chứng minh bất đẳng thức đối xứng 3 biến

Mai Xuân Việt – Email: – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201
- 1 -
MỘT PHƢƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ĐỐI XỨNG 3 BIẾN.
Bất đẳng thức đối xứng ba biến là một trong các dạng bất đẳng thức thường gặp nhất trong các
kì thi hiện nay. Phương pháp để chứng minh một bất đẳng thức rất đa dạng, một sau đây tôi xin
trình bày một phương pháp chứng minh rất hiệu quả mà đôi khi các bạn có thể ít dùng tới nó.
I-Giới thiệu về Bất đẳng thức Schur:
1/ BĐT Schur : Với mọi số không âm a, b, c, r ta luôn có:

        
0
r r t
a a b a c b b a b c c c a c b        
(*)
2/ Chứng minh BĐT:
Do vai trò của a, b, c trong BĐT là như nhau nên ta có thể giả sử
abc
.
Viết lại BĐT (*) bằng cách nhóm nhân tử chung ta được:
        
0
r r r
a b a a c b b c c a c b c

       

.
Dễ thấy BĐT đúng với mọi
0abc  
. (đpcm)

Hai trường hợp quen thuộc được sử dụng nhiều nhất là r=1 và r=2 :

        
0a a b a c b b c b a c c a c b        


        
2 2 2
0a a b a c b b c b a c c a c b        
.
3/ Phƣơng pháp biến đổi p, q, r.
Đặt
;;p a b c q ab bc ca r abc      
. Khi đó ta có a, b, c là nghiệm của phương trình
bậc ba sau :
32
0t pt qt r   
hay
3 2 3 2 1
(**)
n n n n
t pt qt r t pt qt rt
  
      

Đặt
n n n
n
S a b c  
, từ (**) ta có :

3 2 1n n n n
S pS qS rS
  
  
.
Ta lại có :
2
0 1 2
3 ; ; 2S S p S p q   
. Áp dụng công thức trên ta tính được
3 4 2 2
3 4 5 6
3 3 ; 4 2 4 ; ; S p pq r S p p q q pr S S       

Và ta cũng thu được một số bất đẳng thức khác như sau :
     
   
     
        
2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 2
4 4 4 4 4 4 4 2 2 2 2
3
2
2
33
4 2 4
ab a b bc b c ca c a pq r

a b b c c a pq r
ab a b bc b c ca c a p q q pr
a b a c b c b a c a c b p q
a b b c c a q pr
a b b c c a q pqr r
a b b c c a q pq r p r qr
      
    
       
         
   
    
     

Đặt
2 2 2 3 3
18 27 4 4L p q pqr r q p r    
, khi đó :

   
2 2 2
3
2
pq r L
a b b c c a
a b b c c a L

  
    
.

Một số ràng buộc ban đầu giữa các biến
,,pqr
:

2
3
2
3
27
3
pq
pr
q pr
pq r






Mai Xuân Việt – Email: – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201
- 2 -

3
22
4 2 2
27 9 7
34
4 6 5
p r pq

p q pr q
p q pr p q


  

Sau đây ta sẽ biến đổi BĐT Schur qua ba biến p, q, r như sau:
Với r=1, ta có:
  
 
32
0 2 0
cyclic cyclic
a a b a c a pa abc      



   
3 3 3 2 2 2 3
2 3 0 4 9 0 (1)a b c p a b c abc p pq r          
.
Với r=2, ta có:
  
 
2 4 3 2
0 2 0
cyclic cyclic
a a b a c a pa a bc      


   
 
4 4 4 3 3 3 4 2 2
2 0 5 4 6 0 (2)a b c p a b c abc a b c p p q q pr             
.
II-Một số bài tập ví dụ:
Bài toán 1: Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng :

   
 
2 2 2
2 2 2 9a b c ab bc ca     
(APMO 2004)
Lời giải: Khai triển bất đẳng thức trên, ta cần chứng minh:

   
 
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 4 8 9a b c a b b c c a a b c ab bc ca         

Ta có:
2 2 2
a b c ab bc ca    


     
 
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2a b b c c a ab bc ca       

     
3
2 2 2 2 2 2
2
9
1 1 3.
4
abc
a b c a b c
abc
ab bc ca a b c theo BDT Schur
   

     

Áp dụng các bất đằng thức trên ta có:

     
   
 
 
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 3 4
2 4 3
9 ( )
a b c a b b c c a a b c
ab bc ca ab bc ca a b c

ab bc ca dpcm
       
        
  

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. 
Bài toán 2: Cho các số a, b, c thoả mãn
4 4 4
3abc  
. Chứng minh rằng :

1 1 1
1
4 4 4ab bc ca
  
  
(Moldova TST 2005)
Lời giải: Quy đồng mẫu số rồi khai triển, ta cần chứng minh :

       
2 2 2
49 8 64 16 4ab bc ca a b c abc ab bc ca a b c abc a b c             


   
2 2 2
16 3 8a b c abc a b c ab bc ca       

Áp dụng BĐT Schur và giả thiết
4 4 4

3abc  
, ta có:

 
         
       
3 3 3
2 2 2
3
33
a b c abc a b c ab a b bc b c ca c a a b c
abc a b c ab bc bc ca ca ab
            


         

Áp dụng BĐT AM-GM, ta có :

       
   
2 2 2
12 8
15 3 8
ab bc bc ca ca ab ab bc ca
abc a b c ab bc ca
        
      

Mặt khác ta lại có

2 2 2
1 abc
. ( từ giả thiết
4 4 4
3abc  
)
Cộng hai BĐT lại, ta có ngay đpcm. Đẳng thức xảy ra
1.abc   

Bài toán 3: Cho các số không âm thoả mãn
3abc  
. Chứng minh rằng :

Mai Xuân Việt – Email: – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201
- 3 -

1 1 1 3
9 9 9 8ab bc ca
  
  
(Crux mathematicorum)
Lời giải: Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh và chuyển về dạng p, q, r ta có :

 
 
2
8 243 18 3 3 729 81 27p r q r r     


2

243 99 57 3 0q r r    
.
Theo BĐT AM-GM thì :

 
6
2
22
3 3 3 3 1.
3
abc
abc r r


    



Theo BĐT Shur, ta có :

 
 
2
3
4
49
4 3 0 57 19 4 9
33
p q p
q

p pq r r r q


        

Nên ta cần chứng minh
 
 
22
72 23 3 0 3 1 23 3 0q r r q       
(đúng).
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =1.
Bài toán 4: Cho các số dương a, b, c thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng :

 
2 2 2
1 1 1
32abc
abc
     
(Vietnam MO 2006, Bảng B)
Lời giải: Đặt
1 1 1
;;x y z
a b c
  
, ta có xyz = 1, đồng thời biến đổi thành p, q, r ta có bất
đẳng thức trở thành :
22
2 3 2 4 3.p q q q p     

Mặt khác theo BĐT Shur, ta có :
   
3 2 2
4 9 0 9 4 3 4 ( 3 )p pq r p q p q p do p r        
,
suy ra đpcm.
Đẳng thức xảy ra a = b = c = 1.
Bài toán 5: Cho các số không âm x, y, z không có 2 số nào đồng thời bằng 0. Chứng
minh rằng :
 
     
2 2 2
1 1 1 9
.
4
xy yz zx
x y y z z x

    


  

(Iran MO 1996)
Lời giải: Sử dụng phương pháp biến đổi p, q, r ta chuyển BĐT về dạng :

 
 
 

2
2
4
9
.
4
p q q pq r
q
pq r

  






Biến đổi tương đương và rút gọn, ta cần chứng minh :

4 2 2 3 2
4 17 4 34 9 0p q p q q pqr r    


   
 
3 4 2 2
4 9 5 4 6 9 0pq p pqr r q p p q q pr r pq r         
.
Theo BĐT Shur, ta có bất đẳng thức cuối đúng nên ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và
chỉ khi x = y = z và x=y, z=0 hoặc các hoán vị tương ứng.

III- Một số bài tập dành cho bạn đọc tự luyện:
Bài 1: Cho các số thực a, b, c thoả mãn
2 2 2
9abc  
. Chứng minh rằng :

 
2 10a b c abc   
(Vietnam MO 2002)
Bài 2: Cho các số dương a, b, c thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng :

 
   
2 2 2
2 12 3 3a b c a b c ab bc ca        
(Balkan MO 1999)
Bài 3: Cho các số dương a, b, c thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng :

Mai Xuân Việt – Email: – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201
- 4 -

36
1
a b c ab bc ca

   
(Vasile Cirtoaje)
Bài 4: Cho các số không âm a, b, c thoả mãn
69ab bc ca abc   

. CMR :

36a b c abc   
(China MO 1992)
Bài 5: Cho 3 số dương a, b, c thoả a + b +c = 1, chứng minh rằng :

   
3 3 3 5 5 5
10 9 1a b c a b c     
(China 2005)
Bài 6: Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn
3ab bc ca  
, chứng minh rằng :

3 3 3
69a b c abc   
( Poland 2005)
Bài 7: Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn
2 2 2
3abc  
, chứng minh rằng :

1 1 1 3
1 1 1 2ab bc ca
  
  
(Belarus 1999)
Bài 8: Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn
1x y z  
, chứng minh rằng :

2 2 2
4
27
x y y z z x  
(Canada 1999).

Name : Mai Xuân Việt
Address : Đội II – thôn Dƣơng Quang – Xã Đức Thắng – Huyện Mộ Đức – Tỉnh
Quảng Ngãi .
Email :
Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201



Mai Xuân Việt – Email: – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201
- 5 -