Cách tính đối với một lớp tích phân đặc biệt pdf

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (144.47 KB, 4 trang )

– Thư viện ðề thi trắc nghiệm, Bài giảng, Giáo trình
TRAO ðỔI VỀ CÁCH TÍNH ðỐI VỚI MỘT LỚP TÍCH PHÂN ðẶC BIỆT
Nguyễn Hữu Thanh – THPT Thuận Thành số I – Bắc Ninh

Trên THTT số 5/2010 tác giả Trần Xuân ðường ñã trao ñổi về cách tính ñối với một lớp tích
phân ñặc biệt dạng
( )
m n p
x a bx dx
β
α
+
∫
. Trong ñó tác giả có chia làm 3 trường hợp ñể tính bằng
phương pháp ñặt ẩn phụ. Tuy nhiên như vậy theo tôi chưa rèn ñược tư duy và kỹ năng cho học sinh
mà học sinh lại phải nhớ các trường hợp. Trên thực tế khi p hữu tỷ tức là tồn tại tích phân chứa căn.
Mà trong các kì thi tuyển sinh vào ñại học – cao ñẳng thì ñây là một nội dung rất hay ñược khai
thác. Vậy ta nên hình thành cho học sinh một “lối tư duy” hay “cách nghĩ” ñể giải bài toán ñó. Cụ
thể là:
Nếu gặp dạng
( )
m n p
x a bx dx
β
α
+
∫
với m,n, p là các số hữu tỷ; a, b là các số thực ta suy nghĩ theo
2 hướng sau:
- Hướng 1: ðặt t=(a+bx
n

) hoặc t=(a+bx
n
)
p
. Cách ñặt ñược thoả mãn nếu có thể viết ñược
( )
m n p
x a bx dx
+
qua f(t)dt.
- Hướng 2: ( Nếu hướng 1 không thành công) . Kiểm tra nếu
1
; p=
m s
p
n r
+
+ ∈¢
thì ta ñặt
n
r
n
a bx
t
x
+
=
.
Ta phân tích ví dụ cụ thể sau:
Thí dụ 1: Tính tích phân

4
2
7
9
dx
I
x x
=
+
∫
(ðH An Ninh A1999 - 2000)
Lời giải:
ðặt
2 2 2
9 9 7 : 4
4: 5
xdx tdt
t x x t x t
x t
=


= + ⇒ = − ⇒ = =


= =


4 5 5
2 2

2 2
4 4
7
5
1 3 1 7
ln ln
4
6 3 6 4
( 9) 9
9
xdx tdt dt t
I
t
t t t
x x
−
= = = = =
+
− −
+
∫ ∫ ∫

Tương tự ta tính ñược
2 3
2
5
dx
I .
x x 4
=

+
∫
( ðH Khối A 2003)
Thí dụ 2:
Tính tích phân
7
3
3
2
0
1
x dx
I
x
=
+
∫

Lời giải:
ðặt
2
3
2 2 3
3
2
1 1 0: 1
7 : 2
xdx t dt
t x x t x t
x t


=


= + ⇒ = − ⇒ = =


= =



7 2 2
2 3 2 5 2
4
3
2
0 1 1
2
. 3 ( 1). 3 3 93
( )
1
2 2 2 5 2 10
1
x xdx t t dt t t
I t t dt
t
x
 
−
= = = − = − =

 
+
 
∫ ∫ ∫

– Thư viện ðề thi trắc nghiệm, Bài giảng, Giáo trình

Tương tự :

4
2
5
0
1
I
x
dx
x
=
∫
+
(Cð KTKT I 2004) ;
∫
+
=
1
0
2
3
1x

dxx
I
( Dự bị 2002)
Thí dụ 3:
Tính tích phân
1
3 2
0
1
I x x dx
= −
∫
( Dự bị ñại học Khối A 2003 – ðH Ngoại Thương
1996)
Lời giải:
ðặt
2 2 2
1 1 0: 1
1: 0
xdx tdt
t x x t x t
x t
= −


= − ⇒ = − ⇒ = =


= =


1 0 1
3 5
2 2 2 2 4
0 1 0
1
2
. 1 . (1 ). . ( )
0
3 5 15
t t
I x x xdx t t tdt t t dt
 
= − = − − = − = − =
 
 
∫ ∫ ∫

Tương tự:

1
5 2
1
0
I
x x dx
= −
∫
(Cð GTVT 2005);
3

3 2
0
1
I x x dx
= +
∫
(ðH SP Hà Nội B, M, T ; PV BC & TT 2001 - 2002)
9
3
1
I x 1 xdx
= −
∫
(Cao ñẳng Khối T –M ðại học Hùng Vương 2004)
Thí dụ 4:
Tính tích phân
2
4 2
1
1
dx
I
x x
−
=
+
∫

Lời giải:
-

Nếu ñặt
2
1
t
x
=
+
thì việc biểu diễn
4 2
1
dx
x x
+
qua t và dt gặp khó khăn. Tức là hướng 1
không làm ñược.
-
Ta kiểm tra: m=2; n=2; p=1/2 nên ñặt
2
2
2
1x
t
x
+
=
( Xem lời giải THTT số 5/2010)
Thí dụ 5:
Tính tích phân
3
2 3

3
2
(1 )
dx
I
x
=
+
∫

Lời giải:
Ta có m =0 ; n=2; p=-3/2 nên ta ñặt
2
2
2
1x
t
x
+
=

Khi ñó :
2 2
2
2
( 1)
1 3
: 3
1 2
2 3

3 :
3
tdt
xdx
t
x x t
t
x t
−

=

−



= ⇒ = =

−


= =




và
3 3 3
2
2 2

2 2 2
3 2 3 2 3
4
2 2
2
2 3 3
3
1 1
2 3
1
2 3
(1 ) 1
( 1) . . .
. .
3
( 1)
xdx tdt dt
I
t t
x x
t t t
x
t
x x
= = = = − =
+ +
−
−
∫ ∫ ∫

– Thư viện ðề thi trắc nghiệm, Bài giảng, Giáo trình

Như vậy qua thí dụ 1,2,3 ta ñã hình thành ñược một “lối tư duy” cho học sinh khi gặp bài
toán tích phân có chứa căn thức. Phát huy ñiều ñó ta có thể giải ñược một số bài toán khác sau:
Thí dụ 6:
Tính tích phân

/ 2
0
sin 2x sin x
I dx
1 3cosx
π
+
=
+
∫
( ðề thi ðH khối A – 2005)
Lời giải:
ðặt
2
2tdt
sin xdx
3
t 1
t 1 3cos x cos x x 0 : t 2
3
x : t 1
2


− =


−
= + ⇒ = ⇒ = =


π

= =


2
/2 2 2
3
2
0 1 1
t 1
t(2. 1)
2
sinx(2cos x 1) 2 2 2 2t 34
3
I dx dt (2t 1)dt . t
1
3 t 9 9 3 27
1 3cos x
π
−
+
 

+
= = = + = + =
 
+
 
∫ ∫ ∫

Tổng quát :
∫
+
+
β
α
dx
xdc
xbxa
cos
sin2sin.
hoặc
.sin 2
s
a x bcosx
dx
c d inx
β
α
+
+
∫
ta ñặt

xdc
cos+
=t .
Thí dụ 7: Tính tích phân
2
1
1 1
xdx
I
x
=
+ −
∫
( ðH Khối A 2004)
Lời giải:
ðặt
2
2
1 1 1: 0
2 : 1
dx tdt
t x x t x t
x t
=


= − ⇒ = + ⇒ = =


= =



1 1
2 3 2
2
0 0
1
( 1) 2 11
2 2 2 2 2 2ln 1 4ln 2
0
1 1 3 2 3
t t t t
I dt t t dt t t
t t
 
+
 
= = − + − = − + − + = −
 
 
+ +
 
 
∫ ∫

Tổng quát:

( )
b
a

p x
dx
ax b c
+ +
∫
với p(x) là một ña thức chứa x ta ñặt
t ax b c
= + +
hoặc
t ax b
= +

Thí dụ 8:
Tính tích phân
e
1
1 3ln x ln x
I dx.
x
+
=
∫
(ðại học KB 2004)
Lời giải:
ðặt
2
dx 2tdt
x 3
t 1
t 1 3ln x ln x x 1: t 1

3
x e : t 2

=


−
= + ⇒ = ⇒ = =


= =



2 2
2 5 3
4 2
1 1
2
t 1 2t 2 2 t t 116
I t. . dt (t t )dt
1
3 3 9 9 5 3 135
 
−
= = − = − =
 
 
∫ ∫

– Thư viện ðề thi trắc nghiệm, Bài giảng, Giáo trình

Kết thúc bài viết mời các bạn làm các bài tập sau:

1
3 2 20
1
0
(1 )
I x x dx
= −
∫

( )
16
2
4
1
1
dx
I
x x
=
+
∫

1
2 3
3