Bài tập Xác suất thống kê –Chương 4

Xác suất thống kê –Chương 4 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324
Chương 4:
BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỀU CHIỀU
Bài 2.
X = I
1
+ I
2
+ I
3
+ I
4
Y = min(I
1
, I
2
, I
3
, I
4
)
Z = max(
1 2 3 4
, , ,I I I I
)
Ta có giá trị của x nhận các giá trị X = {0 , 1, 2 , 3, 4} , Y = {0 , 1} , Z = {0 , 1}
Mặt khác ta có X
1
(4, )
4
β

:
Vậy ta có
[ ]
0 4
0
4
1 3
1
4
2 2
2
4
3 1
3
4
4 0
4
4
1 3
0 0.316
4 4
1 3
[X=1] =C 0.421
4 4
1 3
[X=2] =C 0.21
4 4
1 3
[X=3] =C 0.046
4 4

1 3
[X=4] =C 0.0039
4 4
P X C
P
P
P
P
   
= = =
   
   
   
=
   
   
   
=
   
   
   
=
   
   
   
=
   
   
Vậy ta có P[X = 0 , Y = 0 , Z = 0 ] = P[X = 0]P[Y=0/X=0] P[Z = 0/X=0 , Y = 0] = P[X=0] =
0.316

P[X=0 , Y = 1 , Z = 0] = P[X = 0 , Z = 1 , Y = 0] = P[X = 0, Y = 1 , Z = 1] = 0
Tương tự ta cũng có các giá trị
P [X = 1 , Y = 0 , Z = 1] = P[X = 1] = 0.421
Các trường hợp khác = 0
X = 2
P[X =2 , Y = 0 , Z = 1] = P[X = 2] = 0.21
X = 3
P[X = 3, Y = 0 , Z = 1] = P[X = 3] = 0.046
X = 4
P[X = 4 , Y = 0 , Z = 1] = P[X = 4] = 0.0039
Câu b , khi rút các quả bóng ra nhưng không trả lại vào hộp ta có
Các giá trị của X = {0 ,1 , 2, 3, 4} , Y = {0 , 1} , Z = {0 , 1}
Bài 3
a, P[|X|< 5, Y<2, Z
2

≥
2] = A
Do X, Y , Z là biến ngẫu nhiên độc lập
 A = P[|X|< 5]. P[Y.2].P[Z
2

≥
2]
= [F
x
(5
-
) – F
x

(-5)] .[F
y
(2
-
)].P([-
∞
,-
2
]
∪
[
2
,+
∞
)
= [F
x
(5) - F
x
(-5)].[F
y
(2)].[F
z
(
2
) + (1-F
z
(
2
)]

b, Tương tự ta có
P[X<5, Y<0, Z=1] = P[X<5].P[Y<0].P[Z=1]
= F
x
(5
-
). F
y
(0
-
).[F
z
(1
-
)- F
z
(1)]
C,P[min(X,Y,Z)>2] = P[X<2, Y>2, Z>2]
= [1-F
x
(2
+
)].[1-F
y
(2
+
)].[1-F
z
(2
+

)]
Trang
1
Xác suất thống kê –Chương 4 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324
d, P[Max(X, Y, Z)<6]=P[X<6, Y<6, Z<6]
=F
x
(6
-
). F
y
(6
-
). F
z
(6
-
)
Bài 4:
a. hàm xác suất đồng thời cho (X
1
,X
2
)
Vì các lần tung là độc lập và các kết cục của mỗi lần tung là đồng khả năng, ta có

X
1
X
2

1 2 3 4 5 6
1 a a a a a a
2 a a a a a a
3 a a a a a a
4 a a a a a a
5 a a a a a a
6 a a a a a a
Ta có:
36
1
136
=⇒
=
a
a
Vậy ta có:

X
1
X
2
1 2 3 4 5 6
1
36
1
36
1
36
1
36

1
36
1
36
1
2
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
3
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36

1
4
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
5
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
6
36
1

36
1
36
1
36
1
36
1
36
1
b. với
( )
( )



=
=
21
21
,max
,min
XXY
XXX
Bài 9:

2
2
2 2
( , )

by
ax
f x y axe bye
−
−
=
x > 0, y > 0, a > 0, b > 0
Trang
2
Xác suất thống kê –Chương 4 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324
a)
2 2 2 2
2
2 2 2 2
0
0 0
( ) ( ) 1
2
x
x x
ax ax ax ax
X
ax
F x axe dx e d e e
− − − −
= = − − =− = −
∫ ∫
Tương tự:
2 2
2 2

0
( ) 1
y
by by
X
F y bye dy e
− −
= = −
∫
Suy ra
2
2
2 2
1 1 x > 0, y > 0
( , )
0 u
by
ax
X
e e
F x y
ne
−
−

 
 
− −

 

 
=
 

 

≠

b) Tìm P[X > Y]
2
2
0
( ) 1
ax
P X axe dx
+∞
−
= =
∫
2 2
2
2 2 2
( )
by by
bx
x
x
P Y bye dy e e
+∞
+∞

− −
−
= =− = −
∫
2
2
( )
bx
P X Y e
−
⇒ > = −
c) Tìm các hàm mật độ biên
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
0 0
2
2 2 2 2
0
0
2 2
( )
1 1
( )
2
(1 0)
by by

ax ax
X
by by
ax ax
ax ax
f x axe bye dy abxe ye dy
by
abxe e d abxe e
b b
axe axe
+∞ +∞
− −
− −
+∞
+∞
− −
− −
− −
= =
 
= − − = −
 
 
 
= − =
∫ ∫
∫
2 2
2
2 2 2

0
( )
by by
ax
X
f y axe bye dx bye
+∞
− −
−
= =
∫

Bài 10.
a.
b. Nếu hoặc thì hàm mật độ
Nếu
Nếu
Trang
3
Xác suất thống kê –Chương 4 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324
Nếu
Nếu
c. Hàm mật độ biên của X
Hàm mật độ biên của Y
Bài 11.
Miền giới hạn bởi :
1
22
≤+
yx

Đặt
ϕ
cosrx
=

ϕ
sinry
=
Định thức Jacobi
r
r
r
d
dy
dr
dy
d
dx
dr
dx
J
=
−
==
ϕϕ
ϕϕ
ϕ
ϕ
cossin
sincos

∫ ∫
=⇒
π
ϕ
2
0
1
1..
o
drrkd
π
πϕ
π
1
11
2
2
0
=⇔=⇔=⇔
∫
kkd
k
Hàm mật độ biên :
ππ
11
)(
1
0
==
∫

dyxf
X
ππ
11
)(
1
0
==
∫
dxyf
Y

Miền giới hạn bởi :
(1) y = x +1
(2) y = -x + 1
(3) y = x – 1
(4) y = -x - 1
Trang
4
Xác suất thống kê –Chương 4 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1

0
0
1
0
1
1
0
=+++
∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫
− −−
+−
+−−
+
x
x
x
x
kdydxkdydxkdydxkdydx
k
dxxdxxdxxdxx
1
)1()1()1()1(
0
1
1
0
1
0
0
1

=++−+−++⇔
∫∫∫∫
−−
2
11
2
=⇔=⇔
k
k
Miền giới hạn bởi : y = -x + 1
1
1
0
1
0
=
∫ ∫
−
x
kdydx
2
1
2
11
)1(
1
0
=⇔=⇔=−⇔
∫
k

kk
dxx
Bài 12:
Vecto ngẫu nhiên (X,Y) có hàm mật độ xác suất đồng thời
2
,
( , ) 2
x y
X Y
f x y e e
− −
=

0, 0x y> >
Hãy tìm xác suất của các sự kiện sau:
a.
{ 8}X Y+ ≤
Ta có :
P[
{ 8}X Y+ ≤
] =
8 8 8
2 2
0 0 0
8
2 ( )
0
x
x y x y
x

e dx e dy e dx e
−
− − − −
−
= −
∫ ∫ ∫

8 8 8
2( 8) 2 16
0 0 0
2 ( 1) 2 . 2
x x x x x
e e dx e e dx e dx
− − − − −
= − + = − +
∫ ∫ ∫
8 8
16
0 0
2 2
x x
e dx e dx
− −
= − +
∫ ∫
16 8 16 8 16 8
8 8
2 2 2 2 2 2 2( 2 1)
0 0
x x

e e e e e e e
− − − − − − −
= − − = − + − + = − +
.{ }b X Y<
Ta có: P[
{ }X Y<
]　
2 2 2
0 0 0 0
2 2 ( ) 2 ( 1)
0
y
y x y x y y
y
e dy e dx e dy e e e dy
∞ ∞ ∞
− − − − − −
= = − = − +
∫ ∫ ∫ ∫
3 2 3 2
0 0
2
2 2 ( ) ( )
0 0
3
y y y y
e dy e dy e e
∞ ∞
− − − −
∞ ∞

= − + = −
∫ ∫
2 1
(0 1) (0 1)
3 3
= − − − =
.{ 10}c X Y− ≤
P[
{ 10}X Y− ≤
]
10
2 2 2 10
0 0 0 0
10
2 2 ( ) 2 ( 1)
0
y
y x y x y y
y
e dy e dx e dy e e e dy
+
∞ ∞ ∞
− − − − − − −
+
= = = − +
∫ ∫ ∫ ∫
3 10 2 3 10 2
0 0
2
2 2 ( ) ( )

0 0
3
y y y y
e dy e dy e e
∞ ∞
− − − − − −
∞ ∞
= − + = −
∫ ∫

10 10
2 2
(0 ) (0 1) 1
3 3
e e
− −
= − − − = − +
Bài 13:
Cho X, Y có hàm mật độ xác suất đồng thời:
f
X,Y
(x,y) = xe
-x(1+y)
x > 0, y > 0
Hàm mật độ biên của X và củaY:
Trang
5
Xác suất thống kê –Chương 4 Cao Thành Lực - MAT1101 3 - 09020324
Bài 14 :
Lúc

0
ρ
=
ta có :
( )
( )
2 2
2
,
.
1
,
2
x y
X Y
f x y e
π
− +
=
Lúc này
2 2 2
p X Y R
 
+ <
 
bằng 4 lần tích phân của hàm
( )
,
,
X Y

f x y
Trên miền
1
D
2 2
1
2
4
2
x y
D
P e dxdy
π
 
 
 
 
− +
=
∫∫

Chuyển sang tạo độ cực ta được.
0
2
π
ϕ
≤ ≤
,
0 r R
≤ ≤

⇒

2 2 2
2 2 2
2 2 2
0 0 0 0
0
2 2 2
. 1
R
R
r r R
P d r e dr e d e d
π π π
ϕ ϕ ϕ
π π π
−
− −
 
 
 
 
 
 
 
 
 
= = − = − −
∫ ∫ ∫ ∫

2
2
2
2
1
2
1 .
2
R
R
e
e
π
π
−
−
 
 
 
 
 
 
 
−
= − − =

Bài 24:
X và Y là các biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối đều trong đoạn [0,1]
a.Tính P[X
2

< 1/2, |Y - 1| < 1/2]

2
1
1
P[X 1/ 2,| Y 1| 1/ 2] P[0 X , 1]
2
2
1 1 1 1
1
P[0 X ]. [ 1] .
2
2 2
2 2 2
Y
P Y
< − < = < < < <
= < < < < = =
b. Tính P[X/2 < 1, Y > 0]
1
[ / 2 1, 0] [0 1/ 2]. [ 0]
2
P X Y P X P Y< > = < < > =
Trang
6