TRAO đổi về CÁCH TÍNH đối với một lớp TÍCH PHÂN đặc BIỆT

TRAO ĐỔI VỀ CÁCH TÍNH ĐỐI VỚI MỘT LỚP TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT
Nguyễn Hữu Thanh – THPT Thuận Thành số I – Bắc Ninh
Trên THTT số 5/2010 tác giả Trần Xuân Đường đã trao đổi về cách tính đối với một lớp tích
phân đặc biệt dạng
( )
m n p
x a bx dx
β
α
+
∫
. Trong đó tác giả có chia làm 3 trường hợp để tính bằng
phương pháp đặt ẩn phụ. Tuy nhiên như vậy theo tôi chưa rèn được tư duy và kỹ năng cho học sinh
mà học sinh lại phải nhớ các trường hợp. Trên thực tế khi p hữu tỷ tức là tồn tại tích phân chứa căn.
Mà trong các kì thi tuyển sinh vào đại học – cao đẳng thì đây là một nội dung rất hay được khai
thác. Vậy ta nên hình thành cho học sinh một “lối tư duy” hay “cách nghĩ” để giải bài toán đó. Cụ
thể là:
Nếu gặp dạng
( )
m n p
x a bx dx
β
α
+
∫
với m,n, p là các số hữu tỷ; a, b là các số thực ta suy nghĩ theo
2 hướng sau:
- Hướng 1: Đặt t=(a+bx
n
) hoặc t=(a+bx
n

)
p
. Cách đặt được thoả mãn nếu có thể viết được
( )
m n p
x a bx dx+
qua f(t)dt.
- Hướng 2: ( Nếu hướng 1 không thành công) . Kiểm tra nếu
1
; p=
m s
p
n r
+
+ ∈¢
thì ta đặt
n
r
n
a bx
t
x
+
=
.
Ta phân tích ví dụ cụ thể sau:
Thí dụ 1: Tính tích phân
4
2
7

9
dx
I
x x
=
+
∫
(ĐH An Ninh A1999 - 2000)
Lời giải: Đặt
2 2 2
9 9 7 : 4
4: 5
xdx tdt
t x x t x t
x t
=


= + ⇒ = − ⇒ = =


= =

4 5 5
2 2
2 2
4 4
7
5
1 3 1 7

ln ln
4
6 3 6 4
( 9) 9
9
xdx tdt dt t
I
t
t t t
x x
−
= = = = =
+
− −
+
∫ ∫ ∫
Tương tự ta tính được
2 3
2
5
dx
I .
x x 4
=
+
∫
( ĐH Khối A 2003)
Thí dụ 2: Tính tích phân
7
3

3
2
0
1
x dx
I
x
=
+
∫
Lời giải: Đặt
2
3
2 2 3
3
2
1 1 0: 1
7 : 2
xdx t dt
t x x t x t
x t

=


= + ⇒ = − ⇒ = =


= =



7 2 2
2 3 2 5 2
4
3
2
0 1 1
2
. 3 ( 1). 3 3 93
( )
1
2 2 2 5 2 10
1
x xdx t t dt t t
I t t dt
t
x
 
−
= = = − = − =
 ÷
+
 
∫ ∫ ∫
Tương tự :
4
2
5
0
1

I
x
dx
x
=
∫
+
(CĐ KTKT I 2004) ;
∫
+
=
1
0
2
3
1x
dxx
I
( Dự bị 2002)
Thí dụ 3: Tính tích phân
1
3 2
0
1I x x dx= −
∫
( Dự bị đại học Khối A 2003 – ĐH Ngoại Thương
1996)
Lời giải: Đặt
2 2 2
1 1 0: 1

1: 0
xdx tdt
t x x t x t
x t
= −


= − ⇒ = − ⇒ = =


= =

1 0 1
3 5
2 2 2 2 4
0 1 0
1
2
. 1 . (1 ). . ( )
0
3 5 15
t t
I x x xdx t t tdt t t dt
 
= − = − − = − = − =
 ÷
 
∫ ∫ ∫
Tương tự:
1

5 2
1
0
I
x x dx
=
−
∫
(CĐ GTVT 2005);
3
3 2
0
1I x x dx= +
∫
(ĐH SP Hà Nội B, M, T ; PV BC & TT 2001 - 2002)
9
3
1
I x 1 xdx= −
∫
(Cao đẳng Khối T –M Đại học Hùng Vương 2004)
Thí dụ 4: Tính tích phân
2
4 2
1
1
dx
I
x x
−

=
+
∫
Lời giải:
- Nếu đặt
2
1t x= +
thì việc biểu diễn
4 2
1
dx
x x+
qua t và dt gặp khó khăn. Tức là hướng 1
không làm được.
- Ta kiểm tra: m=2; n=2; p=1/2 nên đặt
2
2
2
1x
t
x
+
=
( Xem lời giải THTT số 5/2010)
Thí dụ 5:Tính tích phân
3
2 3
3
2
(1 )

dx
I
x
=
+
∫

Lời giải: Ta có m =0 ; n=2; p=-3/2 nên ta đặt
2
2
2
1x
t
x
+
=

Khi đó :
2 2
2
2
( 1)
1 3
: 3
1 2
2 3
3 :
3
tdt
xdx

t
x x t
t
x t
−

=

−



= ⇒ = =

−


= =



và
3 3 3
2
2 2
2 2 2
3 2 3 2 3
4
2 2
2

2 3 3
3
1 1
2 3
1
2 3
(1 ) 1
( 1) . . .
. .
3
( 1)
xdx tdt dt
I
t t
x x
t t t
x
t
x x
= = = = − =
+ +
−
−
∫ ∫ ∫
Như vậy qua thí dụ 1,2,3 ta đã hình thành được một “lối tư duy” cho học sinh khi gặp bài
toán tích phân có chứa căn thức. Phát huy điều đó ta có thể giải được một số bài toán khác sau:
Thí dụ 6:Tính tích phân
/ 2
0
sin 2x sin x

I dx
1 3cosx
π
+
=
+
∫
( Đề thi ĐH khối A – 2005)
Lời giải: Đặt
2
2tdt
sin xdx
3
t 1
t 1 3cos x cos x x 0 : t 2
3
x : t 1
2

− =


−
= + ⇒ = ⇒ = =


π

= =


2
/2 2 2
3
2
0 1 1
t 1
t(2. 1)
2
sinx(2cos x 1) 2 2 2 2t 34
3
I dx dt (2t 1)dt . t
1
3 t 9 9 3 27
1 3cos x
π
−
+
 
+
= = = + = + =
 ÷
+
 
∫ ∫ ∫
Tổng quát :
∫
+
+
β
α

dx
xdc
xbxa
cos
sin2sin.
hoặc
.sin 2
s
a x bcosx
dx
c d inx
β
α
+
+
∫
ta đặt
xdc cos+
=t .
Thí dụ 7: Tính tích phân
2
1
1 1
xdx
I
x
=
+ −
∫
( ĐH Khối A 2004)

Lời giải: Đặt
2
2
1 1 1: 0
2 : 1
dx tdt
t x x t x t
x t
=


= − ⇒ = + ⇒ = =


= =

1 1
2 3 2
2
0 0
1
( 1) 2 11
2 2 2 2 2 2ln 1 4ln 2
0
1 1 3 2 3
t t t t
I dt t t dt t t
t t
 
+

 
= = − + − = − + − + = −
 ÷
 ÷
+ +
 
 
∫ ∫
Tổng quát:
( )
b
a
p x
dx
ax b c+ +
∫
với p(x) là một đa thức chứa x ta đặt
t ax b c= + +
hoặc
t ax b= +
Thí dụ 8: Tính tích phân
e
1
1 3ln x ln x
I dx.
x
+
=
∫
(Đại học KB 2004)

Lời giải: Đặt
2
dx 2tdt
x 3
t 1
t 1 3ln x ln x x 1: t 1
3
x e : t 2

=


−
= + ⇒ = ⇒ = =


= =


2 2
2 5 3
4 2
1 1
2
t 1 2t 2 2 t t 116
I t. . dt (t t )dt
1
3 3 9 9 5 3 135
 
−

= = − = − =
 ÷
 
∫ ∫
Kết thúc bài viết mời các bạn làm các bài tập sau:
1
3 2 20
1
0
(1 )I x x dx= −
∫
( )
16
2
4
1
1
dx
I
x x
=
+
∫
1
2 3
3
0
2I x x dx= +
∫

( )
1
5
2 4
4
0
1I x x dx= +
∫

2 3
5
2
5
4
dx
I
x x
=
+
∫
7
3
6
3 2
0
1
x dx
I
x
=

+
∫
2
7
3
1
1
dx
I
x x
=
+
∫
2
2 2
8
1
4 3I x x dx= −
∫

( )
2
3
2
9
1
1I x dx= −
∫

2

2 2
10
1
1I x x dx= −
∫

3
2
11
2
1I x dx= −
∫

3
2
12
2
1
1 x dx
I
x
+
=
∫

5 3
3
13
2
0

2
1
I
x x
dx
x
=
+
∫
+
(CĐSP KA 04)
3
14
2
4
tan
cos 1 cos
I
x
dx
x x
π
π
=
∫
+
(CĐSP Bắc Ninh 2004)
3
2
15

1
ln
ln 1
e
x
I dx
x x
=
∫
+
16
2
1
1 ln
e
I
dx
x x
=
∫
−
(CĐ SP Vĩnh Phúc 2005)