)M
Bài 6 : cho ( C ) :
3 2

3 2y x x= − +
1) Lập pttt với ( C ) tại điểm có hòanh độ
3
o
x = −
2) Lập pttt của ( C ) qua
i.
(2; 2)A −
ii.
(0;3)B

5
Nguyễn Vũ Minh Các chuyên đề về Hàm Số
3) Lập pttt với ( C ) biết tt vuông góc với đường thẳng
1
19
9
y x= − +
4) Lập pttt tại điểm uốn của ( C ) .Hệ số góc là lớn nhất hay nhỏ nhất
5) (khó) Tìm trên đt
2y =
các điểm mà từ đó vẽ được 2 tiếp tuyến vuông góc nhau
Bài 7 : cho ( C )
2
.
1
x
y
x
−

=
+
Viết pttt với ( C ) biết tiếp tuyến :
1) Qua gốc tọa độ O 2) Qua điểm
(2;1)A
Bài 8 : cho ( C )
3 2
3 5 2.y x x x= − + − +
Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) biết tiếp tuyến đó :
2) Song song với đt :
2 3 0x y+ − =
3) Vuông góc với đt :
29 2 0x y− + =
Bài 9 :
2
2
2 1
x
y
x
=
−
. Viết phương trình tiếp tuyến trong các trường hợp sau :
1) Tại điểm có hoành độ
1
o
x =
2) Song song với đt
8 9 1 0x y− + =
3) Vuông góc với đt

25 24 2 0x y+ − =
Bài 10 : cho ( C ) :
3 2
4 4 1y x x x= + + +
và điểm
( )A C∈
với
1
A
x = −
. Viết pttt với ( C ) biết
tiếp tuyến qua A
Bài 11 : cho ( C ) :
3
2
2 3
3
x
y x x= − +
có đồ thị là ( C ). Viết pttt với ( C ) tại điểm uốn. Chứng
minh tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất
Bài 12 :
3 2
1 1
( ):
3 2 3
m
m
C y x x= − +
.Gọi M là điểm thuộc

( )
m
C
có hoành độ bằng -1 .Tìm m để
tiếp tuyến của
( )
m
C
tai điểm M song song với đt
5 0x y− =
Bài 13 :
2
1
1
x x
y
x
− +
=
−
( C ) .Viết pt đường thẳng đi qua
(1;0)M
và tiếp xúc với đths ( C )
Bài 14 : cho hàm số
( )
m
C
3 2
3 ( 1) 1y x x m m x= + + + +
.Tìm m để

( )
m
C
tiếp xúc với parabol (P) :
2
3 2 1y x x= + +
.( đs :
1 2m m
= ∨ = −
)
Bài 15 : ( C ) :
2
1
1
x x
y
x
− +
=
−
và (P)
2
y x a= +
.Định a để ( C ) tiếp xúc với (P)
Bài 16 : Định tham số m để đồ thị
1)
2
3 3y x x= + +
và
2 1y x m= + −

tiếp xúc
2)
3 2
3 2y x x x= − + −
và
y mx=
tiếp xúc
3)
3 2
(2 3) ( 2)y x m x m x m= − + + + +
tiếp xúc với trục hoành ( Ox )
4)
2
1
x
y
x
+
=
−
và
3y x a= − +
tiếp xúc
*Bài 17 :
2
2 (1 ) 1
( ): ,
m
x m x m
C y

x m
+ − + +
=
−
CMR với mọi
1m
≠ −
thì đths luôn tiếp xúc với 1
đường thẳng cố định tại một điểm cố định
*Bài 18 : Viết phương trình tiếp tuyến chung của hay đồ thị sau :
1)
2
1
( ) :C y x=
và
2
2
( ) : 2 1C y x x= − −
2)
2
1
( ) : 5 6C y x x= − +
và
2
2
( ) : 5 11C y x x= − + −
Lưu ý :

6
Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số

• Hai đồ thị tiếp xúc nhau khi và chỉ khi phương trình hòanh độ giao điểm của
chúng có nghiệm kép
• Tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc hoặc lớn nhất hoặc nhỏ nhất
Bài 19 : ( C ) :
3
.
1
x
y
x
−
=
+
Viết pttt với ( C ) biết :
1) Tại M là giao điểm của ( C ) và Oy
2) Tại K có hồnh độ bằng -2
3) Tiếp tuyến song song với đt
4 2y x= +
4) Vng góc với đt
4 3 0x y+ − =
*Bài 20 : Tìm trên đt
2y =
mà qua đó có đúng ba tiếp tuyến với ( C ) :
3 2
3 2y x x= − + −
Bài 21 : Tìm trên Ox những điểm mà qua đó có đúng một tiếp tuyến với ( C ) trong các trường
hợp sau :
1)
2
2 2 2

( ) :
1
x x
C y
x
− +
=
−
2)
2
3
( ) :
2
x x
C y
x
+ −
=
+
VẤN ĐỀ 2:SỰ TƯƠNG GIAO CỦA 2 ĐỒ THỊ
Lý Thuyết : cho hai hàm số
( )y f x=
có đồ thị là (C) và
( )y g x=
có đồ thị là (C’). Muốn xét sự tương
giao của 2 đồ thị trên ta xét phương trình hồnh độ giao điểm :
( ) ( )f x g x
=
(*)
số nghiệm của (*) là số giao điểm của 2 đồ thị C) và

(C’), hình bên cho ta thấy 3 giao điểm.
Nhận xét : nếu 2 đồ thị (C) và (C’) tiếp xúc nhau
tại M thì điểm
M
x
chính là nghiệm kép của pt (*) ,
và tại điểm M 2 đồ thị có chung tiếp tuyến
Bài tập có HD
Bài toán 1: Cho hàm số y = f(x) = x
3
– 3x + 2 . (D) là đường thẳng qua A(2; 4) có
hệ số góc m. Biện luận theo m số giao điểm của (C) và (D)
Giải: (D) qua A(2; 4) , hệ số góc m : y = m(x – 2) + 4
(C) : y = x
3
– 3x + 2
* Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (D)
x
3
– 3x + 2 = m(x – 2) + 4
 (x – 2)( x
2
+ 2x + 1 – m) = 0 (1)
* Số giao điểm của (C) và (d) chính là số nghiệm của phương trình (1)
- Phương trình (1) luôn luôn có nghiệm x = 2
- Xét phương trình g(x) = x
2
+ 2x + 1 – m = 0 (2)
Nếu g(x) = 0 có nghiệm x = 2 thì 9 – m = 0
⇔

m = 9
Do đó : m = 9 thì (1) có nghiệm kép x = 2, nghiệm đơn x = – 4
Nếu m ≠ 9 thì g(x) = 0 có nghiệm x ≠ 2

7
Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số
Ta có
m=∆
′
m < 0
0
<∆
′
⇔
: (2) vô nghiệm
m = 0
0
=∆
′
⇔
: (2) có nghiệm kép x = – 1
0 < m ≠ 9
0
>∆
′
⇔
: (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 2
- Kết luận:
m < 0 : (D) cắt (C) tại 1 điểm
m = 0 : (D) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc đồ thò tại 1 điểm

0 < m ≠ 9 : (D) cắt (C) tại 3 điểm
m = 9 : (D) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc đồ thò tại điểm (2; 4)
Bài toán 2: Cho hàm số y =
2
x 4x 1
( )
x 2
f x
+ +
=
+
(C)
Tìm tất cả các giá trò m để đường thẳng (D) y = mx + 2 – m cắt đồ thò
(C) tại 2 điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của đồ thò (C)
Giải: Phương trình hoàn độ giao điểm của (C) và (D) :
x
2
+ 4x + 1 = mx
2
+ 2x + mx + 4 – 2m (với x ≠ – 2)
⇔
(1 – m)x
2
+ (2 – m)x + 2m – 3 = 0 (*)
(D) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc một nhánh của đồ thò (C)
⇔
(*) có 2 nghiệm phân biệt x
1
; x
2

sao cho x
1
< x
2
< – 2 V – 2 < x
1
< x
2

(
)
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
[ ]







>−+−−−−=−
>−−−+−=∆
≠−=
⇔
032221412
03214
2
44
01

mmmmaf
mmmm
ma






>−
>+
⇔
m) (
m m
013
01624
2
9





>
≠
⇔
1.
3
4
m

m

Kết luận :





>
≠
⇔
1.
3
4
m
m
thì (D) cắt đồ thò (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc cùng
một nhánh của (C)
Bài toán 3:Cho hàm số
1
2
−
=
x
x
y
. Tìm 2 điểm A , B nằm trên đồ thò (C) và đối
xứng nhau qua đường thẳng (d) y = x – 1
Giải: Vì A , B đối xứng nhau qua đường thẳng (d) y = x – 1. Suy ra A, B thuộc
đường thẳng (d’) y = –x + m

Phương trình hoành độ giao điểm của (d’) và (C)
x
2
= (x – 1)( – x + m) (đk : x ≠ 1)
⇔
2x
2
– (m + 1)x + m = 0 (*)

8
Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số
Ta có
∆
= (m + 1)
2
– 8m > 0
⇔
m
2
– 6m + 1 > 0




+>
−<
⇔
53
53
m

m
Giả sử (d’) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B. Gọi I là trung điểm A, B:







−
=+−=
+
=
+
=
⇒
4
13
4
1
2
m
mxy
mxx
x
II
BA
I
A và B đối xứng qua (d)
⇒

I thuộc (d): y = x – 1
⇒
1
4
1
4
13
−
+
=
− mm
⇒
m = – 1
Lúc đó (*) thành trở thành : 2x
2
– 1 = 0
⇔
x =
2
1
±
Vậy









+−
−
2
2
1;
2
1
A








−−
2
2
1;
2
1
B
Bài toán 4:Cho (P) y = x
2
– 2x – 3 và đường thẳng (d) cùng phương đường y = 2x sao
cho (d) cắt (P) tại 2 điểm A, B
a) Viết phương trình (d) khi 2 tiếp tuyến của (P) tại A và B vuông góc
b) Viết phương trình (d) khi AB = 10
Giải: Gọi (d): y = 2x + m là đường thẳng cùng phương với đường y = 2x

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P)
x
2
– 2x – 3 = 2x + m
⇔
x
2
– 4x – 3 – m = 0
(d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A và B
⇔
∆
′
= 7 + m > 0
⇔
m > –7
Lúc đó gọi x
A
, x
B
là 2 nghiệm của (1) ta có
S = x
A
+

x
B
= 4
P = x
A
x

B
= – 3 – m
a) Tiếp tuyến của (P) tại A, B vuông góc  f’(x
A
)f’(x
B
) = –1
⇔
(2 x
A
–2)(2 x
B
–2) = – 1
⇔
4P – 4S + 5 = 0
⇔
4(–3 –m) –16 + 5 = 0
⇔
m =
4
23
−
(nhận vì m > –7)
b) A, B thuộc (d)
⇒
y
A
= 2 x
A
+ m

y
B
= 2 x
B
+ m

9
Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số
Ta có AB
2
= 100
⇔
(x
A
– x
B
)
2
+ (y
B
– y
A
)
2
= 100
⇔
(x
A
– x
B

)
2
+ (2 x
A
–2 x
B
)
2
= 100
⇔
(x
A
– x
B
)
2
= 20
⇔
S
2
– 4P = 20
⇔
16 + 4(3+m) = 20
⇔
m = – 2 (nhận vì m > –7)
Bài toán 5 : Cho hàm số
( ) ( )
H
mx
mxxfy

+
+−+==
1
3
Tìm a để đường thẳng
( )
∆
: y = a(x+1) + 1 cắt (H) tại 2 điểm có hoành
độ trái dấu
Giải:Phương trình hoành độ giao điểm cả (C) và
( )
∆
:

( ) ( )
111
1
1
2 −≠++=
+
++ x:đk xa
x
x
( )
11233
22
++++=++⇔ xxxaxx
( ) ( ) ( ) ( )
* 02121
2

=−+−+−=⇔ axaxxxg
( )
∆
cắt (C) tại 2 điểm có hoành độ trái dáu
⇔
(*) có 2 nghiệm phân biệt
2121
01, xxxx <<Λ−≠

( ) ( )
( )
( )( )
( ) ( )
21
012121
021
01
01
001
<<⇔



≠=−+−−−
<−−
⇔






≠−
≠−
<−
⇔ a
aaa
aa
a
g
ga
Bài 1 : tìm tọa độ giao điểm ( nếu có ) của đồ thị 2 hàm số sau
a) (C) :
2
3 1y x x= + +
và (d) :
1y x= +
b) (P
1
) :
2
1y x= − +
và (P
2
) :
2
y x x= +
c) (C) :
1
3
x

y
x
+
=
−
và (d) :
2 6y x= −
d) (C) :
3 2
2 1y x x x= − + +
và (d) :
2 1y x= −
Bài 2 : định m để
a)
2 2
( 2)( 3)y x x mx m= − + + −
cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt
b)
3 2
3 2y x x= − +
cắt (d) :
2y mx= +
tại 3 điểm phân biệt
Bài 3 : 1)cho hàm số
3 2
2 3 1y x x= − −
có đồ thị là (C), và đt (d) :
1y kx= −
. Tìm k để (C) cắt (d) tại 3
đểm phân biệt trong đó có 2 điểm có hồnh độ dương

2)Tìm k để đồ thị y=x
3
+x
2
-2x+2k và y=x
2
+(k+1)x+2 cắt nhau tại 3 điểm.
3)Tìm m để đồ thị y=x
3
-3x+2m (1) cắt đường thẳng y=x tại 3 điểm mà trong đó tại 2
trong 3 giao điểm đó các tiếp tuyến của (1) song song với nhau.
Bài 4 :
a) cho hàm số
3
3 2y x x= − +
có đồ thị là (C), và đt (d) qua
(3;20)A
có hệ số góc là m. Tìm m để
(C) cắt (d) tại 3 điểm phân biệt.

10
Nguyễn Vũ Minh Các chuyên đề về Hàm Số
b) cho hàm số
2
1
1
x x
y
x
− −

=
+
(C), gọi (d) là đường thẳng qua
(3;1)A
có hệ số góc là k, Tìm k để
(C) cắt (d) tại 2 điểm phân biệt
c) cho hàm số
2
1
mx x m
y
x
+ +
=
−
(C). Tìm m để (C) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành
độ dương .
Bài 5 : cho hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−
(C)
a)Tìm m để (D) :
1y mx= +
cắt (C) tại hai điểm phân biệt

b)Tìm m để (D) :
1y mx= +
cắt (C) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh của (C)
Bài 6 : cho hàm số
2 1
2
x
y
x
+
=
+
(C)
Tìm m để (C) cắt (d) :
y x m= − +
tại 2 điểm phân biệt A và B. Tìm m để đoạn AB ngắn nhất
VẤN ĐỀ 3 : BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG
PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ
Lý Thuyết : xét bài toán sau đây : vẽ đồ thị (C) của hàm số
( )y f x=
sau đó biện luận theo tham số m
số nghiệm của phương trình :
( ; ) 0h x m
=
(*)
Ta đưa (*) về dạng
( ) ( )f x m
ϕ
=
trong đó

( )m
ϕ
là biểu thức theo m, không chứa x
Số nghiệm của (*) chính là số giao điểm của (C) và đường thẳng
( )y m
ϕ
=
mà ta nhìn thấy qua đồ
thị
Chú ý : do m là tham số tùy ý nên ta không nên lầm tưởng
( )y m
ϕ
=
là 1 hàm số , đường cong…
mà nó mãi mãi chỉ là đường thẳng mà thôi (các em hay có nhận định sai khi làm dạng này)
VD như hình bên , ta thấy (*) có :
3 nghiệm khi
5 ( ) 1m
ϕ
− < < −
2 nghiệm khi
( ) 1 ( ) 5m m
ϕ ϕ
= − ∨ = −
1 nghiệm khi
( ) 1
( ) 5
m
m
ϕ

ϕ
> −


< −

Bài tập có HD
Baøi toaùn 1: Cho haøm soá y = x
3
– 3x (C)

11
Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số
a) Khảo sát và vẽ đồ thò
b) Tìm giá trò lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
xxy
3
sin33sin −−=
Giải: a) Đồ thò (C)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-2
2
4
x
y
b)
xxy
3
sin33sin −−=

( )
xxxy
33
sin3sin4sin3 −+−=⇔
xxy
33
sin3sin −=⇔
Đặt t = sinx ,
[ ]
1;1−∈t
Xét y = t
3
– 3t với
[ ]
1;1−∈t
Nhìn vào đồ thò (C) ta thấy
[ ]
Π+
Π
−=⇔−=⇔=
−∈
2
2
12
1;1
kxtMaxy
t
[ ]
( )
Zlk, ∈Π+

Π
=⇔=⇔=
−∈
2
2
12
1;1
lxtMiny
t
Bài toán 2: Cho hàm số
1
12
2
+
++
=
x
xx
y
(C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số
b) Tìm giá trò lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức
1cos
1coscos2
2
+
++
=
x
xx

y
Giải: a)Đồ thò (C)

12
Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-12
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
x
y
b) Đặt
10cos ≤≤⇒= txt

Vậy
1
12
2
+
++
=
t
tt
A

với
[ ]
1;0=D
Nhìn vào đồ thò hàm số (1) ở trên khi xét
[ ]
1;0∈t
ta thấy:
Π=⇔=⇔



−=
=
⇔




−=
=
⇔= kxx
x
x
t
t
MaxA 0sin
1cos
1cos
)(
2

1
1
2
loại
( )
Zlk,
∈Π+
Π
=⇔=⇔=⇔=
lxxtMinA
2
0cos01
Bài toán 3: Cho hàm số
2
3
2
+
−+
=
x
xx
y
(C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thò
b) Biện luận theo m số nghiệm của:
( ) ( )
0231
24
=−−−+= mtmttf
Giải: a)

13
Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-6
-4
-2
2
x
y
b)
( )
0231
24
=−−−+ mtmt
(*)
( )
23
234
+=−+⇔ tmtt
m
t
tt
=
+
−+
⇔
2
3
2

24
Xét hàm số
2
3
2
+
−+
=
x
xx
y
với
0
2
≥= tx
Nhìn vào đồ thò ta thấy khi
2
3
−≥m
thì (d) cắt (C) tại 1 điểm có hoành độ
không âm
Vậy khi
2
3
−=m
có nghiệm x = t
2
= 0
⇒
(*) có nghiệm kép

0
21
== tt
2
3
−>m
thì (*) có 2 nghiệm
2
3
−<m
thì () vô nghiệm
Bài toán 4:Cho hàm số
( )
1
2
−
==
x
x
xfy
(C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thò
b) Biện luận theo m số nghiệm của
( )
02 =−− mxm
với
[ ]
2;1−∈x
Giải:a) Đồ thị (C)

14
Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-2
2
4
6
x
y
b) Xét phương trình
( )
02 =−− mxm
với
[ ]
2;1−∈x


( )
xxm 21 =−⇔
(*)
Vì
1=x
không là nghiệm của (*)
Vậy
1
2
−
=
x
x

m
với
[ ]
2;1−∈x
Xét đường y = m và
1
2
−
=
x
x
y
với
[ ]
2;1−∈x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-2
2
4
x
y
Nhìn vào đồ thò ta thấy
( )
0;∞−∈m
: (*) có 2 nghiệm
{ } )
[
∞+∪∈ ;40m
: (*) có 1 nghiệm

( )
4;0∈m
: (*) vô nghiệm

15
Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số
Bài toán 5: Cho hàm số
( )
1
2
−
==
x
x
xfy
(C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thò (C)
b) Biện luận số nghiệm của phương trình
( ) ( )
0111
2
=+−−− xxxm
Giải: a) Đồ thò (C)
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-2
2
4
6
x
y

y=-3x+1
b)
( ) ( )
0111
2
=+−−− xxxm
(*)
Ta thấy x = 1 không là nghiệm của (*) , ta có
( )
1
1
*
2
+=
−
⇔ mx
x
x
Đặt (d) : y = mx + 1 , (d) luôn đi qua A(0;1)
Số nghiệm của phương trình (*) chính là số giao điểm của (C) và (d) :
(C) :
1
2
−
=
x
x
y
(d) là tiếp tuyến của (C) khi (*) có nghiệm kép
( ) ( )




=−−−
≠−
⇔
0141
01
2
mm
m




=−+
≠
⇔
032
1
2
mm
m

( )



=
−=

⇔
loại1
3
m
m
3−=⇔ m
Vậy tiếp tuyến của (C) qua A(0;1) : y = –3x + 1
* Kết luận
3−=m
: (d) tiếp với (C)
⇔
phương trình (*) có nghiệm kép
( ) ( )
+∞∪−∞−∈ ;13;m
:(d) cắt (C) tại 2 diểm phân biệt
⇔
phương
trình

16
Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số
(*)có 2 nghiệm đơn
(
]
1;3−∈m
:
( ) ( )
Φ=∩ Cd
phương trình vô nghiệm
Bài toán 6: Giải và biện luận theo m số nghiệm phương trình

0212164
2
=−−+− mxxx

Giải:
(
] [
)
+∞∪∞−= ;31;D
m
x
xxmxxx +=+−⇒=−−+−
2
340212164
22
Đặt (d) :
m
x
y +=
2
Xét (C) :
34
2
+−= xxy
-2 -1 1 2 3 4 5 6
-2
2
4
6
x

y
2
1
2
−=
x
y
2
3
2
−=
x
y
* Dựa vào đồ thò ta có






−∞−∈
2
3
;m
: phương trình đã cho vô nghiệm







−−∈
2
1
;
2
3
m
: phương trình có 1 nghiệm






+∞−∈ ;
2
1
m
: phương trình có 2 nghiệm
Bài toán 7: Cho hàm số
42
23 xxy −+=
(C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thò
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
2424
22 mmxx −=−

17

Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số
Giải: a) Đồ thò (C) :
42
23 xxy −+=
-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2
1
2
3
4
x
y
y=4
y=3
b)
2424
22 mmxx −=−
3232
2424
++−=++−⇔ xmxx

Xét
( )
32
24
++−== xxxfy
(C)
( )
mfmmty =++−== 32
24
Nhìn vào đồ thò ta thấy :

Khi
14 ±=⇔= mt
: (*) có 2 nghiệm kép
1±=x

203 ±==⇔= mmt V
: (*) có 3 nghiệm ; 1 nghiệm kép x = 0
và 2 nghiệm đơn
2±=x






≠
±≠
<<−
⇔<<
0
1
22
43
m
m
m
t
: (*) có 4 nghiệm phân biệt







>
−<
⇔<
2
2
3
m
m
t
: (*) có 2 nghiệm đơn
Bài 1 : a) khảo sát và vẽ (C) :
3 2
3 1y x x= − −
b) dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương trình
3 2
3 1x x m− − =
(*)
Bài 2 : a) khảo sát và vẽ (C) :
3 2
12 5y x x= − +
b) dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương trình
3 2
12 5 3x x m− + = +
(*)
Bài 3 : a) khảo sát và vẽ (C) :
1

1
y x
x
= +
+

18
Nguyễn Vũ Minh Các chuyên đề về Hàm Số
b) dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương trình
1
2 2
1
x m
x
− + =
+
(*)
Bài 4 : a) khảo sát và vẽ (C) :
4 2
2 1y x x= − + +
b) dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương trình
4 2
2 3 4x x m− + = −
(*)
Bài 5 : cho hàm số
3 2
3 9y x x x m= + − +

( )
m

C
a) khảo sát và vẽ (C) khi
6m =
b) với giá trị nào của m thì phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt :
3 2
3 9 0x x x m+ − + =
(đS :
27 5m− < <
)
VẤN ĐỀ 4 : ĐỒ THỊ HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI
Lý Thuyết :
A A=
nếu
0A
≥

A A= −
nếu
0A
<
Đồ thị hàm số
( )y f x=
và
( )y f x= −
đối xứng nhau qua trục hoành
Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung (Oy) làm trục đối xứng
Đồ thị hàm số lẽ nhận tâm O làm tâm đối xứng
Bài toán : cho (C)
( )y f x=
Dạng 1: từ (C) suy ra

1
( ) : ( )C y f x
=
Ta có
( ) ( )f x f x
=
nếu
( ) 0f x ≥
(1)

( ) ( )f x f x
= −
nếu
( ) 0f x <
(2)
Cách vẽ :
 Giữ nguyên phần (C) nằm trên Ox (do (1))
 Bỏ phần (C) nằm dưới Ox
 Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía dưới Ox (do (2)) ta sẽ có
1
( ) : ( )C y f x
=
Lưu ý :
( )f x
là hàm số không âm nên luôn nằm phía trên Ox

19
3
3 2y x x= − +
3

3 2y x x= − +
Nguyễn Vũ Minh Các chuyên đề về Hàm Số
Dạng 2: từ (C) suy ra
2
( ): ( )C y f x
=
Ta có
( ) ( )f x f x
=
nếu
0x ≥
(1)

( ) ( )f x f x
= −
nếu
0x
<
(2)
Cách vẽ :
 Giữ nguyên phần (C) nằm bên phải Oy (do (1))
 Bỏ phần (C) bên trái Oy (nếu có)
 Lấy đối xứng qua Oy phần (C) nằm phía bện phải trục Oy ( t/c hàm chẵn) ta sẽ có
2
( )C
Dạng 3: từ (C) suy ra
3
( ): ( )C y f x
=
Ta có :

( ) 0
( )
( );(1)
( );(2)
f x
y f x
y f x
y f x
≥


= ⇔
=




= −


Cách vẽ :
 Giữ nguyên phần (C) nằm phía trên Ox (do (1))
 Bỏ phần (C) nằm dưới Ox
 Lấy đối xứng qua Ox phần (C) nằm phía trên ta sẽ có
3
( )C

20
3
3 2y x x= − +

3
3 2y x x= − +
Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số
Dạng 4: từ (C) suy ra
4
( )
( ):
( )
P x
C y
Q x
=
Ta có
( ) ( )P x P x=
khi
( ) 0P x >
và
( ) ( )P x P x= −
khi
( ) 0P x <
Cách vẽ :
 Giữ ngun phần (C) khi
( ) 0P x >
 Lấy đối xứng qua Ox phần (C) khi
( ) 0P x <
Tương tự ta cũng sẽ làm được dạng
5
( )
( ) :
( )

P x
C y
Q x
=

Bài tập có HD
Bài toán 1 : (Phép suy thứ nhất)
a) Khảo sát và vẽ đồ thò
( )
1
:
2
−
=
x
x
yC

21
3
3 2y x x= − +
3
3 2y x x= − +
1
1
x
y
x
+
=

−
1
1
x
y
x
+
=
−
1
1
x
y
x
+
=
−
Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số
b) Suy ra đồ thò
( )
1
:
2
1
−
=
x
x
yC
Giải: Đồ thò (C)

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
y
x=1
y=x+1
Đồ thò (C
1
)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
y
x=1

y=x+1
y=-x-1
Bài toán 2: (Phép suy thứ hai)
Vẽ đồ thò
( )
1
:
2
2
−
=
x
x
yC
Đồ thò (C
2
)

22
Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-2
2
4
6
x
y
x=1
y=x+1
y=-x+1

x=-1
Bài toán 3: (Phép suy thứ ba)
Vẽ đồ thò
( )
1
:
2
3
−
=
x
x
yC
Đồ thò (C
3
)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-2
2
4
6
x
y
x=-1
x=1
y=-x+1
y=x+1
Bài toán 4 :(Phép suy thứ tư)
Vẽ đồ thò
( )

1
:
2
4
−
=
x
x
yC
Đồ thò (C
4
)

23
Nguyễn Vũ Minh Các chun đề về Hàm Số
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-2
2
4
6
x
y
x=1
y=x+1
y=-x-1
x=-1
Bài toán 5: (Phép suy thứ năm)
Vẽ đồ thò
( )
1

:
2
5
−
=
x
x
yC
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
x=1
y=x+1
y=-x-1
Bài 1 :
a) khảo sát và vẽ (C) :
3
3y x x= − +
b) từ (C) suy ra các đồ thị sau :
3
1

( ) : 3C y x x= − +
;
3
2
( ) : 3C y x x= − +
;
3
3
( ): 3C y x x= − +
c) biện luận theo m số nghiệm pt sau :
3
3 1x x m− + = −
(*)
Bài 2 :

24
Nguyễn Vũ Minh Các chuyên đề về Hàm Số
a) khảo sát và vẽ (C) :
1
2
x
y
x
+
=
−

b) từ (C) suy ra các đồ thị sau :
1
1

( ) :
2
x
C y
x
+
=
−
;
2
1
( ) :
2
x
C y
x
+
=
−
;
3
1
( ):
2
x
C y
x
+
=
−

4
1
( ) :
2
x
C y
x
+
=
−
;
5
1
( ):
2
x
C y
x
+
=
−
Bài 3 :
a) khảo sát và vẽ (C) :
2
3 3
2
x x
y
x
− +

=
−
b) từ (C) suy ra các đồ thị sau :
2
1
3 3
( ) :
2
x x
C y
x
− +
=
−
;
2
2
3 3
( ) :
2
x x
C y
x
− +
=
−
;
2
3
3 3

( ):
2
x x
C y
x
− +
=
−

2
4
3 3
( ) :
2
x x
C y
x
− +
=
−

Công Thức Cũ :
1) Trung điểm
( ; )
I I
I x y
của đoạn thẳng AB :
2
2
A B

I
A B
I
x x
x
y y
y
+

=



+

=


2) Khoảng cách giữa 2 điểm A,B là
2 2
( ) ( )
B A B A
AB x x y y= − + −
3) Khoảng cách từ điểm
( ; )
M M
M x y
đếm đường thẳng (D):
0Ax By C+ + =
:

2 2
[ ; ]
M M
Ax By C
d M D
A B
+ +
=
+
với
( ; )n A B=
r
là pháp vector
4) Điểm cố định :
2
0
( ; ) ( ; ) 0 . . 0 0
0
A
f x m y f x m y Am B m C B m
C
=


= ⇔ − = ⇔ + + = ⇔ = ∀


=

5) Tọa độ nguyên : chia hàm số ra , sau đó cho mẫu là các số mà tử chia hết

6) Bất đăng thức Cachy :
2 .a b a b+ ≥
,dấu “ = “ xảy ra
a b
⇔ =

25