Tất cả các dạng Tích phân ôn thi đại học

NGUYỄN HỒNG ĐIỆP
ÔN THI ĐẠI HỌC
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
z =0.8
A
B
C
a
uv
F
Gò Công Tây, năm 2014
to my family, my pippy and my friends (ˆ .ˆ )
2
nd
−L
A
T
E
X−2014
01.1
TÍCH PHÂN VÀỨNG DỤNG
Copyright © 2014 by Nguyễn Hồng Điệp
LỜI MỞ ĐẦU
Xin bắt đầu bằng một chuyện vui toán học
“Nhân ngày Nhà giáo Việt Nam, các học sinh cũ quây quần bên thầy giáo
dạy Toán. Gặp lại học trò cũ, thầy hồ hởi:
– Thầy rất mừng là các em đều đã thành đạt trong cuộc sống. Trong các thứ
thầy dạy, có cái gì sau này các em dùng được không ?
Tất cả học sinh đều im lặng. Một lúc sau, có một học sinh rụt rè nói:
– Thưa thầy, có một lần em đi bộ ở bờ hồ thì gió thổi bay mũ em xuống nước.
Em loay hoay mãi không biết làm thế nào để vớt mũ lên. Bỗng nhiên em thấy

đoạn dây thép và nhớ lại các bài giảng của thầy. Em lấy dây thép uốn thành
dấu tích phân rồi dùng nó kéo mũ lên.
– Thầy: ?!?!?!”
Chuyện vui nhưng cũng có vấn đề để suy nhẫm. Tích phân có ứng dụng gì? Chỉ cần
chịu khó lên google là có kha khá kết quả (ˆ .ˆ ), nhưng học tích phân chỉ để lấy 1 điểm
trong kì thi tuyển sinh thì đó là đích hướng tới của đại đa số học sinh. Trong các năm
gần đây thì điểm số phần tích phân không còn là vấn đề quá khó khăn. Hy vọng tài liệu
nhỏ này giúp ích được cho ai đó.
Thị trấn Vĩnh Bình, ngày 06 tháng 08 năm 2014
1
—Nguyễn Hồng Điệp.
1
Còn vài ngày nữa là đại lễ Vu Lan năm Giáp Ngọ.
Mục lục
LỜI MỞ ĐẦU iii
MỤC LỤC iv
I TÍCH PHÂN 1
1 Các công thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1 Bảng các nguyên hàm thông dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Phương pháp phân tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3 Tích phân chứa trị tuyệt đối, min, max . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4 Phương pháp đổi biến số đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.1 Dạng căn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.2 Biểu thức có chứa căn bậc khác nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.3 Dạng phân thức
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.4 Dạng biểu thức lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.5 Biểu thức có logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5 Đổi biến sang lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.1 Dạng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5.2 Dạng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.3 Dạng 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5.4 Dạng 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.5 Dạng 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6 Tích phân hàm hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6.1 Tích phân chứa nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6.2 Tích phân chứa tam thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6.3 Dạng tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7 Tích phân hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7.1 Các công thức lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7.2 Dạng tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
7.3 Các trường hợp đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7.4 Tích phân dạng hữu tỉ đối với hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . 37
7.5 Dùng hàm phụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
8 Tích phân hàm vô tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
iv
8.1 Biểu thức có tam thức bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
8.2 Phép thế Eurle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
8.3 Dạng đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
9 Tính tính phân bằng tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
9.1 Tích phân có cận đối nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
9.2 Tích phân có cận là radian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
10 Phương pháp tính tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
10.1 Dạng 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
10.2 Dạng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
10.3 Phương pháp hằng số bất định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
11 Các bài toán đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
II ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 75

1 Tính diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
1.1 Công thức tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
1.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2 Thể tích vật thể tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.1 Hình phẳng quay quanh Ox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
III BÀI TẬP TỔNG HỢP 81
1 Các đề thi tuyển sinh 2002-2014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2 Bài tập tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
© Nguyễn Hồng Điệp v
I
TÍCH PHÂN
1. CÁC CÔNG THỨC Chương I. TÍCH PHÂN
1 Các công thức
1.1 Bảng các nguyên hàm thông dụng

0d x =C

d x = x +C

x
α
d x =
x
α+1
α+1
+C

(ax +b)
α
d x =

1
a
x
α+1
α+1
+C

1
x
d x =ln
|
x
|
+C

1
ax+b
d x =
1
a
ln
|
ax +b
|
+C

e
x
d x =e
x

+C

e
ax+b
d x =
1
a
e
ax+b
+C

a
x
d x =
a
x
ln a
+C

u

a
u
d x =
a
u
lna
+c

cos xd x =sin x +C


cos(ax +b)d x =
1
a
sin(ax +b) +C

sin xd x =−cosx +C

sin(ax +b)d x =−
1
a
cos(ax +b) +C)

1
cos
2
x
d x =tan x +C

1
cos
2
ax
d x =tan(ax) +C

1
sin
2
x
d x =−cotx +C


1
sin
2
ax
d x =−cot(ax) +C
1.2 Tích phân xác định
Định nghĩa
Cho y = f (x) là một hàm số liên tục trên [a,b] và y = F (x) là một nguyên hàm của nó.
Tích phân xác định từ a đến b được định nghĩa và kí hiệu như sau:
b

a
f (x)d x =F (b) −F(a)
Tính chất
•
0

0
f (x)d x =0,
a

a
f (x)d x =0
•
b

a
k f (x)d x =k
b


a
f (x)d x
•
b

a
f (x)d x = −
a

b
f (x)d x
2 © Nguyễn Hồng Điệp
Chương I. TÍCH PHÂN 2. PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH
•
b

a

f (x)±g (x)

d x =
b

a
f (x)d x ±
b

a
g (x)dx

•
b

a
f (x)d x =
c

a
f (x)d x +
b

c
f (x)d x
• Nếu f (x) ≥0 trên [a;b] thì
b

a
f (x)d x ≥0
• Nếu f (x) ≥ g (x) trên [a;b] thì
b

a
f (x)d x ≥
b

a
g (x)dx
2 Phương pháp phân tích
Ví dụ 2.1. Tính các tích phân sau:
(a) I

1
=
2

1
x
2
−2x
x
3
d x (b) I
2
=
3

1
(x
2
−1)
2
x
d x
(c) I
3
=
1

0
e
x

+1
e
2x
d x (d) I
4
=
1

0


e
x
−1

2
d x
(e) I
5
=
2

0
6x −3
x
2
−x +5
d x
Giải
(a) Ta có: I

1
=
2

1

1
x
−
2
x
2

d x =

ln|x|+
2
x





2
1
=ln2 −1.
(b) Ta có: I
2
=
3


1
x
4
+2x
2
+1
x
d x =
3

1

x
3
+2x +
1
x

d x =

1
4
x
4
+x
2
+ln|x|






3
1
=28 +ln3.
(c) Ta có: I
3
=
1

0

1
e
x
+
1
e
2x

d x =
1

0

e
−x
+e
−2x


d x =

−e
−x
−
1
2
e
−2x





1
0
=
3
2
−
1
e
−
1
2e
2
.
(d) Ta có: I
4

=
1

0

e
x
−2

e
x
+1

d x =
1

0

e
x
−2e
x
2
+1

d x

e
x
−4e

x
2
+x




1
0
=e −4

e +4.
(e) Ta có: I
5
=3
2

0
2x −1
x
2
−x +5
d x =3

ln|x
2
−x +5|




2
0
(dạng

u

u
d x)
=3ln
7
5
© Nguyễn Hồng Điệp 3
2. PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Chương I. TÍCH PHÂN
Ví dụ 2.2. Tính các tích phân sau:
(a) I
1
=
1

0
x(1 −x)
2004
d x (b)I
2
=
1

0
1


x −2 −

x −3
d x
Giải
(a) Ta có: I
1
=
1

0
[(x −1)+1](x −1)
2004
d x =
1

0
[(x −1)
2005
+(x −1)
2004
]dx
=
1

0
(x −1)
2005
d x +
1


0
(x −1)
2004
d x
=

(x −1)
2006
2006
−
(x −1)
2005
2005





1
0
=−
1
4022030
.
(b) Nhận xét: khi trục căn thức ta sẽ triệt tiêu được x ở mẫu.
Ta có: I
2
=
1


0


x −1 −

x

d x =
2
3

(x +1)
3
2
−x
3
2




4
3
=
4
3
(

2 −1)

 Bài toán tương tự
1.
4

3
1

x +2 −

x −3
d x. Đáp số:
2
15
(6

6 −5

5 +1).
2.
π
2

−
π
2
sin7x sin2x d x. Đáp số:
4
45
.
3.

π
2

π
6
1 +sin 2x +cos2x
sin x +cos x
d x. Đáp số: 1.
4.
π
4

0
sin
2

π
4
−x

d x. Đáp số:
π−2
8
.
5.
π
2

0
sin

4
x d x. Đáp số:
3π
16
6.
π
4

0
tan
2
x d x. Đáp số: 1 −
π
4
.
7.
π
2

0
tan
3
x d x. Đáp số:
3
2
−ln2.
4 © Nguyễn Hồng Điệp
Chương I. TÍCH PHÂN 3. TÍCH PHÂN CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI, MIN, MAX
8.
16


0
1

x +9 −

x
d x. Đáp số: 12.
9.
5

2
1

x +2 +

x −2
d x. Đáp số:
10.
1

0

e
2x
+
3
x +1

d x. Đáp số:

e
2
2
+3ln2−
1
2
11.
1

0
x
x +

x
2
+1
d x. Đáp số: −
2
3
+
2
3

2
3 Tích phânchứa trị tuyệt đối, min, max
1. Tính I =
b

a
|f (x)|dx ta xét dấu f (x) trên [a,b] để khử dấu giá trị tuyệt đối.

2. Tính I =
b

a
max[f (x), g (x)]dx, I =
b

a
min[f (x), g (x)]dx ta xét dấu hàm
h(x) = f (x) −g (x)
trên [a,b] để tìm min[f (x), g (x)], max[f (x), g(x)].
Ví dụ 3.1. Tính I =
2

0
|x
2
−x|d x
Giải
Cho x
2
−x =0 ⇔x =0 ∨ x =1
Bảng xét dấu
x
x
2
+x
0
1 2
0

−
0
+
Khi đó: I =
1

0
(−x
2
+x) d x +
2

1
(x
2
−x) d x =1
Ví dụ 3.2. Tính I =
2π

0

1 +sin x dx
© Nguyễn Hồng Điệp 5
3. TÍCH PHÂN CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI, MIN, MAX Chương I. TÍCH PHÂN
Giải
Ta có: I =
2π

0


1 +sin x dx =
2π

0


sin
x
2
+cos
x
2

2
d x =
2π

0



sin
x
2
+cos
x
2




d x
Cho sin
x
2
+cos
x
2
=0 ⇔tan
x
2
=−1 ⇔ x =−
π
2
+k2π
Do x ∈
[
0,2π
]
ta có x =
3π
2
Bảng xét dấu
x
sin
x
2
+cos
x
2
0

3π
2
2π
0
+
0
−
Khi đó: I =
3π
2

0

sin
x
2
+cos
x
2

d x +
2π

3π
2
−

sin
x
2

+cos
x
2

d x
=2

−cos
x
2
+sin
x
2




3π
2
0
+2

cos
x
2
−sin
x
2





2π
3π
2
=4ln2.
Ví dụ 3.3. Tính I =
2

−1
(|x|−|x −1|) d x
Giải
Bảng xét dấu chung
x
x
x −1
−1
0
1 2
−
0
+ +
− −
0
+
Khi đó: I =
0

−1
(−x +x −1) d x +

1

0
(x +x −1)d x +
2

1
(x −x +1)d x
=−
0

−1
d x +
1

0
(2x −1)dx +
2

1
d x =0.
Ví dụ 3.4. Tính I =
2

0
max{x
2
,3x +2} d x
Giải
Xét hàm số h(x) = x

2
−3x +2 trên [0,2]
Bảng xét dấu
x
h(x)
0
1 2
0
+
0
−
6 © Nguyễn Hồng Điệp
Chương I. TÍCH PHÂN 3. TÍCH PHÂN CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI, MIN, MAX
Do đó:
• Với x ∈[0,1] thì max[x
2
,3x +2] = x
2
.
• Với x ∈[1,2] thì max[x
2
,3x +2] =3x −2 .
Khi đó: I =
1

0
x
2
d x +
2


1
(3x −2)dx =
17
6
.
 Bài toántương tự
1.
2

−2
|x
2
−1|dx. Đáp số: 4
2.
2

−3
|x
2
−3x +2|dx. Đáp số:
59
2
3.
π
2

0

5 −4 cos

x
−4sinx dx. Đáp số: 2

3 −2 −
π
6
4.
5

−5
(|x +2|−|x −2|)dx. Đáp số: 8
5.
1

−1
(|2x −1|−|x|)dx. Đáp số:
3
2
6.
1

−1
|x|
x
4
−x
2
−12
d x. Đáp số:
2

7
ln
3
4
7.
4

1

x
2
−6x +9dx. Đáp số:
5
2
8.
1

−1

4 −|x|dx. Đáp số: 2 −(5 −

3)
9.
1

−1

|x|−x d x. Đáp số:
2


2
3
10.
3

0
|2
x
−4|dx. Đáp số: 4 +
1
ln2
.
11.
3

0

x
3
−2x
2
+x dx. Đáp số:
24+

3+8
15
.
© Nguyễn Hồng Điệp 7
4. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ ĐƠN GIẢN Chương I. TÍCH PHÂN
12.

π
2

−
π
2
|sinx|dx. Đáp số: 2.
13.
π

0

2 +2 cos2x d x. Đáp số: 4.
14.
π

0

1 −sin 2 x dx. Đáp số: 2

2.
15.
2π

0

1 +sin x dx. Đáp số: 4

2.
16.

2

0
max(x,x
2
)dx. Đáp số:
55
6
.
17.
2

0
min(x,x
3
)dx. Đáp số:
4
3
.
18.
π
2

0
min(sin x,cosx)dx
4 Phương pháp đổi biếnsố đơn giản
Thông thường khi gặp:
• Một căn thức ta đặt t là căn thức.
• Một phân thức ta đặt t là mẫu thức.
• Một hàm số lấy lũy thừa ta đặt t là biểu thức lấy lũy thừa.

• Một hàm số mũ ta đặt t là biểu thức ở trên mũ.
4.1 Dạng căn thức
Khi gặp hàm dưới dấu tích phân có chứa biểu thức dạng
n

f (x) nói chung
trong nhiều trường hợp ta đặt t =
n

f (x)
Ví dụ 4.1. Tính
1

0
x

x
2
+1dx
8 © Nguyễn Hồng Điệp
Chương I. TÍCH PHÂN 4. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ ĐƠN GIẢN
Giải
Đặt t =

x
2
+1 ⇒t
2
=x
2

+1 ⇒x
2
=t
2
−1 ⇒xd x = t d t
Đổi cận: x =0 ⇒ t =1 ; x =

1 ⇒ t =

2
Khi đó: I =
1

0

x
2
+1.x d x =

2

1
t.t d t
=

2

1
t
2

d t =
t
3
3





2
0
=
1
3

2

2 −1

Lưu ý: một số học sinh thường quên đổi sang cận mới theo t. Bài này ta còn có thể giải
theo cách khác như ở Ví dụ 5.7 trang 20.
Ví dụ 4.2. Tính I =

3

0
x
3

x

2
+1dx
Giải
Đặt t =

x
2
+1 ⇒x
2
=1 −t
2
⇒xd x =−tdt
Đổi cận: x =0 ⇒ t =0 ; x =

3 ⇒ t =2
Khi đó: I =

3

0
x
2

x
2
+1.x d x =
2

0
(1 −t)t(−t)dx =

2

0
(t
3
−t
2
)dx
=

t
4
4
−
t
3
3





2
0
=
4
3
Nhậnxét: Trước khi đổi sang biến t ta có bước phân tích làm xuất hiện kết quả vi phân
xdx là x
3

d x = x
2
.xd x và ta thấy cần chuyển x
2
theo biến t thì phép đổi biến mới thành
công.
 Bài toán tương tự
1.
1

0
x −1

3x
2
−6x +7
d x.
Đáp số :
2−

7
3
2.
ln x

0
e
2x

1 +e

x
d x.
Đáp số :
2

2
3
3.
5

1
2
x

2x −1dx.
Đáp số :
144
5
4.
6

2
1
2x +1+

4x +1
d x. Đáp số: ln
3
2
−

1
6
© Nguyễn Hồng Điệp 9
4. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ ĐƠN GIẢN Chương I. TÍCH PHÂN
5.
π
2

0

1 +4 sin x cos x d x.
Ví dụ 4.3. Tính

3

1
3 −2 ln x
x

1 +2 ln x
d x
Giải
Đặt t =

1 +2 ln x ⇒ t
2
=1 +2lnx ⇒2lnx =t
2
−1 ⇒tdt =
1

x
d x
Đổi cận: x =1 ⇒ t =1 ; x =

2 ⇒ t =

2
Khi đó: I =

3

1
3 −2 ln x

1 +2 ln x
·
1
x
d x =

2

1
(3 −t
2
+1)
t
·t dt =

2


1
(4 −t
2
)dt =
10

2
3
−
11
3
 Bài toántương tự
1.

e
3

1
3 −2 ln x
x

1 +2 ln x
d x. Đáp số:
5
3
2.
e

1


1 +3 ln x ·ln x
x
d x (B-2004). Đáp số:
116
135
3.
e

7

1
ln x
3

1 +ln
2
x
x
d x. Đáp số: ln
3
2
−
1
3
Ví dụ 4.4. Tính I =
2

3



5
1
x

4 +x
2
d x (A-2003)
Giải
Đặt t =

4 +x
2
⇒x
2
=t
2
−4 ⇒xd x = t d t
Đổi cận: x =

5 ⇒ t =3 ; x =2

3 ⇒ t =4
Khi đó: I =
2

3


5

1
x

4 +x
2
d x =
2

3


5
1
x
2

4 +x
2
·x dx
=
4

3
1
(t
2
−4)t
·t dt =
4


3
1
t
2
−4
·t dt =
4

3
1
t
2
−4
d t
=
4

3
1
(t −2)(t +2)
d t =
1
4
4

3
1
t −2
−
1

t +2
d t
=
1
4
(
ln|t −2|−ln|t +2|
)
|
4
3
=
1
4
·ln
5
3
Nhận xét: khi ta phân tích làm xuất hiện vi phân xdx ta thấy hàm ban đầu chưa có kết
quả này do đó ta cần nhân tử và mẫu biểu thức dưới dấu tích phân cho x. Sau đó ta cần
chuyển x
2
theo biến t thì phép đổi biến mới thành công.
10 © Nguyễn Hồng Điệp
Chương I. TÍCH PHÂN 4. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ ĐƠN GIẢN
 Bài toántương tự
1.
ln8

ln3
1


1 +e
x
d x. Đáp số: ln
3
2
2.
ln2

0

e
x
−1dx
4.2 Biểu thức có chứa căn bậc khác nhau
Khi gặp hàm dưới dấu tích phân có chứa các biểu thức dạng

ax +b)
cx +d

m
n
,
,

ax +b)
cx +d

r
s

ta đặt
ax +b)
cx +d
= t
k
với k là mẫu số chung nhỏ nhất của các số
mũ
m
n
, ,
r
s
.
Ví dụ 4.5. Tính I =
63

0
1
3

x +1 +

x +1
d x
Giải
Đặt x +1 = t
6
⇒x = t
6
−1 ⇒d x =6t

5
d t
Đổi cận: x =0 ⇒ t =1 ; x =63 ⇒ t =2
Khi đó: I =
2

1
6t
5
t
3
+t
2
d t =6
2

1
t
3
t +1
d t =
2

1

t
2
−t +1−
1
t +1


d t =11 +6 ln
2
3
Nhận xét: do
3

x +1 = (x +1)
1
3
,

x +1 = (x +1)
1
2
và mẫu số chung của các số mũ
1
3
,
1
2
là 6
nên ta đổi biến x +1 = t
6
.
 Bài toán tương tự
1.
729

64

1
3

x −

x
d x
2.
3

2
3

x −1
x +1
·
1
x +1
d x.
Hướng dẫn: đặt
x+1
x−1
=t
3
và kết hợp phương pháp giải mục 5.3 trang 19.
© Nguyễn Hồng Điệp 11
4. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ ĐƠN GIẢN Chương I. TÍCH PHÂN
4.3 Dạng phân thức
1
Khi gặp hàm dưới dấu tích phân có chứa biểu thức dạng

f (x)
g (x)
nói chung
trong nhiều trường hợp ta đặt t = g (x).
Ví dụ 4.6. Tính I =
4

0

2x +1
1 +

2x +1
d x
Giải
Đặt t =1 +

2x +1 ⇒ t −1 =

2x +1
⇒2x +1 =(t −1)
2
⇒d x =(t −1)d t
Đổi cận: x =0 ⇒ t =2 ; x =4 ⇒ t =4
Khi đó: I =
4

2
t −1
t

·(t −1)dt =
4

2
(t −1)
2
t
d t =
4

2
t −2 +
1
t
d t =2 +ln 2
Nhận xét: bài này ta có thể đổi biến dạng căn thức t =

2x +1 nhưng sẽ phức tạp hơn,
cách đổi biến t =1 +

2x +1 là phù hợp.
Ví dụ 4.7. Tính I =
1

0
x
3
x
2
+1

d x
Giải
Đặt t = x
2
+1 ⇒x
2
=t −1 ⇒xd x =
d t
2
Đổi cận: x =0 ⇒ t =1 ; x =1 ⇒ t =2
Khi đó: I =
1

0
x
2
x
2
+1
·x dx =
2

1
t −1
t
·
1
2
d t =
1

2
2

1

1 −
1
t

d x =
1
2
−
ln2
2
Nhận xét: bài này gọn nhất là giải bằng phương pháp Tíchphân hàmhữu tỉ
2
ở đây đưa
ra hướng giải khác để thấy nhiều cách tiếp cận một bài tích phân.
 Bài toán tương tự
1.
π
2

0
sin
3
x
1 +cos x
d x

1
Phương pháp giải tổng quát xem mục 6 trang 23
2
Xem mục 6 trang 23
12 © Nguyễn Hồng Điệp
Chương I. TÍCH PHÂN 4. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ ĐƠN GIẢN
4.4 Dạng biểu thức lũy thừa
Thông thường ta đặt t là biểu thức lấy lũy thừa.
Ví dụ 4.8. Tính I −
1

0
x
3
(x
4
−1)
5
d x.
Giải
Đặt t = x
4
−1 ⇒d t =4x
3
d x ⇒ x
3
d x =
1
4
x

3
Đổi cận: x =0 ⇒ t =−1 ; x =1 ⇒ t =0
Khi đó: I =
1
4
0

−1
t
5
d t =
1
24
t
6




0
−1
=−
1
24
.
Nhận xét: do (x
4
)

=4x

3
nên ta khử được x
3
trong đề bài.
 Bài toán tương tự
1.
1

0
x
3
(1 +x
4
)
3
d x. Đáp số:
15
16
.
2.
1

0
x
3
(1 −x
3
)
6
d x. Đáp số:

1
168
.
3.
1

0
x
3
(1 −x)
2014
d x
4.5 Biểu thức có logarit
Dạng thường gặp là biểu thức chứa
1
x
và lnx. Ta thường đổi biến t =ln x hoặc
t = biểu thức chứa lnx.
Ví dụ 4.9. Tính các tích phân sau:
(a) I
1
=
e

1
(1 +ln x)
2
x
d x (b) I
2

=
e

1
ln x.
3

1 +ln
2
x
x
d x
Giải
(a) Đặt t =1+ln x ⇒d t =
1
x
Đổi cận: x =1 ⇒ t =1 ; x =e ⇒ t =2
Khi đó: I
1
=
2

1
t
2
d t =
t
3
3





2
1
=
7
3
.
© Nguyễn Hồng Điệp 13
5. ĐỔI BIẾN SANG LƯỢNG GIÁC Chương I. TÍCH PHÂN
(b) Đặt t =
3

1 +ln
2
x ⇒ t
3
=1 +ln
2
x ⇒3t
2
d t =2 ·
ln x
x
d x ⇒
ln x
x
d x =
3

2
·t
2
d t
Đổi cận: x =1 ⇒ t =1 ; x =e ⇒ t =
3

2
Khi đó: I
2
=
3
2
3

2

1
t
3
d t =
3
8
·t
4




3


2
1
=
3
8
(
3

16 −1)
 Bài toán tương tự
1.
e
2

e
1
x ln x
d x. Đáp số: ln2
2.

3

0
ln

x +

x
2

+1


x
2
+1
d x.
3.
e

1
1
x

9 −ln
2
x
d x
4.
e

1

1 +ln x
2x
d x. Đáp số:
2

2−1
3

5.
e
3

1
1
x

1 +ln x
d x. Đáp số: 2.
5 Đổi biếnsang lượng giác
ĐỔI BIẾN SANG LƯỢNG GIÁC
Hàm dưới dấu tích phân Đổi biến Điều kiện
1

a
2
−x
2
x = a sin t t ∈

−
π
2
,
π
2

x = a cos t t ∈
[

0,π
]
2

x
2
−a
2
x =
a
sin t
t ∈

−
π
2
,
π
2

\ {0}
x =
a
cos t
t ∈
[
0,π
]
\ {
π

2
}
3

a
2
+x
2

k
x = a tan t t ∈

−
π
2
,
π
2

x = a cot t t ∈
(
0,π
)
4

a+x
a−x
hoặc

a−x

a+x
x = a cos2t t ∈

0,
π
2

5

(x −a)(b −x) x = a +(b −a)sin
2
t t ∈

0,
π
2

14 © Nguyễn Hồng Điệp
Chương I. TÍCH PHÂN 5. ĐỔI BIẾN SANG LƯỢNG GIÁC
5.1 Dạng 1
Biểu thức dưới dấu tích phân có dạng

a
2
−x
2
, a >0, với bài tập có dạng này
ta đặt
• x =a sint,t ∈


−
π
2
,
π
2

• x =a cost,t ∈
[
0,π
]
Ví dụ 5.1. Tính I =

3

−1

4 −x
2
d x
Giải
Đặt x =2sint, t ∈

−π
2
,
π
2

⇒d x =2cos td t

Đổi cận: x =−1 ⇒ t =
−π
6
; x =

3 ⇒ t =
π
3
Khi đó: I =
π
3

−
π
6

4 −4 sin
2
t ·2cost d t =4
π
3

−
π
6
cos t

cos
2
t d t

Do t ∈

−
π
6
,
π
3

⇒cos t >0 ⇒

cos t =cos t
I =
π
3

−
π
6
4cos
2
t d t =2
π
3

−
π
6
(1 +cos 2t )dt
=2

π
3

−
π
6
d t +2
π
3

−
π
6
cos
2
t d t =π +

3
Nhận xét: mặc dầu hàm dưới dấu tích phân có căn thức nhưng nếu đặt t =

4 −x
2
thì
sẽ gặp khó khăn do:
1. Từ t
2
=4 −x
2
⇒ tdt =−xd x nhưng dưới dấu tích phân chỉ có d x nếu làm xuất hiện
vi phân xd x thì ta phải chia cho x. Trong khi đó cận tích phân từ −1 đến


3 có
chứa x =0 khi đó phép chia không hợp lệ.
2. Khi đổi sang biến t cần tính t theo x lại xuất hiện dấu căn mới, bài toán sau phức
tạp hơn bài toán trước. (∗.∗)
Đây là Ví dụ chứng tỏ không phải cứ thấy

f (x) là đổi biến t =

f (x). Có thể không
thành công.
Ví dụ 5.2. Tính I =
3
2

−
3

2
2
1


9 −x
2

3
d x
© Nguyễn Hồng Điệp 15
5. ĐỔI BIẾN SANG LƯỢNG GIÁC Chương I. TÍCH PHÂN

Giải
Đặt x =3cos t với t ∈[0,π]
⇒d x =−3sin td t
Đổi cận: x =−
3

2
2
⇒t =
3π
4
; x =
3
2
⇒t =
π
3
Khi đó I =
π
3

3π
4
−3sint


9sin
2
t


3
d t =
3π
4

π
3
3sint
3
3
·|sin
3
t|
d t
Do t ∈

π
3
,
3π
4

⇒sin t >0 ⇒|sin
3
t|=sin
3
t
=
3π
4


π
3
3sint
3
3
·sin
3
t
d t =
1
9
3π
4

π
3
1
sin
2
t
d t = −
1
9
cot t




3π

4
π
3
=

3 +3
27
Nhận xét: trong bài này nếu đặt t =


9 −x
2

3
là không thích hợp.
 Bài toántương tự
1.
3
2

0
1


9 −x
2

3
d x. Đáp số:
1

9

3
2.
1

0


1 −x
2

3
d x. Đáp số:
3π
16
3.

2
2

0
x
2

1 −x
2
d x. Đáp số:
π
8

−
1
4
4.
1

0
x
2
+1

4 −x
2
d x. Đáp số:
π
2
−

3
2
5.
1


2
2

1 −x
2
x

2
d x. Đáp số: 1 −
π
4
6.

2

0
x
2

4 −x
2
d x. Đáp số:
π
2
−1
Dạng tổng quát
Biểu thức dưới dấu tích phân có dạng

a
2
−b
2
x
2
, a > 0, với bài tập có dạng
này ta đặt
16 © Nguyễn Hồng Điệp

Chương I. TÍCH PHÂN 5. ĐỔI BIẾN SANG LƯỢNG GIÁC
• x =
a
b
sin t,t ∈

−
π
2
,
π
2

• x =
a
b
cos t,t ∈
[
0,π
]
 Bài tập
1.
1

0
x
2

4 −3x
2

d x. Đáp số:
2

3π
27
+
1
12
. đặt: x =
2

3
sin t
2.
1

0
1

−x
2
+2x +3
d x.
Đáp số:
π
6
. Hd: I =

1
0

d x

4−(x−1)
2
. Đặt x −1 =2 sin t
3.

3−1

−1
1
x
2
+2x +2
d x. Đáp số:
π
3
5.2 Dạng 2
Biểu thức dưới dấu tích phân có dạng

x
2
−a
2
, a >0, với bài tập có dạng này
ta đặt
• x =
a
sin t
, t ∈


0,
π
2

• x =
a
cos t
cos t,t ∈

0,
π
2

Ví dụ 5.3. Tính
6

3

2
1
x

x
2
−9
d x
Giải
Đặt x =
3

sin t
với t ∈

0,
π
2

⇒d x =−
3cost
sin
2
x
d t
Đổi cận: x =3

2 ⇒ t =
π
4
; x =6 ⇒ t =
π
6
Khi đó: I =
π
6

π
4
−3cost
sin
2

x ·
3
sin t
·

9
sin
2
t
−9
d t =
π
4

π
3
cos t
3sint ·

cos
2
t
sin
2
t
d t
=
1
3
π

4

π
6
cos t
sin t ·
cos t
sin t
d t =
1
3
π
4

π
6
d t =
π
36
© Nguyễn Hồng Điệp 17
5. ĐỔI BIẾN SANG LƯỢNG GIÁC Chương I. TÍCH PHÂN
Nhận xét: bài này ta còn có thể đổi biến t =

x
2
+9 sẽ xuất hiện tích phân có dạng
3

3


3
1
t
2
+9
d t ta áp dụng phương pháp giải ở mục 5.3 trang 19.
Ví dụ 5.4. Tính

2
2

1
1

4x
2
−1
d x
Giải
Đặt x =
1
2cost
, t ∈

0,
π
2

⇒d x =
sin t

2cos
2
t
d t
Đổi cận: x =1 ⇒ t =
π
3
; x =

2
2
⇒t =
π
4
Khi đó: I =
π
4

π
3
1
cos t
d t
Đặt u =sin t ⇒du =cos tdt
Đổi cận: t =
π
3
⇒u =

3

2
; t =
π
4
⇒u =

2
2
Khi đó: I =
π
4

π
3
1
cos
2
t
·cos t dt =
π
4

π
3
1
sin
2
t −1
·cos t dt
=


2
2


3
2
1
u
2
−1
du =
1
2

2
2


3
2

1
u −1
−
1
u +1

du
=

1
2
ln


2 +1

3 +1

Nhận xét: phép đổi biến sang lượng giác trong bài này là phù hợp nhưng đây chưa phải
là cách làm hiệu quả nhất, nếu ta đổi biến theo hướng khác t =2x +

4x
2
−1 thì bài giải
gọn hơn nhiều. Qua đó cho thấy một bài tích phân có nhiều cách giải khác nhau, tìm
được lời giải đẹp đòi hỏi nhiều về kinh nghiệm và khả năng suy luận của mỗi người.
 Bài toán tương tự
1.

2
2

0
1

1 −x
2
d x. Đáp số:
1

2
ln


2+1

3+1

2.

2

2

3
1
x

x
2
−1
d x. Đáp số:
π
12
18 © Nguyễn Hồng Điệp
Chương I. TÍCH PHÂN 5. ĐỔI BIẾN SANG LƯỢNG GIÁC
3.
4

3


2

x
2
−4
x
3
d x. Đáp số:
π
48
−

3
32
5.3 Dạng 3
Biểu thức dưới dấu tích phân có dạng

a
2
+x
2

k
, a > 0, với bài tập có dạng
này ta đặt
• x =a tant,t ∈

−
π

2
,
π
2

• x =a cott,t ∈
(
0,π
)
Ví dụ 5.5. Tính
3

3

3
1
x
2
+9
d x
Giải
Đặt x =3tan t , t ∈

−
π
2
,
π
2


⇒d x =
3
cos
2
t
d t
Đổi cận: x =3 ⇒ t =
π
4
; x =3

3 ⇒ t =
π
3
Khi đó: I =
π
3

π
4
1
9tan
2
t +9
·
3
cos
2
t
d t =

1
3
π
3

π
4
1

1 +tan
2

cos
2
t
d t
=
1
3
π
3

π
4
1
cos
2
t
·cos
2

t d t =
1
3
π
3

π
4
d t =
π
36
Ví dụ 5.6. Tính
2

0
1
x
2
+4
d x
Giải
Đặt x =2cot t , t ∈
(
0,π
)
⇒d x =
2
cos
2
t

d t
Đổi cận: x =0 ⇒ t =
π
2
; x =2 ⇒ t =
π
4
Khi đó: I =
π
4

0
1
4cot
2
t +4
·
2
sin
2
t
d t =
1
2
π
4

0
1


1 +cot
2

sin
2
t
d t
=
1
2
π
4

0
1
sin
2
t
·sin
2
t d t =
1
2
π
4

0
d t =
π
8

© Nguyễn Hồng Điệp 19
5. ĐỔI BIẾN SANG LƯỢNG GIÁC Chương I. TÍCH PHÂN
Ví dụ 5.7. Tính
1

0
x

1 +x
2
d x
Giải
Đặt x =tant,t ∈

−
π
2
,
π
2

⇒d x =
1
cos
2
t
d t
Đổi cận: x =0 ⇒ t =0 ; x =1 ⇒ t =
π
4

Khi đó: I =
π
4

0
tan t

1 +tan
2
t ·
1
cos
2
t
d t =
π
4

0
sin t
cos t
·
1
cos t
·
1
cos
2
t
d t

=
π
4

0
sin t
cos
4
t
d t =···=
1
3

2

2 −1

Nhận xét: đây là cách giải đúng và dĩ nhiên có thể chấp nhận được nhưng ta còn có
cách giải khác ngắn gọn hơn ở Ví dụ 4.1 trang 8. Phép đổi biến x = tan t có thể dùng
được nhưng không thích hợp trong trường hợp này.
 Bài toántương tự
1.
1

0
1

1 +x
2


3
d x. Đáp số:
3π
32
+
1
4
2.
2

0
1

x
2
+4

2
d x. Đáp số:
1
32

π
2
+1

3.

3


−

3
3
1


1 +x
2

3
d x. Đáp số:

3+1
2
4.

3

1

1 +x
2
x
2
d x. Đáp số: ln

2 +

3



2 −1

+
3

3−2

3
3
Dạng tổng quát
Biểu thức dưới dấu tích phân có dạng

a
2
+b
2
x
2

k
, với bài tập có dạng này ta
đặt
• x =
a
b
tan t,t ∈

−

π
2
,
π
2

• x =
a
b
cot t,t ∈
(
0,π
)
20 © Nguyễn Hồng Điệp