Slide bài giảng đạo hàm vi phân ppt

1
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
1. ĐẠO HÀM HÀM SỐ MỘT BIẾN
Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trong (a,b) và x
0
 (a,b). Nếu tồn tại
0
0
xx
xx
)
x
(
f
)
x
(
f
lim
0



thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại
x
0
. Ký hiệu f’(x
0
), y’(x
0
)

Đặt x = x – x
0
, ta có x = x
0
+ x và
đặt y = f(x
0
+ x) – f(x
0
) thì
x
y
lim'y
0
x





Ký hiệu dy/dx, df/dx
2
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
- Đạo hàm bên phải:
- Đạo hàm bên trái:
x
y
lim'y
0
x







x
y
lim'y
0
x






- Hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có
đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng đó,
- f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm
tại mọi điểm trong khoảng (a,b), có đạo hàm phải tại a
và đạo hàm trái tại b
Ví dụ: Tìm đạo hàm của y = x
2
, y = sinx
3
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Đạo hàm của tổng thương tích của hai hàm số:
Nếu các hàm số u, v có đạo hàm tại x thì:
• u + v cũng có đạo hàm tại x và (u + v)’ = u’ + v’

• u.v cũng có đạo hàm tại x và (u.v)’ = u’v + v’u
• u/v cũng có đạo hàm tại x\V(x)0 và
2
'
v
u'vv'u
v
u 







Đạo hàm của hàm số hợp:
Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm theo x, hàm y = f(u)
có đạo hàm tương ứng u = u(x) thì hàm số hợp f(u) có
đạo hàm theo x và y’(x) = y’(u).u’(x).
4
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Đạo hàm của hàm số ngược:
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x, f’(x) ≠ 0 và
có hàm số ngược x = f
-1
(y) thì hàm số x = f
-1
(y) có đạo
hàm tại y = f(x):
)]y(f['f

1
)x('f
1
)y()'f(
1
1



Ví dụ, tìm đạo hàm của y = arcsinx
5
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản:
(c)’ = 0
(x

)’ = x
-1
(a
x
)’ = a
x
lna
(e
x
)’ = e
x
a
ln
x

1
)'x(log
a

x
1
)'x(ln 
(sinx)’ = cosx
(cosx)’ = -sinx
x
cos
1
)'tgx(
2

x
sin
1
)'gx(cot
2

2
x
1
1
)'x(arcsin


2
x

1
1
)'x(arccos


2
x
1
1
)'arctgx(


2
x
1
1
)'gxcotarc(


6
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Đạo hàm cấp cao :
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm thì y’ = f’(x) gọi là
đạo hàm cấp 1. Đạo hàm, nếu có, của đạo hàm cấp 1
gọi là đạo hàm cấp 2. Ký hiệu: y’’(x), f’’(x)
2
2
2
2
dx

fd
,
dx
yd
Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) là
đạo hàm cấp n. Ký hiệu: f
(n)
(x), y
(n)
(x).
n
n
n
n
dx
fd
,
dx
yd
7
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Công thức Leibniz:
Giả sử hàm số u, v có đạo hàm liên tiếp đến n. Khi đó
ta có:
(u + v)
(n)
= u
(n)
+ v
(n)





n
0
k
k)kn(k
n
)n(
v.uC)uv(
trong đó u
(0)
= u, v
(0)
= v
Ví dụ: Cho y = x

(  R, x > 0), y = ke
x
, tìm y
(n)
8
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
2. VI PHÂN
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) khả vi, ta ký hiệu dy
= y’dx (df = f’dx) được gọi là vi phân cấp 1 của hàm
số f.
Vi phân của tổng, tích, thương:
d(u + v) = du + dv

d(u.v) = vdu + udv
2
v
udvvdu
v
u
d








9
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) và f(
n-1)
khả vi, ta ký
hiệu d
(n)
y = y
(n)
dx
n
(d
(n)
f = f
(n)

dx) được gọi là vi phân
cấp n của hàm số f.
10
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
3. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐẠO HÀM
Định lý Rolle: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi
trong (a,b) và f(a) = f(b) thì tồn tại c  (a,b) sao cho f’(c)
= 0.
Định lý Lagrange: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b],
khả vi trong (a,b) thì tồn tại c  (a,b) sao cho
)c('f
a
b
)
a
(
f
)
b
(
f



Nhận xét: Định lý Rolle là một trường hợp đặc biệt của
định lý Lagrange trong trường hợp f(b) = f(a).
11
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Định lý Cauchy: Nếu f , g cùng liên tục trên [a,b], khả
vi trong khoảng (a,b) và g’(x) ≠ 0, x  (a,b) thì tồn tại

c  (a,b) sao cho
)c('g
)
c
(
'
f
)a(g)b(g
)
a
(
f
)
b
(
f



Nhận xét: Định lý Lagrange là một trường hợp đặc
biệt của định lý Cauchy trong trường hợp g(x) = x.
12
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Định lý Taylor: Nếu hàm số f khả vi đến cấp (n+1)
trong lân cận D của x
0
thì x  D, x ≠ x
0
thì tồn tại c
nằm giữa x và x

0
sao cho:
1n
0
)1n(
n
0
0
)n(
2
0
0
0
0
0
)xx(
)!1n(
)c(f
)xx(
!n
)x(f


)xx(
!2
)
x
(
"
f

)xx(
!1
)
x
(
'
f
)x(f)x(f






1
n
0
)
1
n
(
n
)xx(
)!1n(
)c(f
)x(
R






Số hạng cuối cùng được gọi là phần dư Lagrang
13
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
• Đa thức Taylor:



n
0
k
k
0
0
k
n
)xx(
!k
)x(f
)x(
P
Khi x
0
=0 thì công thức Taylor trở thành công thức
Maclaurin
1
n
)
1

n
(
n
)
n
(
2
x
)!1n(
)c(f
x
!n
)0(f
x
!2
)0("f
x
!1
)0('f
)0(f)x(f




14
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
L’Hospital khử dựng vô định khi tìm giới hạn
Định lý: Giả sử f, g khả vi trong (a,b), g’(x) ≠ 0 với mọi x
 (a,b)
0

)
x
(
g
lim
)
x
(
f
lim
a
x
a
x




L
)x('g
)
x
(
'
f
lim
)x('g
)
x
(

'
f
lim
axax


Nhận xét: Qui tắc L’Hospital vẫn đúng nếu:
0
)
x
(
g
lim
)
x
(
f
lim
x
x












)
x
(
g
lim
)
x
(
f
lim
a
x
a
x







)
x
(
g
lim
)
x
(

f
lim
x
x
• Qui tắc L’Hospital có thể áp dụng nhiều lần.
15
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Ví dụ: Tìm các giới hạn sau (dạng 0/0)
3
x
4
x
27x
lim
2
3
3x




x
sin
x
x
tgx
lim
0
x




3
0x
x
x
sin
x
lim


x
1
arctgx
2
lim
x



Ví dụ: Tìm giới hạn sau (dạng /)
gxcot
x
ln
lim
0x 
n
x
x
x

ln
lim

x
n
x
e
x
lim

1. Dạng 0/0, /
16
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
2. Dạng 0.,  - : Chuyển chúng về dạng 0/0, /.
Ví dụ:
xlnxlim
5
0
x


)4/x(tg)x4(lim
2
2
x


)tgx
x
cos

1
(lim
2
/
x



3. Dạng vô định: 0
0
, 1

, 
0
:
Ta xét [f(x)]
g(x)
= e
g(x).ln f(x)
(f(x) > 0)
Ví dụ:
2
x
0
x
xlim


x1
2

1
x
xlim


xln
1
1
x
)gx(cotlim

17
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
CỰC TRỊ
Định nghĩa: Hàm số f được gọi là đạt cực đại (cực tiểu)
tại x
0
nếu tồn tại một lân cận của x
0
sao cho f(x)  f(x
0
)
(f(x)  f(x
0
)).
Chiều biến thiên của hàm số:
Định lý: Cho f khả vi trong (a,b):
1. Nếu f’(x) > 0 với mọi x  (a,b) thì f tăng.
2. Nếu f’(x) < 0 với mọi x  (a,b) thì f giảm.
18

C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Điều kiện cần của cực trị:
Định lý Fermat: Nếu hàm số đạt cực trị tại điểm x = x
0
và có đạo hàm tại điểm đó thì f’(x
0
) = 0.
Ví dụ: Hàm số y = x
3
, f’(0) = 0 nhưng tại x = 0 hàm số
không đạt cực trị.
Hàm số y = x đạt cực tiểu tại x = 0 nhưng f’(0)
không tồn tại.
19
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Định nghĩa: Các điểm thoả một trong các điều kiện
sau thì được gọi chung là điểm tới hạn của f:
a) Không tồn tại f’(x)
b) f’(x) = 0
Định nghĩa: Các điểm thoả điều kiện sau f’(x) = 0
được gọi là điểm dừng của f.
20
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Điều kiện đủ của cực trị:
Định lý: Giả sử f khả vi trong (a,b) chứa điểm x
0
a) Nếu x vượt qua x
0
mà f’(x) đổi dấu từ dương
sang âm thì f(x) đạt cực đại tại x

0
.
b) Nếu x vượt qua x
0
mà f’(x) đổi dấu từ âm sang
dương thì f(x) đạt cực tiểu tại x
0
.
c) Nếu x vượt qua x
0
mà f’(x) không đổi dấu thì
f(x) không đạt cực trị tại x
0
.
21
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Định lý: Giả sử f(x) có đạo hàm cấp 2 liên tục ở lân
cận điểm x
0
và f’(x) = 0.
a) Nếu f”(x
0
) > 0 thì f(x) đạt cực tiểu.
b) Nếu f”(x
0
) < 0 thì f(x) đạt cực đại.
Giá trị lớn nhất bé nhất của hàm số trên một đoạn:
1. Tính giá của f tại các điểm tới hạn và tại điểm hai
đầu mút.
2. Giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các giá trị được tính

trên là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất cần tìm).
22
C2. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Ví dụ: tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số:
f(x) = x
3
– 3x
2
+1 trên đoạn [-1/2, 4]
23
MỘT SỐ ỨNG DỤNG
Biến kinh tế:
Q Quantity Sản lượng
Q
S
Quantity Supplied Lượng cung
Q
D
Quantity Demanded Lượng cầu
P Price Giá cả
C Cost Chi phí
TC Total Cost Tổng chi phí
R Revenue Doanh thu
TR Total Revenue Tổng doanh thu
P
r
Profit Lợi nhuận
K Capital Tư bản
L Labour Lao động
FC Fix Cost Định phí

VC Variable Cost Biến phí
24
MỘT SỐ ỨNG DỤNG
Hàm số kinh tế:
• Hàm sản xuất : Q = f(K,L)
• Hàm doanh thu : TR = PQ
• Hàm chi phí : TC = f(Q)
• Hàm lợi nhuận :  = TR - TC
Thuê mặt bằng,
điện nước
50.000đ/ngày
Bún 300đ/tô
Gia vị 200đ/tô
Thịt bò, heo 2.000đ/tô
Nhân viên 500đ/tô
Ví dụ: Một quán bún bình
dân, hãy tính mỗi ngày bán
bao nhiêu tô thì có lời với giá
bán 5.000đ/tô và chi phí như
sau:
25
MỘT SỐ ỨNG DỤNG
Ý nghĩa đạo hàm trong kinh tế:
• Sản lượng biên MQ: (Marginal quantity) Đo lường sự thay
đổi của sản lượng khi tăng lao động hay vốn lên một
đơn vị.
• Ví dụ: Hãy tìm sản lượng biên của một doanh nghiệp
và cho nhận xét khi L=100 cho bởi hàm sản xuất sau:
L
5

Q
