Phương pháp hợp lý cực đại - Bài toán ước lượng khoảng trong môn xác suất thống kê - 2 pdf

Vậy với độ tin cậy 95%, tối thiểu ứng cử viên A chiếm được 57% số phiếu bầu của
cử tri A.

b. Khoảng ước lượng của kỳ vọng a trong mẫu từ phân phối chuẩn N(a;
2
).
Giả sử (X
1
, X
2
,…, X
n
) là mẫu ngẫu nhiên độc lập từ phân phối chuẩn N(a;
2
).
 Trường hợp đã biết
Xét xác suất P với 1 - là độ tin cậy đã cho. Ta có
(2)
Vì X
1
, X
2
,…, X
n
là dãy biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối chuẩn như nhau dạng
N(a;
2
) nên cũng có phân phối chuẩn với kỳ vọng E( ) = a và phương sai
. Vì vậy có phân phối chuẩn kỳ vọng bằng 0 và phương sai bằng 1.
Nếu đặt thì từ (2) ta suy ra

và từ đó .
Giải ta nhận được khoảng ước lượng của a là


 Trường hợp chưa biết.
Tương tự như trường hợp trên ta xét xác suất . Biến đổi vế trái
(3)
trong đó .
Ta đã biết là độc lập với nhau; có phân phối chuẩn dạng
N(0;1) và có phân phối
2
(n - 1) với n - 1 bậc tự do.
Vì vậy
=
có phân phối Student với n - 1 bậc tự do.
Nếu đặt thì từ (3) ta suy ra

hay

Vậy khoảng ước lượng của a với độ tin cậy 1 - là


trong đó t tra ở bảng phân phối Student với n - 1 bậc tự do và mức ý nghĩa .
Khi kích thước mẫu n thì phân phối xác suất của tiến tới phân
phối chuẩn N(0; 1). Vì vậy với n > 30 (ta xem như kích thước mẫu lớn) ta xấp xỉ
nó với phân phối chuẩn dạng N(0; 1) sao cho .
Ví dụ 2.3. Quan sát chiều cao của 100 nam sinh viên trong một khoá học ta có
chiều cao trung bình là với độ lệch mẫu S = 8,25 Chứng minh. Với
độ tin cậy 95%, xác định khoảng ước lượng của chiều cao trung bình của nam
sinh viên.

Giải. Do n =100 khá lớn nên t được tra bảng chuẩn. Có t = 1,96. Từ đó

 Khoảng ước lượng của phương sai
2
trong mẫu từ phân phối chuẩn N(a;
2
).
Từ kết quả có phân phối
2
với n - 1 bậc tự do ta tìm khoảng ước
lượng của
2
bằng cách sau: Tìm t
1
, t
2
sao cho
P[t
1
£ <t
2
] = 1 - .
Ta có thể viết biểu thức ở vế trái của đẳng thức trên dưới dạng

Chọn t
1
, t
2
sao cho P[
2

> t
1
] = 1 - và P[
2
> t
2
] = . Khoảng ước lượng
của
2
với độ tin cậy 1 - là

Ví dụ 2.4. Để xác định chiều cao trung bình của các cây bạch đàn trong một khu
rừng, tiến hành đo ngẫu nhiên 35 cây và thu được kết quả sau
Chiều cao X
(m)
6,5 –
7,0
7,0 – 7,5

7,5 – 8,0

8,0 – 8,5

8,5 – 9,0

9,0 – 9,5
Số cây (n
i
) 2 4 10 11 5 3
Giả thiết chiều cao của các cây bạch đàn là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối

chuẩn. Với độ tin cậy 95%, xác định khoảng ước lượng cho phương sai DX.
Giải. Ta có và .
Tra bảng tìm được t
1
= = 16,8 và t
2
= = 47. Từ đó