BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP pot

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NÔNG LÂM HUẾ
DỰ ÁN HỢP TÁC VIỆT NAM – HÀ LAN





BÀI GIẢNG
TOÁN CAO CẤP













Người biên soạn: Trần Bá Tịnh

Huế, 08/2009

L
L
ờ
ờ
i
i


n
n
ó
ó
i
i


đ
đ
ầ
ầ
u
u

Được sự phân công giảng dạy của Ban giám đốc Trung tâm Giảng dạy và
Thực hành cơ bản, bộ môn Toán – Tin của chúng tôi thực hiện biên soạn bài giảng
về các môn học Toán cao cấp. Bài giảng này nhằm cung cấp các kiến thức cơ bản
về giải tích cổ điển cần cho ngành Nông học và một số ngành khoa học công nghệ
khác.
Bài giảng được biên soạn theo đề cương chi tiết của bộ chương trình GIÁO
DỤC HỌC ĐẠI CƯƠNG do Bộ Giáo Dục ban hành theo quyết định số 3244/GD-
ĐT ngày 12/09/1995 của Bộ trưởng Bộ Giáo dục và đào tạo .
Bài giảng do tổ bộ môn Toán – Tin chúng tôi biên soạn trước mắt phục vụ cho
đối tượng là là sinh viên ngành Nông học trường Đại học Nông lâm.
Lần đầu tiên biên soạn theo yêu cầu đổi mới phương pháp giảng dạy, chắc
chắn không tránh khỏi thiếu sót, chúng tôi rất mong được sự trao đổi, đóng góp ý
kiến của các đồng nghiệp để hoàn thiện bài giảng theo định hướng về một bài giảng
chung môn học Toán cao cấp.


Tác giả

2

MỤC LỤC


Bài 1: Ma trận – Định thức – Hệ phương trình tuyến tính 4
1. MA TRẬN 5
1.1 Khái niệm ma trận 5
1.2 Ma trận bằng nhau 5
1.3 Cộng ma trận 6
1.4 Nhân ma trận với một số 6
1.5 Ma trận chuyển vị 7
2. ĐỊNH THỨC 7
2.1 Định thức của ma trận vuông 7
2.2 Định nghĩa: 8
2.3 Tính chất của định thức 9
2.4 Quy tắc tính định thức bằng biến đổi sơ cấp 10
3. PHÉP NHÂN MA TRẬN VỚI MA TRẬN  MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO 11
3.1 Phép nhân ma trận với ma trận 11
3.2 Một số tính chất 12
3.3 Ma trận khả đảo và ma trận nghịch đảo 12

3.4 Các phương pháp tính ma trận nghịch đảo 13
4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 14
4.1 Định nghĩa dạng tổng quát của hệ phương trình tuyến tính 14
4.2 Hệ Cramer 15
4.3 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss 15
4.4 Hệ thuần nhất 16
4.5 Hạng của ma trận_Hạng của hệ phương trình tuyến tính tổng quát 17
Bài 2: Phép tính vi phân 19
1. TẬP HỢP  CÁC PHÉP TOÁN 19
1.1 Tập hợp 19
1.2 Các phép toán về tập hợp 20
2. ÁNH XẠ 22
2.1 Định nghĩa 22
2.2 Đơn ánh 23
2.3 Toàn ánh 23
2.4 Song ánh 23
2.5 Ánh xạ ngược của một song ánh – Tương ứng 1-1 24
2.6 Hợp (Tích của 2 ánh xạ) 24


3

2.7 Tập hữu hạn – Tập đếm được – Tập không đếm được 25
3. HÀM SỐ 26
3.1 Khái niệm hàm số - Các định nghĩa 26
3.2 Các hàm số cơ bản 31
4. GIỚI HẠN HÀM SỐ 37
4.1 Các định nghĩa 37
4.2 Tính chất và phép toán của giới hạn hàm số 39
5. SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ 42

5.1 Các định nghĩa 42
5.2 Các phép toán và tính chất của hàm liên tục 44
5.3 Các định lý về hàm liên tục 44
6. ĐẠO HÀM 45
6.1 Hai bài toán dẫn đến đạo hàm 45
6.2 Định nghĩa đạo hàm của hàm một biến số 46
6.3 Ý nghĩa hình học của đạo hàm 47
6.4 Các quy tắc cơ bản để tính đạo hàm 48
6.5 Sự liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục 50
6.6 Đạo hàm cấp cao 50
6.7 Đạo hàm các hàm sơ cấp 51
7. VI PHÂN 53
7.1 Định nghĩa vi phân 53
7.2 Ứng dụng vi phân để tính gần đúng 54
7.3 Tính bất biến của dạng biểu thức vi phân 55
7.4 Vi phân cấp cao 55
Bài 3: Phép tính tích phân 56
1.TÍCH PHÂN KHÔNG XÁC ĐỊNH 56
1.1 Định nghĩa và tính chất 56
1.2. Các phương pháp lấy tích phân không xác định 57
1.3 Các công thức truy hồi 59
1.4 Tích phân các hàm hữu tỉ 61
1.5 Tích phân một số hàm vô tỉ dạng đơn giản 62
2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 63
2.1 Định nghĩa 63
2.2 Một vài tính chẤt của tích phân xác định 66
2.3 Điều kiện khả tích của hàm liên tục 69
2.4 Sự phân chia khoảng lấy tích phânCận lấy tích phân 70

4

2.5 Tích phân xác định và nguyên hàm 71
2.6 Biến đổi tích phân xác định 73
2.7 Ứng dụng của phép tính tích phân 76
2.8 Tích phân suy rộng 78
Bài 5: Phương trình vi phân 79
1. KHÁI NIỆM VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN – CÁC ĐỊNH NGHĨA 79
1.1 Khái niệm 79
1.2 Định nghĩa 79
2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT 79
2.1 Tổng quát về phương trình vi phân cấp một 79
2.2 Phương trình vi phân có biến phân ly 80
2.3 Phương trình đẳng cấp cấp một 81
2.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 81
2.5 Phương trình Bernoulli 83
3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI 83
3.1 Tổng quát về phương trình vi phân cấp hai 83
3.2 Các phương trình vi phân cấp hai có thể giảm cấp 84
3.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai 85
3.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số không đổi 87




5



1. MA TRẬN

1.1 Khái niệm ma trận
Định nghĩa 5.1: Một tập hợp gồm
m n

phần tử được sắp xếp thành bảng chữ nhật
có m hàng n cột gọi là một ma trận cỡ
m n


cột j

11 12 1j 1n
21 22 2j 2n
i1 i2 ij in
m1 m2 mj mn
a a a a
a a a a
A
a a a a
a a a a
 
 
 
 

 
 
 
 
 

 
 
    
 
  


Ma trận A được ký hiệu bởi dấu móc vuông hoặc móc tròn

ij
m n
A a

 

 
;


ij
m n
A a



ij
a
là phần tử nằm ở hàng i, cột j
Khi
m n


ma trận A được gọi là ma trận vuông cấp n và được biểu diễn ngắn
gọn

ij
,n
A a
 

 
;


ij
,n
A a

Khi
m 1

ta gọi A là ma trận hàng

n 1

ta gọi A là ma trận cột
Thí dụ :

 
ij
2 3

1 3 5
A a
2 4 6

 
 
 
 
;
 
ij
3 2
2 1
B b 1 3
3 2

 
 
 
 
 






ij
1 4
A a 5 4 1 7


  ;




ij
1 3
B b 3 5 8

 
Chú ý 1.1:
– Ta chỉ xét chủ yếu các ma trận thực, tức
ij
a R


– Chữ in hoa A, B, C, … kí hiệu ma trận; chữ thường a, b, c, … chỉ phần tử của
ma trận.
– Nếu các phần tử
ij
a 0 i, j
 
ma trận


ij
m n
A a


 được gọi là ma trận không cỡ
m n

.
– Kí hiệu tập hợp các ma trận cỡ
m n

là
M

– Kí hiệu tập hợp các ma trận vuông cấp n là M

1.2 Ma trận bằng nhau
Cho hai ma trận A cùng cỡ


ij
m n
A a

 ;


ij
m n
B b


hàng i

6

Định nghĩa 5.2: Hai ma trận A và B được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng cỡ và
có các phần tử cùng vị trí bằng nhau. Tức là:
ij ij
a b i, j
 

Ta viết
A B



Thí dụ :

3 1
A
2 5
 

 
 
;
a b
B
c d
 

 

 


A B


a 3, b 1, c 2, d 5
   


1.3 Cộng ma trận
Cho hai ma trân cùng cỡ


ij
m n
A a

 ;


ij
m n
B b


Định nghĩa 5.3:
Tổng của hai ma trận cùng cỡ
m n


A B

là một ma trận C cùng cỡ được xác
định bởi công thức:

ij ij ij
m n m n
C A B a b c
 
   
    
   

Chú ý 1.2:
– Phép cộng ma trận chỉ thực hiện với các ma trận cùng cỡ.
– Ta có thể mở rộng cho phép cộng nhiều ma trận cùng cỡ
– Phép cộng được hiểu theo nghĩa cộng đại số.
Thí dụ :
Cho A, B, C

1 3 5
A
2 4 6
 

 
 
;
5 7 9

B
1 3 5
 

 
 
;
2 4 6
A
7 5 3
 

 
 


1 5 2 3 7 4 5 9 6 4 6 8
A B C
2 1 7 4 3 5 6 5 3 4 2 8
     
   
   
   
      
   


1.4 Nhân ma trận với một số
Cho ;
k R



1. Định nghĩa 5.4:
Phép nhân ma trận A với một số k là nhân tất cả các phần tử
ij
a
của A với k. Ta
có:





ij ij
m n m n
C k.A k. a ka
 
  
(5.3)
Thí dụ :
Cho ,
k 3




7


1 4 3 5

A 2 1 0 4
4 2 3 1
 
 

 
 
;
1 4 3 5 3 12 9 15
3.A 3. 2 1 0 4 6 1 0 12
4 2 3 1 12 6 9 3
   
   
 
   
   


2. Tính chất:

k(A B) kA kB
(k h).A kA hA
k(h.A) (kh).A
1.A A
0.A 0
  
  




1.5 Ma trận chuyển vị
Định nghĩa 5.6: Xét ma trận . Đổi hàng thành cột; cột thành hàng ta nhận được ma
trận mới gọi là ma trận chuyển vị của A, kí hiệu là
t
A
.

t
ji
n m
A a

 

 

Thí dụ :

4 1
A 3 0
2 7

 
 

 
 


t
4 3 2
A
1 0 7

 

 
 


2. ĐỊNH THỨC
2.1 Định thức của ma trận vuông
Xét
,n
A 
M

Lấy
ij
a
là phần tử hàng i cột j. Loại bỏ khỏi A hàng i, cột j ta nhân được ma trận
vuông cấp
n 1

, kí hiệu là
ij
M
. Gọi
ij

M
là ma trận con ứng với phần tử
ij
a
của A.
Xét ma trận A cấp n; .Ta Chú ý đến phần tử hàng i cột j
ij
a A

. Loại bỏ đi các
phần tử của hàng i, cột j ta nhận được ma trận vuông cấp
n 1

, kí hiệu là
ij
M
.
ij
M
là
ma trận con ứng với phần tử
ij
a
.
Ta có:

1 j
1 1 1 2 1 n
2 j
2 1 2 2 2 n

ij
i1 i 2 in
n j
n 1 n 2 n n
a
a a a
a
a a a
A
a
a a a
a
a a a
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
    
 
  


8

1j 1 1j+1
11 12 1n
i 1j 1 i 1j 1
i 11 i 12 i 1n
ij
i 1j 1 i 1j 1
i 11 i 12 i 1n
nj 1 nj 1
n1 n 2 nn
a a
a a a
a a
a a a
M
a a
a a a
a a
a a a

   
  
   
  
 
 
 
 

 

 
 
 
 
 
     

 


     

 


Đối tượng nghiên cứu là các ma trận vuông có
ij
a R


2.2 Định nghĩa:
Định nghĩa 5.7: Định thức của ma trận A là một số, kí hiệu là det(A) được định
nghĩa lần lượt như sau:
* A là ma trận vuông cấp 1:



11

A a
 thì
11
detA a

* A là ma trận vuông cấp 2:

11 12
21 22
a a
A
a a
 

 
 
thì
11 11 12 12 11 22 12 21
detA a det(M ) a det(M ) a a a a
   
* A là ma trận vuông cấp n:

1 n
11 11 12 12 1n 1n
detA a det(M ) a det(M ) ( 1) a det(M )

     (1.1)
Ở đây
11 12 1n
a ,a , .a

 là các phần tử nằm ở hàng một của ma trận A. Người ta dùng
hai gạch đứng đặt ở hai bên để kí hiệu định thức.

11 12
21 22
a a
a a
;
13
11 12
23
21 22
31 32 33
a
a a
a
a a
a a a

Định thức của ma trận vuông cấp n gọi là định thức cấp n.
Thí dụ :

31 2
6 5 5 64 4
6 5
4 1 3 2 1( 48 45) 3(32 35) 2( 36 42) 240
9 8 7 8 7 9
7 9 8
 
             

 


Chú ý : Để tính định thức cấp 3 ngoài việc tính theo định nghĩa đã nêu ta có thể sử
dụng công thức ngôi sao bằng cách lấy tổng của tích các phần tử nằm trên đường
chéo chính và các đỉnh của tam giác có cạnh song song với đường chéo chính trừ đi
tổng của tích các phần tử trên đường chéo phụ và các số nằm ở đỉnh các tam giác có
cạnh song song với đường chéo phụ.

13
11 12
23
21 22
31 32 33
a
a a
a
A a a
a a a


13
11 12
23
21 22
31 32 33
a
a a
a
A a a

a a a



11 12 13 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 23 32 11
detA a a a a a a a a a (a a a a a a a a a )
     


9

Để dể nhớ ta có thể viết theo 2 cột 1 và 2 và kế tiếp cột 3 và thực hiện nhân các
phần tử trên đường chéo.

13
11 12 11 12
23
21 22 21 22
31 32 33 31 32
a
a a a a
a
a a a a
a a a a a


2.3 Tính chất của định thức
Tính chất 1:
t
det(A ) det A

 (1.2)
Hệ quả 1: Một tính chất đúng khi phát biểu về hàng của định thức cũng sẽ đúng khi
phát biểu đối với cột.
Tính chất 2: Đổi chỗ hai hàng (hay hai cột) của định thức thì giá trị của định thức
mới bằng giá trị của định thức cũ đổi dấu.
Tính chất 3: Một định thức có hai hàng (hay hai cột) như nhau thì có giá trị bằng
không.
Tính chất 4: Giá trị định thức được tính khi khai triển định thức theo một hàng (hay
một cột).

n
i j
ij ij
j 1
detA ( 1) a det(M )


 

(1.3)
Thí dụ: Tính
3
1 2
6 5
det A 4
7 9 8
 

. Theo Thí dụ 5.1 kết quả
detA 240

 

Ở đây ta thực hiện khai triển theo hàng thứ 3.
3 1 3 2 3 3
3 32 1 2 1
detA ( 1) .7 ( 1) .9 ( 1) .( 8) 7(15 12) 9(5 8) 8(6 12)
6 5 5 64 4


240
  
            
 
 
Tính chất 5: Một định thức có một hàng (hay một cột) toàn các phần tử không thì
có giá trị bằng không.
Tính chất 6: Khi nhân các phần tử của một hàng (hay một cột) với cùng một số k
thì giá trị của định thức mới tăng lên k lần.
Hệ quả 2: Khi định thức có các phần tử của một hàng (hay một cột) có chung hệ số
k thì ta có thể đưa thừa số chung ra ngoài dấu định thức.
Tính chất 7: Một định thức có hai hàng (hay hai cột) tỉ lệ thì có giá trị bằng không.
Thí dụ :
3 31 4 1 4
3 2 3 0
2 1 2 1
6 8 32 1 4
 
Do định thức có 2 hàng 1 và 3 giống nhau.
Tính chất 8: Khi tất cả các phần tử của một hàng (hay một cột) có dạng tổng của
hai số hạng thì định thức có thể phân tích thành tổng của hai định thức.

10

Thí dụ :

' " ' " ' ' " "
11 11 12 12 11 12 11 12
21 22 21 22 21 22
a a a a a a a a
a a a a a a
 
  (1.4)
Tính chất 9: Nếu định thức có một hàng (hay một cột) là tổ hợp tuyến tính của các
hàng khác (hay của các cột khác) thì giá trị định thức bằng không.
Tính chất 10: Khi nhân một hàng (hay một cột) của định thức với số k và cộng vào
một hàng (hay một cột) khác thì giá trị định thức không thay đổi.
Thí dụ :

3
1 2
6 5
det A 4
7 9 8
 

3

1 2
0 18 13
0
12 22

 

Khai triển theo cột 1

2 1
18 13 3 32 2
det A 1. ( 1) .0 ( 1)3 1.0 240
18 1312 22 12 22

       
   

Đây là giá trị của định thức được tính trong Thí dụ (1.1)
Tính chất 11: Định thức có dạng tam giác có giá trị bằng tích của các phần tử nằm
trên đường chéo.

11 12 1n
22 2n
11 22 nn
nn
a a a
a a
0
a .a a
a

0 0




  

;
11
21 22
11 22 nn
n1 n2 nn
a
0 0
a a
0
a .a a
a a a




  

(1.5)

2.4 Quy tắc tính định thức bằng biến đổi sơ cấp
Để tính định thức một cách nhanh và đơn giản ta thường sử dụng các tính chất
vừa nêu của định thức để biến đổi định thức về dạng tam giác. Các phép biến đổi
khi sử dụng các tính chất được gọi là các phép biến đổi sơ cấp. Nó được biến thành

qua hai bước sau:
Bước 1: Sử dụng phép biến đổi để có ít nhất 1 phần tử ở
11
a
bằng 1. Sau đó thực
hiện các phép biến đổi về hàng để đưa định thức về dạng tam giác.
Bước 2: Tính giá trị định thức dạng tam giác bằng tích của các phần tử trên
đường chéo.
Thí dụ:
Tính
3
1 4
3 5
2
7
4 2
 
Bước 1: Đổi chỗ cột 1 và 2
– Nhân hàng 1 với –3 cộng vào hàng 2 và với –2 cộng vào hàng 3
– Nhân hàng 2 với –2 và cộng vào hàng 3


11


3 3 3 31 4 1 4 1 4 1 4
3 5 0 7 7 7 0 7 0 7
2 1 1 1 1
7 0 0 0 02 4 2 1 2 1 1
         

   


3. PHÉP NHÂN MA TRẬN VỚI MA TRẬN  MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
3.1 Phép nhân ma trận với ma trận
Nhận xét: Phép nhân ma trận chỉ thực hiện được khi số cột của ma trận bị nhân
bằng số hàng của ma trận nhân.
Xét


ij
m p
A a





ij
p n
B b



1. Định nghĩa: Tích của hai ma trận A.B là ma trận
ij
m n
C c

 


 
mà phần tử
ij
c

được tính bởi công thức:

p
ij i1 1j i2 2j ip pj ik kj
k 1
c a b a b a b a b

    

 (1.6)
Sơ đồ tính
ij
c
được thực hiện như sau:
* Định lý: Chuyển vị của ma trận tích
t
(A.B)
bằng tích của chuyển vị của các ma
trận
t t
A .B

Tức
t t t

(A.B) A .B

Thí dụ:
1 2
A
1 4
 


 
 

3
2 1
B
6
1 4
 

 
 


( 1).2 2.1 ( 1).1 2.4 ( 1).3 2.6
0 7 9
A.B
1.2 4.1 1.1 4.4 1.3 4.6 6 17 27
     
   
 

   
  
   

Chú ý:
+ Việc nhân 2 ma trận có tính giao hoán. Tức phép nhân A với B thực hiện được
nhưng phép nhân B với A chưa chắc đã thực hiện được
+ Nếu
A,B ,n

thì ta thực hiện được A.B và B.A nhưng trong trường hợp tổng
quát
A.B B.A


+ Có thể
A 0

,
B 0

nhưng
A.B 0


Thí dụ:

0
1
A

3
2
 


 
 

1 2
B
3 0
 

 
 


0.1 ( 1).3 0.2 ( 1).0
0 3 0
1 1 2
A.B
3 3 0 3.1 0.3 3.2 2.0 9 6
2
   
       

  
       
 
       

0 1.0 2.3 1. 1 2.2 6 3
1 2 1
B.A
3 0 3 3.0 0.3 3. 1 0.2 0 3
2
       
  
  
       
   
       

Thí dụ:


12


1 2
A
2 4
 

 
 

6
2

B
3
1
 


 
 


1.2 2.( 1) 1.( 6) 2.3
6 0 0
1 2 2
A.B
2.2 4.( 1) 2.( 6) 4.3
3 0 0
2 4 1
   
       

  
       
   
        


3.2 Một số tính chất
Cho các ma trận A, B, C. Sao cho chúng có thể thực hiện các phép nhân được với
nhau. Ta có:

t t t
A.(B C) A.B A.C
(B C).A B.A C.A
k(B.C) (kB).C B.(kC)
(A.B) B .A
det(A.B) det(A).det(B)
  
  
 



Thí dụ: Xét các ma trận A, B trong Thí dụ 1.5

0
1
A
3
2
 


 
 

1 2
B
3 0
 


 
 

* Ta có:
t
3 0 3 9
A.B (A.B)
9 6 0 6
   
 
  
   
   


t
0 3
A
1 2
 

 
 
;
t
3
1
B
0
2

 

 
 
;
t t
3 9
B .A
0 6
 


 
 

Suy ra

0 1
det(A) 3
3 2

 
;
1 2
det(B) 6
3 0
  
;
det(A).det(B) 18
 

3 0
det(A.B) 18
9 6

  

Suy ra:
det(A.B) det(A).det(B)



3.3 Ma trận khả đảo và ma trận nghịch đảo
Định nghĩa: Xét nếu tồn tại ma trận sao cho

A.B B.A I
 
(1.7)
thì ta nói rằng ma trận A khả đảo và ma trận B là ma trận nghịch đảo của ma trận A.
Kí hiệu ma trận nghịch đảo của ma trận A là
1
A


Tức:
1 1
A.A A .A I
 
 

(1.8)
Nhận xét:
* Ma trận nghịch đảo
1
A

của ma trận A nếu có là duy nhất
* Từ công thức (1.8) ta có:

1 1
det(A.A ) det(A).det(A ) det(I) 1
 
  

Vậy
det(A) 0

,
1
det(A ) 0





13

Tức điều kiện cần và đủ để ma trận A khả đảo là
det(A) 0


Nhận xét:
1. Ma trận nghịch đảo của A nếu có là duy nhất.
2. Giả sử A và B  M
,n
là hai ma trận khả đảo.
Khi đó A.B khả đảo và
1 1 1
(A.B) B .A
  
 (1.9)

3.4 Các phương pháp tính ma trận nghịch đảo
a) Phương pháp thứ nhất (Phương pháp ma trận phụ trợ)
Bước 1: Tính detA (Nếu detA  0)
Bước 2: Tính ma trận phụ trợ
ij ,n
C (c )

Với
i j
ij ij
c ( 1) .detM

 
Bước 3: Tính
1 t
1
A .C
det A


 (1.10)
Thí dụ: Cho
1 2 3
A 2 5 3
1 0 8
 
 

 
 

Ta có: detA = 1  0 tồn tại A
1


1 1
11
5 3
c ( 1) 40
0 8

 
  
 
 
;
2 1
21
2 3

c ( 1) 16
0 8

 
   
 
 
;
3 1
31
2 3
c ( 1) 9
5 3

 
   
 
 


1 2
12
2 3
c ( 1) 13
1 8

 
   
 
 

;
2 2
22
1 3
c ( 1) 5
1 8

 
  
 
 
;
3 2
32
1 3
c ( 1) 3
2 3

 
  
 
 


1 3
13
2 5
c ( 1) 5
1 0


 
   
 
 
;
2 3
23
1 2
c ( 1) 2
1 0

 
  
 
 
;
3 3
33
1 2
c ( 1) 1
2 5

 
  
 
 


40 13 15
C 16 5 2

9 3 1

 
 
 
 

 
;
t
40 16 9
C 13 5 3
5 2 1
 
 
 
 
 

 


1 t
40 16 9
1
A .C 13 5 3
1
5 2 1



 
 
   
 

 
 

b) Phương pháp thứ hai (Phương pháp biến đổi ma trận)
Bước 1: Tính detA (Nếu detA  0)
Bước 2: Lập ma trận (A|I)
Bước 3: Thực hiện các phép biến đổi về hàng biến ma trận (A|I) thành ma trận
(I|A
1
)
Thí dụ: Xét lại ví dụ đã cho
detA = 1  0


14


1 2 3 1 0 0
2 5 3 0 1 0
1 0 8 0 0 1
 
 
 
 

 Nhân hàng 1 với 2 cộng vào hàng 2.
Nhân hàng 1 với 1 cộng vào hàng 3.

1 2 3 1 0 0
0 1 3 2 1 0
0 2 5 1 0 1
 
 
 
 
 
 

 Nhân hàng 2 với 2 cộng vào hàng 1
Nhân hàng 2 với 2 cộng vào hàng 3.

1 0 0 5 2 0
0 1 3 2 1 0
0 0 1 5 2 1

 
 
 
 
 
 

 Chia hàng 3 cho 1

1 0 9 5 2 0

0 1 3 2 1 0
0 0 1 5 2 1

 
 
 
 
 
 

 Nhân hàng 4 với 9 cộng vào hàng 1
Nhân hàng 4 với 3 cộng vào hàng 2

1 0 0 40 16 9
0 1 0 13 5 3
0 0 1 5 2 1
  
 
 
 
 
 
 


1
40 16 9
A 13 5 3
5 2 1


  
 
 
  
 
 
 


4. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
4.1 Định nghĩa dạng tổng quát của hệ phương trình tuyến tính
Định nghĩa: Hệ m phương trình đại số bậc nhất đối với n ẩn số x
i
gọi là hệ phương
trình tuyến tính:

11 1 12 2 1n n 1
21 1 22 2 2n n 2
m1 1 m2 2 mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
   


   


   


K
K
K
K
(1.11)
Ở đây a
ij
là hệ số của ẩn x
j
ở phương trình thứ i.
B
i
là vế phải của phương trình thứ i.
Nếu b
i
 0
i 1,m
  hệ phương trình tuyến tính gọi là thuần nhất.
Định nghĩa 2: Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính


15

Gọi
11 12 1n
21 22 2n
m1 m2 mn
a a a
a a a
A

a a a
 
 

 
 
 
 
K
K
M
K
là ma trận hệ số.

 
t
1 2 m
B b b b
 K là ma trận vế phải

 
t
1 2 n
X x x x
 K là ma trận ẩn số.
Hệ (1.1) viết lại dưới dạng ma trận như sau:
AX = B (1.12)
4.2 Hệ Cramer
Xét hệ phương trình (5.12) AX = B, với AM
,n

, B và XM
1n
.
Định nghĩa 5.12: Hệ (5.12) với AM
,n
gọi là hệ Cramer nếu detA  0.
Định lý: Hệ Cramer có nghiệm duy nhất được xác định bởi công thức

i
i
det A
x
det A

Ở đây A
i
là ma trận nhận được từ A bằng cách thay cột thứ i bởi ma trận vế phải
B
Thí dụ: Giải hệ

1 2 3
1 3
1 2 3
x 2x 3x 8
x 2x 6
3x 4x 6x 30
   


 



   


Ta có
1 2 3
A 1 0 2
3 4 6

 
 

 

 
;
8
B 6
30

 
 

 
 


1
8 2 3

A 6 0 2
30 4 6
 
 
 

 
 
;
2
1 8 3
A 1 6 2
3 30 6
 
 
 

 

 
;
3
1 2 8
A 1 0 6
3 4 30

 
 

 


 

Ở đây detA = 44 ; detA
1
= 40 ; detA
2
= 72 ; detA
3
= 152
Nghiệm của hệ là:

1
40 10
x
44 11
   
;
2
72 18
x
44 11
 
;
3
152 38
x
44 11
 

4.3 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss
Xét hệ (1.11). Ta có các trường hợp xảy ra như sau:
Nếu m > n, tức số phương trình nhiều hơn số ẩn, ta có thể ghép các phương
trình để số phương trình bằng số ẩn.
Nếu m < n, tức số phương trình ít hơn số ẩn, ta có thể chuyển một số hạng
chứa ẩn ở vế trái sang vế phải để nhận được số phương trình bằng số ẩn.
Như vậy ta luôn đưa (1.11) về hệ có số phương trình bằng số ẩn:
AX = B với AM
,n



16

Sử dụng các phép biến đổi về hàng ta luôn đưa được phương trình có ma trận hệ
số dạng tam giác trên.
A
*
X = B
*
(1.13)

* *
ij ,n
A (a )
 ,
ij
a 0

nếu i > j

Giải ngược hệ từ dưới lên ta rút ra giá trị của các nghiệm.
Cách giải:
Bước 1: Lập ma trận [A|B]
Bước 2: Biến đổi [A|B] về dạng [A
*
|B
*
] trong đó A
*
là ma trận tam giác trên.
Bước 3: Giải ngược từ dưới lên tìm các giá trị của nghiệm.
Thí dụ: Giải hệ

1 2 3
1 2 3
1 2 3
x x 2x 1
3x 9x 6x 6
2x 4x 3x 9
  


  


  



 

1 1 2 1
A|B 3 9 6 6
2 4 3 10

 
 

 
 
 

 Nhân hàng 1 với 3 cộng vào hàng 2
Nhân hàng 1 với 2 cộng vào hàng 3.

1 1 2 1
0 6 0 3
0 2 7 8

 
 
 
 
 

 Nhân hàng 2 với
1
3

cộng vào hàng 3


* *
1 1 2 1
A | B 0 6 0 3
0 0 7 7

 
 
 

 
 
 
 

Giải ngược từ dưới lên ta có: 7x
3
= 7  x
3
= 1
6x
2
= 3  x
2
=
1
2


1 2 3 1
1

x x 2x 1 x 2
2
    

4.4 Hệ thuần nhất
Xét hệ thuần nhất AX = 0 (1.14)
Với AM
,n

* Nếu detA  0 , hệ có nghiệm duy nhất
i
x 0 i
 

Nghiệm này gọi là nghiệm tầm thường của hệ thuần nhất.


17

* Nếu detA = 0 , hệ thuần nhất có nghiệm không tầm thường tức là các nghiệm
x
i
không đồng thời bằng 0.

4.5 Hạng của ma trận_Hạng của hệ phương trình tuyến tính tổng quát
a) Hạng của ma trận
Định nghĩa 5.13: Ma trận vuông cấp p suy ra từ A bằng cách bỏ đi mp hàng và
np cột gọi là ma trận con cấp p của A.
Định thức của ma trận con cấp p gọi là định thức con cấp p của A.
Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của định thức con khác không của A.

Kí hiệu: r(A)
Nhận xét:
1) Vì BM
,p
thì detB = detB
t

Nên r(A) = r(A
t
)
2) Nếu biến đổi A về dạng bậc thang thì r(A) bằng số hàng khác không của ma
trận bậc thang suy ra từ A.
b) Hạng của hệ phương trình tuyến tính
Định nghĩa 1.15: Hạng của hệ phương trình tuyến tính tổng quát AX = B là số
hàng khác không của ma trận bậc thang suy ra từ [A|B]=
A

Định lý Kronecker

Capelli
Hệ phương trình tuyến tính tổng quát AX = B có nghiệm khi và chỉ khi
r(A) r(A)

Thí dụ: Biện luận theo a, b nghiệm của hệ phương trình:

1 2 3
1 2 3
1 2 3
x 2x ax 3
3x x ax 2

2x x 3x b
  


  


  


1. Ta có:
1 2 a
detA 3 1 a 2a 21
2 1 3
    

Nếu detA  0 tức
21
a
2
 hệ có nghiệm duy nhất.
2. Nếu detA = 0 tức
21
a
2

Vì
1 2
7 0
3 1

 

nên r(A) = 2
Theo định lý KroneckerCapelli để hệ có nghiệm ta cần
r(A) 2


Thế giá trị
21
a
2
 vào phương trình và đưa [A|B] về dạng bậc thang ta có:


18


1 2 21 2 3
A 3 1 21 2 2
2 1 3 b
 
 
  
 
 

 

Nhân hàng 1 với 3 cộng vào hàng 2
Nhân hàng 1 với 2 cộng vào hàng 3


1 2 21 2 3
3 1 42 7
2 1 18 b 6
 
 
  
 
 
 
 

Nhân hàng 2 với
3
7

cộng vào hàng 3.

1 2 21 2 3
3 7 42 7
0 0 0 b 3


  





Để

r(A) 2

thì b  3 = 0  b = 3
3. Nếu b  3  0 tức
r(A) 3

. Hệ vô nghiệm.
Kết luận:
21
a
2
 hệ duy nhất nghiệm

21
a ,b 3
2
 
hệ vô số nghiệm

21
a ,b 3
2
 
hệ vô nghiệm


19

B
B

à
à
i
i


2
2
:
:


P
P
h
h
é
é
p
p


t
t
í
í
n
n
h
h

v
v
i
i


p
p
h
h
â
â
n
n



1. TẬP HỢP  CÁC PHÉP TOÁN
1.1 Tập hợp
Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học, không có định nghĩa chung.
Người ta thường mô tả tập hợp. Chẳng hạn, tập hợp học sinh trong mỗi lớp, tập hợp
các số tự nhiên, các tập hợp số vô tỉ, số hữu tỉ, tập hợp các điểm của một đoạn
thẳng, tập hợp các nghiệm của một phương trình …
Người ta kí hiệu tập hợp bằng các chữ in hoa: A, B, C…., X,Y
Phần tử của tập hợp là vật (hay đối tượng nghiên cứu) nằm trong tập hợp. Kí hiệu
các phần tử bằng các chữ thường a, b, c,…, x, y Khi cho tập hợp A, phần tử a
thuộc A được viết Aa


; phần tử b không thuộc A được viết Ab

(hay b

A).
Thí dụ:
1- Cho tập X= {1,2,3,4} thì 2

X ; 6

X
2- Gọi X là tập các nghiệm của phương trình x
2
+ 3x  4 = 0
X:={x/ x
2
+ 3x  4 = 0} thì 1

X ; 3

X
3- Các tập hợp số thường gặp N:={0, 1, 2, 3,… } ; N
*
:={1, 2, 3, 4… }; Z; Q;
R…
1.1.1 Cách mô tả tập hợp
Muốn mô tả tập hợp ta phải làm đủ rỏ để biết một phần tử nào đó có thuộc tập
hợp của ta hay không. Thường có 2 cách:
1- Liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp vào trong dấu {}
Thí dụ: A:= {x,y,z,t} Tập hợp này có 4 phần tử x, y, z, t

Có nghĩa x

A, y

A, z

A, t

A
Nhưng u

A,v

A
Việc liệt kê có thể triệt để hoặc không triệt để. Nếu liệt kê không triệt để ta có
thể dùng dấu…
2- Nêu các tính chất đặc trưng của các phần tử tạo thành tập hợp
Thí dụ: K là tập hợp các số chẵn dương
K:= {x/x

N, x chia hết cho 2}
Có nghĩa 4

K nhưng 5

K
1.1.2 Tập con
Cho hai tập A và B, nếu mỗi phần tử của A đều là phần tử của B thì ta nói rằng A
là một tập con của B và viết A


B; nếu A là tập con của B và B có ít nhất một phần
tử không là phần tử của A thì ta nói rằng A là tập con thực sự của B và viết A

B
Nếu A

B ta còn nói A bao hàm trong B ; B chứa A ; A là bộ phận của B.
Thí dụ: cho A := {x / x
2
+3x-4 = 0}
B := {-4,1,2,3} thì AB
C := {-4,1} thì A

C


20

1.1.3 Tập bằng nhau
Cho hai tập A và B, ta nói rằng tập A bằng tập B và viết A=B nếu A

B và B

A
Thí dụ: cho A := {x/x
2
-5x+6=0} và B:= {2,3}
Thì A = B
1.1.4 Tập rỗng
Theo quan niệm thông thường thì một tập hợp cần có ít nhất một phần tử mới có

nghĩa. Tuy nhiên trong toán học để tiện cho việc lập luận người ta đưa thêm vào
khái niệm tập rỗng viết là

. Nó là tập không có phần tử nào và là tập con của bất
kì tập hợp A nào,


A
Thí dụ:
{x

R / x
2
+x+1 = 0} =


1.1.5 Biểu diễn hình học- Biểu đồ Ven
Để dễ hình dung một số quan hệ giữa các tập hợp người ta dùng biễu diễn hình
học gọi là biểu đồ Ven .Xem tập hợp là tập điểm trong một hình vòng phẳng. Mỗi
điểm trong vòng là một phần tử trong tập hợp (H.1). Khi đó quan hệ A

B được
biểu diễn ở hình H.2


1.2 Các phép toán về tập hợp
1.2.1. Phép hợp
Hợp của hai tập hợp A và B là tập hợp C tạo bởi các phần tử thuộc A hoặc thuộc
B
Kí hiệu: C = A


B = {x/ x

A hoặc x

B}
Biễu diễn bằng biểu đồ ven trên H.3

Mở rộng cho nhiều tập hợp A

:



A = A
1

A
2

…

A
n ;


=1 n

21

1.2.2. Phép giao
Giao của hai tập hợp A và B là tập hợp C tạo bởi các phần tử vừa thuộc A vừa
thuộc B
Kí hiệu: C = A

B = {x/ x

A và x

B}
Giao A

B biễu diễn bằng sơ đồ ven trên H.4

Mở rộng cho nhiều tập hợp A

:



A = A
1


A
2



…


A
n
;

=1 n
Đặc biệt nếu C = A

B =

ta nói rằng A và B rời nhau.
1.2.3. Tính chất
Các tính chất sau đối với các phép toán về tập hợp được suy từ định nghĩa:
A

B = B

A
A

B = B

A
A

A = A
A


A = A
(A

B)

C = A

(B

C)
(A

B)

C = A

(B

C)
A

(B

C)=(A

B)

(A

C)

A

(B

C)=(A

B)

(A

C)
Các tính chất trên đều được Chứng minh bằng định nghĩa. Ta Chứng minh tính
chất đầu tiên.
x

A

B

x

A hoặc x

B

x

B hoặc x

A


x

B

A


A

B

B

A
x

B

A

x

B hoặc x

A

x

A hoặc x


B

x

A

B


B

A

A

B
Vậy A

B = B

A
1.2.4. Hiệu của hai tập hợp
Hiệu của hai tập hợp A và B là tập hợp C tạo bởi tất cả các phần tử thuộc A mà
không thuộc B
Kí hiệu: C = A\B := {x / x

A,x

B}

Hiệu A\B biễu diễn bằng sơ đồ ven trên H.5


22

A
Nếu B

A thì A\B =
B
Gọi là phần bù của B trong A (H.6)
Kí hiệu: A\B =
B
= C
A
B
1.2.5. Tích Đề các
Cho hai tập hợp A và B không rỗng , với mỗi a

A và mỗi b

B ta lập cặp (a,b)
gọi là một cặp sắp xếp thứ tự với phần tử của tập A trước và phần tử của tập B sau ,
tích Đề các của tập A và tập B là tập C .
Kí hiệu: C= A x B và được đọc là “A tích Đềcác B” và biễu diễn :
C= A x B := {(a,b) \ a

A,b

B}

Thí dụ:
Cho A={a
1
,a
2
} B={b
1
,b
2
,b
3
}
C=A x B = {(a
1
,b
1
),(a
1
,b
2
),(a
1
,b
3
),(a
2
,b
1
),(a
2

,b
2
),(a
2
,b
3
)}
Mở rộng tích Đề các cho n tập hợp A

,

= n 1 là tập hợp các bộ có thứ tự
(a
1
,a
2
,….,a
n
) *trong đó a



A


Kí hiệu: A
1
x A
2
x… x A

n

Nếu A

= A với


= n 1
thì a



A

và
  
n
xAAxAxAx = A
n

2. ÁNH XẠ
2.1 Định nghĩa
Ánh xạ từ tập E tới tập F là một quy luật f liên hệ giữa E và F sao cho với phần
tử x

E tạo ra duy nhất một phần tử y

F
Kí hiệu: f: E


F hay E 
f
F
Và gọi E là tập nguồn, F là tập đích

Phần tử y

F được tạo ra từ phần tử x

E bởi quy luật f gọi là ảnh của x và x gọi
là tạo ảnh (hay nghịch ảnh) của y. Ta viết:
y =f(x)


23

hay x

y=f(x) hay x 
f
y
f(x) đọc là “f của x” hay “f tại x”
Chú ý rằng mỗi phần tử x

E có duy nhất một ảnh y

F nhưng mỗi y

F có thể
có nhiều tạo ảnh hoặc không có tạo ảnh nào .

Tập tạo bởi các tạo ảnh của tất cả các phần tử x

E gọi là ảnh của E qua F và viết
là f(E).
f(E):= {y / y=f(x), x

E}
Ta luôn có: f(E)

F
Thí dụ:
E là tập các sinh viên trong một lớp học
F là tập tên gọi.
Khi đó có thể xảy ra các trường hợp: mỗi sinh viên có một tên và các tên đó khác
nhau hoặc là có một số sinh viên cùng tên hoặc có những tên mà không có sinh viên
nào đặt cả.

2.2 Đơn ánh
Định nghĩa: Ánh xạ f: E

F được gọi là đơn ánh nếu với x
1

x
2
là hai phần tử
của E thì f(x
1
)


f(x
2
)
(1-1)
Và f(x
1
) = f(x
2
)

x
1
=x
2
(2.1)’
Thí dụ:
1. Ánh xạ f: R

R cho bởi quy luật x
3
=y có nghiệm x=
3
y là một đơn
ánh.
2. Ánh xạ f: R

R
+
cho bởi quy luật x
2

=y có hai nghiệm khác nhau .Vậy
ánh xạ này không là đơn ánh.

2.3 Toàn ánh
Định nghĩa: Ánh xạ f: E

F là một toàn ánh nếu f(E) = F và ta gọi f là ánh xạ từ
E lên F.
Để kiểm tra f có phải là toàn ánh không ta chỉ cần kiểm tra xem với y

F bất kì
có tồn tại nghịch ảnh hay không.
Thí dụ:
1. f : R

R cho bởi x
3
=y Ánh xạ này là một toàn ánh .
2. f : R

R cho bởi x
2
=y Ánh xạ này không là toàn ánh .
3. f : R

R
+
cho bởi x
2
=y Ánh xạ này là một toàn ánh .

2.4 Song ánh
Định nghĩa: Ánh xạ f: E

F gọi là một song ánh nếu nó vừa đơn ánh vừa toàn
ánh.
Thí dụ: