Chương 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai pptx

Đại số 10
VẤN ĐỀ 1 : TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ
 Tìm tập xác đònh D của hàm số y = f(x) là tìm tất cả những
giá trò của biến số x sao cho biểu thức f(x) có nghóa:
D =
{ }
x R f x có nghóa( )∈
.
 Điều kiện xác đònh của một số hàm số thường gặp :
1) Hàm phân thức y =
P x
Q x
( )
( )
: Điều kiện xác đònh: Q(x) ≠ 0.
2) Hàm căn thức y =
R x( )
: Điều kiện xác đònh: R(x) ≥ 0.
3) Hàm y =
P x
Q x
( )
( )
: Điều kiện xác đònh: Q(x) > 0.
 Chú ý:  Đôi khi ta sử dụng phối hợp các điều kiện :
 A.B ≠ 0 ⇔
A
B
0
0


≠

≠

 A.B = 0 ⇔

=

=

A
B
0
0
.
Bài 1. Tìm giá trò của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:
a)
= −f x x x
2
( ) 2
. Tính f(0), f(1), f(–2), f(3).
b)
f x x( ) 5= −
. Tính f(0), f(2), f(–2), f(3).
c)
x
f x
x x
2
1

( )
2 3 1
−
=
− +
. Tính f(2), f(0), f(3), f(–2).
d)
f x x x( ) 2 1 3 2= − + −
. Tính f(2), f(–2), f(0), f(1).
e)

− >

=

≤

−

x khi x
f x
khi x
x
2
1 0
( )
2
0
1
.Tính f(–2), f(0), f(3).

NHĐ
1
Chương 2
HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ
BẬC HAI
Đại số 10
Bài 2. Tìm tập xác đònh của các hàm số sau:
a) y = 2x + 1 b) y = x
2
+ 2x - 3
c)
x
y
x
2 1
3 2
+
=
+
d)
x
y
x
3
5 2
−
=
−
e)
y

x
4
4
=
+
f)
=
+
y
x
2
4
4
g)
x
y
x x
2
3 2
=
− +
h)
x
y
x x
2
1
2 5 2
−
=

− +
i)
x
y
x x
2
3
1
=
+ +
j)
x
y
x
3
1
1
−
=
+
k)
= −y x 1
l)
= − +y x x2 1 5
l)
+
=
−
x
y

x
6
1
m)
y x
x
1
1
3
= − +
−
n)
−
=
−
x
y
x
9
10
o)
+
=
− −
x
y
x x
2
2 1
2 1

p)
+
=
−
x
y
x
4 3
2
q)
y x2 3= −
Bài 3. Cho hàm số
2
2 6y x x= + +
a) Điểm nào sau đây thuộc đồ thi hàm số A(0,6) ; B(-1,2)
b) Điểm C(-1, c) thuộc đồ thò hàm số. Tìm c.
c) Điểm D(d, -9) thuộc đồ thò hàm số. Tìm d.
NHĐ
2
Đại số 10
VẤN ĐỀ 2: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN HÀM SỐ
Cho hàm số f xác đònh trên K.
 y = f(x) đồng biến trên K
⇔
x x K x x f x f x
1 2 1 2 1 2
, : ( ) ( )∀ ∈ < ⇒ <
⇔
f x f x
x x K x x

x x
2 1
1 2 1 2
2 1
( ) ( )
, : 0
−
∀ ∈ ≠ ⇒ >
−
 y = f(x) nghòch biến trên K
⇔
x x K x x f x f x
1 2 1 2 1 2
, : ( ) ( )∀ ∈ < ⇒ >
⇔
f x f x
x x K x x
x x
2 1
1 2 1 2
2 1
( ) ( )
, : 0
−
∀ ∈ ≠ ⇒ <
−
Bài 4. Xét sự biến thiên của các hàm số sau trên các khoảng đã
chỉ ra:
a)
y x2 3= +

trên R.
b)
y x 5= − +
trên R.
c)
y x x
2
4= −
trên (–∞; 2) và (2; +∞).
d)
y x x
2
2 4 1= + +
trên khoảng (–∞; 1) và (1; +∞).
e)
y
x
4
1
=
+
trên khoảng (–∞; –1) và (–1; +∞)
f)
y
x
3
2
=
−
trên khoảng (–∞; 2) và (2; +∞)

Bài 5. Với giá trò nào của m thì các hàm số sau đồng biến hoặc
nghòch biến trên tập xác đònh (hoặc trên từng khoảng xác đònh):
a)
y m x( 2) 5= − +
b)
y m x m( 1) 2= + + −
c)
m
y
x 2
=
−
d)
m
y
x
1+
=
NHĐ
3
Đại số 10
VẤN ĐỀ 3: XÉT TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ
 Để xét tính chẵn lẻ của hàm số y = f(x) ta làm như sau :
1) Tìm tập xác đònh D của hàm số và xét xem D có là tập
đối xứng qua 0 hay không.
2) Nếu D là tập đối xứng thì ta có
∀
x
∈
D

⇒
–x
∈
D.
3) Tính f(-x)
 Nếu f(–x) = f(x), ∀x ∈ D thì f là hàm số chẵn.
 Nếu f(–x) = –f(x), ∀x ∈ D thì f là hàm số lẻ.
 Chứng minh hàm số không có tính chẵn lẻ ta có thể chỉ
ra một số x
0
∈
D cụ thể không thỏa mãn tính chẵn và lẻ.
( ) ( )
( ) ( )
0 0
0 0
–
– -
f x f x
f x f x
≠


≠


thì f là hàm số không chẵn không lẻ.
1) Chỉ ra x
0
∈

D
2) Tính f(x
0
), - f(x
0
), f(-x
0
)
⇒
( ) ( )
( ) ( )
0 0
0 0
–
– -
f x f x
f x f x
≠


≠


3) Kết luận
 Chú ý:
 Tập đối xứng là tập thoả điều kiện: ∀x ∈ D thì –x ∈ D.
Ví dụ :
 Các tập đối xứng :
 Dạng (-a , a), [-a,a]: ( -6, 6); [-1, 1],…
 Tập R\{0}

 Tập D = R
 Các tập : [2, 3), (1, 9], [5, 7 ], R\{8}, R\{-1},… không là
tập đối xứng

, ,A A A B B A A B A B− = − = − − − = +

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
2
, ,A A A B B A A B A B− = − = − − − = +

( )
3
3
A A− = −
Bài 6. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:
a)
= −y x 2
NHĐ
4
Đại số 10
b)
−
=
−
x
y
x
1
2

c)
= +y x
2
1
d)
=y
x
1
e)
=y x5
f)
y x x
4 2
4 2= − +
g)
y x x
3
2 3= − +
h)
y x x2 2= + − −
i)
y x x2 1 2 1= + + −
j)
y x
2
( 1)= −
k)
y x x
2

= +
l)
y x x
2
2= −
 Tập xác đònh: D = R.
 Sự biến thiên:  Khi a > 0, hàm số đồng biến trên R.
 Khi a < 0, hàm số nghòch biến trên R.
 Đồ thò là đường thẳng có hệ số góc bằng a, cắt trục tung tại
điểm B(0; b).
 Hàm số y = b luôn nhận giá trò không đổi b tại mọi x
∈
R.
Đó là hàm không đồng biến cũng không nghòch biến trên R. Đồ
thò là đường thẳng song song hoặc trùng Ox.
 Chú ý: hai đường thẳng (d): y = ax + b và (d′): y = a′x + b′:
 (d) song song với (d′)
'
'
a a
b b
ì
ï
=
ï
Û
í
ï
¹
ï

ỵ
 (d) trùng với (d′)
'
'
a a
b b
ì
ï
=
ï
Û
í
ï
=
ï
ỵ
 (d) cắt (d′) ⇔ a ≠ a′.
NHĐ
5
HÀM SỐ BẬC NHẤT
HÀM SỐ BẬC NHẤT
1. Hàm số bậc nhất y = ax + b (a
≠
0)
Đại số 10

b
ax b khi x
a
y ax b

b
ax b khi x
a
( )

+ ≥ −


= + =


− + < −


 Chú ý: Để vẽ đồ thò của hàm số
y ax b= +
ta có thể vẽ
hai đường thẳng y = ax + b và y = –ax – b, rồi xoá đi hai
phần đường thẳng nằm ở phía dưới trục hoành.
Bài 7. Vẽ đồ thò của các hàm số sau:
y x2 7= −
a)
y x3 5= − +
b)
x
y
3
2
−
=

c)
x
y
5
3
−
=
d) y = 2
f)
y x3 5= +
g)
y x2 1= − −
h)
= − − + −y x x2 1
i)
= + +y x x2 3
Bài 8. Tìm toạ độ giao điểm của các cặp đường thẳng sau:
a)
y x y x3 2; 2 3= − = +
b)
y x y x3 2; 4( 3)= − + = −
c)
= = −y x y2 ; 3
d)
x x
y y
3 5
;
2 3
− −

= =
Bài 9. Trong mỗi trường hợp sau, tìm giá trò k để đồ thò của hàm
số
y x k x2 ( 1)= − + +
:
a) Đi qua gốc tọa độ O
b) Đi qua điểm M(–2 ; 3)
c) Song song với đường thẳng
y x2.=
Bài 10. Xác đònh a và b để đồ thò của hàm số
y ax b= +
:
a) Đi qua hai điểm A(–1; –20), B(3; 8).
b) Đia qua A(1, 0) và B(-2, 6).
c)Đi qua điểm M(4; –3) và song song với đường thẳng
d:
y x
2
1
3
= − +
.
d) Đi qua D(-1, 2) và song song với Ox.
e) Cắt đường thẳng d
1
:
y x 2 5= +
tại điểm có hoành độ bằng –2
NHĐ
6

2. Hàm số
y a x b= +
(a
≠
0):
Đại số 10
và cắt đường thẳng d
2
:
y x–3 4= +
tại điểm có tung độ bằng –2.
f) Song song với đường thẳng
y x
1
2
=
và đi qua giao điểm của hai
đường thẳng
y x
1
1
2
= − +
và
y x3 5= +
.
Bài 11. Trong mỗi trường hợp sau, tìm các giá trò của m sao cho
ba đường thẳng sau phân biệt và đồng qui:
a)
y x y x y mx2 ; 3; 5= = − − = +

b)
y x y mx y x m–5( 1); 3; 3= + = + = +
c)
y x y x y m x2 1; 8 ; (3 2 ) 2= − = − = − +
d)
y m x m y x y x(5 3 ) 2; 11; 3= − + − = − + = +
e)
y x y x y m x m
2
5; 2 7; ( 2) 4= − + = − = − + +
Bài 12. Tìm điểm sao cho đường thẳng sau luôn đi qua dù m lấy
bất cứ giá trò nào:
a)
y mx m2 1= + −
b)
y mx x3= − −
c)
y m x m(2 5) 3= + + +
d)
y m x( 2)= +
e)
y m x(2 3) 2= − +
f)
y m x m( 1) 2= − −
Bài 13. Với giá trò nào của m thì hàm số sau đồng biến? nghòch
biến?
a)
y m x m(2 3) 1= + − +
b)
y m x m(2 5) 3= + + +

c)
y mx x3= − −
d)
y m x( 2)= +
Bài 14. Tìm các cặp đường thẳng song song trong các đường thẳng
cho sau đây:
a)
y x3 6 1 0− + =
b)
y x0,5 4= − −
c)
x
y 3
2
= +
d)
y x2 6+ =
e)
x y2 1− =
f)
y x0,5 1= +
Bài 15. Với giá trò nào của m thì đồ thò của các cặp hàm số sau
song song với nhau:
a)
y m x m y x(3 1) 3; 2 1= − + + = −
b)
y m x y m x m( 2); (2 3) 1= + = + − +
NHĐ
7
 HÀM SỐ BẬC HAI

 HÀM SỐ BẬC HAI
Đại số 10
Hàm số bậc hai có dạng :
y ax bx c
2
= + +
(a
≠
0)
 Tập xác đònh: D = R
 Đồ thò là một parabol có đỉnh
b
I
a a
;
2 4
∆
 
− −
 ÷
 
 Trục đối xứng là đường thẳng
b
x
a2
= −

 Bề lõm hướng lên khi a > 0, hướng xuông dưới khi a < 0.
 Chú ý: Để vẽ đường parabol ta có thể thực hiện các bước:
1) Xác đònh hệ số a, b, c

2) Xác đònh toạ độ đỉnh I:
∆

= −




= = −


I
I I
b
x
a
I
y f x
a
2
:
( )
4
3) Xác đònh trục đối xứng
b
x
a2
= −
và hướng bề lõm của
parabol.

4) Xác đònh một số điểm cụ thể của parabol (chẳng hạn,
giao điểm của parabol với các trục toạ độ và các điểm đối
xứng với chúng qua trục trục đối xứng).
5) Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol
để vẽ parabol.
Bài 16. Xét sự biến thiên và vẽ đồ thò của các hàm số sau:
a)
y x x
2
2= −
b)
y x x
2
2 3= − + +
c)
y x x
2
2 2= − + −
d)
y x x
2
1
2 2
2
= − + −
e)
y x x
2
4 4= − +
f)

y x x
2
4 1= − − +
Bài 17. Tìm toạ độ giao điểm của các cặp đồ thò của các hàm số
sau:
a)
y x y x x
2
1; 2 1= − = − −
NHĐ
8
Đại số 10
b)
y x y x x
2
3; 4 1= − + = − − +
c)
y x y x x
2
2 5; 4 4= − = − +
d)
y x x y x x
2 2
2 1; 4 4= − − = − +
e)
y x x y x x
2 2
3 4 1; 3 2 1= − + = − + −
f)
y x x y x x

2 2
2 1; 1= + + = − + −
Bài 18. Xác đònh parabol (P) biết:
a) (P):
y ax bx
2
2= + +
đi qua điểm A(1; 0) và có trục đối xứng
x
3
2
=
.
b) (P):
y ax bx
2
3= + +
đi qua điểm A(–1; 9) và có trục đối xứng
x 2
= −
.
c) (P):
y ax bx c
2
= + +
đi qua điểm A(0; 5) và có đỉnh I(3; –4).
d) (P):
y ax bx c
2
= + +

đi qua điểm A(2; –3) và có đỉnh I(1; –4).
e) (P):
y ax bx c
2
= + +
đi qua các điểm A(1; 1), B(–1; –3), O(0; 0).
f) (P):
y ax bx c
2
= + +
cắt trục tung tại A(0, - 1) và qua hai điểm
B(1, 2), C(-2,5).
g) (P):
y x bx c
2
= + +
đi qua điểm A(1; 0) và đỉnh I có tung độ
bằng –1.
Bài 19. Vẽ đồ thò của các hàm số sau:
a)
y x x
2
2 1= − +
b)
( )
y x x 2= −
c)
y x x
2
2 1= − −

d)
x nếu x
y
x x nếu x
2
2
2 1
2 2 3 1


− − <
=

− − ≥


e)
x nếu x
y
x x nếu x
2
2 1 0
4 1 0

− + ≥
=

+ + <

f)


<
=

− ≥

khi x
y
x x khi x
2
2 0
0
NHĐ
9
Đại số 10
ĐỀ SỐ 1
Câu 5 ( 2đ ) : Tìm miền xác đònh và xét tính chẵn lẻ của hàm số
sau :
2
y
x 1 x 1
=
+ + −
Câu 6 ( 1,5đ ): Xét sự biến thiên của hàm số :
3
y
2 x
=
−
trên

( 2 ; +∞ )
Câu 7 :
a) (1,5đ ) Tìm Parabol y = ax
2
+ bx + 2 biết rằng Parabol đó đi
qua điểm A(3 ; –4) và có trục đối xứng
3
x
2
= −
.
b) ( 2đ ) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số vừa tìm được ở câu a).
ĐỀ SỐ 4
Bài 1: Viết phương trình đường thẳng qua A(–2 ; –3) và song song
với đường thẳng y = x + 1
Bài 2: Tìm parabol y = ax
2
+ bx + 1, biết parabol đó:
a) đi qua 2 điểm M(1 ; 5) và N(–2 ; –1)
b) đi qua A(1 ; –3) và có trục đối xứng x =
5
2
c) có đỉnh I(2 ; –3)
d) đi qua B(–1 ; 6), đỉnh có tung độ là –3.
ĐỀ SỐ 5
Câu 1 (2 điểm): Tìm tập xác đònh các hàm số sau :
a)
2
x 1
y

x 5x 6
−
=
+ +
b)
1
y 2 3x
x 1
= − +
+
Câu 2 (3 điểm): Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thò hàm số y = x
2
+
x + 2
Câu 3 (2 điểm): Xác đònh hàm số bậc hai biết đồ thò của nó là
một parabol có tung độ đỉnh là
13
4
−
, trục đối xứng là đường
thẳng x =
3
2
, đi qua điểm M (1 ; 3)
NHĐ
10
Đại số 10
ĐỀ SỐ 6
Câu 7: (2 điểm) Tìm tập xác đònh của các hàm số sau:
a)

1
y x 4
2 x
= + +
−
b)
2
y
(x 2) x 1
=
+ +
Câu 8: (1 điểm) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số f(x) = –3x.x
Câu 9: (2 điểm) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thò hàm số
y = –x
2
+ 2x + 3
Câu 10:(2 điểm) Xác đònh hàm số y = ax
2
+ bx + c (a 0), biết đồ
thò hàm số đi qua các điểm: A(0; 3); B(1; 4); C(–1; 6).
Câu1. (1 đ) Cho hàm số y = x
2
+ bx + c .
Tính b và c biết rằng hàm số đạt giá trò nhỏ nhất bằng –1
khi x = 1.
Câu2. (1,5 đ) Vẽ đồ thò , lập bảng biến thiên và xét tính chẵn lẻ
của hàm số sau đây : y = x (
x
– 2)
Câu3. (2 đ) Cho hàm số y = x

2
– mx + m – 2 có đồ thò là parabol
(P
m
).
a) Xác đònh giá trò của m sao cho (P
m
) đi qua điểm A(2;1).
b) Tìm tọa độ điểm B sao cho đồ thò (P
m
) luôn đi qua B, dù m
lấy bất cứ giá trò nào.
Câu4. ( 2,5 đ) Cho hàm số y = x
2
– 4x + 3 (P)
a) Vẽ đồ thò (P)
b) Xét sự biến thiên của hàm số trong khoảng (0 ; 1).
c) Xác đònh giá trò của x sao cho y
≤
0 .
d) Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn [0 ;3].
ĐỀ SỐ 12
BÀI 1: Tìm TXĐ của các hàm số sau:
a) y =
1
3 x
x 1
− +
−
b) y =

2
5 x 2x 3
4x x
− + −
−
BÀI 2: Xét tính chẵn–lẻ của hàm số: y =
3 3
x 3 x 3− − +
BÀI 3: Xét tính biến thiên của hàm số:
a) y = – x
2
+ 6x + 1 trong (–∞ ; 3).
b) y =
2x 1
x 2
−
−
trong (–∞ ; 2)
BÀI 4: Cho hàm số y= –x
2
+ 2x + 3 (P)
a) Khảo sát và vẽ đồ thò của hàm số trên.
NHĐ
11
Đại số 10
b) Biện luận theo tham số m số giao điểm của (P) và đường
thẳng y=m.
BÀI 5: Hàm số bậc hai y= ax
2
+ bx + c có giá trò cực tiểu là

3
4
khi
x=
1
2
và nhận giá trò bằng 1 khi x=1. Xác đònh hàm số trên.
ĐỀ SỐ 13
BÀI 1: Tìm TXĐ của các hàm số sau:
a) y =
2
2x
x 1
x 3x 2
+ −
− +
b) y =
2
x x
5 x
x 2
−
− −
+
BÀI 2: Xét tính chẵn–lẻ của hàm số:
a) y = f(x) = x
4
+ x
2
+ 1 b) y = f(x) x

3
–
1
x
BÀI 3: Xét tính biến thiên của hàm số:
a) y = x
2
– 2x + 1trong (1 ; +∞) b) y =
3
x 2−
trong (–∞ ; 2)
BÀI 4: Cho hàm số y=x
2
– 2x + 1 (P)
a) Khảo sát và vẽ đồ thò của hàm số trên.
b) Tìm giao điểm của (P) và đường thẳng (d): y=x+1 (Bằng pp
đại số và bằng đồ thò).
BÀI 5: Tìm m để hàm số sau là hàm số lẻ:
y = f(x) = x
3
+ (m–1)x
2
+mx.
ĐỀ SỐ 14
BÀI 1: Tìm TXĐ của các hàm số sau:
a) y =
2
2
2x 4
x 3x 2

− −
− +
b) y =
2
x 3x 1
x 2
5 x
+ −
+ −
−
BÀI 2: Xét tính chẵn–lẻ của hàm số:
a) y = f(x) = x
2
+ x
4
+ 5 b) y = f(x) = –x
3
+
1
x
BÀI 3: Xét tính biến thiên của hàm số:
a) y = x
2
– 2x + 3 trong (–∞ ; 1) b) y =
3
x 2−
trong (2 ; +∞)
BÀI 4: Cho hàm số y=x
2
– 2x + 3 (P)

a) Khảo sát và vẽ đồ thò của hàm số trên.
b) Tìm giao điểm của (P) và đường thẳng (d): y=x+3
BÀI 5: Tìm m để hàm số sau là hàm số chẵn :
y = f(x) = x
4
+ (m–1)x
3
+mx
2
– 1.
NHĐ
12
Đại số 10
 Phương trình tương đương, phương trình hệ quả:
Cho hai phương trình f
1
(x) = g
1
(x) (1) có tập nghiệm S
1

và f
2
(x) = g
2
(x) (2) có tập nghiệm S
2
.
 (1) ⇔ (2) khi và chỉ khi S
1

= S
2

 (1) ⇒ (2) khi và chỉ khi S
1
⊂ S
2
(mọi nghiệm phương trình (1)
đều là nghiệm phương trình (2)).
Ví dụ :
2
1 1x x= =Þ
 Phép biến đổi tương đương
 Nếu một phép biến đổi phương trình mà không làm thay
đổi điều kiện xác đònh của nó thì ta được một phương trình
tương đương. Ta thường sử dụng các phép biến đổi sau:
 Cộng hai vế của phương trình với cùng một biểu thức.
 Nhân hai vế của phương trình với một biểu thức có giá trò
khác 0.
 Khi bình phương hai vế của một phương trình, nói chung ta
được một phương trình hệ quả. Khi đó ta phải kiểm tra lại để
loại bỏ nghiệm ngoại lai.
Ví dụ : Giải phương trình
2 1 1x x+ = -
Giải
Điều kiện của phương trình :
2 1 0x + ³
Ta có :
( )
2

2 1 1 2 1 1x x x x+ = - + = -Þ

2
4 0
0
4
x x
x
x
- =Þ
é
=
ê
Þ
ê
=
ë
Cả hai giá trò đều thỏa mãn điều kiện nhưng khi thay vào
phương trình chỉ có giá trò x = 4 làm cho 2 vế bằng nhau.
Nghiệm ngoại lai là x = 0. Vậy nghiệm phương trình là x = 4.
 Khi giải phương trình không nhất thiết phải giải điều kiện
xác đònh.
NHĐ
13
C
hương
3
PHƯƠNG TRÌNH
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Đại số 10

Bài 1. Tìm điều kiện xác đònh của mỗi phương trình và giải phương
trình đó:
a)
x
x x
5 5
3 12
4 4
+ = +
− −
b)
x
x x
1 1
5 15
3 3
+ = +
+ +
c)
x
x x
2
1 1
9
1 1
− = −
− −
d)
x
x x

2 2
3 15
5 5
+ = +
− −
Bài 2. Tìm điều kiện xác đònh của mỗi phương trình và giải phương
trình đó:
a)
x x1 1 2+ − = −
b)
x x1 2+ = −
c)
x x1 1+ = +
d)
x x1 1− = −
e)
x
x x
3
1 1
=
− −
f)
x x x
2
1 2 3− − = − +
Bài 3. Tìm điều kiện xác đònh của mỗi phương trình và giải phương
trình đó:
a)
x x x

2
3( 3 2) 0− − + =
b)
x x x
2
1( 2) 0+ − − =
c)
x
x
x x
1
2
2 2
= − −
− −
d)
x x
x
x x
2
4 3
1
1 1
− +
= + +
+ +
Bài 4. Giải phương trình đó bằng cách bình phương hai vế :
a)
x x2 1− = +
b)

x x1 2+ = −
c)
x x2 1 2− = +
d)
x x2 2 1− = −
NHĐ
14
Đại số 10
 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
Khi a ≠ 0 thì (1) gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.
 Khi giải và biện luận phương trình có dạng bậc nhất 1
ẩn ta làm như sau :
1) Biến đổi đưa về dạng : Ax = B
2) Tìm x : lưu ý ta chỉ thực hiện phép chia khi
0A ¹
. Nếu
A có tham số ta chia thành 2 trường hợp :
 A = 0 : Tìm m, thế m vào phương trình ban đầu và
rút ra kết luận (vô nghiệm hoặc vô số nghiệm).

0A ¹
: phương trình có nghiệm duy nhất là
B
x
A
=
.
Bài 5. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m:
a)
2 2 4m x x m= + +

b)
m x m x m( ) 2− = + −
c)
m x m x
2
( 2) 2 3+ − = −
d)
m x m m x( 3) ( 2) 6− + = − +
e)
m x m x m
2
( 1) (3 2)− + = −
f)
m m x x m
2 2
( ) 2 1− = + −
g)
m x m x m
2
( 1) (2 5) 2+ = + + +
Bài 6. Trong các phương trình sau, tìm giá trò của tham số để
phương trình:
i) Có nghiệm duy nhất
ii) Vô nghiệm
iii) Nghiệm đúng với mọi x ∈ R.
a)
m x m( 2) 1− = −
b)
m m x m
2

( 2 3) 1+ − = −
c)
mx x mx m x
2
( 2)( 1) ( )+ + = +
d)
m m x x m
2 2
( ) 2 1− = + −
NHĐ
15
ax + b = 0 (1)
Hệ số Kết luận
a
≠
0
(1) có nghiệm duy nhất
b
x
a
= −
a = 0
b
≠
0
(1) vô nghiệm
b = 0
(1) nghiệm đúng với mọi x
PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI

PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI
Đại số 10
 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
 Giải và biện luận phương trình bậc hai ta làm như sau :
1) Xác đònh hệ số a, b, c
2) Tính
b ac
2
4
∆
= −
ax
2
+ bx + c = 0 (a
≠
0) (1)
b ac
2
4
∆
= −
Kết luận
∆
> 0
(1) có 2 nghiệm phân biệt
b
x
a
1,2

2
∆
− ±
=
∆
= 0
(1) có nghiệm kép
b
x
a2
= −
∆
< 0
(1) vô nghiệm
 Chú ý:
 Nếu a + b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm x = 1 và x =
c
a
.
 Nếu a – b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm x = –1 và x =
c
a
−
.
 Nếu b chẵn thì ta có thể dùng công thức thu gọn với
b
b
2
′
=

.
 Để giải và biện luận phương trình
ax bx c
2
0+ + =
ta cần
xét các trường hợp có thể xảy ra của hệ số a:
 Nếu a = 0 thì trở về giải và biện luận phương trình
bx c 0
+ =
.
 Nếu a ≠ 0 thì mới xét các trường hợp của ∆ như trên.
Bài 7. Giải và biện luận các phương trình sau:
a)
x x m
2
5 3 1 0+ + − =
b)
x x m
2
2 12 15 0+ − =
c)
m x m x m
2
( 1) 2( 1) 2 0+ − − + − =
d)
m x m x
2
( 1) (2 ) 1 0− + − − =
NHĐ

16
Đại số 10
Bài 8. Cho phương trình :
x m x m
2 2
2( 1) 0− − + =
. Tìm m để phương
trình Có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.
Bài 9. Cho phương trình
mx m x m
2
2( 3) 1 0− + + + =
. Tìm m để
phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó.
Bài 10. Cho biết một nghiệm của phương trình. Tìm nghiệm còn
lại:
a)
x mx m x
2
3
1 0;
2
− + + = = −
b)
x m x m x
2 2
2 3 0; 1− + = =
c)
m x m x m x
2

( 1) 2( 1) 2 0; 2+ − − + − = =
d)
x m x m m x
2 2
2( 1) 3 0; 0− − + − = =
VẤN ĐỀ 1: DẤU CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Phương trình
( )
2
0 1a x b x c+ + =
 (1) có hai nghiệm trái dấu ⇔ P < 0
 (1) có hai nghiệm cùng dấu ⇔
a
P
0
0
0
∆

≠

≥


>

 (1) có hai nghiệm dương ⇔
a
P
S

0
0
0
0
∆

≠


≥

>

>


 (1) có hai nghiệm âm ⇔
a
P
S
0
0
0
0
∆

≠


≥


>

<


 Chú ý: Trong các trường hợp trên nếu yêu cầu hai nghiệm
phân biệt thì ∆ > 0.
Bài 11. Xác đònh m để phương trình:
i) Có hai nghiệm trái dấu
ii) Có hai nghiệm âm phân biệt
NHĐ
17
Đại số 10
iii) Có hai nghiệm dương phân biệt
a)
x x m
2
5 3 1 0+ + − =
b)
x x m
2
2 12 15 0+ − =
c)
x x m
2
4 1 0− + + =
VẤN ĐỀ 2: BÀI TẬP ỨNG DỤNG ĐỊNH LÍ VI-ÉT
 Một hệ thức giữa x
1

, x
2
gọi là đối xứng khi ta thay x
1
bằng
x
2
và x
2
bằng x
1
thì giá trò của nó không thay đổi.
Ví dụ :
2 2
1 2
1 2
1 1
;x x
x x
+ +
 Bao giờ cũng biểu diễn được hệ thức đối xứng theo tổng
và tích các nghiệm

2 2 2
1 2
2x x S P+ = -

3 2 3
1 2
3x x S PS+ = -


1 2
1 1 S
x x P
+ =

2
2 1
1 2
2
x x
S
x x P
+ = -
 Khi giải bài tập liên quan hệ thức đối xứng nghiệm phương
trình phải lập điều kiện phương trình có hai nghiệm .
Bài 12. Giải phương trình
( ) ( )
2
4 1 2 4 0x m x m+ + + - =
biết rằng nó
có hai nghiệm và hiệu giữa nghiệm lớn và nghiệm nhỏ là 17.
Đs:
4m = ±
.
Bài 13. Tìm tất cả các giá trò a để hiệu hai nghiệm phương trình
là 1:
( )
2
2 1 3 0x a x a- + + + =

Đs : a= 9 hoặc a = -3
Bài 14. Với mỗi phương trình sau, biết một nghiệm, tìm m và
nghiệm còn lại:
NHĐ
18
1. Hệ thức thức đối xứng giữa các nghiệm của phương
trình bậc hai
Đại số 10
a)
2
2 1 0x m x- + =
có một nghiệm là 7
b)
2
9 0x x m- - =
có một nghiệm là -3
c)
( )
2
3 2 5 3 2 0m x x- - + =
có một nghiệm là 4.
Đs:
2 9
1 0, 36,
4
m m m= = - =
Bài 15. Cho phương trình:
x m x m
2
2(2 1) 3 4 0− + + + =

(*).
a) Tìm m để (*) có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia.
b) Tìm m để (*) có một nghiệm gấp 2 lần nghiệm kia.
Bài 16. Gọi x
1
, x
2
là các nghiệm của phương trình. Không giải
phương trình, hãy tính:
A =
x x
2 2
1 2
+
; B =
x x
3 3
1 2
+
; C =
x x
4 4
1 2
+
; D =
x x
1 2
−
;
E =

x x x x
1 2 2 1
(2 )(2 )+ +
2 2
1 1 2 2
4F x x x x= - +
a)
x x
2
5 0− − =
b)
x x
2
2 3 7 0− − =
c)
x x
2
3 10 3 0+ + =
d)
x x
2
2 15 0− − =
e)
x x
2
2 5 2 0− + =
f)
x x
2
3 5 2 0+ − =

Bài 17. Cho phương trình:
x m x m
2
2(2 1) 3 4 0− + + + =
(*).
a) Tìm m để (*) có hai nghiệm x
1
, x
2
.
b) Tồng hai nghiệm là 6
c) Tích hai nghiệm là 1.
Bài 18. Cho phương trình:
m x m x m
2
( 1) 2( 1) 2 0+ − − + − =
. Xác đònh
m để:
a) Tổng hai nghiệm là 3
b) Tổng bình phương các nghiệm bằng 2.
 Để tìm hệ thức của các nghiệm độc lập đối với tham số ta
NHĐ
19
2. Hệ thức của các nghiệm độc lập đối với tham số
Đại số 10
tìm:
b c
S x x P x x
a a
1 2 1 2

;= + = − = =
(S, P có chứa tham số m).
 Khử tham số m bằng phương pháp cộng hoặc phương pháp
thế ta tìm được hệ thức giữa x
1
và x
2
.
Ví dụ : phương trình
2
2 1 0m x x m+ - + =
có hai nghiệm. Tìm
hệ thức các nghiệm độc lập m.
Giải
Ta có :
( )
1 2
2
1
b
S x x
a m
= + = - = -
( )
1 2
1 1
. 1 2
c m
P x x
a m m

- +
= = = = - +
Cách 1 :
Từ (1)
( )
1
1 '
2
S
m
= -Þ
( ) ( )
1 2
1 2
1 1
1 ' 2 1 1
2
. 1
2
S
P
m m
x x
x x
+ + = - + - = -Û
+
+ = -Û
Cách 2:
( )
2

1 m
S
= -Þ
thay vào (2) ta được :
1 2
1 2
1
1 1
2
2
. 1
2
S
P
S
x x
x x
= - + = - -
-
+
= - -Û
Bài 12. Giả sử các phương trình sau có hai nghiệm phân biệt, tìm
hệ thức liên hệ các nghiệm không phụ thuộc m :
a)
x m x m
2
2(2 1) 3 4 0− + + + =
b)
x m x m m
2 2

2( 1) 3 0− − + − =
c)
x m m x m
2 2 3
( 3 ) 0− − + =
d)
m x m x m
2
( 1) 2( 1) 2 0+ − − + − =
NHĐ
20
3. Lập phương trình bậc hai
Đại số 10
 Nếu phương trình bậc hai có các nghiệm u và v thì phương
trình bậc hai có dạng:
x Sx P
2
0− + =
, trong đó S = u + v, P = uv.
Với điều kiện
2
4 0S P= -D ³
 Nếu
( )
2
f x a x b x c= + +
có hai nghiệm x
1
và x
2

thì có thể
phân tích thành nhân tử
( ) ( ) ( )
1 2
f x a x x x x= - -
.
Bài 13. Tìm hai số a, b biết:
a)
6, . 2a b a b+ = =
b)
3 , . 1a b a b+ = =
Bài 14. Giải phương trình
( )
3
2
1 2 3 1 0x x x- + - + =
VẤN ĐỀ 3 : PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
1. Đònh nghóa và tính chất trò tuyệt đối :
•
A khi A
A
A khi A
0
0

≥
=

− <


•
A A0,≥ ∀
•
A B A B. .=
•
A A
2
2
=
•
A B A B A B. 0+ = + ⇔ ≥
•
A B A B A B. 0− = + ⇔ ≤
•
A B A B A B. 0+ = − ⇔ ≤
•
A B A B A B. 0− = − ⇔ ≥
2. Cách giải :
Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trò tuyệt đối ta
tìm cách để khử dấu giá trò tuyệt đối , bằng cách:
– Dùng đònh nghóa hoặc tính chất của giá trò tuyệt đối .
– Bình phương hai vế.
– Đặt ẩn phụ.
 Dạng 1:
=( ) ( )f x g x

NHĐ
21
Đại số 10
 Cách 1 (dùng đònh nghóa) :

é
=
ê
= Û
= -
ê
ë
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x
f x g x
 Cách 2 : (bình phương 2 vế không âm) :
[ ] [ ]
= =Û
2 2
( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x
 Dạng 2:
=( ) ( )f x g x
 Cách 1 (dùng đònh nghóa) :


≥


=


= ⇔


<



− =


( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
( ) 0
( ) ( )
f x
f x g x
f x g x
f x
f x g x
 Cách 2 (dùng điều kiện có nghiêm) :
ì
ï
³
ï
ï
é
= Û
=
í
ê
ï

ï
= -
ê
ï
ë
ỵ
( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
g x
f x g x
f x g x
f x g x
Bài 15. Giải các phương trình sau:
a)
x x2 1 3− = +
b)
x x4 7 2 5+ = +
c)
x x4 7 2 5+ = +
d)
x x2 7 2 5− = +
Bài 16. Giải các phương trình sau:
a)
x x x
2
2 1 1 0− + − − =
b)
x x x

2
2 5 1 7 0− − − + =
c)
x x x
2
2 5 1 5 0− − − − =
d)
x x x
2
4 3 2 0+ + + =
e)
x x x
2
4 4 2 1 1 0− − − − =
f)
x x x
2
6 3 10 0+ + + + =
Bài 17. Bằng cách đặt ẩn phụ giải các phương trình sau :
a)
2 2
5 4 5 5x x x x- + = - +
b)
2
4 3 2 4 0x x x+ - + + =
c)
2
2
1 1
4 2 6 0x x

x
x
+ + - - =
Bài 18. Giải và biện luận các phương trình sau:
a)
mx 1 5− =
b)
x m x m3 2 2+ = −
NHĐ
22
Đại số 10
c)
x m x 1− = +
VẤN ĐỀ 4 : PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN BẬC HAI
 Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta tìm cách để
khử dấu căn, bằng cách:
– Nâng luỹ thừa hai vế.
– Đặt ẩn phụ.
 Chú ý: Khi thực hiện các phép biến đổi cần chú ý điều kiện
để các căn được xác đònh.
 Dạng 1:
=( ) ( )f x g x
⇔


 
=
 

≥



2
( ) ( )
( ) 0
f x g x
g x
 Dạng 2:

=
= ⇔

≥ ≥

( ) ( )
( ) ( )
( ) 0 ( ( ) 0)
f x g x
f x g x
f x hay g x
Dạng 3:


= ≥
+ + = ⇔

+ + =


2

( ), 0
( ) ( ) 0
0
t f x t
af x b f x c
at bt c
 Dạng 4:
+ =( ) ( ) ( )f x g x h x
• Đặt
= =( ), ( )u f x v g x
với u, v
≥
0.
• Đưa phương trình trên về hệ phương trình với hai ẩn là u
và v.
 Dạng 5:
+ + =( ) ( ) ( ). ( ) ( )f x g x f x g x h x
Đặt
= + ³( ) ( ), 0t f x g x t
.
Bài 19. Giải các phương trình sau:
a)
x x2 3 3− = −
b)
x x5 10 8+ = −
c)
x x2 5 4− − =
d)
x x x
2

12 8+ − = −
e)
x x x
2
3 9 1 2− + = −
f)
x x x
2 2
( 3) 4 9− + = −
Bài 20. Bằng cách đặt ẩn phụ giải các phương trình sau:
a)
x x x x
2 2
6 9 4 6 6− + = − +
b)
x x x x
2
( 3)(8 ) 26 11− − + = − +
NHĐ
23
Đại số 10
c)
x x x x
2
( 4)( 1) 3 5 2 6+ + − + + =
d)
x x x x
2
( 5)(2 ) 3 3+ − = +
e)

x x
2 2
11 31+ + =
Bài 21. Giải các phương trình sau:
a)
x x1 1 1+ − − =
b)
x x3 7 1 2+ − + =
c)
x x
2 2
9 7 2+ − − =
Bài 22. Bằng cách đặt ẩn phụ giải các phương trình sau:
a)
2 2
3 2 1 5 3 2 8 7x x x x- + + - + =
b)
x x x x3 6 3 ( 3)(6 )+ + − = + + −
c)
x x x x x2 3 1 3 2 (2 3)( 1) 16+ + + = + + + −
d)
x x x x1 3 ( 1)(3 ) 1− + − − − − =
e)
x x x x7 2 (7 )(2 ) 3− + + − − + =
f)
x x x x1 4 ( 1)(4 ) 5+ + − + + − =
g)
x x x x x
2
3 2 1 4 9 2 3 5 2− + − = − + − +

h)
x x x x
2
2
1 1
3
+ − = + −
VẤN ĐỀ 5 : PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẨU
Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta phải chú ý đến
điều kiện xác đònh của phương trình (mẫu thức khác 0).
Bài 23. Giải các phương trình sau:
a)
x x x x
2 10 50
1
2 3 (2 )( 3)
+ = −
− + − +
b)
x x x
x x x
1 1 2 1
2 2 1
+ − +
+ =
+ − +
c)
x x
x x
2 1 1

3 2 2
+ +
=
+ −
d)
x x
x
2
2
3 5
1
4
− +
= −
−
e)
x x x x
x x
2 2
2 5 2 2 15
1 3
− + + +
=
− −

Bài 24. Giải và biện luận các phương trình sau:
NHĐ
24
Cách giải
Đại số 10

a)
mx m
x
1
3
2
− +
=
+
b)
mx m
x m
2
3
+ −
=
−
c)
x m x
x x m
1
2
1
− −
+ =
− −
d)
x m x
x x
3

1 2
+ +
=
− −
e)
m x m
m
x
( 1) 2
3
+ + −
=
+
f)
x x
x m x 1
=
+ +
VẤN ĐỀ 1 : PHƯƠNG TRÌNH BẬC 3
 Ta tìm nghiệm đặc biệt rồi chia đa thức để đưa về phương
trình tích
 Các trường hợp đặc biệt:
 Nếu
0a b c d+ + + =
thì phương trình có nghiệm x = 1
 Nếu
0a b c d- + - =
thì phương trình có nghiệm x = -1
 Nếu phương trình có các số hạng chứa căn thức
a

ta lần
lượt thay x bởi các giá trò
; 2 ; x a a= ± ±
 Nếu phương trình có tham số m ta đoán nghiệm bằng cách
thay
, 2 , x m m= ± ±
Ví dụ :
3 2
2 6 2 6 0x x x+ - - =
có nghiệm x = 1
3 2
3 4 2 0x x x+ + + =
có nghiệm x = -1
3
2 2 0x x- - =
có nghiệm
2x =
3 2 2 3
4 6 0x m x m x m- + + =
có nghiệm x = -m
Bài 1. Giải phương trình :
a)
3 2
2 0x x x+ - =
b)
3 2
5 4 2 0x x x- + - =
c)
3 2
6 3 10 0x x x- + + =

d)
3
2 2 0x x- - =
Bài 2. Đònh m để phương trình
( )
3
1 1 0x m x- - - =
a) Có 3 nghiệm phân biệt
NHĐ
25
PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO
PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO
( )
3 2
0 0a x b x cx d a+ + + = ¹