Một số phân phối rời rạc quan trọng - 1 pot

Một số phân phối rời rạc quan trọng

1. Phân phối nhị thức.
Định nghĩa 1.1. Xét dãy n phép thử Bernoulli với xác suất thành công trong mỗi
phép thử là p. Ký hiệu X là số lần “thành công” xuất hiện trong dãy n phép thử.
Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối nhị thức với tham số (n, p), ký hiệu
B(n, p) với
p
X
(k) = P(X = k) = ; k = 0, 1, , n
Ví dụ 1.2. Gieo liên tiếp ba lần đồng xu cân đối và đồng chất. Gọi X là số lần xuất
hiện mặt sấp trong 3 lần gieo. Tìm phân phối xác suất của X. Tính xác suất để
trong 3 lần gieo có nhiều nhất 1 lần xuất hiện mặt sấp.
Giải. Coi việc gieo 3 lần đồng xu như tiến hành 3 phép thử Bernoulli với xác suất
xuất hiện mặt sấp là p = . Vậy X có phân phối nhị thức tham số n = 3, p = ,
nghĩa là
P(X = k) =
hay dưới dạng bảng
X 0 1 2 3
P

* Xác suất cần tìm là
P(X £ 1) = P[X = 0] + P[X = 1] =
Định lý 1.3. Nếu X là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức B(n, p) thì
E(X) = np và D(X) = np(1-p)
Chứng minh. Trước hết ta đi xác định momen gốc bậc k của X. Ta có

Đặt j = i -1 ta nhận được
,
ở đó Y là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức B(n – 1, p).
Vậy khi cho k = 1 ta nhận được EX = np. Cho k = 2 ta có

Từ đó,

2. Phân phối Poisson.
Định nghĩa 2.1. Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Poisson với tham số l
> 0 nếu phân phối xác suất của nó có dạng:
P(X = k) = , k = 0, 1, 2,….
Trong thực tiễn, có nhiều biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối Poisson, chẳng
hạn
* Số lỗi trong trang của một quyển sách.
* Số khách hàng vào một ngân hàng ở ngày nào đó.
Biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh
vực vì chúng có thể được dùng như một xấp xỉ của biến ngẫu nhiên có phân phối
nhị thức B(n, p) khi n lớn và p đủ nhỏ sao cho np có kích thước vừa phải. Thật
vậy, giả sử X có phân phối nhị thức B(n, p) thì
P
n
(k) = P(X = k) =
=

Do

nên ta nhận được
,
hay X có xấp xỉ phân phối Poisson tham số l = np.
Ví dụ 2.2. Một trường học có 500 học sinh. Tính xác suất để trong trường có nhiều
nhất 5 học sinh có cùng ngày sinh nhật là ngày 1/5.
Giải. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số học sinh có ngày sinh nhật là ngày 1/5 thì X
có phân phối nhị thức , nghĩ a là
, k = 0, 1, 2,…, 500.

Vậy
.
Việc tính toán tiếp tục ở đay khó khăn. Tuy nhiên áp dụng xấp xỉ trên, ta coi X có
xấp xỉ phân phối Poisson tham số thì
.
Định lý 2.3. Nếu X là biến ngẫu nhiên có phân phối Poison tham số thì