Hình học không gian trong đề thi đại học pps

ĐỀ THI HAY NHẤT - HÌNH HỌC
CÁC ĐỀ TỐT NGHIỆP
TN – 2006
Cho hình chóp SABC có ABCD là hình vuông canh a
, SA vuông góc với đáy, SB = a
3
1. Tính thể tích SABCD
2. Chứng minh trung điểm SC là tâm mặt cầu
ngoại tiếp SABCD
TN – 2007
Cho hình chóp SABC , ABC là tam giác vuông tại B.
SA vuông góc với đáy. Biết SA = AB = CB =a
Tính thể tích khối chóp SABC
TN - 2008
Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh bằng a,
cạnh bên bằng 2a. Goi I là trung điểm của BC
1. Chứng minh SA vuông góc với BC
2. Tính thể tích khối chóp SABI theo a
TN – 2008 lần 2
Cho hình chóp SABC có tam giác vuông tại B, SA
vuông góc với (ABC) .Biết AB = a , BC = a
3
và
SA = 3a
1. Tính thể tích SABC theo a
2. Gọi I là trung điểm của SC, tính BI
TN – 2009
Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác
đều cạnh a, cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết BAC =
120

0

,
tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.
CÁC ĐỀ ĐẠI HỌC
KHỐI A -2006
Hình trụ có 2 đáy O và O’.bán kính = chiều cao = a
A thuộc đtròn O, B thuộc đtròn O’ và AB = 2a
Tính thể tích tứ diện OO’AB
KHỐI D -2006
Hình chóp SABC, ABC là tam giác đều cạnh a,
SA = 2a , SA vuông góc (ABC). Gọi M,N là hình
chiếu vuông góc của A lên SB,SC
Tính thể tích khối chóp ABCNM
KHỐI A1 -2007 DB
Cho lăng trụ đứng ABCA
1
B
1
C
1
có AB = a, AC = 2a,
AA
1

2a 5=
và
o
120BAC =
∧

. Gọi M là trung điểm
của cạnh CC
1
. Chứng minh MB⊥MA
1
và tính khoảng
cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A
1
BM).
KHỐI A2 -2007 DB
Cho hình chóp SABC có góc
( )
o
60ABC,SBC =
∧
,
ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a. Tính theo a
khoảng cách từ đỉnh B đến mp(SAC).
KHỐI B1 -2007 DB
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông
tâm O, SA vuông góc với hình chóp. Cho AB = a, SA
= a
2
. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên
SB, SD. Chứng minh SC ⊥ (AHK) và tính thể tích
hình chóp OAHK.
KHỐI B2 -2007 DB
Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính
AB = 2R và điểm C thuộc nửa đường tròn đó sao cho
AC = R. Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A

lấy điểm S sao cho
( )
o
60SBC,SAB =
∧
. Gọi H, K lần
lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Chứng minh
∆AHK vuông và tính V
SABC
?
KHỐI D1 -2007 DB
Cho lăng trụ đứng ABCA
1
B
1
C
1
có đáy ABC là tam
giác vuông
aACAB ==
, AA
1
= a
2
. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của đoạn AA
1
và BC
1
. Chứng minh

MN là đường vuông góc chung của các đường thẳng
AA
1
và BC
1
. Tính
11
BCMA
V
.
KHỐI D2 -2007 DB
Cho lăng trụ đứng ABCA
1
B
1
C
1
có tất cả các cạnh đều
bằng a. M là trung điểm của đoạn AA
1
. Chứng minh
BM ⊥ B
1
C và tính d(BM, B
1
C).
CĐ 2008
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang,
hai góc BAD = ABC = 90, AB = BC = a , AD = 2a ,
SA vuông góc với đáy và SA = 2a , Gọi M,N lần lượt

là trung điểm SA,SD
1. Chứng minh BCNM là hình chữ nhật
2. và tính thể tích khối chóp SBCNM theo a
KHỐI D 2008
Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy là tam giác
vuông , AB = BC = a, cạnh bên AA’ = a
2
, gọi M là
trung điểm của BC .
1. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ
ABCA’B’C’
2. khoảng cách giữa AM , B’C
KHỐI B 2008
Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông
cạnh 2a, SA = a, SB = a
3
và ( SBC) vuông góc với
đáy . Gọi M,N lần lượt là trung điểm AB, BC .
1. tính theo a thể tích khối chóp SBMDN và
2. tính cosin của góc giữa SM, DN
KHỐI A 2008
Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy
ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a
3
và
hình chiếu vuộng góc của A’ trên (ABC) là trung
điểm cạnh BC .
1. Tính theo a thể tích của khối chóp A’ABC và
2. tính cosin của góc giữa AA’ , B’C’
KHỐI A 2009

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang
vuông tại A và D; AB = AD = 2a; CD = a; góc giữa hai
mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60
0
. Gọi I là trung
điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI)
cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối
chóp S.ABCD theo a.
KHỐI B 2009
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc
giữa đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 60
0
; tam
giác ABC vuông tại C và
·
BAC
= 60
0
. Hình chiếu vuông
góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm
của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo
a.
KHỐI D 2009
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam
giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là
trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và
A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng
cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC).
KHỐI A 2010
Cho hình chóp SABCD , có đáy ABCD là hình

vuông cạnh a, gọi M, N lần lượt là trung điểm của
AB,AD , H là giao điểm của CN, DM .Biết SH vuông
góc với (ABCD) và SH = a
3
.Tính thể tích SCDNM
và khoảng cách giữa DM , SC
KHỐI B 2010
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABCA”B”C” có AB =
a , góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và ( ABC) bằng
60
0
. Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC . Tính thể
tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện GABC theo a
KHỐI D 2010
Cho hình chóp SABC có đáy ABCD là hình vuông
cạnh a , cạnh bên SA = a; hình chiếu vuông góc của
đỉnh S trên (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC , AH
= AC/4 .Goi Cm là đường cao của tam giác SAC .
Chứng minh M là trung điểm SA và thể tích tứ diện
SMBC theo a
ĐÁP ÁN
Khoi d 2006
Khoi b 2006
Khoi a 2006
Khoi a1 db 2007
Cách khác:
+ Ta có
= + =
2 2 2 2

1 1 1 1
A M A C C M 9a

= + − =
2 2 2 0 2
BC AB AC 2AB.AC.cos120 7a


= + =
2 2 2 2
BM BC CM 12a

= + = = +
2 2 2 2 2 2
1 1 1
A B A A AB 21a A M MB

⇒ MB
vuông góc với
1
MA
+ Hình chóp MABA
1
và CABA
1
có chung đáy là tam giác ABA
1
và đường
cao bằng nhau nên thể tích bằng nhau.
⇒ = = = =

3
MABA CABA 1 ABC
1 1
1 1
V V V AA .S a 15
3 3
⇒ = = =
1
MBA 1
1
3V 6V a 5
d(a,(MBA ))
S MB.MA 3
Khoi a2 db 2007
S
A
C
B
M
N
60°
2. Gọi M là trung điểm của BC. thì SM ⊥ BC,
AM ⊥ BC ⇒
( )
o
60ABC ,SBCSMA ==
∧
Suy ra ∆SMA đều có cạnh bằng
2
3a

Do đó
o
SMA
60sin.AM.SM.
2
1
S =
16
3a3
2
3
.
4
a3
.
2
1
22
==
Ta có
SABC SBAM SAM
1
V 2V 2. .BM.S
3
= =
16
3a
16
3a
.a.

3
1
32
=
3
=
Gọi N là trung điểm của đoạn SA. Ta có CN ⊥ SA
⇒
a 13
CN
4
=
(vì ∆SCN vuông tại N)
⇒
2
SCA
1 1 a 3 a 13 a 39
S .AS.CN . .
2 2 2 4 16
= = =
Ta có
( ) ( )
SAC ,Bd.
16
39a
.
3
1
SAC ,Bd.S.
3

1
16
3a
V
2
SCA
3
SABC
===
⇒
( )
3
2
3 3a
d B,SAC a 3
a 39 13
= =
Khoi b1 db 2007
+BC vuông góc với (SAB)
⇒
BC vuông góc với AH mà AH vuông với SB
⇒
AH vuông góc với (SBC)
⇒
AH vuông góc SC (1)
+ Tương tự AK vuông góc SC (2)
(1) và (2)
⇒
SC vuông góc với (AHK )
2 2 2 2

SB AB SA 3a= + =
⇒
SB =
a 3
AH.SB = SA.AB
⇒
AH=
a 6
3
⇒
SH=
2a 3
3

⇒
SK=
2a 3
3
(do 2 tam giác SAB và SAD bằng nhau và cùng vuông tại A)
Ta có HK song song với BD nên
HK SH 2a 2
HK
BD SB 3
= ⇒ =
.
Gọi AM là đường cao của tam giác cân AHK ta có
2
2 2 2
4a
AM AH HM

9
= − =

⇒
AM=
2a
3
3
OAHK AHK
1 1 a 2 1 2a
V OA.S . HK.AM
3 3 2 2 27
= = =
Khoi b2 db 2007
* Chứng minh ∆AHK vuông
Ta có: AS ⊥ CB
AC ⊥ CB (∆ACB nội tiếp
nửa đường tròn)
⇒ CB ⊥ (SAC) ⇒ CB ⊥ AK
mà AK ⊥ SC ⇒ AK ⊥ (SCB)
⇒ AK ⊥ HK ⇒ ∆AHK vuông tại K
* Tính V
SABC
theo R
Kẻ CI ⊥ AB
Do giả thiết ta có AC = R = OA =
OC ⇒ ∆AOC đều
⇒
2
R

IOIA ==
Ta có SA ⊥ (ABC) nên (SAB) ⊥
(ABC) ⇒ CI ⊥ (SAB)
Suy ra hình chiếu vuông góc của ∆SCB trên mặt
phẳng (SAB) là ∆SIB
Vì
AB
4
3
BI =
. Suy ra
SA.R.
4
3
S
4
3
S
SABSIB
==
(∗)
Ta có:
22
SBC
RSA.3R
2
1
SC.BC
2
1

S +==
Theo định lý về diện tích hình chiếu ta có:
22
SBC
o
SBCSIB
RSA
4
3R
S
2
1
60cos.SS +===
(∗∗)
Từ (∗), (∗∗) ta có:
2
R
SA =
Từ đó
12
6R
ABCdt.SA
3
1
V
3
SABC
=∆=
Khoi d 2007
Khoi b 2007

Khoi a 2007
Khoi cd 2008


Khoi d 2008

Khoi b 2008
Khoi a 2008
Khoi cd 2009
Khoi d 2009
2 2 2 2
9 4 5 5AC a a a AC a= − = ⇒ =
2 2 2 2
5 4 2BC a a a BC a= − = ⇒ =
H là hình chiếu của I xuống mặt ABC
Ta có
IH AC⊥
/ /
/
1 2 4
2 3 3
IA A M IH a
IH
IC AC AA
= = ⇒ = ⇒ =
3
1 1 1 4 4
2
3 3 2 3 9
IABC ABC

a a
V S IH a a= = × × =
(đvtt)
Tam giác A’BC vuông tại B
Nên S
A’BC
=
2
1
52 5
2
a a a=
Xét 2 tam giác A’BC và IBC, Đáy
/
/ 2
2 2 2
5
3 3 3
IBC
A BC
IC A C S S a= ⇒ = =
Vậy d(A,IBC)
3
2
3 4 3 2 2 5
3
9 5
2 5 5
IABC
IBC

V a a a
S
a
= = = =
Khoi b 2009
BH=
2
a
,
2 1 3
3
3 2 2 4
BH a a
BN
BN
= ⇒ = =
;
3
'
2
a
B H =
gọi CA= x, BA=2x,
3BC x=
2
2 2 2
2
2
CA
BA BC BN+ = +

2
2
2 2
3
3 4 2
4 2
a x
x x
 
⇔ + = +
 ÷
 
2
2
9
52
a
x⇔ =
Ta có:
3 3
' '
2 2
a
B H BB= =
Khoi a 2009
Từ giả thiết bài tốn ta suy ra SI thẳng góc với mặt phẳng ABCD, gọi J là trung điểm của BC; E là hình
chiếu của I xuống BC.
2a a 3a
IJ
2 2

+
= =
S
CIJ

2
IJ CH 1 3a 3a
a
2 2 2 4
×
= = =
, CJ=
BC a 5
2 2
=
⇒ S
CIJ

2 2
3a 1 1 3a 3a 6a 3a 3
IE CJ IE SE ,SI
4 2 CJ 2
5 5 5
= = × ⇒ = = ⇒ = =
,
[ ]
3
1 1 3a 3 3a 15
V a 2a 2a
3 2 5

5
 
= + =
 ÷
 
A
B
D
C
I
J
E
H
N
C A
B
M
N
H
/
A
A
C
I
M
B

H

C

/

Khoi cd 2010
Khoi d 2010
Khoi b 2010
Khoi a 2010