HÀM NHIỀU BIẾNTRONG XÁC SUẤT THỐNG KÊ (Nguyễn Ngọc lan) - 2 docx

Định nghĩa hàm số ẩn 1 biến: Cho phương trình
F(x,y) = 0
Nếu tồn tại hàm y = f(x) sao cho F(x,f(x)) = 0, x  (A,B) thì f được gọi là hàm số ẩn
từ phương trình F(x,y) = 0.

Ví dụ: xy – e
x
+ e
y
= 0

Đạo hàm của hàm số ẩn 1 biến:


Ví dụ: Tính y’ nếu:
F(x,y) = x
3
+ y
3
– 3axy = 0
F(x,y) = xy – e
x
+ e
y
= 0
Định nghĩa hàm số ẩn 2 biến: Cho phương trình F(x,y,z) = 0. Nếu tồn tại hàm số hai
biến z = f(x,y) sao cho F(x,y,z) = 0, với mọi x, y thuộc miền xác định của f, thì f gọi là
hàm ẩn từ phương trình F(x,y,z
Đạo hàm của hàm số ẩn 2 biến:

Ví dụ: tính z
x
, z
y
nếu xyz = cos(x+y+z)
y
x
F
F
y '
z
x
F
F
x
z



z
y
F
F
y
z




4. CỰC TRỊ

Cực trị tự do:
Định nghĩa: Hàm số f(x,y) đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm M0(x
0
,y
0
) nếu tồn tại một lân
cận  của M
0
sao cho f(M)  f(M
0
), M   (f(M)  f(M
0
), M  ). F(M
0
) gọi chung
là cực trị.
Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số z = x
2
+ y
2

Điều kiện cần để có cực trị:
Nếu f(x
0,
y
0
) là cực trị của f và f có đạo hàm riêng tại (x
0

,y
0
) thì: f’x(x
0
,y
0
) = 0, f’y(x
0
,y
0
)
= 0
Điều kiện đủ của cực trị: Cho hàm số z = f(x,y). Tại những điểm thỏa z
x
= z
y
0, ta gọi
định thức Hessian:



Đặt:

• Nếu |H
1
|>0, |H
2
|>0: z đạt cực tiểu
• Nếu |H
1

|<0, |H
2
|>0: z đạt cực đại

yyyx
xyxx
zz
zz
H 
yyyx
xyxx
xx
zz
zz
HzH 
2 ,1
Ví dụ: tìm cực trị hàm số z = x
2
+ y
2
+ 4x – 2y + 8,
z = x
3
+ y
3

Điều kiện đủ của cực trị: Cho hàm số y = f(x
1
,x
2

…x
n
). Tại những điểm thỏa f
x1
= f
x1
=
… f
x1
= 0, giả sử tại đó tồn tại các đạo hàm riêng cấp 2, đặt
Ta có định thức Hessian:





• Nếu |H
1
|>0, |H
2
|>0,… |H
n
|>0 : z đạt cực tiểu
• Nếu |H
1
|<0, |H
2
|>0,… (-1)
n
|H

n
|>0 : z đạt cực đại
Ví dụ: Tìm cực trị hàm số y = x
3
+ y
2
+ 2z
2
-3x - 2y – 4z
Cực trị có điều kiện:
Định nghĩa: Cực trị của hàm số z = f(x,y) với điều kiện g(x,y) = c gọi là cực trị có điều
kiện.
Định lý: Nếu M
0
(x
0
,y
0
) là cực trị có điều kiện trên.
Đặt hàm Lagrange: L(x,y,) = f(x,y) + (c-g(x,y)) với g’x,g’y không đồng thời bằng 0
thì:


nnnn
n
n
n
fff
fff
fff

H
ff
ff
HfH




, ,
21
22221
11211
2221
1211
2111









0),(
0
0
yxgcL
gfL
gfL

yyy
xxx






 là nhân tử Lagrange, điểm M0(x
0
,y
0
) của hệ trên gọi là điểm dừng.
Ví dụ: Tìm điểm dừng của z(x,y), với điều kiện x + y = 1.

Mở rộng hàm n biến: Hàm số f(x
1
,x
2
,…x
n
) với điều kiện g(x
1
,x
2
,…x
n
) = c. Hàm
Lagrange L = f + (c-g)

Điều kiện đủ để có cực trị có điều kiện:
Định lý: Nếu f, g có đạo hàm riêng cấp hai liên tục tại điểm dừng M
0
, xét định thức
Hessian đóng:


• Nếu |H|>0: f đạt cực đại có điều kiện
• Nếu |H|<0: f đạt cực đại có điều kiện
Ví dụ: Tìm cực trị có điều kiện của hàm số:
f = 6 – 4x – 3y với điều kiện x
2
+ y
2
= 1
22
1 yxz 














0
0

0
0
222
111
gcL
gfL
gfL
gfL
nnn




yyyxy
xyxxx
yx
LLg
LLg
gg
H
0

Mở rộng hàm n biến: Xét hàm số f(x
1
,x

2
,…x
n
) với điều kiện g(x
1
,x
2
,…x
n
) = c. Hàm
Lagrange: L = f + (c-g). Xét tại điểm dừng M
0
(x
0
,y
0
), ta xét định thức Hessian đóng:










• Nếu |H
2
|<0, |H

3
|<0,… |Hn|<0 : z đạt cực tiểu
• Nếu |H
2
|>0, |H
3
|<0,… (-1)
n
|H
n
|>0 : z đạt cực đại
Ví dụ: Tìm cực trị hàm số u = x – 2y + 2z
với điều kiện x
2
+ y
2
+ z
2
= 1

nnnnn
n
n
n
LLLg
LLLg
LLLg
ggg
H

0
21
222212
112111
21
