Bài giảng Phương Pháp Tính - Chương III + IV

Chương 3
GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÀ SIÊU VIỆT
I.Tìm nghiệm thực của một phương trình.
a. Nghiệm thực của phương trình một ẩn – Ý nghĩa hình học.
f(x) = 0; ( 1 )
f – hàm cho trước của đối số x
α - nghiệm thực của ( 1 )
f(α) = 0; ( 2 )
- Vẽ đồ thị y = f(x)
Hoành độ điểm M nghiệm α.
O
y
x
α
M
f(x)
O
y
x
M
α
g(x)
h(x)
~ g(x) = h(x)
đồ thị y
1
= g(x) và y
2
= h(x)
- hoặc (1)

b. Sự tồn tại của nghiệm thực.
Định lý. Nếu có hai số thực a, b
(a < b) sao cho f(a) và f(b) trái
dấu, tức là
f(a).f(b) < 0 ( 3 )
đồng thời f(x) liên tục trên [a, b]
thì trong khoảng [a, b] ít nhất có
một nghiệm thực của phương
trình f(x) = 0.
O
y
x
A
B
a
b
c. Khoảng phân ly nghiệm (tách nghiệm)
Định nghĩa. Khoảng [a, b] nào
đó gọi là khoảng phân ly nghiệm
của phương trình f(x) = 0 nếu nó
chứa một và chỉ một nghiệm
của phương trình đó.
Muốn thế:
trong [a, b] :
- hàm f(x) đơn điệu
O
y
x
A

B
a
b
f’(x) không đổi dấu

II. Các phương pháp xác định gần đúng nghiệm thực của
một phương trình.
1. Phương pháp đồ thị
2. Phương pháp thử.
Ví dụ : Tìm nghiệm của phương trình: f(x) = xlogx – 1,2 = 0;
x
f(x)
1 2 3 4
- 1,2 - 0,5980 0,2313 1,2084
- [2, 3] - khoảng phân ly nghiệm;
- tiếp tục chia nhỏ khoảng [a, b];
- Tính thử giá trị ở các nút; khoảng chứa nghiệm mới;
- Lặp lại các bước trên cho đến khi đạt độ chính xác cần thiết.
Định lý. Nếu hàm số f(x) liên tục và đơn điệu trên khoảng [a, b],
đồng thời f(a) và f(b) trái dấu thì [a, b] là khoảng phân ly nghiệm
của phương trình f(x) = 0.

3. Phương pháp chia đôi. Cho phương trình f(x) = 0;
- Giả sử [a, b] là khoảng phân ly nghiệm α của phương trình.
- Chia đôi khoảng [a, b]
;
2
ba
c
+

=
- Tính f(c)
f(c) = 0 c = α (nghiệm);
f(c) ≠ 0 Xét dấu f(c).f(a) và f(c).f(b);
Khoảng phân ly nghiệm mới [a
1
, b
1
];
);(
2
1
11
abab −=−
- Tiếp tục quá trình chia đôi
[a
2
, b
2
]
);(
2
1
)(
2
1
2
1122
ababab −=−=−
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

);(
2
1
abab
n
nn
−=−
Với a
n
≤ α ≤ b
n
.

- Lấy a
n
hoặc b
n
làm giá trị gần đúng của nghiệm;
- Sai số:
;
2
n
nnn
ab
aba
−
=−≤−
α
( 4 )
;

2
n
nnn
ab
abb
−
=−≤−
α
( 5 )
Ví dụ: Tìm nghiệm của phương trình f(x) = x
4
+ 2x
3
–x – 1 = 0;
f(0) = -1; f(1) = 1
[ ]
;1,0∈
α
f(0,5) = -1,9
[ ]
;1,5,0
∈
α
f(0,75) = -0,59
[ ]
;1,75,0
∈
α
f(0,875) = +0,05
[ ]

;875,0,75,0
∈
α
f(0,8125) = -0,304
[ ]
;875,0,8125,0
∈
α
f(0,8438) = -0,135
[ ]
;875,0,8348,0
∈
α
f(0,8594) = -0,043
[ ]
;875,0,8594,0
∈
α
Lấy
[ ]
;867,0
2
875,08594,0
=
+
≈
α
Sai số mắc phải:
;
2

1
2
2
2
)1(1
2
677
==
−−
=
−
≤−
n
n
ab
a
α

Các bước tính:
Cho phương trình f(x) = 0;
- Ấn định sai số cho phép;
- Xác định khoảng phân ly nghiệm (p
2
đồ thị, p
2
thử . . .);
- Giải theo sơ đồ: c = (a+b)/2; f(c)
f(c).f(a)<0
Thay b = c
Thay a = c

e = b - a
e < ε
α ≈ a; α – a < ε
α ≈ b; α – b < ε
đ
s
đ
s
Nhận xét: - Thuật toán đơn giản; - Hội tụ chậm.

4. Phương pháp lặp.
Cho phương trình f(x) = 0 có nghiệm thực trong khoảng [a, b];
- Viết lại x + f(x) – x = 0; Đặt φ(x) = x + f(x);
x = φ(x);
- Sơ bộ chọn giá trị gần đúng đầu tiên của nghiệm:
[ ]
;,bax
o
∈
( 6 )
( 6 ): x
1
= φ(x
o
);
x
2
= φ(x
1
);

. . . . . . . . .
x
n
= φ(x
n-1
); n = 1, 2, . . . ( 7 )
- Hàm φ(x) gọi là hàm lặp.
- Giả sử khi n ; x
n
nghiệm α của ph/trình (1)
∞
phương pháp lặp hội tụ, có thể coi x
n
là nghiệm gần đúng
của ( 1 ).
-
Quá trình tính cũng có thể phân kỳ, x
n
ngày càng đi xa khỏi
nghiệm.
Sự hội tụ của quá trình tính.

x
x
2
x
1
x
3
x

0
α
y
=
φ
(
x
)
y
=
x
O
y
y
=
x
y=φ(x)
O
y
x
x
1
x
2
x
o
x
3
α
Định lý về sự hội tụ. Giả sử:

- [a, b] là khoảng phân ly nghiệm α của phương trình f(x) = 0;
- Mọi x
n
tính theo ( 7 ) đều
[ ]
;,ba∈
- Hàm φ(x) có đạo hàm hạng nhất thoả mãn điều kiện:
q - hằng số;
- Phương pháp lặp ( 6) hội tụ với mọi x
[ ]
;,ba∈
;)(
n
n
qabx −≤−
α
x
n
α khi n
∞
;,1)(' bxaqx <<<≤
ϕ
( 8 )
( 9 )

Sai số của phép tính:
Có thể dùng ( 9 ) nhưng công thức này thường cho sai số quá
lớn so với thực tế ước lượng sai số theo công thức:
;;)('min bxaxfm <<=
;

(
m
xf
x
n
n
≤−
α
( 10 )
Chú ý:
[ ]
;,ba∈
- Nếu φ’(x) > 0; Có thể chọn x
o
bất kỳ
- Nếu φ’(x) < 0:
xét dấu






+
2
).(
ba
faf
Các bước tính.
- Tìm khoảng phân ly nghiệm [a, b].

- f(x) =0 x = φ(x) đảm bảo điều kiện hội tụ:
φ’(x) < 1 ; a ≤ x ≤ b
;
2
ba
aax
o
+
<<=
α
khi
;
2
b
ba
bx
o
<<
+
=
α
khi

Để đảm bảo điều kiện hội tụ, có thể làm như sau:
Đặt
);()( xfxx
λϕ
−=
Chọn λ từ điều kiện:
;0)('1)(' =−= xfx

λϕ
( < 1 )
;
)('
1
o
xf
=
λ
- Lập bảng tính các giá trị của x và φ(x) theo ( 7 ).
- Trong thực tế, thường dừng q/trình tính khi:

x
n
– x
n-1
< sai số cho phép ε
-Kết quả x
n
≈ α với sai số tính theo (10).

0
2
).( <







+ ba
faf
x = a
x = b
y = φ(x)
y – x < ε
α = y
x = y
đ
s
s
Sơ đồ tính:

y = φ(x)
y – x < ε
α = y
x = y
s
Sơ đồ tính:
x=x
o

5. Phương pháp tiếp tuyến (phương pháp Niutơn).
Nội dung: thay ( 1 ) = phương trình gần đúng, tuyến tính x.
Cơ sở : khai triển Taylo:
-
Hàm F(x) xác định và có đạo hàm đến cấp n+1 tại x
o
và lân
cận x

o
.
- Khai triển Taylo bậc n của F(x) tại x
o
:
);(
)!1(
)(
)(
!
)(
)("
!2
)(
)(')()()(
)1(
1
)(
2
cF
n
xx
xF
n
xx
xF
xx
xFxxxFxF
n
n

o
o
n
n
o
o
o
ooo
+
+
+
−
+
−
+
+⋅⋅⋅+
−
+−+=
;10);( <<−+=
θθ
oo
xxxc
- Giả sử f(x) =0 :
- Có nghiệm thực α phân ly trong [a, b];
- Có đạo hàm f’(x) ≠ 0 tại x [a, b];
∈
- Có đạo hàm cấp hai f’’(x) tại x [a, b];
∈
- Chọn x
o

[a,b] khai triển Taylo bậc nhất của f(x) tại x
o
:
∈
( 11 )
);(")(
2
1
)(')()()(
2
cfxxxfxxxfxf
oooo
−+−+=
( 12 )

•
Ý nghĩa hình học: thay đường cong y = f(x) bằng tiếp
tuyến kẻ từ A(a,f(a)) hay B(b,f(b)), coi hoành độ giao điểm của
tiếp tuyến với trục hoành là nghiệm gần đúng của ( 1 ).
Đặt: - x
o
= a, nếu tiếp tuyến kẻ từ A;
- x
o
= b, nếu tiếp tuyến kẻ từ B;
Phương trình tiếp tuyến của y = f(x) tại [x
o
, f(x
o
)] :

Giao điểm với trục hoành (x
1
, y
1
=0)
);)((')(
ooo
xxxfxfy −=−
( a )
Bỏ qua số hạng cuối, (1)
;0)(')()(
=−+
ooo
xfxxxf
( 13 )
;
)('
)(
1
o
o
o
xf
xf
xx −=
;
)('
)(
1
1

12
xf
xf
xx −=
;
)('
)(
1
n
n
nn
xf
xf
xx −=
+
. . .
( 14 )
;lim
α
=
n
x
∞→
n
);)((')(
ooo
xxxfxf −=−
( b )

Tiếp tục vẽ tiếp tuyến với điểm [ (x

1
, f(x
1
) ]
;
)('
)(
1
o
o
o
xf
xf
xx −=
;
)('
)(
1
n
n
nn
xf
xf
xx −=
+
x
y
O
A
B

α
x
o
=a
x
1
x
2
b
x
y
O
x
o
=bx
1
x
2
α
a
A
B
;
)('
)(
1
1
12
xf
xf

xx −=
. . .

* Định lý về sự hội tụ. Giả sử:
- [a, b] là khoảng phân ly nghiệm của f(x) = 0;
- f có đạo hàm f’, f” với f’ và f” : + liên tục trên [a, b];
+ không đổi dấu trên [a, b];
- xấp xỉ x
o
chọn f(x
o
).f”(x
o
) > 0;
- x
n
theo (14) α khi
∞→n
* Sai số. Lấy x
n
nghiệm gần đúng sai số:
;
)(
m
xf
x
n
n
≤−
α

;)('0 xfm ≤<
;bxa ≤≤
với
Trong thực tế, thường dừng quá trình tính khi:
x
n
– x
n-1
< ε
(sai số cho phép)
( 15 )
( 16 )
* Chú ý.
-
Phương trình (13) thay cho (1) là tuyến tính đối với x nên
phương pháp Niutơn cũng gọi là phg pháp tuyến tính hoá;
- (14) p/pháp Niutơn cũng là p/pháp lặp với hàm lặp:
;
)('
)(
)(
xf
xf
xx −=
ϕ

Sơ đồ tóm tắt các bước giải:
1/ Cho phương trình f(x) = 0;
2/ Ấn định sai số cho phép ε;
3/ Tìm khoảng phân ly nghiệm;

;
)('
)(
1
o
o
o
xf
xf
xx −=
;
1 o
xxe −=
e < ε
x
o
= x
1
x = α
5/ Tính sai số mắc phải theo (15)
4/ Chọn đầu tính x
o
f(xo).f”(xo) > 0;

6. Phương pháp dây cung.
* Giả sử: - ( 1 ) có nghiệm α duy nhất trên [a, b];
- f’(x) và f”(x) không đổi dấu trên [a, b];
* Thay đường cong f(x) bằng dây cung nối A[a,f(a)], B[b,f(b)];
* Hoành độ giao điểm của dây cung AB với trục hoành
nghiệm gần đúng.

O
x
y
A
B
a x
1
x
2
α
b
* Phương trình dây cung AB:
;
)()(
)(
ab
xX
afbf
afY
a
−
−
=
−
−
Tại giao điểm: Y = 0; X = x
1
;
;
)()(

)()(
1
afbf
afab
ax
−
−
−=
( 17 )
;
)()(
)()(
1
afbf
abfbaf
x
−
−
=
( 18 )
* Xét dấu f(a).f(x
1
) khoảng phân ly nghiệm mới, tiếp tục tính
đến khi: a – b < ε – sai số cho phép.
* Sai số tính theo ( 15 ).

Các bước tính:
1/ Cho f(x) = 0;
2/ Ấn định sai số cho phép;
3/ Tìm khoảng phân ly nghiệm;

4/ Tính theo sơ đồ:
;
)()(
)()(
1
afbf
abfbaf
x
−
−
=
f(x
1
).f(a)<0
e = b – a
α
≈
1
x
b = x
1
a = x
1
e < ε
đ
s
s
đ
5/ Tính sai số theo (15).

Ví dụ. Tìm nghiệm gần đúng của phương trình
f(x) = x
3
– x – 1 = 0;
1. Điều kiện phương trình có nghiệm thực và tìm khoảng
phân ly nghiệm.
-
Hàm số xác định và liên tục
tại mọi x
- f’(x) = 3x
2
– 1 = 0 tại
3/1±=x
- Bảng biến thiên hàm số:
x
f’(x)
f(x)
∞−
∞+
3
1
−
3
1
+
0
0
+
_
+

M
m
;01
3
1
33
1
)
3
1
( <−+−=−= fM
đồ thị hàm số chỉ cắt trục hoành tại một điểm, phương trình
có một nghiệm thực trong khoảng
[ ]
∞,3/1
- Chọn khoảng chứa nghiệm [1, 2]
f(1) = 1 – 1 – 1 = - 1 <0
f(2) = 8 – 2 – 1 = 5 >0
f(1).f(2) < 0 khoảng [1, 2]
chứa nghiệm.
Với sai số cho phép ε =10
-3

2. Tìm gần đúng nghiệm bằng phương pháp chia đôi.
1, 2, 1,5 -1 5 0,875 <0
1, 1,5 1,25 -1 0,875 -0,29687 >0
1,25 1,5 1,375 -0,29687 0,875 0,22461 <0
1,25 1,375 1,3125 -0,29687 0,22461 -0,0515 >0
1,3125 1,375 1,34375 -0,0515 0,22461 0,08261 <0
1,3125 1,34375 1,32812 -0,0515 0,08261 0,01456 <0

1,3125 1,32812 1,3203 -0,0515 0,01456 -0,0187 >0
1,3203 1,32812 1,3242 -0,0187 0,01456 -0,0022 >0
1,3242 1,32812 1,3261 -0,0022 0,01456 0,0059 <0
1,3242 1,3261 1,3251 -0,0022 0,0059 0,00163 <0
1,3242 1,3251 1,32465 -0,00216 0,00185 -0,000289
a b c f(a) f(b) f(c) f(a).f(c)
Lấy α = 1,32465 với sai số < ε =10
-3
.

3. Giải bằng phương pháp lặp.
f(x) = x
3
– x – 1 = 0;
- Đặt x = φ(x) = x
3
– 1 ;
- Đặt x = φ(x) = x – λf(x) với
)(
1
0
xf
′
=
λ
f’(x) = 3x
2
-1 f’(2) = 11;
11
1

=
λ
);1(
11
1
)(
3
−−−== xxxxx
ϕ
)13(
11
1
1)(
2
−−=
′
xx
ϕ
x = 1 φ’(x) = 1-(2/11) <1; x = 2 φ’(x) = 0 <1
φ’(x) = 3x
2
≥ 3 tại mọi x trong khoảng [1, 2] không
đảm bảo điều kiện hội tụ.
3
2
3/2
)1(
1
3
1

)1(
3
1
)(
+
⋅=+=
′
−
x
xx
ϕ
- Hoặc đặt x
3
= x + 1;
3/1
)1()( +== xxx
ϕ
3/1)(0
<
′
<
x
ϕ
tại mọi
[ ]
2,1∈x
đảm bảo điều kiện hội tụ.

x
o

1,0 1,259921
x
1
1,259921 1,3122938
-0,259921
x
2
1,3122938 1,3223538
-0,052373
x
3
1,3223538 1,3242687
-0,010060
x
4
1,3242687 1,3242826
-0,001915
x
5
1,3242826 1,3246326
-0,00185
-0,000364
x
6
1,3246326
x φ(x) x
i+1
– x
i
N

o
Lấy α = 1,3246326 sai số sẽ < ε = 10
-3
.
Lập bảng tính:

x φ(x) x
i+1
– x
i
N
o
1 1 1,2599
2 1,2599 1,3123
0,2599
3 1,3123 1,3223
0,0524
4 1,3223 1,3243
0,01
5 1,3243 1,3246
0,002
6 1,3246 1,3247
0,0003
Lấy α = 1,3247 sai số sẽ < ε = 10
-3
.

4. Giải bằng phương pháp tiếp tuyến.
Công thức tính:
)(

)(
xf
xf
xx
′
−=
f’(x) = 3x
2
– 1 > 0 trong khoảng [1, 2]
f”(x) = 6x > 6 trong khoảng [1, 2]
f(1) = -1; f(2) = 5;
f(2).f”(2) > 0
Chọn đầu tính x = 2.
Lập bảng tính: