Định nghĩa xác suất và các tính chất trong môn xác suất thống kê - 1 pps

Định nghĩa xác suất và các tính chất
1.1. Không gian mẫu và không gian biến cố
1.1.1 Không gian mẫu
Tiến hành thực hiện một phép thử (thí nghiệm). Giả sử ta không biết trước được
kết quả của phép thử nhưng ta sẽ biết tập tất cả các kết quả có thể của phép thử. Ta
có một phép thử ngẫu nhiên.
Tập tất cả các kết quả có thể của phép thử được gọi là không gian mẫu của phép
thử, ký hiệu . Với một phép thử, ta có thể xác định không gian mẫu theo nhiều
cách.
Ví dụ 1.1.1. Gieo 2 đồng xu. Ký hiệu S là kết quả “mặt sấp xuất hiện” và N là kết
quả “mặt ngửa xuất hiện” thì ta có thể xác định
i
1
) = {SS, SN, NS, NN} để chỉ thứ tự dãy các kết quả xuất hiện hoặc
i
2
) = {0, 1, 2} để chỉ số lần mặt ngửa xuất hiện.
Nếu chứa hữu hạn hoặc vô hạn đếm được các phần tử thì được gọi
là không gian mẫu rời rạc.
Ví dụ 1.1.2.
i
1
) Gieo một con xúc xắc: = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
i
1
) Gieo một đồng xu cho đến khi mặt sấp xuất hiện: = {N, NS, NNS,
NNNS, …}
Trong các trường hợp khác, là một tập không đếm được thì được gọi
là không gian mẫu liên tục.
Ví dụ 1.1.3. Thời gian hoạt động của một bóng đèn: = .
1.1.2 Không gian biến cố

Mỗi phần tử được gọi là một biến cố sơ cấp.
Mỗi tập con của được gọi là một biến cố (ngẫu nhiên), ký hiệu A, B,…Khi
phép thử được thực hiện, ta nói biến cố A xảy ra nếu kết quả xuất hiện là một phần
tử của A.
Ví dụ 1.1.4. Gieo 1 xúc xắc. Ký hiệu A là biến cố “mặt có số chẵn chấm xuất hiện
“, tức là A = {2, 4, 6}. Nếu mặt 2 hoặc 4 hoặc 6 xuất hiện khi ta gieo xúc xắc, ta
nói biến cố A xảy ra.
Biến cố nhất định xảy ra trong 1 phép thử được gọi là biến cố chắc chắn, ký hiệu
.
Biến cố không thể xảy ra trong 1 phép thử được gọi là biến cố không thể, ký hiệu
.
Mỗi biến cố là một tập hợp nên ta có thể sử dụng các kết quả của lý thuyết tập hợp
để xây dựng mối quan hệ giữa các biến cố.
 Đại số và -đại số các tập hợp
Định nghĩa 1.1.5. Cho là một tập hợp khác rỗng. Lớp các tập con của W
được gọi là một đại số nếu:
i
1
/ .
i
2
/ Nếu A thì , ở đó = \ A.
i
3
/ Nếu A, B thì A B .
Từ định nghĩa trên dễ thấy nếu là một đại số thì và nếu A, B thì
A B .
Ví dụ 1.1.6. Giả sử A là một tập con của . Khi đó: = { , , A, } tạo
thành một đại số.
Ví dụ 1.1.7. Giả sử = [0; 1) và là một lớp các tập con của mà mỗi tập hợp

thuộc là hợp của một số hữu hạn những khoảng không giao nhau dạng [a; b).
Khi đó lớp là một đại số các tập con của .
Định nghĩa 1.1.8. Lớp các tập hợp con của được gọi là -đại số các tập con
của hay không gian biến cố nếu:
i
1
/
i
2
/ Nếu A thì .
i
3
/ Nếu A
1
, A
2
,…,A
n
,… thì .
Mọi -đại số đều là đại số. Nếu có hữu hạn phần tử thì mọi đại số trên cũng
là -đại số. Tuy nhiên trong trường hợp tổng quát, khẳng định này không còn
đúng.
Định lí 1.1.9. Với mỗi lớp K các tập hợp con của , tồn tại một -đại số nhỏ
nhất trên chứa K được gọi là -đại số sinh bởi K, ký hiệu (K).
 -đại số Borel
Định nghĩa 1.1.10. Giả sử = R = (- ; + ) và K là lớp các khoảng dạng [a;b).
Khi đó, (K) được gọi là -đại số Borel của R, ký hiệu B(R). Mỗi phần tử của
B(R) được gọi là một tập Borel.
Từ định nghĩa trên ta suy ra: {a}, [a;b], (a,b) đều là tập Borel.
 Các phép toán với biến cố

Cho A, B, C, A
1
, , A
n
là các biến cố trong không gian mẫu . Khi đó,
- A được gọi là kéo theo B, ký hiệu A Ì B nếu sự xảy ra của A kéo theo sự
xảy ra của B.
- Tổng của A và B, ký hiệu A B là biến cố xảy ra nếu A hoặc B xảy ra.
- Tích của A và B, ký hiệu A B hay AB là biến cố xảy ra nếu A và B xảy
ra.
- Hiệu của A và B, ký hiệu A \ B là biến cố xảy ra nếu A xảy ra và B không
xảy ra.
- Biến cố = \ A được gọi là biến cố đối lập của biến cố A.
- Nếu A B = thì A và B được gọi là xung khắc với nhau.
- Dãy n biến cố A
1
,A
2
,…,A
n
lập thành một hệ đầy đủ các biến cố nếu
i
1
/ A
1
A
2
… A
n
=

i
2
/ A
i
A
j
= với mọi (xung khắc từng đôi).
Cần lưu ý một số tính chất sau:
* A B = B A; A B = B A
* A (B C) = (A B) C = A B C;
A (B C) = (A B) C = A B C
* A (B C) = (A B) (A C); A (B C) = (A B) (A
C)
* A = W ; A = .
*

1.2. Không gian xác suất
1.2.1 Không gian xác suất tổng quát
Định nghĩa 1.2.1. Hàm P xác định trên được gọi là độ đo xác xuất nếu
i
1
/
i
2
/
i
3
/ Nếu A
1
,A

2
,… là một dãy các biến cố xung khắc từng đôi thì

Bộ ba ( , , P) được gọi là không gian xác suất tổng quát. Tập được gọi là
không gian biến cố sơ cấp. Tập được gọi là biến cố và P(A) là xác suất của
biến cố A.
Ví dụ 1.2.2. Với mỗi x
0
R cố định và tập B B(R), đặt

Khi đó, (R, B(R), ) là một không gian xác suất và được gọi là độ đo Đirac tại
điểm x
0
.
1.2.2 Một số ví dụ về không gian xác suất
 Không gian xác suất rời rạc
Cho = {
1
,
2
,
3
,…,
n
,…} và là dãy số không âm thoả mãn
Ký hiệu là họ tất cả các tập con của . Dễ thấy là một -đại số.
Với mỗi , ta định nghĩa
P(A) =
Dễ kiểm tra được P(A) là một độ đo xác suất và P(A) được gọi là độ đo xác suất
rời rạc.

Trong trường hợp = {
1
,
2
,…,
n
}là không gian mẫu chứa các biến cố sơ
cấp
1
,
2
,…,
n
đồng khả năng, nghĩa là
,
Khi đó, với biến cố A = { }, {
1
,
2
,…,
n
}, 0 m
n và độ đo xác suất rời rạc xác định như trên thì