Bài tập Xác suất thống kê –Chương 5

Xác suất thống kê – chương 5Cao Thành Lực – MAT 11013 - 09020324
Bài 2
Ta có
Vậy ta có V(X
1
) = vậy suy ra
Mặt khác ta có E(S) =
Tìm phương sai của S
V(S) = (j
Như vậy thay vào ta có V(S) =
Bài 3
Kỳ vọng.
Ta có |S| < 1
E |X
n
| = E |X
1
| + E |X
2
| + ….. + E |X
n
| = n.µ
Phương sai.
V[Sn] = V[Xi] + COV (X
j
, X
i
) Với i ≠ j
Xét COV (X
j
, X

i
)= . p
|i-j|
Có V[Xi] = n
2
=> V[Sn] = n.
2
+ . p
|i-j|
(Với i ≠ j)
Bài 4:
Obj100
Obj101Obj102
Obj103
Obj104Obj105
Obj106
Obj107Obj108Obj109
Obj110Obj111Obj112Obj113Obj114
Obj115Obj116
Obj117Obj118Obj119Obj120
Ta có:
=>= =
Đặt =>
=> =
=>
Bài 8 :
* Hàm đặc trưng của Z

Do X,Y là các biến ngẫu nhiên độc lập
Hàm đặc trưng của Z là :

* Giá trị kì vọng
Ta có
E[Z] = E[aX + bY] = E[aX] + E[bY] = aE[X] + bE[Y]
+ Phương sai
Obj121
Obj122
Obj123Obj124
Obj125Obj126
Obj127Obj128
Obj129
Obj130
Obj131
Obj132
Obj133
Xác suất thống kê – chương 5Cao Thành Lực – MAT 11013 - 09020324
VAR[Z] =
=
=
=
=
Vì X,Y là các biến ngẫu nhiên độc lập nên
2COV(abXY) = 0
=
Bài 9:
Giả sử M
n
là trung bình mẫu của n biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối X
j
. Tìm hàm đặc trưng
của M

n
theo hàm đặc trưng của các X
j
.
Giải: Ta có:
Bài 10:
Hàm sinh xác suất của biến ngẫu nhiên nhị thức:
= + +…+K X1 X2 Xk
= = + +…+ = = ∞ ( - ) - = = ∞ ( ) ( - ) - =( - + )GKx EXK ExX1 X2 Xk j 0 xjCkjpj 1 p k j j 0 Ckj px j 1 p k j 1 p px k
Vì , ,…,X1 X2 Xk độc lập nên:
= = + +…+ = . … = . … =( - + ) .( -GNx EXN ExX1 X2 Xk ExX1 ExX2 ExXk GX1x GX2x GXkx 1 p px n1 1
+ ) …( - + ) =( - + ) + +…+ =( - + ) →( )p px n2 1 p px nk 1 p px n1 n2 nk 1 p px n pcmđ
Bài 14 :
Obj134
Obj135
Obj136
Obj137
Obj138
Obj139
Obj140
Obj141
Obj142
gọi là số lần truyền thông điệp máy tính trong thời gian 1 giờ
và là thời gian cần thiết cho lần truyền thứ k
Ta có :
P là xác suất số lần truyền không bị lỗi
(1-p) Là xác suất số lần truyền bị lỗi
a) kỳ vọng toán và phương sai
do các lần truyền là độc lập với nhau và mỗi lần truyền phân phối theo quy luật
không-một với tham số là p.theo tính chất của kỳ vọng toán.

Vì (k=1...n) cùng phân phối theo quy luật không-một do đó
b) do số lần truyền thông điệp là biến ngẫu nhiên nhị thức nên ta có.
Hàm sinh cho là.

Obj143
Obj144
Obj145
Obj146
Obj147
Obj148
Obj149
Obj150
Obj151
Xác suất thống kê – chương 5Cao Thành Lực – MAT 11013 - 09020324
Bài 17:
Ta có một con xúc xắc được gieo 100 lần. ta có mỗi một lần tung sẽ có xác suất là p =
Như vậy 100 lần tung ta sẽ X là biến ngẫu nhiên nhị thức vì vậy ta có giá trị kỳ vọng E(X) = giá
trị phương sai là V(X) = npq =
Áp dụng công thức ta có Mặt khác ta có 300<M
n
<400.
Ta phải đi tìm được giá trị .
Thay vào trình ta có . Từ giá trị ta tìm được thỏa mãn = .Vậy ta có xác suất = 0.999527
Bài 18:
Biến ngẫu nhiên Gauss.
S
x
= ( -∞,+∞)
f
x

= (-∞ < x < +∞; > 0)
E[X] = m; VAR [X] =
2
, Ф
x
(ω) = e
( jmω - ω/ 2 )
Theo giả thiết ta có : E[X] = m = 0
VAR [X] =
2
= 1
 f
x
(x) =
Obj152
Obj153Obj154
Obj155
Obj156
Obj157Obj158Obj159Obj160Obj161
Obj162Obj163
Obj164Obj165Obj166
Obj167
Obj168
Obj169