Hình học giải tích: Đường thẳng

CHUYÊN ĐỀ 3
ĐƯỜNG THẲNG
I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, muốn viết phương trình một đường thẳng ta cần
phải biết:
()
Δ
1)
(
qua điểm M
0
(x
0
, y
0
) và có vectơ chỉ phương
a
)
Δ
G
= (a
1
, a
2
) sẽ có:
. Phương trình tham số : (t
0
02
xx ta
yy ta

=+
⎧
⎨
=+
⎩
1
∈
R)
. Phương trình chính tắc :
0
1
xx
a
−
=
0
2
yy
a
−
(a
1
, a
2

≠
0)
Từ phương trình chính tắc ta có thể đổi thành dạng phương trình tổng quát :
Ax + By + C = 0 (A
2

+ B
2
> 0)
2)
(
qua điểm M
0
(x
0
, y
0
) và có 1 pháp véctơ là (a,b) có phương trình : a(x –
x
0
) + b(y – y
0
) = 0
)
Δ
3) i) Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng có dạng
Ax + By + C = 0 với A
2
+ B
2
> 0 (1)
ii) Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng có dạng
x = x
0
hoặc y = kx + m (2).
Ta dễ dàng thấy (1) và (2) là tương đương.

+ (2) ⇔ kx –y + m = 0 ⇒ (2 ) thỏa (1) với A = k, B = - 1 , C = m.
+ Nếu B = 0 ⇒
=−
C
x
A
, có dạng x = x
0
với x
0
=
−
C
A
. Nếu B
≠
0 ⇒
=− −
A C
yx
BB
, có
dạng y = kx + m.
3)
(
qua hai điểm A(x
A
, y
A
), B(x

B
, y
B
) có phương trình :
)
Δ

A
BA
xx
xx
−
−
=
A
BA
yy
yy
−
−
nếu 0− −≠
BABA
(x x )(y y )

1
Nếu
(
qua A(a, 0)
∈
Ox và B(0, b)

)
Δ
∈
Oy với a.b ≠ 0; ta nói
( )
Δ
có đoạn chắn a, b
với phương trình:

x
a
+
y
b
= 1
* Ghi chú:
Nếu đề bài toán yêu cầu ta viết phương trình của đường thẳng, thông thường ta nên
viết phương trình ở dạng tổng quát và lưu ý :
()
Δ
: Ax + By + C = 0 thì
( )
Δ
có :
. một pháp vectơ = (A, B)
n
G
G
. một vectơ chỉ phương
a

= (–B, A)
. hệ số góc k = tg( , ) =
Ox
JJJG
Δ
A
B
−

.
()

(
′
Δ
//
()
Δ
⇒
)
′
Δ
: Ax + By + C
0
= 0
.
()

(
′

Δ
⊥
()
Δ
⇒
)
′
Δ
: Bx – Ay + C
0
= 0
Ta tìm được C
0
nếu biết thêm một điểm nằm trên
( )
′
Δ
.
Ngoài ra khi viết phương trình của một đường thẳng
( )
Δ
theo hệ số góc k, bài toán có
thể bò thiếu nghiệm do trường hợp
( )
Δ
⊥

x
′
x (hệ số góc k không tồn tại), do đó ta phải xét

thêm trường hợp có phương trình x = C để xem đường thẳng
()
Δ
( )
Δ
này có thỏa mãn điều
kiện của đầu bài không.
Ghi chú
- Nếu
n
= (A, B) là 1 pháp véc tơ của đường thẳng
G
( )
Δ
thì
k.
n
= (kA, kB) cũng là pháp véc tơ của
G
( )
Δ
với mọi số thực k ≠ 0.
- Nếu là 1 véc tơ chỉ phương của đường thẳng
12
=a(a,a)
JG
( )
Δ
thì
k. cũng là véc tơ chỉ phương của

12
=a(ka,ka)
JG
( )
Δ
với mọi số thực k khác 0.
II. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Để xét vò trí tương đối của hai đường thẳng ta cần nhớ
Cho (d
1
) : A
1
x + B
1
y + C
1
= 0
và (d
2
) : A
2
x + B
2
y + C
2
= 0
Đặt :

2
D =

11
22
A B
A B
; D
x
=
11
22
BC
BC
; D
y
=
1
22
CA
CA
1
thì :
D
≠
0 ⇔ (d
1
) cắt (d
2
) tại I
1
x
I

y
D
x
D
D
y
D
⎧
=
⎪
⎪
⎨
⎪
=
⎪
⎩

D = 0 và D
x
0 hoặc D
y

≠ ≠
0 ⇔ (d
1
)
//
(d
2
)

D = D
x
= D
y
= 0 ⇔ (d
1
)
≡
(d
2
)
hoặc với A
2
, B
2
, C
2
0 ta có :
≠

1
2
A
A

≠
1
2
B
B

⇔ (d
1
) cắt (d
2
)

1
2
A
A
=
1
2
B
B

≠
1
2
C
C
⇔ (d
1
)
//
(d
2
)

1

2
A
A
=
1
2
B
B
=
1
2
C
C
⇔ (d
1
)
≡
(d
2
)
Ghi chú
11
22
BC
BC
=
11
22
−
CB

CB
;
11
22
CA
CA
=
11
22
−
A C
A C



III. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Để tìm góc giữa hai đường thẳng, ta gọi
α
là góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng
(d
1
) : A
1
x + B
1
y + C
1
= 0 (d
2
) : A

2
x + B
2
y + C
2
= 0
thì cos
α
=
12 12
222
1122
2
A ABB
A B.A B
+
++


IV. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG
Để tìm khoảng cách từ điểm M(x
M
, y
M
) đến đường thẳng
()
Δ
: Ax + By + C = 0 ta áp dụng công thức :

3

d(M,
Δ
) =
22
MM
AxByC
AB
+ +
+

Khoảng cách đại số từ đường thẳng
( )
Δ
đến điểm M(x
M
, y
M
) là :
t =
22
MM
AxBy
AB
++
+
C
G

Đặt pháp vectơ = (A, B) có gốc lên
n

( )
Δ
thì :
. t > 0 nếu điểm M và
n
nằm cùng một bên đối với
G
( )
Δ

. t < 0 nếu điểm M và
n
nằm khác bên đối với
G
( )
Δ

Phương trình đường phân giác của góc hợp bởi 2 đường thẳng
(d
1
) : A
1
x + B
1
y

+ C
1
= 0 và
(d

2
) : A
2
x + B
2
y

+ C
2
= 0 là :

11
22
11
1
A xByC
AB
++
+
= ±
222
22
22
A xByC
AB
+ +
+

Ví dụ 1:
Cho tam giác ABC với A(–2, 1), B(4, 3), C(2,–3)

a) Tìm phương trình tham số và tổng quát cạnh BC.
b) Tìm phương trình đường cao AH.
c) Tìm phương trình đường thẳng qua A(–2, 1) và song song với BC.
Giải
a) Đường thẳng qua cạnh BC nhận
BC
JJJG
= (–2, –6) hay (1,3) làm vectơ chỉ phương và
qua B(4, 3) nên có phương trình tham số :
(t
4
33
=+
⎧
⎨
=+
⎩
xt
yt
∈
R)
⇔
4
1
−
x
=
3
3
−

y
(phương trình chính tắc)
⇔ 3x – y – 9 = 0 là phương trình tổng quát của BC.
b)
Δ
ABC có đường cao AH
⊥
BC : 3x – y – 9 = 0
⇒ pt AH : x + 3y + C
1
= 0

4
A(–2, 1)
∈
AH –2 + 3(1) + C
1
= 0 ⇔ ⇔ C
1
= –1
Vậy pt AH : x + 3y – 1 = 0
c) Đường thẳng Au
//
BC ⇒pt Au : 3x – y + C
2
= 0
A(–2, 1)
∈
Au ⇔ 3(–2) – 1 + C
2

= 0 ⇔ C
2
= 7
Vậy pt Au : 3x – y + 7 = 0
Ví dụ 2:
Cho tam giác ABC với A(1, –1), B(–2, 1), C(3, 5).
a) Viết phương trình đường vuông góc AH kẻ từ A đến trung tuyến BK của tam giác
ABC.
b) Tính diện tích tam giác ABK.
Giải
a) K là trung điểm của AC ⇔
2
2
2
2
AC
K
AC
K
xx
x
yy
y
+
⎧
= =
⎪
⎪
⎨
+

⎪
= =
⎪
⎩

hay K(2, 2)
Phương trình cạnh BK :
2
22
x
−
−−
=
2
12
y
−
−
⇔ x – 4y + 6 = 0
AH
⊥
BK pt AH : 4x + y + C
0
= 0 ⇒
A(1, - 1)
∈
AH 4(1) + (–1) + C
0
= 0 ⇔
⇔ C

0
= –3 hay AH : 4x + y – 3 = 0
b) Diện tích tam giác ABK là S =
1
2
AH.BK với
AH =
A(BK)
d
=
146
17
+ +

S = ⇒
1
2
.
11
17
.
22
41+
=
11
2
( đvdt ).
Ví dụ 3
: ( Đề dự trữ khối A năm 2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác
ABC cân tại đỉnh A có trọng tâm G

41
(;)
33
, phương trình đường thẳng BC là và
phương trình đường thẳng BG là
24xy−−=0
0
748xy− −=
.Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.

5