bài giảng đạo hàm và vi phân

ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN.
Bài toán: Vận động viên chạy và bơi phối hợp.
Hỏi: chạy bao xa thì bắt đầu bơi sẽ về đích
nhanh nhất?
4m/s
1.5m/s
200m
50m
x 200-x
ĐẠO HÀM TẠI 1 ĐIỂM
Cho y = f(x) xác định trong (a, b) ∋ x
0
, xét tỷ số
0 0 0 0
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x f x f x f x x f x
x x x x
∆ − + ∆ −
= =
∆ − ∆
Nếu tỷ số trên có giới hạn hữu hạn khi x → x
0

hay ∆x → 0 thì f có đạo hàm tại x
0
.
Đặt
0
0
0

( 0)
( )
( ) lim
x x
x
f x
f x
x
→
∆ →
∆
′
=
∆
0
( )
tan
f x
x
ϕ
∆
=
∆
0
tan ( )f x
α
′
=
x → x
0

f’(x
0
) là hệ số góc tiếp tuyến của đường cong
(C): y = f(x) tại tiếp điểm M(x
0
, f(x
0
))
∆x
∆f(x
0
)
ϕ
α
x
0
x
Đạo hàm trái tại x
0
:
0
0
0

( 0 )
( )
( ) lim
x x
x
f x

f x
x
−
−
−
→
∆ →
∆
′
=
∆
0
0
0

( 0 )
( )
( ) lim
x x
x
f x
f x
x
+
+
+
→
∆ →
∆
′

=
∆
Đạo hàm phải tại x
0
:
f có đạo hàm tại x
0

0 0
( ) ( )f x f x
− +
′ ′
=⇔
Cách tính đạo hàm
1.Nếu f xác định bởi 1 biểu thức sơ cấp: dùng
công thức đạo hàm và các quy tắc(tổng, hiệu,
tích, thương, hàm hợp).
2.Nếu tại x
0
, biểu thức f ’ không xác định: tính
bằng định nghĩa.
3.Nếu hàm số có phân chia biểu thức tại x
0
: tính
bằng định nghĩa.
4.Nếu f(x) = u(x)
v(x)
hoặc f(x) là tích thương của
nhiều hàm: tính (lnf)’
Ví dụ: tính đạo hàm tại các điểm được chỉ ra

ln
( ) 2 ln 2( ln )
x x
f x x x
′ ′
=
(1) ln 2f
′
=
ln
1/ ( ) 2
x x
f x =
tại x = 1
ln
2 ln 2(ln 1)
x x
x= +
, 0
( )
, 0
x x
f x
x x
≥

=

− <


0
( ) (0)
0
x
f x f
x x
−
−
=
−
2 / ( )f x x=
tại x = 0
1
x

→

0
-
−1
⇒f ’(0) không tồn tại
x

→

0
+
2
1
sin , 0

4 / ( )
0, 0
x x
f x
x
x

≠

=


=

( ) (0)
0
f x f
x
−
−
2
1
sin 0x
x
x
−
=
1
sinx
x

=
0
0
x→
→
(0) 0f
′
⇒ =
2
, 1
5 / ( )
2 1, >1
x x
f x
x x

≤
=

−

1
( ) (1)
lim
1
x
f x f
x
−
→

−
−
2
1
1
lim
1
x
x
x
−
→
−
=
−
2=
1
( ) (1)
lim
1
x
f x f
x
+
→
−
−
2=
1
2 1 1

lim
1
x
x
x
+
→
− −
=
−
tại x = 1
(1) 2f
′
⇒ =
Đạo hàm và liên tục
f có đạo hàm tại x
0
thì f liên tục tại x
0
.
VD: tìm các hằng số a, b để f có đạo hàm tại x
0
(Nên xét tính liên tục tại x
0
trước)
sin cos 1, 0
( )
2 1, 0
a x b x x
f x

x x
+ + <

=

+ ≥

Tìm a, b để f có đạo hàm tại x = 0
sin cos 1, 0
( )
2 1, 0
a x b x x
f x
x x
+ + <

=

+ ≥

f liên tục tại x = 0 ⇔
1 1 0b b+ = ⇔ =
Với b = 0:
0
sin 1 1
(0) lim
0
x
a x
f

x
−
−
→
+ −
′
=
−
2=
a=
0
2 1 1
(0) lim
0
x
x
f
x
+
+
→
+ −
′
=
−
f có đạo hàm tại x = 0 ⇔ a = 2, b = 0
Định lý
Nếu f liên tục tại x
0
và

( ) ( )
0 0
lim lim
x x x x
f x f x a
+ −
→ →
′ ′
= =
thì
( )
0
f x a
′
=
sin cos 1, 0
( )
2 1, 0
a x b x x
f x
x x
+ + <

=

+ ≥

Ví dụ:
cos sin , 0
( )

2 , 0
a x b x x
f x
x
− <

′
=

>

Đạo hàm hàm ngược
1
0
0
1
( ) ( )
( )
f y
f x
−
′
=
′
1
1
( )f
f
−
′

=
′
Cho y = f(x): (a, b)→(c, d) liên tục và tăng ngặt.
Khi đó tồn tại hàm ngược f
−1
: (c, d) → (a, b) liên
tục và tăng ngặt.
Nếu tồn tại f

’(x
0
) ≠ 0, x
o
∈(a, b) thì tại y
0
= f(x
0
),
f
−1
có đạo hàm và
Ta thường viết:
Đạo hàm các hàm lượng giác ngược
,
2 2
y
π π
 
∈ −
 ÷

 
2
1
1 sin y
=
−
2
1
1 x
=
−
1. y = arcsin x, x ∈(−1, 1)
1
( )
( )
y x
x y
′
=
′
⇔ x = sin y,
1
cos y
=
2. y = arctan x, x∈R
,
2 2
y
π π
 

∈ −
 ÷
 
⇔ x = tan y,
2
1
1 x
=
+
1
( )
( )
y x
x y
′
=
′
2
1
1 tan y
=
+
Bảng công thức đạo hàm các hàm mới
( )
( )
( )
( )
2
2
2

2
1
arcsin
1
1
arccos
1
1
arctan
1
1
arccot
1
x
x
x
x
x
x
x
′
=
−
′
= −
−
′
=
+
′

= −
+
( )
( )
( )
( )
2
2
cosh sinh
sinh cosh
1
tanh
cosh
1
coth
sinh
x x
x x
x
x
x
x
′
=
′
=
′
=
′
= −

Đạo hàm hàm cho theo tham số
Cho các hàm số :
( )
( )
x x t
y y t
=


=

Nếu : * x = x(t) có hàm ngược t = t(x)
* x(t) và y(t) có đạo hàm, x’(t) ≠ 0
( ) ( ). ( )y x y t t x
′ ′ ′
=
( )
( )
( )
y t
y x
x t
′
′
=
′
Ví dụ
( )
( )
( )

y t
y x
x t
′
′
=
′
Cho :
2
( ) . 1
( )
t
x t t e
y t t t

= −


= +


Tính y’(x) tại x = −1
2 1
.
t t
t
e t e
+
=
+

x = −1 ⇔ t.e
t
– 1 = – 1 ⇔ t = 0
( 1) 1y
′
⇒ − =
ĐẠO HÀM CẤP CAO
( )
0
0
( ) ( )
x x
f x f x
=
′
′′ ′
=
( )
( ) ( )f x f x
′
′′ ′
=
( ) ( 1)
( ) ( )
n n
f x f x
−
′
 
=

 
Cho f(x) có đạo hàm cấp 1 trong lân cận x
0
, nếu
f’ có đạo hàm tại x
0
, đặt
Có thể viết:
Tổng quát: đạo hàm cấp n là đạo hàm của đạo
hàm cấp (n – 1)
Ví dụ
1
( ) arctanf x
x
=
2
1 1
( )
1
1
f x
x
x
′
 
′
=
 ÷
 
 

+
 ÷
 
2 2
2
1 1
1x x
x
= −
+
2
1
1 x
= −
+
Tìm đạo hàm cấp 2 của f tại x = 1:
2
1
( )
1
f x
x
′
 
′′
= −
 ÷
 
+
( )

2
2
2
1
x
x
=
+
1
(1)
2
f
′′
⇒ =
Đạo hàm cấp cao các hàm cơ bản
( ) ( )
( )
( 1) ( 1)
n
n
n
aax n ax bb
αα
α α α
−
= − − + +
 
+
 
L

( )
( )
( )
ln
n
x
n
x
aa a=
( )
( )
n x
n
a b bx a
e a e
+ +
=
1
( )
1
( 1) !
( )
n
n
n
n
ax b
a
n
ax b

+
= −
÷

+
 

+

[ ]
(
1
)
( 1) ( 1)!
( )
ln( )
n
n
n
n
a
a
n
ax b
x b
−
= − −
+
+
Đạo hàm cấp cao các hàm cơ bản

[ ]
[ ]
(
( )
)
cos(
sin
2
c
sin(
2
) os
)
n
n
n
n
a
a ax b n
a
a
x b b
b
n
x
ax
π
π
 
= + +


+
+
÷
 
 
= + +
 ÷
 
Công thức đạo hàm cấp cao
( )
( )
( ) ( )
0
.
n
n
k k n k
n
k
f g C f g
−
=
=
∑
( )
( )
( ) ( )
n
n n

f g f g± = ±
(công thức
Leibnitz)
Đạo hàm cấp cao
của tổng hiệu:
Đạo hàm cấp cao
của tích:
( )
( ) ( )
0
f x f x=
Lưu ý:
Ví dụ
5 1 1 1
3 1 3 2x x
= +
+ −
7 7
(7)
8 8
5 ( 1) 7! 1 ( 1) 7!
( )
3 3
( 1) ( 2)
f x
x x
− −
= +
+ −
7 7

(7)
8 8 8
5 ( 1) 1 ( 1) 7! 5
(1) 7! 1
3 3 3
(1 1) (1 2) 2
f
 
− −
 
= + = − +
 
 ÷
 
+ −
 
2
2 3
( )
2
x
f x
x x
−
=
− −
1.Tính đạo hàm cấp 7 tại x = 1.
2.Tính đạo hàm cấp 7 tại x = 1:
( )
7

(7 )
(7) 2 ( ) 2
7
0
( ) ( )
k
k k x
k
f x C x x e
−
=
= −
∑
2 2
( ) ( ).
x
f x x x e= −
( )
(7)
0 2 (0) 2
7
( )
x
C x x e= −
( )
(7 1)
1 2 (1) 2
7
( )
x

C x x e
−
+ −
2 7 2
1.( )2
x
x x e= −
6 2
7(2 1)2
x
x e+ −
( )
(7 2)
2 2 (2) 2
7
( )
x
C x x e
−
+ −
5 2
21.2.2
x
e+
( )
(7 3)
3 2 (3) 2
7
( )
x

C x x e
−
+ −
0+
0+