Hình học giải tích: Vecto trong không gian

CHUYÊN ĐỀ 8
VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN
Các đònh nghóa và phép toán của vectơ trong không gian cũng giống như trong mặt
phẳng, ta cần lưu ý đến các vấn đề cơ bản thông dụng như :
. Qui tắc 3 điểm : A, B, C thì
∀
AB
JJJG
+
BC
JJJG
=
AC
JJJG

. Cộng 2 vectơ cùng gốc là một vectơ cùng gốc và là đường chéo hình bình hành có 2
cạnh là 2 vectơ đã cho.
. I là trung điểm đoạn thẳng AB, với điểm M bất kỳ nào ta luôn có:

MI
=
JJJG
2
MA MB+
JJJJG JJJJG

. G là trọng tâm của
Δ
ABC ⇔
GA

JJJG
+
GB
JJJG
+
GC
JJJG
=
0
G
.
Ngoài ra ta còn có :
. Ba vectơ khác gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song hoặc nằm
trong một mặt phẳng .
0
G
. Bất kỳ vectơ
a

0
nào đồng phẳng với hai vectơ không cùng phương , trong
không gian, đều có thể phân tích theo
G
≠
G
1
e
G
2
e

G
1
e
G
,
2
e
G
có nghóa:

a
=
G
α
1
e
G
+
β
2
e
G
(
α
,
β

∈
R)
và sự phân tích trên là duy nhất .

. Bất kỳ vectơ
a
nào trong không gian cũng có thể phân tích được theo 3 vectơ
không đồng phẳng , , có nghóa :
G
≠
0
G
1
e
G G G
2
e
3
e

a
= +
β
G
α
1
e
G
2
e
G
+
γ
3

e
G
(
α
,
β
,
γ
∈
R)
. G được gọi là trọng tâm của tứ diện ABCD
+ +
GC
+
⇔
GA
JJJG
GB
JJJG
JJJG
GD
JJJG
=
0
G

Ghi chú :
1) Nếu một trong 3 vectơ ,
a
G

b
G
,
c
G
là
0
G
thì chúng đồng phẳng.
2)
a
,
b
,
c
đồng phẳng ⇔
G
G
G
,. 0ab c
⎡⎤
=
⎣⎦
G GG


1
3)
OA
,

OB
, đồng phẳng
JJJG JJJG
OC
JJJG
⇔ O, A, B, C cùng nằm trên một mặt phẳng.
Ví dụ 1:
Cho một hình lăng trụ ABC
A
′
B
′
C
′
. Gọi I,
I
′
lần lượt là trọng tâm của
Δ
ABC và
Δ
A
′
B
′
C
′
, O là trung điểm của I
I
′

.
a) Chứng minh rằng
+ +
OBOA
JJJG
OA
′
JJJJG JJJG
+
OB
′
JJJJG
+
OC
JJJG
+
OC
′
JJJJG
=
0
G

b) Gọi G là trọng tâm của hình tứ diện ABC
C
′
và M là trung điểm của
A
′
B

′
. Chứng
minh rằng O, M, G thẳng hàng.
c) Tính tỉ số
OM
OG
JJJJG
JJJG

Giải
a) +
OA
+ +
OA
JJJG
′
JJJJG
OB
JJJG
OB
′
JJJJG
+
OC
JJJG
+
OC
′
JJJJG
=

0
G

I là trọng tâm của ABC ⇒
Δ
IA
JJG
+
IB
JJG
+
IC
JJG
=
0
G

( + ) + (
IO
+
OB
) + (⇒
IO
JJG
OA
JJJG
JJG JJJG
IO
JJG
+

OC
JJJG
) =
0
G


OA
+ +
OC
= 3
OI
⇒
JJJG
OB
JJJG
JJJG JJG
Tương tự, là trọng tâm của
I
′
Δ
A
′
B
′
C
′


OA

+ +
OC
= 3
OI
⇒
′
JJJJG
OB
′
JJJJG
′
JJJJG
′
JJJG

Vậy
OA
+
JJJG
OA
′
JJJJG
+
OB
+
JJJG
OB
′
JJJJG
+

OC
JJJG
+
OC
′
JJJJG
=
= 3
OI
JJG
+ 3
OI
′
JJJG
= 3(
OI
JJG
+
OI
′
JJJG
)
=
0
G
(vì 0 là trung điểm I
I
′
)
b) O, M, G thẳng hàng

G là trọng tâm của tứ diện ABC
C
′

⇒
GA
+ +
GC
+
JJJG
GB
JJJG
JJJG
GC
′
JJJJG
=
0
G

⇒ ( +
OA
) + (
GO
+ ) + (
GO
JJJG
JJJG JJJG
OB
JJJG

GO
JJJG
+
OC
JJJG
) + (
GO
JJJG
+
OC
′
JJJJG
) =
0

G
⇒
OA
+ +
OC
+
OC
JJJG
OB
JJJG
JJJG
′
JJJJG
= 4
OG

JJJG

M là trung điểm của
A B
′′

⇒
OA
+ = 2
OM

′
JJJJG
OB
′
JJJJG
JJJJG
⇒
OA
+ +
OC
+
OC
JJJG
OB
JJJG
JJJG
′
JJJJG
+

OA
′
JJJJG
+
OB
′
JJJJG
= 4
OG
JJJG
+ 2
OM
JJJJG


2
⇒
0
= 4 + 2
OM

G
OG
JJJG
JJJJG
⇒
OM
= –2
JJJJG
OG

JJJG
⇒
OM
cùng phương với
OG
JJJJG
JJJG

⇒
OM
,
OG
cùng giá (vì cùng gốc O)
JJJJG JJJG
⇒ O, M, G thẳng hàng.
c) Tỉ số
JJJJG
JJJG
OM
OG

OM
JJJJG
= –2
OG
JJJG
⇒
OM
OG
JJJJG

JJJG
= –2
Ví dụ 2:

Cho hình hộp ABCD.
A
′
B
′
C
′
D
′
với
AA
′
JJJJG
=
a
G
,
AB
JJJG
=
b
G
,
/
AC
JJJJG

= . Hãy biểu thò các
vectơ
c
G
AD
JJJG
,
A C
′
JJJJG
JJJJG JJJJG
, , theo các vectơ
a
BD
′
BD
′
G
,
b
G
,
c
G
.
Giải
Ta có với hình hộp ABCD.
A
′
B

′
C
′
D
′
thì :
AD
JJJG
=
AC
′
JJJJG
+
/
CD
′
JJJJJG
+
DD
′
JJJJG
=
c
G
–
b
G
–
a
G

A C
′
JJJJG
=
A A
′
JJJJG
+
/
AC
JJJJG
+
/
CC
JJJJG
A C
′
JJJJG
= –2
a
G
+
c
G
BD
′
JJJJG
=

BB
′
JJJJG
+
BA
JJJG
+
AD
JJJG

= –
a
G
–
b
G
+
c
G
– –
b
G
a
G
= – 2
a
G
– 2
b
G

+
c
G

BD
′
JJJJG
=
BA
JJJG
+
AD
JJJG
+
DD
′
JJJJG
= –
b
G
+ (
c
G
– –
a
) +
b
G
G
a

G
= – 2
b
G
+
c
G

* * *
D
′

A

B
′

′
c
G

B
C
D
A
a
C
′

G

b
G


3