Bài giảng xác suất thống kê ( Nguyễn Văn Thìn ) - Chương 1 potx

Tập hợp - Giải tích tổ hợp

Bài Giảng Mơn học
Xác Suất và Thống Kê
Nguyễn Văn Thìn
Khoa Tốn - Tin Học
Đại Học Khoa Học Khoa Học Tự Nhiên Tp.HCM

Ngày 4 tháng 9 năm 2011


Tập hợp - Giải tích tổ hợp

Nội dung

Tập hợp - Giải tích tổ hợp
Tập hợp
Giải tích tổ hợp


Tập hợp - Giải tích tổ hợp

Khái niệm về tập hợp

• Khái niệm tập hợp là một khái niệm khơng có định nghĩa,

tương tự như khái niệm điểm, đường thẳng trong hình học.
• Tập hợp có thể hiểu tổng qt là một sự tựu tập của một số

hữu hạn hay vơ hạn các đối tượng nào đó.
Các đối tượng này được gọi là các phần tử của tập hợp.

• Ta thường dùng các chữ cái in hoa A, B, C , . . . để kí hiệu tập

hợp. Nếu a là phần tử thuộc tập A ta kí hiệu a ∈ A. Ngược
lại, a khơng thuộc A ta kí hiệu a ∈ A
/
• Tập hợp khơng có phần tử nào gọi là tập rỗng. Kí hiệu ∅


Tập hợp - Giải tích tổ hợp

Biểu diễn tập hợp
Có hai cách xác định một tập hợp:
• Liệt kê các phần tử của nó.

Ví dụ
Tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 5 là
A = {0, 1, 2, 3, 4}
Tập hợp các số tự nhiên chẵn từ 0 đến 100 là
B = {0, 2, 4, . . . , 98, 100}


Tập hợp - Giải tích tổ hợp

Biểu diễn tập hợp

• Chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử của nó.

Khơng phải mọi tập hợp đều có thể liệt kê rõ ràng từng phần tử.
Tuy nhiên ta có thể dùng tính chất đặc trưng nào đó để mơ tả nó,
từ đó có thể xác định được một phần tử có thuộc tập hợp này hay

khơng.
Ví dụ
Tập hợp các số thực lớn hơn 0 và bé hơn 1 là
C = {x|x ∈ R và 0 ≤ x ≤ 1}


Tập hợp - Giải tích tổ hợp

Quan hệ giữa các tập hợp
• Tập hợp con

Cho 2 tập hợp A và B. Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc
tập hợp B, thì ta nói tập hợp A là con tập hợp B và kí hiệu A ⊂ B
hoặc B ⊃ A.
Ta viết
A ⊂ B ⇔ (x ∈ A ⇒ x ∈ B)
• Tập hợp bằng nhau

Cho 2 tập hợp A và B. Nếu mỗi phần tử của A đều thuộc B và
ngược lại, mỗi phần tử của B đều thuộc A thì ta nói hai tập hợp A
và B bằng nhau và kí hiệu A = B.
Ta viết
A = B ⇔ (A ⊂ B và B ⊂ A)


Tập hợp - Giải tích tổ hợp

Các phép tốn trên các tập hợp
• Giao của hai tập hợp

Giao của hai tập hợp A và B đã cho là
tập hợp các phần tử đồng thời thuộc cả
hai tập hợp này, kí hiệu là A ∩ B
Ta viết
x ∈A∩B ⇔

x ∈A
x ∈B


Tập hợp - Giải tích tổ hợp

• Hợp của hai tập hợp

Hợp của hai tập hợp A và B đã cho là
tập hợp các phần tử thuộc ít nhất một
trong hai tập hợp này, kí hiệu là A ∪ B
Ta viết
x ∈A∪B ⇔

x ∈A
x ∈B


Tập hợp - Giải tích tổ hợp

Các phép tốn trên các tập hợp
• Hiệu của hai tập hợp

Hiệu hai tập hợp A và B đã cho là tập

hợp các phần tử thuộc A mà khơng
thuộc B, kí hiệu A \ B
Ta viết
A \ B = {x|x ∈ A và x ∈ B}
/


Tập hợp - Giải tích tổ hợp

Các phép tốn trên các tập hợp

Tính chất
• Tính giao hốn

A ∪ B = B ∪ A; A ∩ B = B ∩ A
• Tính kết hợp

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C )
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C )


Tập hợp - Giải tích tổ hợp

Các phép tốn trên các tập hợp
Tính chất (tt)
• Tính phân phối

A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )
A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )
• Cơng thức De Morgan

A∪B =A∩B
A∩B =A∪B


Tập hợp - Giải tích tổ hợp

Quy tắc nhân

Giả sử để hồn thành một cơng việc thì phải thực hiện k giai đoạn.
Giai đoạn thứ nhất có n1 cách thực hiện, giai đoạn thứ hai có n2
cách thực hiện, . . . , giai đoạn thứ k có nk cách thực hiện. Khi đó
ta có
n = n1 n2 . . . nk
cách hồn thành cơng việc.


Tập hợp - Giải tích tổ hợp

Quy tắc nhân

Ví dụ
Giả sử đi từ A đến C ta bắt buộc phải đi qua B. Có 3 đường khác
nhau từ A đến B và có 2 đường khác nhau từ B đến C .
Vậy có n = 3.2 = 6 cách khác nhau để đi từ A đến C .


Tập hợp - Giải tích tổ hợp

Tính chất của một nhóm (bộ) k phần tử

• Nhóm có thứ tự

Khi đổi vị trí các phần tử khác nhau của nhóm này ta nhận
được nhóm khác.
• Nhóm khơng có thứ tự

Khi đổi vị trí các phần tử khác nhau của nhóm này ta khơng
nhận được nhóm khác.
• Nhóm có lặp

Các phần tử của nhóm có thể có mặt nhiều lần trong nhóm.
• Nhóm khơng lặp

Các phần tử của nhóm chỉ có mặt một lần trong nhóm.


Tập hợp - Giải tích tổ hợp

Tính chất của một nhóm (bộ) k phần tử
Ví dụ
Từ các số 0, 1, 2, 3, 4 lập số có 3 chữ số
• Các chữ số có lặp

Cơng việc 1: Chọn chữ số hàng trăm có n1 = 4 cách chọn.
Cơng việc 2: Chọn chữ số hàng chục có n2 = 5 cách chọn.
Cơng việc 3: Chọn chữ số hàng đơn vị có n3 = 5 cách chọn.
Vậy có n = 4.5.5 = 100 số.
• Các chữ số khơng lặp

Cơng việc 1: Chọn chữ số hàng trăm có n1 = 4 cách chọn.
Cơng việc 2: Chọn chữ số hàng chục có n2 = 4 cách chọn.
Công việc 3: Chọn chữ số hàng đơn vị có n3 = 3 cách chọn.
Vậy có n = 4.4.3 = 48 số.


Tập hợp - Giải tích tổ hợp

Chỉnh hợp

Định nghĩa
Chỉnh hợp chập k của n phần tử (k ≤ n) là một nhóm có thứ tự
gồm k phần tử khác nhau chọn từ n phần tử đã cho.
Gọi Ak là số chỉnh hợp chập k của n phần tử. Khi đó,
n
Ak = n.(n − 1) . . . (n − k + 1) =
n

n!
(n − k)!


Tập hợp - Giải tích tổ hợp

Chỉnh hợp

Ví dụ
Một lớp học tiếng Anh có 12 người tham dự. Hỏi có bao nhiêu
cách chọn một lớp trưởng và một lớp phó?
Bài giải

Một cách chọn một lớp trưởng và một lớp phó là một nhóm có hai
phần tử có thứ tự và khơng lặp. Nên có
A2 = 12.11 = 132
12
cách chọn thỏa yêu cầu.


Tập hợp - Giải tích tổ hợp

Hốn vị
Định nghĩa
Hốn vị của n phần tử là một nhóm có thứ tự khơng lặp có đủ n
phần tử đã cho.
Số hốn vị của n phần tử là
Pn = n!
Quy ước 0! = 1
Ví dụ
Mỗi cách xếp 4 học sinh ngồi vào một bàn có 4 chỗ ngồi là một
hốn vị của 4 phần tử. Do đó số cách xếp sẽ là P4 = 4! = 24 cách.
Nhận xét
Hoán vị là một trường hợp đặc biệt của chỉnh hợp vì Pn = An
n


Tập hợp - Giải tích tổ hợp

Chỉnh hợp lặp
Trong định nghĩa chỉnh hợp ta đòi hỏi mỗi phần tử chỉ được có
mặt trong nhóm khơng q một lần. Nếu bỏ đi điều kiện này, ta
có chỉnh hợp lặp.

Định nghĩa
Chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là một nhóm có thứ tự gồm k
phần tử được chọn từ n phần tử đã cho, trong đó mỗi phần tử có
thể có mặt hơn một lần trong nhóm.
Gọi Ak là số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử. Khi đó,
n
Ak = n k
n


Tập hợp - Giải tích tổ hợp

Chỉnh hợp lặp

Ví dụ
Từ các số của tập hợp A = {1, 2, 3}, ta có thể lập được A5 = 35
3
số có 5 chữ số.
Nhận xét
Vì mỗi phần tử có thể xuất hiện nhiều lần trong một chỉnh hợp lặp
nên ở đây k có thể lớn hơn n.


Tập hợp - Giải tích tổ hợp

Tổ hợp
Định nghĩa
Tổ hợp chập k của n phần tử (k ≤ n) là một nhóm khơng phân
biệt thứ tự gồm k phần tử khác nhau chọn từ n phần tử đã cho.
k

Gọi Cn là số tổ hợp chập k của n phần tử. Khi đó,
k
Cn =

n!
k!(n − k)!

Ví dụ
Mỗi đề thi gồm 3 câu hỏi lấy từ 25 câu hỏi cho trước, ta lập được
3
C25 =

25!
= 2300
3!22!

đề thi. Vì mỗi đề thi là một nhóm có 3 câu hỏi có tính chất khơng
có thứ tự và không lặp.


Tập hợp - Giải tích tổ hợp

Tổ hợp

Tổ hợp có các tính chất cơ bản sau:
• Quy ước 0! = 1.
k
n−k
• Cn = Cn .
k−1

k
k
• Cn = Cn−1 + Cn−1


Tập hợp - Giải tích tổ hợp

Nhị thức Newton
Cơng thức nhị thức Newton
n

(a + b)n =

k
Cn an−k bk
k=0

Các hệ số trong nhị thức Newton có thể được xác định từ tam giác
Pascal