Các bài toán trọng tậm về hàm số ppsx

ĐẶNG VIỆT HÙNG Các bài toán trọng tâm về Hàm số
Website: www.trungtamABD.vn Mobile: 0985074831




PHẦN 1. TIẾP TUYẾN, TIẾP XÚC



Tiếp tuyến tại một điểm:
Bài 1. Tìm a, b để đồ thị hàm số
ax
1
+
=
−
b
y
x
cắt Oy tại A(0; −1) đồng thời tiếp tuyên tại A có hệ số góc bằng 3.
Bài 2. Cho hàm số
4 2
2 2 1.
= − + − +
y x mx m
a) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng

đồ
th
ị
luôn
đ
i qua hai
đ
i
ể
m c
ố

đị
nh A, B.
b) Tìm m
để
các ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i A, B vuông góc v
ớ
i nhau.
Bài 3.
Cho hàm s
ố

3

1 ( 1).
= + − +
y x m x
a) Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
đồ
th
ị
t
ạ
i giao
đ
i
ể
m c
ủ
a
đồ
th
ị
v

ớ
i tr
ụ
c Oy.
b) Tìm m
để
ti
ế
p tuy
ế
n nói trên ch
ắ
n hai tr
ụ
c t
ọ
a
độ
t
ạ
o thành m
ộ
t tam giác có di
ệ
n tích b
ằ
ng 8.
Bài 4.
Cho
đồ

th
ị
hàm s
ố

4 5
3
−
=
+
x
y
x
và
đ
i
ể
m M b
ấ
t k
ỳ
thu
ộ
c
đồ
th
ị
. G
ọ
i I là giao

đ
i
ể
m c
ủ
a hai ti
ệ
m c
ậ
n, ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i
M c
ắ
t 2 ti
ệ
m c
ậ
n t
ạ
i A, B.
a)
Ch
ứ
ng minh r
ằ

ng M là trung
đ
i
ể
m AB.
b)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng di
ệ
n tích tam giác IAB không
đổ
i.
c)
Tìm M
để
chu vi tam giác IAB nh
ỏ
nh
ấ
t.
Bài 5.
Cho
đồ
th
ị
hàm s
ố

3 1
3
+
=
−
x
y
x
và
đ
i
ể
m M b
ấ
t k
ỳ
thu
ộ
c
đồ
th
ị
. G
ọ
i I là giao
đ
i
ể
m c
ủ

a hai ti
ệ
m c
ậ
n, ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i
đ
i
ể
m M c
ắ
t 2 ti
ệ
m c
ậ
n t
ạ
i A và B. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng M là trung
đ
i
ể

m AB và di
ệ
n tích tam giác IAB không
đổ
i.



Tiếp tuyến biết hệ số góc:
Bài 1.
Cho hàm s
ố

3 7
2 5
−
=
− +
x
y
x
. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n c

ủ
a
đồ
th
ị
bi
ế
t:
a)
ti
ế
p tuy
ế
n song song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
1
( ): 1.
2
= +
d y x
b)
ti
ế
p tuy
ế

n vuông góc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng d′: y = –4x
c)
ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
o v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
∆
: y = –2x m
ộ
t góc 45
0

d)
ti
ế

p tuy
ế
n t
ạ
o v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
∆
′: y = –x m
ộ
t góc 60
0

Bài 2.
Cho hàm s
ố
y = 2x
3
– 3x
2
– 12x – 5, có
đồ
th
ị
là (C).
a)

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i (C) bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n này song song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng (d): y = 6x – 4
b)
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế

p tuy
ế
n v
ớ
i (C) bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n vuông góc v
ớ
i
1
( ): 2.
3
= − +
d y x
c)
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i (C) bi

ế
t ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
o v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
1
( ): 5.
2
= − +
d y x m
ộ
t góc 45
0




Tiếp tuyến đi qua một điểm đến đồ thị:
Vi
ế
t ph

ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n

a)
k
ẻ
t
ừ
O(0; 0)
đế
n
đồ
th
ị
hàm s
ố

4 2
1 1
.
2 2
= −
y x x

b)
k

ẻ
t
ừ
A(0; 4)
đế
n
đồ
th
ị
hàm s
ố

(
)
2
2
2 .
= −y x
c)
k
ẻ
t
ừ

3
0;
2
 
 
 

A đến đồ thị hàm số
4 2
1 3
3 .
2 2
= − +
y x x
f) kẻ từ điểm
4 4
;
9 3
 
 
 
A
đến đồ thị hàm số
3 2
1
2 3 4.
3
= − + +
y x x x



Bài toán tìm điểm có liên quan đến tiếp tuyến:
Bài 1. Tìm trên đường thẳng y = 2 các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C): y = –x
3
+ 3x
2

– 2.
Bài 2. Tìm trên đường thẳng x = 2 các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C): y = x
3
– 3x
2
.
Bài tập chuyên đề:
CÁC BÀI TOÁN
TR
ỌNG TÂM
V
Ề H
ÀM S
Ố

ĐẶNG VIỆT HÙNG Các bài toán trọng tâm về Hàm số
Website: www.trungtamABD.vn Mobile: 0985074831
Bài 3. Tìm tất cả các điểm trên trục hoành mà từ kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị hàm số y = x
3
+ 3x
2
, trong đó có hai
tiếp tuyến vuông góc với nhau.
Bài 4. Tìm trên trục hoành các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị hàm số
(
)
3
: 3 2.
= − + +
C y x x

Đ/s:

( )
2
,0 ;
2
1
3
> −



− ≠ < −


a
M a
a

Bài 5.
Tìm nh
ữ
ng
đ
i
ể
m thu
ộ
c Oy
để

qua
đ
i
ể
m
đ
ó ch
ỉ
k
ẻ

đượ
c m
ộ
t ti
ế
p tuy
ế
n
đế
n
đồ
th
ị
hàm s
ố

1
.
1

+
=
−
x
y
x

Bài 6. Tìm m để từ điểm A(0, m) kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị
( )
2
:
1
+
=
−
x
C y
x
sao cho hai tiếp điểm nằm về hai
phía của trục Ox.
Bài 1. Tìm trên đường thẳng y = −2 các điểm kẻ được 2 tiếp tuyến đến đồ thị (C): y = x
3
− 3x
2
+ 2 và hai tiếp tuyến
vuông góc với nhau.
Đ/s:
55
; 2 .
27

 
−
 
 
M
Bài 7. Cho hàm số y = –x
4
+ 2x
2
– 1.
Tìm t
ất cả các điểm trên Oy sao cho qua điểm đó kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị hàm số đã cho.
Bài 8. Cho hàm số
2
1
=
+
x
y
x
, có đồ thị là (C). Tìm toạ độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục
Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng
1
4
.
Đ/s:
( )
1 2
1
; 2 , 1;1 .

2
 
− −
 
 
M M
Bài 9. Cho hàm số
2
.
2 3
+
=
+
x
y
x
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục
tung tại A, B và tam giác OAB cân tại gốc toạ độ O.
Bài 10. Cho hàm số
2 1
,
1
−
=
−
x
y
x
có đồ thị là (C). Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao
cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM.

Đ/s: M(0; 1) và M(2; 3).
Bài 11. Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số
3 2
3 1
= − +
y x x
sao cho tiếp tuyến tại A, B song song với nhau và độ
dài
4 2.
=AB
Đ/s:
(
)
(
)
3;1 , 1; 3 .
− −
A B
Bài 12.
Tìm
đ
i
ể
m M thu
ộ
c
đồ
th
ị

3
3 2
= − +
y x x
sao cho ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i A c
ắ
t
đồ
th
ị
t
ạ
i
đ
i
ể
m N th
ỏ
a mãn
2 6.
=MN

PHẦN 2. TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ




Tương giao của hàm bậc ba:
Bài 1.
Cho hàm s
ố
y = 2x
3
– 3x
2

– 1, có
đồ
th
ị
là (C).
G
ọ
i (d
k
) là
đườ
ng th
ẳ
ng
đ
i qua M(0; –1) và có h
ệ
s
ố

góc b
ằ
ng k. Tìm k
để

đườ
ng th
ẳ
ng d
k
c
ắ
t (C) t
ạ
i
a)
3
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t.
b)
3
đ
i
ể
m phân bi
ệ

t, trong
đ
ó hai
đ
i
ể
m có hoành
độ
d
ươ
ng.
Bài 2.
Cho
đườ
ng th
ẳ
ng (d): y = m(x + 1)x + 2 và (C): y = x
3
– 3x
Tìm m
để
(d) c
ắ
t (C) t
ạ
i 3
đ
i
ể
m phân bi

ệ
t A, B, C trong
đ
ó A là
đ
i
ể
m c
ố

đị
nh và ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
đồ
th
ị
t
ạ
i B, C vuông
góc v
ớ
i nhau.
Bài 3.
Cho hàm s
ố

y
=
x
3
– 2x
2
+ (1 – m)x + m.
Tìm m
để

đồ
th
ị
c
ắ
t tr
ụ
c Ox t
ạ
i ba
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t có hoành
độ
x
1
, x

2
, x
3
th
ỏ
a mãn
2 2 2
1 2 3
4.
+ + <
x x x

Bài 4.
Cho hàm s
ố
y
=
x
3
+ 2mx
2
+ (m + 3)x + 4 và
đườ
ng th
ẳ
ng d: y = x + 4. Tìm m
để

đồ
th

ị
hàm s
ố
c
ắ
t d t
ạ
i 3
đ
i
ể
m
phân bi
ệ
t A, B, C sao cho tam giác MBC có di
ệ
n tích b
ằ
ng 4, v
ớ
i B, C có hoành
độ
khác 0 và M(1; 3).
Bài 5.
Cho hàm s
ố
y = x
3
– 3x
2

+ 4 và
đ
i
ể
m I(−1 ; 0). Xác
đị
nh giá tr
ị
c
ủ
a m
để

đườ
ng th
ẳ
ng d : y = mx + m c
ắ
t
đồ
th
ị

(C) t
ạ
i ba
đ
i
ể

m phân bi
ệ
t I, A, B sao cho
2 2.
<AB



Tương giao của hàm bậc bốn trùng phương:
ĐẶNG VIỆT HÙNG Các bài toán trọng tâm về Hàm số
Website: www.trungtamABD.vn Mobile: 0985074831
Bài 1. Tìm m để các đồ thị hàm số sau cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng:
a) y = x
4
+ 2mx
2
– 2m – 1.
b) y = x
4
+ (2m + 1)x
2
– 3m.
c) y = x
4
– (2m + 4)x
2
+ m
2
.
Bài 2. Cho hàm số y = –x

4
+ 2mx
2
– 2m + 1.
a) Tìm m để hàm số có 3 cực trị.
b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.
Bài 3. Cho hàm số
4 2 2 4
2 2 .
= − + +
y x m x m m


Ch
ứ
ng minh
đồ
th
ị
hàm s
ố

đ
ã cho luôn c
ắ
t tr
ụ
c Ox t
ạ
i ít nh

ấ
t hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t, v
ớ
i m
ọ
i m < 0.
Bài 4.
Cho hàm s
ố
y = x
4
– (3m + 2)x
2
+ 3m.
Tìm m
để

đườ
ng th
ẳ
ng y = –1 c
ắ
t
đồ

th
ị
hàm s
ố

đ
ã cho t
ạ
i 4
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t
đề
u có hoành
độ
nh
ỏ
h
ơ
n 2.



Tương giao của hàm phân thức bậc nhất:
Bài 1.
Cho hàm s
ố

2
1
−
=
+
x
y
x
, có đồ thị là (C).
CMR đường thẳng (d): 2x + y + m = 0 luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B thuộc hai nhánh khác nhau của (C).
Xác định giá trị của m sao cho độ dài đoạn AB là ngắn nhất.
Bài 2. Cho hàm số
2 4
1
− −
=
+
x
y
x

Biện luân theo m số giao điểm của đồ thị trên và đường thẳng (d): 2x – y + m = 0. Trong trường hợp có hai giao điểm
A, B hãy tìm quỹ tích trung điểm I của AB.
Bài 3. Cho hàm số
3 1
1
+
=
−

x
y
x
có đồ thị là (C) và đường thẳng d : y = (m + 1)x + m − 2. Tìm m để d cắt (C) tại hai
điểm phân biệt sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 3/2.
Bài 4. Cho hàm số
2 1
.
1
+
=
+
x
y
x

CMR đường thẳng (d): y = – x + m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Tìm m để
a) OA ⊥ OB, với O là gốc tọa độ.
b)
3,
=AB với O là gốc tọa độ.
c) AB ngắn nhất, tính giá trị AB
min
d) tam giác OAB cân, với O là gốc tọa độ.

PHẦN 3. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ



Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu (gọi chung là cực trị):

Bài 1. Tìm m để các hàm số sau đây có cực đại và cực tiểu
a)
(
)
3 2 2
2 1 2
= − + − +
y x mx m x
b)
(
)
(
)
(
)
3 2 2
3 1 2 3 2 1
= − − + − + − −
y x m x m m x m m
Bài 2.
Cho hàm s
ố

4 2
2( 2) 5
= − + − + −
y mx m x m
. Tìm giá tr
ị
c

ủ
a m
để

a)
hàm s
ố
có 1 c
ự
c tr
ị
.
b)
hàm s
ố
có 3 c
ự
c tr
ị
.
c)
có m
ộ
t c
ự
c
đạ
i x = 1/2.
Bài 3.
Cho hàm s

ố

3 2
1
( 6) 1.
3
= + + + −
y x mx m x Tìm giá tr
ị
c
ủ
a m
để

a)
hàm s
ố
có c
ự
c tr
ị
.
b)
hàm s
ố

đạ
t c
ự
c

đạ
i, c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i x
1
, x
2
th
ỏ
a mãn
1 1
1 2
1 1
.
3
+
+ =
x x
x x

c) hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ x = 1.
d) hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0.



Bài toán về tính chất cực trị

Bài 1.
Tìm m để hàm số
(
)
(
)
3 2 3
2 3 3 6 5 1 4 1
= − + + + − −
y x m x m x m có hai điểm cực trị nhỏ hơn 2.
Bài 2. Tìm m để hàm số
(
)
(
)
3 2
1 2 2 2
= + − + − + +
y x m x m x m có hai điểm cực đại, cực tiểu đồng thời hoành độ điểm
cực tiểu nhỏ hơn 2.
ĐẶNG VIỆT HÙNG Các bài toán trọng tâm về Hàm số
Website: www.trungtamABD.vn Mobile: 0985074831
Bài 3. Cho hàm số
( )
( )
3 2 2
2
1 4 3 2.
3
= + + + + + + +

y x m x m m x m
Gọi x
1
, x
2
là hoành dộ hai điểm cực trị của hàm số.
a) Tìm m để hàm số đạt cực trị tại ít nhất một điểm có hoành độ lớn hơn 1.
b) Tìm m sao cho biểu thức
(
)
1 2 1 2
2= − +
P x x x x

đạ
t giá tr
ị
nh
ỏ
nh
ấ
t.
Bài 4.
Tìm m
để
hàm s
ố

3 2
1

1
3
= − − + +
y x mx x m
có hai
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u và kho
ả
ng cách gi
ữ
a hai
đ
i
ể
m này nh
ỏ

nh
ấ
t.

Đ/s
:
2 13
0 .
3
= → =m h
Bài 5.
Tìm m
để
hàm s
ố

4 2 2
2 1
= − +
y x m x
có ba
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
và là ba
đỉ
nh c
ủ
a m
ộ

t tam giác vuông cân.
Bài 6.
Tìm m
để
hàm s
ố

(
)
4 2 2
2 2 5 5
= + − + − +
y x m x m m có ba
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
và là ba
đỉ
nh c
ủ
a m
ộ
t tam giác vuông
cân.
Bài 7.
Tìm m

để
hàm s
ố

4 2
2 1
= + − −
y x mx m
có ba
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị

đồ
ng th
ờ
i các
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
c
ủ

a
đồ
th
ị
t
ạ
o thành m
ộ
t
tam giác có di
ệ
n tích b
ằ
ng
4 2.

Bài 8. Tìm
m
để hàm số
4 2
2 1
= − + −
y x mx m
có ba điểm cực trị đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một
tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.
Bài 9. Tìm
m
để hàm số
4 2 2
2

= + + +
y x mx m m
có ba điểm cực trị đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành
một tam giác có một góc bằng 120
0
.
Bài 10. Tìm
m
để hàm số
4 2
2= −
y x mx
có hai điểm cực tiểu, đồng thời hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và
đường thẳng đi qua hai điểm cực tiểu có diện tích bằng 1.

PHẦN 4. BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ

Tìm
đ
i
ể
m c
ố

đị
nh

Tìm
đ
i

ể
m có t
ọ
a
độ
là s
ố
nguyên

Tìm
đ
i
ể
m có liên quan
đế
n kho
ả
ng cách

Tìm
đ
i
ể
m có liên quan
đế
n ti
ế
p tuy
ế
n

Bài 1. Cho hàm số
3 1
.
1
−
=
+
x
y
x
Tìm điểm M trên đồ thị sao cho
a) M có tọa độ là số nguyên.
b) khoảng cách từ M đến trục tung bằng hai lần khoảng cách từ M đến trục hoành.
c) khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang bằng 3 lần khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
d) tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận nhỏ nhất.
Bài 2. Cho hàm số
.
2 1
=
+
x
y
x
Tìm điểm M trên đồ thị sao cho
a) M có tọa độ là số nguyên.
b) tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận nhỏ nhất.
c) tổng khoảng cách từ M đén hai trục tọa dộ nhỏ nhất.
Bài 3. Cho hàm số
3
.

1
+
=
−
x
y
x

a) Tìm điểm M trên đồ thị sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhất.
b) Tìm trên đồ thị hai điểm M, N ở hai nhánh khác nhau sao cho độ dài MN nhỏ nhất.

PHẦN 5. ỨNG DỤNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1. Cho hàm số y = 2x
3
– 9x
2
+ 12x – 4

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
b) Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt
3
2
2 9 12 .
− + =
x x x m

Bài 2. Cho hàm số y = x
3
– 3x
2

– 2
a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
b) Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt
3 2
2
3 2 log 0.
− + − − =
x x m

Bài 3.
Cho hàm s
ố

4 2
1 5
3 .
2 2
= − +
y x x
ĐẶNG VIỆT HÙNG Các bài toán trọng tâm về Hàm số
Website: www.trungtamABD.vn Mobile: 0985074831
a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
b) Tìm m để phương trình
4 2 2
6 5 2
− + = −
x x m m
có 8 nghi
ệ
m phân bi

ệ
t.
Bài 4.
Cho hàm s
ố

3 2
3 3.
= + − −
y x x x
a)
Kh
ả
o sát và v
ẽ

đồ
th
ị
c
ủ
a hàm s
ố
.
b)
Bi
ệ
n lu
ậ
n theo m s

ố
nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
2
3
1 2 1.
3
+
 
− = +
 
 
x
x m