BÀI GIẢNG TRỌNG TÂM VỀ HÀM SỐ Chương trình Luyện thi Đại học SAP NĂM HỌC 2013 - 2014

Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831

Facebook: LyHung95

MỤC LỤC
1. CHUẨN KĨ NĂNG ĐẠI SỐ ...........................................................................................................................01
2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ ...............................................................................................................................08
3. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ.........................................................................................................36
4. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ........................................................................................53
5. CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH TRONG HÀM SỐ......................................................................101

7. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ ...............................................................123
8. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ................................................................................................................128
9. TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN HÀM SỐ TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC.....................................................136

Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn

137

www.VNMATH.com

6. BÀI TỐN TÌM ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ ......................................................................................................112


Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hựng Tel: 0985.074.831

Facebook: LyHung95

ĐặNG VIệT HùNG

BI GING TRNG TM VỀ

www.VNMATH.com

HÀM SỐ
Chương trình Luyện thi Đại học SAP

NĂM HỌC 2013 - 2014
Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn

1


Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831

Facebook: LyHung95

Bài mở đầu:

CHUẨN KĨ NĂNG ĐẠI SỐ
1. KĨ NĂNG XÉT DẤU CỦA BIỂU THỨC


Nguyên tắc:
+ Phân tích biểu thức cần xét dấu hay bất phương trình về dạng tích, rồi loại bỏ những hạng tử là lũy thừa bậc
chẵn.
+ Sắp xếp các nghiệm của các hạng tử sau khi đã “thanh lọc” các hạng tử chẵn theo thứ tự từ bé đến lớn trong
bảng xét dấu.
+ Tiến hành xét dấu theo quy tắc đan dấu khi biết dấu của một khoảng nào đó.
+ Việc xét dấu biểu thức chúng ta chỉ được quy đồng mẫu số mà khơng được nhân chéo.


Các ví dụ điển hình:
Ví dụ 1: Xét dấu các biểu thức sau

1
3
−
.
x x −1
4x − 2 2x + 1 5
d) f ( x) =
−
− .
3
2
4
x+2 x−2
f) f ( x) =
−
.
3x + 1 2 x − 1
1
2
3
+
− .
h) f ( x) =
x−2 x+2 x

b) f ( x) = 2 −

www.VNMATH.com

x+2

+ 3.
3 − 4x
( x + 3)(3 − 2 x)
c) f ( x) =
.
1− x
x 2 − 3x + 2
e) f ( x) =
− x.
x −1
1 x −1
2
g) f ( x) = +
.
− 2
x x +1 x + x

a) f ( x ) =

Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau
a)

1
2
3
+
<
.
x x+3 x+2

x − 2 x − 3 x 2 + 4 x + 15
.
+
≥
1− x x +1
x2 − 1
x4 − 4x2 + 3
e) 2
≥ 0.
x − 8 x + 15

c)

−4
2
1
+ ≤ 2
.
x + 2 2 x + 2x
x 4 − 3 x3 + 2 x 2
> 0.
d)
x 2 − x − 30
x3 − 3 x 2 − x + 3
> 0.
f)
x(2 − x)

b)

2. KĨ NĂNG SỬ DỤNG LƯỢC ĐỒ HOOCNER CHIA ĐA THỨC


Nguyên tắc:
f ( x)

k
g ( x)
g ( x)
+ Để chia đa thức bằng lược đồ Hoocner ta phải sắp xếp đa thức chia theo lũy thừa giảm dần, số hạng nào
khuyết ta cho hệ số bằng 0.
+ f(x) chia cho g(x) được h(x) và dư là k thì ta có thể viết f ( x ) = g ( x ) .h ( x ) + k ⇔

= h( x) +

+ Thực hiện chia theo quy tắc: đầu rơi - nhân ngang - cộng chéo.


Các ví dụ điển hình:
Ví dụ: Thực hiện các phép chia sau
x 4 + 3 x3 − 2 x 2 + x
= ………...........................
x+3
2 x 2 + mx + m
c)
= ………...................................
x −1

a)

−3x 3 + x 2 − 2 x + 10
= ……….................................

x −1
2 x2 + ( 2 − m ) x2 + 2
d)
= ………................................
2x + 1

b)

3. KĨ NĂNG NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC
Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn

2


Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831

Xét phương trình: f ( x ) = ax 4 + bx3 + cx 2 + dx + e = 0, (1) .

Facebook: LyHung95

(

)

Nếu x = xo là một nghiệm của phương trình (1) thì (1) ⇔ f ( x ) = ( x − xo ) ax3 + b′x 2 + c′x + d ′ = 0


→

f ( x)

x − xo

= ax 3 + b′x 2 + c′x + d ′


Nguyên tắc:
+ Nếu tổng các hệ số của phương trình bằng 0 thì phương trình có một nghiệm x = 1.
+ Nếu tổng các hệ số bậc chẵn của x bằng tổng hệ số bậc lẻ của x thì phương trình có một nghiệm x = − 1.
+ Nếu phương trình khơng tn theo hai quy tắc trên thì chúng ta nhẩm nghiệm bắt đầu từ các nghiệm đơn giản
như 0; ±1; ±2…
+ Với các phương trình có chứa tham số, để nhẩm nghiệm của phương trình ta cho phần hệ số của tham số m
bằng 0, được nghiệm x ta thay vào phương trình kiểm tra lại.


Các ví dụ điển hình:
Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) f ( x ) = 2 x 4 + 4 x3 − 3x 2 − 2 x − 1

www.VNMATH.com

b) f ( x ) = 4 x 3 − 2 x 2 − 7 x − 1
c) f ( x ) = x3 − ( m + 1) x 2 − ( m − 1) x + 2m − 1
a) f ( x ) = 2 x 4 + 4 x3 − 3x 2 − 2 x − 1

Hướng dẫn giải :

Xét phương trình f ( x ) = 0 ⇔ 2 x 4 + 4 x3 − 3x 2 − 2 x − 1 = 0
Ta nhận thấy phương trình có tổng các hệ số bằng 0 nên có một nghiệm là x = 1.
2 x4 + 4 x3 − 3x2 − 2 x − 1
Khi đó f ( x ) = 0 ⇔ ( x − 1) .g ( x ) = 2 x 4 + 4 x3 − 3x 2 − 2 x − 1 
→ g ( x) =
x −1

Dùng lược đồ Hoocner ta được
2 x 4 + 4 x3 − 3x 2 − 2 x − 1
= 2 x3 + 6 x 2 + 3 x + 1 
→ 2 x 4 + 4 x3 − 3 x 2 − 2 x − 1 = ( x − 1) 2 x 3 + 6 x 2 + 3 x + 1
x −1
b) f ( x ) = 4 x 3 − 2 x 2 − 7 x − 1

(

)

Xét phương trình f ( x ) = 0 ⇔ 4 x3 − 2 x 2 − 7 x − 1 = 0
Tổng hệ số bậc chẵn là −2 − 1 = −3, tổng hệ số bậc lẻ của phương trình là 4 − 7 = −3
Từ đó ta thấy phương trình có một nghiệm x = −1.
4 x3 − 2 x 2 − 7 x − 1
Khi đó f ( x ) = ( x + 1) .g ( x ) ⇔ 4 x3 − 2 x 2 − 7 x − 1 = ( x + 1) .g ( x ) 
→ g ( x) =
x +1
Dùng lược đồ Hoocner ta được
4 x3 − 2 x 2 − 7 x − 1
= 4 x 2 − 6 x − 1 
→ f ( x ) = 4 x3 − 2 x 2 − 7 x − 1 = ( x + 1) 4 x 2 − 6 x − 1
g ( x) =
x +1
c) f ( x ) = x3 − ( m + 1) x 2 − ( m − 1) x + 2m − 1

(

)

Tổng các hệ số đa thức là 1 − ( m + 1) − ( m − 1) + 2m − 1 = 0 nên f(x) = 0 có một nghiệm x = 1.

(

)

Tiến hành chia đa thức ta được f ( x ) = x3 − ( m + 1) x 2 − ( m − 1) x + 2m − 1 = ( x − 1) x 2 − mx − 2m + 1

Ví dụ 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) f ( x ) = −3 x 4 − x 2 + 2 x + 6 = ……………………………………………………………...
b) f ( x ) = x3 + 4 x 2 − 6 x + 1 = ………………………………………………………………
c) f ( x ) = x3 + mx 2 − x − m = ……………………………………………………………….
d) f ( x ) = x3 − 2 x 2 + (1 − m ) x + m = ……………………………………………………….
e) f ( x ) = x3 + x 2 − 6 x − 8 = ……………………………………………………………….
Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn

3


Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831

Facebook: LyHung95

f) f ( x ) = −2 x3 − x 2 + 4 x − 4 = …………………………………………………………….
4. KĨ NĂNG XỬ LÝ VỚI TAM THỨC BẬC HAI VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Xét phương trình bậc hai: f ( x ) = ax 2 + bx + c = 0,

(1)

a) Giải và biện luận phương trình (1):

Nếu a = 0 thì (1) ⇔ bx + c = 0,

(*)

+ nếu b = 0 và c = 0 thì (*) nghiệm đúng với mọi x.
+ nếu b = 0 và c ≠ 0 thì (*) vơ nghiệm.
c
+ nếu b ≠ 0 thì (*) ⇔ x = −
b
 ∆ = b 2 − 4ac

Nếu a ≠ 0 thì (1) là phương trình bậc hai có biệt thức 
2
 ∆′ = b′ − ac; ( b′ = 2b )

+ nếu ∆ = 0 thì (1) có nghiệm kép x =
+ nếu ∆ = 0 thì (1) vơ nghiệm.

−b
.
2a

−b ± ∆ −b ± b 2 − 4ac
=
.
2a
2a

www.VNMATH.com

+ nếu ∆ > 0 thì (1) có hai nghiệm phân biệt x1;2 =

b) Hệ thức Vi-ét:
b

 S = x1 + x2 = − a
Khi (1) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thì ta có hệ thức Vi-ét: 
P = x x = c
1 2

a
Một số các kết quả cần lưu ý:


x12 + x22 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = S 2 − 2 P
2


x13 + x23 = ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 ( x1 + x2 ) = S 3 − 3SP
3


x14 + x24 = ( x12 + x22 ) − 2 x12 x22 = ( S 2 − 2 P ) − 2 P 2
2

2


( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 = S 2 − 4 P
2

2

c) Tính chất nghiệm của phương trình bậc hai:


b 2 − 4ac > 0

∆ > 0
−b


Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi 
⇔  S = x1 + x2 =
>0
a
 x1 ; x2 > 0

c

 P = x1 x2 = a > 0

b 2 − 4ac > 0

∆ > 0
−b


Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi 
⇔  S = x1 + x2 =
<0
a
 x1 ; x2 < 0 
c

 P = x1 x2 = a > 0

Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ ac < 0.

Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn

4


Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831

Facebook: LyHung95


Phương trình có hai nghiệm phân biệt và đều lớn hơn α khi

www.VNMATH.com


b 2 − 4ac > 0
b 2 − 4ac > 0
∆ > 0


∆ > 0

−b
−b


x
x
S
x

x
2α
⇔
+
>
⇔
=
+
=
>
⇔
> 2α
2α

 1 2

 S = x1 + x2 =
1
2
x
,x
α
>
a
a
 1 2
 x −α x −α >0


)( 2 )

( 1
b
 x1 x2 − α ( x1 + x2 ) + α 2 > 0
c
2

 a + α. a + α > 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt và đều nhỏ hơn α khi

b 2 − 4ac > 0
b 2 − 4ac > 0
∆ > 0


∆ > 0

−b
−b


⇔  x1 + x2 < 2α
⇔  S = x1 + x2 =
< 2α
⇔  S = x1 + x2 =
< 2α

a
a
 x1 ,x2 < α
 x −α x −α >0 


)( 2 )
( 1
b
 x1 x2 − α ( x1 + x2 ) + α 2 > 0
c
2

 a + α. a + α > 0
∆ > 0
∆ > 0
∆ > 0
⇔
⇔ 2

Phương trình có hai nghiệm phân biệt và đều khác α khi 
 x1 ; x2 ≠ α
 g ( α ) ≠ 0 aα + bα + c ≠ 0

Phương trình có một nghiệm và nghiệm này lớn hơn α khi
 ∆ = 0
 ∆ = 0
 ∆ = 0
 ∆ = 0







  x1 = x2 = −b > α

  x = x = −b > α
  x = x = −b > α
  x1 = x2 = −b > α
 
1
2
2

2a
 1
2a
2a
 
2a
⇔ 
⇔ 
⇔



 ∆ > 0
 ∆ > 0
  ∆ > 0
 ∆ > 0

c
b
2
2




  + α. + α < 0
  x1 < α < x2
 ( x1 − α )( x2 − α ) < 0
  x1 x2 − α ( x1 + x2 ) + α < 0
a
 a

Phương trình có một nghiệm và nghiệm này nhỏ hơn α khi
 ∆ = 0
 ∆ = 0
 ∆ = 0
 ∆ = 0






  x1 = x2 = −b < α

−
b
b

−
 x =x =
 x =x =
  x1 = x2 = −b < α
<

α
<
α
 
2
2
 1
2a
 1
2a
2a
 
2a
⇔ 
⇔ 
⇔



  ∆ > 0
  ∆ > 0
  ∆ > 0
 ∆ > 0
 c
b
2
 x x − α ( x + x ) + α2 < 0
 ( x1 − α )( x2 − α ) < 0
  x1 < α < x2
  + α. + α < 0

1
2


  1 2
a
 a

Ví dụ 1: Cho phương trình ( m + 1) x 2 + 4mx + 2m + 3 = 0, (1)
a) Giải và biện luận phương trình đã cho.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt, và cả hai nghiệm đều nhỏ hơn −1.
Hướng dẫn giải :
a) Giải và biện luận phương trình.
5

Nếu m + 1 = 0 ⇔ m = −1 thì (1) ⇔ −4 x − 5 = 0 ⇔ x = − .
4

Nếu m + 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ −1 thì (1) là phương trình bậc hai có ∆′ = 4m 2 − ( m + 1)( 2m + 3) = 2m 2 − 5m − 3
1
+ Nếu ∆′ < 0 ⇔ 2m 2 − 5m − 3 < 0 ⇔ − < m < 3 thì (1) vơ nghiệm.
2
m = 3
b′ −2m
.
+ Nếu ∆′ = 0 ⇔ 2m 2 − 5m − 3 = 0 ⇔ 
thì (1) có nghiệm kép x = − =
1
m = −
a m +1
2


m > 3
2
thì (1) có 2 nghiệm phân biệt
+ Nếu ∆′ > 0 ⇔ 2m − 5m − 3 > 0 ⇔ 
m < − 1
2


x1;2 =

−2m ± 2m 2 − 5m + 3
.
m +1

Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn

5


Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831

m > 3
b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi ∆′ > 0 ⇔ 2m − 5m − 3 > 0 ⇔ 
m < − 1

2
Gọi hai nghiệm phân biệt là x1 ; x2 với x2 > x1.
b
4m


 x1 + x2 = − a = m + 1
Theo định lí Vi-ét ta có 
 x x = c = 2m + 3
 1 2 a m + 1
−1 < m < 0
 4m
−
>
0

 m + 1
 x1 + x2 > 0
  m > −1
⇔
⇔ 

→ vno .
Hai nghiệm đều dương khi 
 x1 x2 > 0
 2m + 3 > 0
m < − 3
 
 m + 1
2
2

Facebook: LyHung95

( *)

c) Hai nghiệm đều nhỏ hơn −1 khi
 2m + 3 4 m
 −m + 4
−1 < m < 4
−
+1 > 0 
>0
( x1 + 1)( x2 + 1) > 0  x1 x2 + ( x1 + x2 ) + 1 > 0  m + 1 m + 1
 m +1

⇔
⇔
⇔ m > 1
⇔ 1 < m < 4.


 x1 + x2 < −2
 x1 + x2 < −2
− 4m < −2
 4 m − 2 > 0   m < −1

 m + 1
 m + 1

(

www.VNMATH.com

Đối chiếu với điều kiện (*) vể tồn tại hai nghiệm phân biệt ta được 3 < m < 4 là giá trị cần tìm.

)

Ví dụ 2: Cho phương trình ( x + 2 ) x 2 + mx − 2m + 1 = 0, (1) .
a) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt.
b) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt, trong đó có hai nghiệm âm.
c) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt x1; x2; x3 thỏa mãn x12 + x22 + x32 < 7.
Hướng dẫn giải :
 x = −2
a) Ta có (1) ⇔ 
2
 g ( x) = x + mx − 2m + 1 = 0, ( 2 )
Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt và khác −2.
  m > −4 + 2 5


2
∆ g > 0
m2 + 8m − 4 > 0   m < −4 − 2 5
m − 4 (1 − 2m ) > 0
Điều đó xảy ra khi 
⇔
⇔
⇔ 
(*)
 g (−2) ≠ 0 4 − 2m − 2m + 1 ≠ 0 4m ≠ 5

5
m ≠
4


  m > −4 + 2 5


Vậy với   m < −4 − 2 5 thì phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.

5
m ≠
4

b) Do nghiệm x = −2 < 0 nên để (1) có 3 nghiệm trong đó 2 nghiệm âm thì (2) phải có hai nghiệm trái dấu.
1
Từ đó ta có P < 0 ⇔ 1 − 2m < 0 ⇔ m > .
2
Giá trị này thỏa mãn điều kiện (*) nên là giá trị cần tìm.
c) Khơng mất tính tổng qt, giả sử x1 = −2. Khi đó x2 ; x3 là hai nghiệm phân biệt của (2).
 x2 + x3 = −m
Theo định lí Vi-ét ta được 
 x2 x3 = 1 − 2m

Khi đó x12 + x22 + x32 < 7 ⇔ 4 + ( x2 + x3 ) − 2 x2 x3 < 7 ⇔ m 2 − 2 (1 − 2m ) − 3 < 0 ⇔ m 2 + 4m − 5 < 0 ⇔ −5 < m < 1.
2

Kết hợp với điều kiện (*) ta được −4 + 2 5 < m < 1 là giá trị cần tìm.

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1: Cho phương trình ( m − 1) x 2 − 2mx + m + 1 = 0.
Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn

6

Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831

Facebook: LyHung95

a) Chứng minh rằng phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m ≠ 1.
b) Xác định giá trị của m để phương trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiệm của phương
trình.
x
x
5
c) Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn hệ thức 1 + 2 + = 0.
x2 x1 2
Bài 2: Cho hàm số y = (x – 1)(x2 + mx + m).
a) Với m = 2, tính y’ và giải phương trình y’ = 0.
b) Tìm m để tiếp tuyến tại điểm có hồnh độ x = −1 song song với đường thẳng d: y = −2x − 3
c) Tìm m để phương trình y = 0 có ba nghiệm phân biệt x1; x2; x3 thỏa mãn x12 + x22 + x32 < 4.

Bài 4: Cho phương trình x 2 − mx + m − 1 = 0 , (với m là tham số).
a) Chứng tỏ rằng phươnh trình có nghiệm x1, x2 với mọi m. Tính nghiệm kép (nếu có) của phương trình và giá trị
của m tương ứng
b) Đặt A = x12 + x22 − 6 x1 x2 .

Chứng minh A = m2 – 8m + 8.

Tìm m để A = 8,

Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tương ứng.
c) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia.
d) Tim m để phương trình có hai nghiệm đều lớn hơn 1.
Bài 5: Cho phương trình ( x − 1) ( x 2 + 2mx + m − 3) = 0.
a) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt.

b) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt đều dương.
c) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt x1; x2; x3 thỏa mãn x12 + x22 + x32 = 15.
d) Tìm m để phương trình có ba nghiệm phân biệt, trong đó có hai nghiệm âm.

Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn

7

www.VNMATH.com

d) Tim m để phương trình y = 0 có ba nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm lớn hơn 2.
Bài 3: Cho phương trình mx2 – 2(m + 1)x + m – 4 = 0.
a) Tìm m để phương trình có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu. Khi đó trong hai nghiệm, nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn
hơn?
c) Xác định m để các nghiệm x1, x2 của phương trình thoả mãn x1 + 4x2 = 3.
d) Tìm một hệ thức giữa x1, x2 mà không phụ thuộc vào m.


Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831

Facebook: LyHung95

Bài 1:

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
DẠNG 1. CỰC TRỊ CỦA HÀM ĐA THỨC BẬC BA
Xét hàm số bậc ba : y = ax 3 + bx 3 + cx + d ⇒ y′ = 3ax 2 + 3bx + c
DẠNG 1. TÌM ĐIỀU KIỆN VỀ SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
c

3b

Trong trường hợp này hàm số có 1 cực trị.

Nếu a ≠ 0 :
+ Hàm số khơng có cực trị khi y′ khơng đổi dấu, tức là phương trình y′ = 0 vơ nghiệm hoặc có nghiệm
kép, tức là ∆ ≤ 0.
+ Hàm số có 2 điểm cực trị khi y′ đổi dấu hai lần, tức là phương trình y′ = 0 có hai nghiêm phân biệt.
Từ đó ta có điều kiện để hàm số có hai cực trị là ∆ > 0.
Vậy, với hàm bậc ba thì hàm số chỉ có hai cực trị hoặc khơng có cực trị.
1
Ví dụ 1: Biện luận số cực trị của hàm số y = x 3 + (1 − m ) x 2 − mx − 1 tùy theo giá trị của tham số m.
3
Hướng dẫn giải:
Ta có y′ = x 2 + 2 (1 − m ) x + m.


Hàm số khơng có cực trị khi y′ không đổi dấu trên miền xác định (hay hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến
trên miền xác định), điều đó xảy ra khi y′ = 0 vơ nghiệm hoặc có nghiệm kép.
3− 5
3+ 5
2
.
≤m≤
Từ đó ta có điều kiện ∆′ ≤ 0 ⇔ (1 − m ) − m ≤ 0 ⇔ m 2 − 3m + 1 ≤ 0 ⇔
2
2

Hàm số có hai cực trị khi y′ đổi dấu trên miền xác định, điều đó xảy ra khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt.

3+ 5
m >
2

⇔ ∆ > 0 ⇔ m 2 − 3m + 1 > 0 ⇔ 

3− 5
m <

2
Kết luận :
3− 5
3+ 5
≤m≤
- Hàm số khơng có cực trị khi
2
2
3+ 5
3− 5
- Hàm số có hai cực trị khi m ≥
; m≤
.
2
2
Ví dụ 2: Biện luận số cực trị của hàm số y = mx 3 + ( m − 2 ) x 2 + 2mx + 3 − m tùy theo giá trị của tham số m.
Hướng dẫn giải:

Ta có y′ = 3mx + 2 ( m − 2 ) x + 2m.
TH1 : m = 0.
Khi đó y ′ = −4 x; y ′ = 0 ⇔ x = 0 , trong trường hợp này hàm số có một cực trị.
TH2 : m ≠ 0.
m ≠ 0



−2 + 2 6

m≥
2
2
6
−
+


m ≠ 0
m ≠ 0
m ≥
5

Hàm số không có cực trị khi 
⇔ 2
⇔
⇔
5

′
0
∆
≤

5
4
4
0
+

−
≥
m
m

−2 − 2 6


m ≤
  m ≤ −2 − 2 6
5

 
5
2

Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn

8

www.VNMATH.com

→ y′ = 0 ⇔ x = −

Nếu a = 0 thì y′ = 3bx + c 


Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831

Facebook: LyHung95

Hàm số có hai cực trị khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt
 −2 − 2 6
−2 + 2 6
 m ≠ 0
m ≠ 0

⇔
⇔ 2
⇔
5
5
 ∆′ > 0 5m + 4m − 4 < 0  m ≠ 0

Kết luận :
−2 + 2 6
−2 − 2 6
- Hàm số khơng có cực trị khi m ≥
;m≤
.
5
5
- Hàm số có một cực trị khi m = 0.
 −2 − 2 6
−2 + 2 6

- Hàm số có hai cực trị khi 
5
5

m ≠ 0

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1. Tìm m để các hàm số sau đây có cực đại và cực tiểu:
a) y = x3 − 2mx 2 + ( m 2 − 1) x + 2
b) y = x3 − 3 ( m − 1) x 2 + ( 2m 2 − 3m + 2 ) x − m ( m − 1)

Bài 2. Tìm m để hàm số y = x3 + (1 − 2m ) x 2 + ( 2 − m ) x + m + 2 khơng có cực trị.
1
( m + 1) x3 + 3mx 2 + ( m − 2 ) x + 1
3

www.VNMATH.com

Bài 3. Biện luận theo m số cực trị của hàm số y =

DẠNG 2. TÍNH CHẤT CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Các bài tốn xét đến tính chất cực trị của hàm bậc ba chỉ áp dụng khi hàm số có hai điểm cực trị (gọi là cực đại
và cực tiểu).
Gọi hoành độ các điểm cực đại, cực tiểu là x1 ; x2. Khi đó x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình y′ = 0.
B

 x1 + x2 = − A
Theo định lí Vi-ét ta được 
x x = C
 1 2 A
Phương pháp thực hiện :
+ Tìm điều kiện để hàm có cực trị : y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > 0, (*)
+ Tìm điều kiện của tham số để cực trị có tính chất K nào đó chẳng hạn.
+ Đối chiếu giá trị tìm được với điều kiện ở (*) để được kết luận cuối cùng.

Ta xét một số dạng tính chất điển hình.

Tính chất 1: Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại điểm x = xo


Cách 1 (sử dụng bảng biến thiên) :
+ Hàm số đạt cực trị tại x = xo ⇔ y′ ( xo ) = 0 
→ m.
+ Với m tìm được, thay vào hàm số rồi khảo sát, từ bảng biến thiên ta có kết luận về hàm số đạt cực đại,
hay cực tiểu tại điểm xo hay không.


Cách 2 (sử dụng điều kiện cần, điều kiện đủ ; hay y’’) :
 y ′ ( xo ) = 0
+ Hàm số đạt cực đại tại x = xo ⇔ 

→ m.
 y ′′ ( xo ) < 0
 y ′ ( xo ) = 0
+ Hàm số đạt cực tiểu tại x = xo ⇔ 

→ m.
 y ′′ ( xo ) > 0
 y ′ ( xo ) = 0
Chú ý: Hàm số đạt cực trị tại x = xo ⇔ 
 y ′′ ( xo ) ≠ 0
1
Ví dụ mẫu: Cho hàm số y = x 3 − ( m + 2) x 2 − mx + 1.
3
a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
b) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại tại x = 0.
Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn

9


Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831

Facebook: LyHung95

c) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.
Hướng dẫn giải :
Ta có y′ = x − 2(m + 2) x − m ⇒ y′′ = 2 x − 2 ( m + 2 ) .
2

 m > −1
a) Hàm số có cực trị khi phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ > 0 ⇔ m 2 + 5m + 4 > 0 ⇔ 
 m < −4
b) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại tại x = 0.

Cách 1:
+ Hàm số đạt cực đại tại x = 0 thì y ′ ( 0 ) = 0 ⇔ m = 0.
x = 0
+ Với m = 0 thì ta có y′ = x 2 − 4 x = 0 ⇔ 
x = 4
Ta có bảng biến thiên:
x
−∞

y’

+

0
0

4
−

0

+∞
+

CĐ

+∞

y

www.VNMATH.com

−∞
CT
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 0.
Vậy m = 0 là giá trị cần tìm.

Cách 2:
 y′ ( 0 ) = 0
m = 0
Hàm số đạt cực đại tại x = 0 ⇔ 
⇔
⇔m=0
 y′′ ( 0 ) < 0 −2(m + 2) < 0

Vậy m = 0 thì hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 0.
c) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại tại x = 2.

Cách 1:
4
+ Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 thì y ′ ( 2 ) = 0 ⇔ 4 − 4(m + 2) − m = 0 ⇔ 5m = −4 ⇔ m = − .
5
x = 2
4
4
4
12
4

+ Với m = − 
→ y ′ = x 2 − 2  2 −  x + ⇔ y′ = x 2 − x + = 0 ⇔ 
x = 2
5
5
5
5
5


5
Ta có bảng biến thiên:
x
2
−∞
2
+∞

5

y’

+

0

−

0

+

CĐ

+∞

y

−∞
CT
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2.
4
Vậy m = − là giá trị cần tìm.
5

Cách 2:
4

5m + 4 = 0 m = −

4
 y ′ ( 2 ) = 0
⇔
⇔
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 ⇔ 
5 ⇔m=− .
5
−2m > 0
m < 0
 y ′′ ( 2 ) > 0
4
thì hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 2.
5
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Cho hàm số y = − x3 + (2m − 1) x 2 + 2mx − 3.
a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
b) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại tại x = −1.
c) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 3.
V ậy m = −

Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn

10


Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831

Facebook: LyHung95

Tính chất 2: Các điểm cực trị có hồnh độ cùng dương, cùng âm, cùng lớn hơn hoặc nhỏ hơn α cho trước.

Hai điểm phân biệt cực trị cùng có hồnh độ dương.
 −B
 A > 0
S
x
x
=
+
>
0

1
2
Khi đó ta có x2 > x1 > 0 
→
⇔
 P = x1 x2 > 0
C > 0
 A


Hai điểm cực trị cùng có hồnh độ âm.
 −B
<0

 S = x1 + x2 < 0
 A
→
⇔
Khi đó ta có x1 < x2 < 0 

 P = x1 x2 > 0
C > 0
 A


Hai điểm cực trị có hồnh độ trái dấu.
C
<0
A

Hai điểm cực trị cùng có hồnh độ lớn hơn α.

Khi đó ta có x1 < 0 < x2 ⇔ P = x1 x2 < 0 ⇔

www.VNMATH.com

C
 −B  2
 x x − α ( x1 + x2 ) + α 2 > 0  − α 
+α >0
( x1 − α )( x2 − α ) > 0  1 2
A
A 

Khi đó ta có x2 > x1 > α ⇔ 
⇔  −B
⇔
> 2α
 x1 + x2 > 2α

 − B > 2α
 A

 A


Hai điểm cực trị cùng có hồnh độ nhỏ hơn α.
C
 −B  2
 x1 x2 − α ( x1 + x2 ) + α 2 > 0  − α 
+α >0
( x1 − α )( x2 − α ) > 0

A
 A 
Khi đó ta có x1 < x2 < α ⇔ 
⇔  −B
⇔
< 2α
 x1 + x2 < 2α

 − B < 2α
 A
 A


Hai điểm cực trị có hồnh độ thỏa mãn x1 < α < x2.
Khi đó ta có x1 < α < x2 ⇔ ( x1 − α )( x2 − α ) < 0 ⇔ x1 x2 − α ( x1 + x2 ) + α 2 < 0 ⇔

C
 −B  2
− α
+α <0
A
 A 

Tính chất 3: Sử dụng Vi-ét cho hoành độ các điểm cực trị.
Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2. Khi đó x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình y′ = 0.
B

 x1 + x2 = − A
Theo định lí Vi-ét ta được 
x x = C
 1 2 A

Ví dụ 1: Cho hàm số y = x 3 + ( m − 1) x 2 − 3mx + m .
a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
1
1
+
= 2 x1 x2 .
x1 x2
c) Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hồnh độ đều lớn hơn 2.
d) Tìm m để hoành độ điểm cực đại của hàm số nhỏ hơn 1.
Hướng dẫn giải:
Ta có y′ = 3x 2 + 2(m − 1) x − 3m
a) Hàm số có cực đại, cực tiểu khi phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt

−7 + 3 5
m >
2
⇔ ∆′ > 0 ⇔ (m − 1)2 + 9m > 0 ⇔ m 2 + 7 m + 1 > 0 ⇔ 
( *)

−7 − 3 5

m <
2


b) Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 thỏa mãn

Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn

11


Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831

Facebook: LyHung95


−7 + 3 5
m >
2
Vậy với 
thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu.

−7 − 3 5
m <
2

b) Gọi x1 ; x2 là hoành độ điểm cực đại, cực tiểu. Khi đó x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình y′ = 0.
2(1 − m)

 x1 + x2 =

Theo định lí Vi-ét ta được 
3
 x1 x2 = − m
Ta có

x +x
−1 ± 13
1 1
2(1 − m)
+ = 2 x1 x2 ⇔ 1 2 = 2 x1 x2 ⇔
= 2m 2 ⇔ 3m 2 + m − 1 = 0 ⇔ m =
.
x1 x2
x1 x2
3
6

−1 + 13
là giá trị cần tìm.
6
c) Gọi x1 ; x2 là hoành độ điểm cực đại, cực tiểu. Khi đó x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình y′ = 0.
2(1 − m)

x + x =
Theo định lí Vi-ét ta được  1 2
3
 x1 x2 = − m

Đối chiếu với điều kiện (*) ta được m =

−7 − 3 5
là giá trị cần tìm.
2

1 − m − ∆′
 x = x1 =
6
d) Ta có y′ = 0 ⇔ 3x 2 + 2(m − 1) x − 3 = 0 ⇔ 

→ x1 < x2

1 − m + ∆′
 x = x2 =
6

Bảng biến thiên
x
−∞
x1
x2

www.VNMATH.com

 x x − 2 ( x1 + x2 ) + 4 > 0 
4(1 − m)
( x1 − 2 )( x2 − 2 ) > 0  1 2
+4>0
−m −
⇔  2(1 − m)
⇔

Theo bài ta có x2 > x1 > 2 ⇔ 
3
>4
 x1 + x2 > 4

1 − m > 6
 3
m + 8
> 0 m > −8

⇔ 3
⇔
⇔ −8 < m < −5.
5
m
<
−

m < −5

Đối chiếu với điều kiện (*) ta được −8 < m <

y’

+

0

−

0

CĐ

+∞
+
+∞

y
−∞

CT

Ta thấy hàm số đạt cực đại tại điểm có hồnh độ x1 =
Theo bài ta có x1 =

1 − m − ∆′
6

1 − m − ∆′
−m − 5 ≥ 0
> 1 ⇔ 1 − m − ∆′ > 6 ⇔ ∆′ < − m − 5 ⇔ 
2
6
∆′ < ( −m − 5 )

m ≤ −5
m ≤ −5
⇔ 2
⇔

⇔ −8 < m ≤ −5.
2
m + 7m + 1 < m + 10m + 25 3m > −24
−7 − 3 5
Đối chiếu với điều kiện (*) ta được −8 < m <
là giá trị cần tìm.
2

Ví dụ 2: Cho hàm số y = x 3 − 3(m + 1) x 2 + 9 x − m .
Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 thỏa mãn x1 − x2 ≤ 2.

Hướng dẫn giải:
Ta có y′ = 3x − 6(m + 1) x + 9.
2

Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn

12


Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831

Facebook: LyHung95


Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1; x2 khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 ⇔ ∆′ > 0
 m > −1 + 3
⇔ (m + 1)2 − 3 > 0 ⇔ 
( *)
 m < −1 − 3
 x + x = 2(m + 1)

Theo định lý Vi-et ta có  1 2
 x1 x2 = 3

Khi đó: x1 − x2 ≤ 2 ⇔ ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 ≤ 4 ⇔ 4 ( m + 1) − 12 ≤ 4 ⇔ (m + 1) 2 ≤ 4 ⇔ −3 ≤ m ≤ 1
2

2

 −3 ≤ m < −1 − 3
Đối chiếu với điều kiện (*) ta được 
là các giá trị cần tìm.
 −1 + 3 < m ≤ 1

Ví dụ 3: Cho hàm số y = x 3 + (1 − 2m ) x 2 + (2 − m ) x + m + 2.

www.VNMATH.com

1
Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 thỏa mãn x1 − x2 > .
3
Hướng dẫn giải:
2
′
Ta có y = 3x + 2(1 − 2m) x + 2 − m.

Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1; x2 khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2
5

m>
2
2


′
⇔ ∆ = (1 − 2m) − 3(2 − m) = 4m − m − 5 > 0 ⇔
4 ( *)

m
<
−
1


2(1 − 2m)

 x1 + x2 = −
3

Theo định lý Vi-et ta có 
.
m
−
2
x x =
 1 2
3
1
1
2
2
Khi đó x1 − x2 > ⇔ ( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 > ⇔ 4(1 − 2m)2 − 4(2 − m) > 1
3
9


3 + 29
m >
8
⇔ 16m 2 − 12m − 5 > 0 ⇔ 

3 − 29
m <
8


3 + 29
m>

là các giá trị cần tìm.
Đối chiếu với điều kiện (*) ta được
8

 m < −1
1 3
1
x − ( m − 1) x 2 + 3( m − 2) x + .
3
3
Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 thỏa mãn x1 + 2 x2 = 1.

Ví dụ 4: Cho hàm số y =

Hướng dẫn giải:
Ta có y′ = x 2 − 2(m − 1) x + 3(m − 2).

Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1; x2 khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 ⇔ ∆′ = m 2 − 5m + 7 > 0, ∀m
 x = 3 − 2m
 x1 + x2 = 2(m − 1)
1 − 2 x2 + x2 = 2(m − 1)


 2

Khi đó ta có  x1 x2 = 3(m − 2) ⇔  x1 x2 = 3(m − 2)
⇔  x1 = 1 − 2(2 − 2m) = 4m − 3
 x1 + 2 x2 = 1
 x1 + 2 x2 = 1
 x1 x2 = 3(m − 2) ⇒ ( 3 − 2m )( 4m − 3) = 3m − 6


⇔ 8m 2 + 16m − 9 = 0 ⇔ m =

−4 ± 34
−4 ± 34
. V ậy m =
là các giá trị cần tìm.
4
4

Ví dụ 5: Cho hàm số y = x 3 + (1 – 2m ) x 2 + (2 – m ) x + m + 2.
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.
Hướng dẫn giải:
Ta có y′ = 3x 2 + 2(1 − 2m) x + 2 − m = g ( x).
Do hệ số a = 3 > 0 nên yêu cầu bài tốn trở thành y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn

Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn

13


Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831

Facebook: LyHung95

Ví dụ 6: Cho hàm số y = 4 x 3 + mx 2 – 3 x .
Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 thỏa mãn x1 = −4 x2 .
Hướng dẫn giải:

 x1 = −4 x2

m
9

2
2
→m = ± .
Ta có y′ = 12 x + 2mx − 3 ⇒ ∆′ = m + 36 > 0. Khi đó  x1 + x2 = − 
6
2

1

 x1 x2 = − 4
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1: Cho hàm số y = x3 + (m + 2) x 2 − (m − 1) x + 2.

a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
b) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại tại x = 3.
c) Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 thỏa mãn x12 + x22 < 10.
d) Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hồnh độ đều nhỏ hơn −1.
Bài 2: Cho hàm số y = 2 x3 − 3 ( m + 3) x 2 + 6 ( 5m + 1) x − 4m3 − 1.
a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
b) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị có hồnh độ đều nhỏ hơn 2.
Bài 3: Tìm m để hàm số y = x3 + (1 − 2m ) x 2 + ( 2 − m ) x + m + 2 có hai điểm cực đại, cực tiểu đồng thời hồnh độ
điểm cực tiểu nhỏ hơn 2.
2
Bài 4: Cho hàm số y = x3 + ( m + 1) x 2 + ( m2 + 4m + 3) x + m + 2. Gọi x1, x2 là hoành dộ hai điểm cực trị của hàm
3
s ố.
a) Tìm m để hàm số đạt cực trị tại ít nhất một điểm có hồnh độ lớn hơn 1.
b) Tìm m sao cho biểu thức P = x1 x2 − 2 ( x1 + x2 ) đạt giá trị nhỏ nhất.
1
Bài 5: Cho hàm số y = x3 + mx 2 + (m + 6) x − 1.
3
Tìm giá trị của m để
a) hàm số có cực trị.
b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 thỏa mãn

1 1 x1 + x1
.
+ =
3
x1 x2

c) hàm số đạt cực đại tại điểm có hồnh độ x = 1.
d) hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hồnh độ x = 0.

Tính chất 4: Các cực trị nằm cùng phía, khác phía với các trục tọa độ.

+ Các điểm cực trị nằm cùng phía với trục Oy khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.
+ Các điểm cực trị nằm khác phía với trục Oy khi y′ = 0 có hai nghiệm trái dấu.
+ Các điểm cực trị nằm khác phía với trục Ox khi đồ thị cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt hoặc hàm số có cực trị
với yCĐ.yCT < 0.
+ Các điểm cực trị nằm cùng phía với trục Ox khi đồ thị cắt trục Ox tại một điểm hoặc hàm số có cực trị với
yCĐ.yCT > 0.
Ví dụ 1: Cho hàm số y = x 3 + 3 x 2 + mx + m – 2 , với m là tham số.
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của trục hồnh.
Hướng dẫn giải:
2
Ta có y′ = 3x + 6 x + m , hàm số có cực đại, cực tiểu khi phương trình y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Tức là ∆′ = 9 − 3m > 0 ⇔ m < 3.

Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn

14

www.VNMATH.com

∆′ = 4m 2 − m − 5 > 0
5
7

x1 < x2 < 1 ⇔ g (1) = −5m + 7 > 0 ⇔ < m <

4
5
 S = 2m − 1 < 1

 2
3


Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831

Facebook: LyHung95

 x = −1
Phương trình hồnh độ giao điểm của (Cm) và Ox: x3 + 3x 2 + mx + m – 2 = 0 ⇔ 
2
 g ( x) = x + 2 x + m − 2 = 0, (1)
Hàm số có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục Ox khi (1) có 2 nghiệm phân biệt khác –1
 ′
Ta có điều kiện  ∆ = 3 − m > 0
⇔ m<3
 g ( −1) = m − 3 ≠ 0
Vậy m < 3 là giá trị cần tìm.

Ví dụ 2: Cho hàm số y = − x 3 + (2m + 1) x 2 − ( m 2 − 3m + 2) x − 4 , với m là tham số.
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của trục tung.
Hướng dẫn giải:
2
2
Ta có y ′= −3x + 2(2m + 1) x − (m − 3m + 2)

(

)

2


−13 + 3 21
m >
2
⇔ m 2 + 13m − 5 > 0 ⇔ 

−13 − 3 21
m <
2

Hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của trục tung khi y′ = 0 có hai nghiệm trái dấu
3 m 2 − 3m + 2 < 0 ⇔ 1 < m < 2.

(

)

Kết hợp điều kiện ta được 1 < m < 2 thỏa mãn u cầu bài tốn.
1
Ví dụ 3: Cho hàm số y = x 3 − mx 2 + (2m − 1) x − 3 , với m là tham số.
3
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía của trục tung.
Hướng dẫn giải:
2
′
Ta có y = x − 2mx + 2m − 1
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ > 0 ⇔ m2 − 2m + 1 > 0 ⇔ m ≠ 1
Hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía của trục tung khi phương trình y′ = 0 có hai nghiệm

1
cùng dấu ⇔ ac > 0 ⇔ 2m − 1 > 0 ⇔ m > .
2
1
Kết hợp điều kiện ta được < m ≠ 1 thỏa mãn yêu cầu bài tốn.
2
Tính chất 5: Các bài tốn cực trị khi y′ = 0 giải được nghiệm ‘đẹp’

b
2
2
Khi phương trình y′ = 0 có ∆ = ( ax + b ) thì điều kiện để hàm số có cực trị là ∆ > 0 ⇔ ( ax + b ) > 0 ⇔ x ≠ − .
a
x
=
x

1
và sử dụng yêu cầu của đề bài để giải ra tham số.
Khi đó, y′ = 0 ⇒ 
 x = x2
Ví dụ 1: Cho hàm số y = x 3 − 3mx 2 + 3(m 2 − 1) x − m 3 + m.
Tìm giá trị của m để hàm số có cực trị. Khi đó, tìm m để khoảng cách từ điểm cực đại đến gốc tọa độ bằng
2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đến gốc tọa độ O.
Hướng dẫn giải :
2
2
2
Ta có y ′ = 3x − 6mx + 3(m − 1) ⇒ y ′ = 0 ⇔ x − 2mx + m 2 − 1 = 0
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ = 1 > 0, ∀m

 x = m − 1 ⇒ A ( m − 1;2 − 2m )
Khi đó y′ = 0 ⇔ 
 x = m + 1 ⇒ B ( m + 1; −2 − 2m )
Do hệ số a = 1 > 0 và m + 1 > m − 1 nên A là điểm cực đại và B là điểm cực tiểu của hàm số.
 m = −3 + 2 2
Theo bài ta có OA = 2OB ⇔ m 2 + 6m + 1 = 0 ⇔ 
 m = −3 − 2 2
Vậy m = −3 ± 2 2 là các giá trị cần tìm.

Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn

15

www.VNMATH.com

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ > 0 ⇔ ( 2m + 1) − 3 m2 − 3m + 2 > 0


Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831

Facebook: LyHung95

1 3 ( 3m − 1 ) x
x −
+ (3m − 2) x + m − 1.
3
2
2

Ví dụ 2: Cho hàm số y =

Tìm giá trị của m để
a) hàm số có cực đại, cực tiểu.
b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hồnh độ lớn hơn 2.
c) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hồnh độ x1 ; x2 thỏa mãn x13 + x23 > 28
d) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ x1 ; x2 thỏa mãn 2 x12 + x22 = 12
Hướng dẫn giải :
2
Ta có y′ = x − ( 3m − 1) x + 3m − 2 ⇒ y ′ = 0 ⇔ x 2 − ( 3m − 1) x + 3m − 2 = 0.
a) Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt.

Ta có điều kiện ∆ > 0 ⇔ ( 3m − 1) − 4. ( 3m − 2 ) > 0 ⇔ 9m2 − 18m + 9 > 0 ⇔ m ≠ 1
2

www.VNMATH.com


3m − 1 − 3 ( m − 1)
=1
x =
2

b) Với m ≠ 1 ⇒ y ′ = 0 ⇔

3m − 1 + 3 ( m − 1)
= 3m − 1
x =

2

Hoành độ các điểm cực đại, cực tiểu lớn hơn 2 khi 3m − 1 > 2 ⇔ m > 1.
Vậy với m > 1 thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu và hoành độ cực đại, cực tiểu lớn hơn 2.
4
3
c) Ta có x13 + x23 > 28 ⇔ 1 + ( 3m − 1) > 28 ⇔ 3m − 1 > 3 ⇔ m > .
3
d) Do vai trị bình đẳng của x1 ; x2 nên ta có hai trường hợp xảy ra
1 ± 10
2

Với x1 = 1; x2 = 3m − 1 ⇒ 2 x12 + x22 = 12 ⇔ 2 + ( 3m − 1) = 12 ⇔ 3m − 1 = ± 10 
→m =
3
1 ± 10
.
Kết hợp với điều kiện tồn tại cực trị ta được m =
3
22
2 ± 22
2

→m =

Với x1 = 3m − 1; x2 = 1 ⇒ 2 x12 + x22 = 12 ⇔ 2 ( 3m − 1) + 1 = 12 ⇔ 3m − 1 = ±
2
6
2 ± 22
Kết hợp với điều kiện tồn tại cực trị ta được m =
.
6
Ví dụ 3: Cho hàm số y = x 3 + 3 x 2 + m
Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm A, B sao cho

AOB = 1200.
Hướng dẫn giải :
0
=
⇒
=
x
y
m

Ta có y ′ = 3x 2 + 6 x ⇒ y ′ = 0 ⇔ 
 x = −2 ⇒ y = m + 4
Vậy hàm số có hai điểm cực trị A(0 ; m) và B(−2 ; m + 4).







1
AOB = 1200 ⇒ cos
AOB = −
Ta có OA = (0; m), OB = (−2; m + 4). Để 
2
−4 < m < 0
m(m + 4)
1

⇔
= − ⇔ m 2 ( 4 + (m + 4) 2 ) = −2m(m + 4) ⇔  2
2
3m + 24m + 44 = 0
m 2 ( 4 + (m + 4)2 )

−4 < m < 0
2
−12 + 2 3

⇔
= −4 +
−12 ± 2 3 ⇔ m =
=
m
3
3

3

Vậy m = −4 +

2
là giá trị cần tìm.
3

Ví dụ 4: Cho hàm số y = − x 3 + 3mx 2 − 3m − 1
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua (d): x + 8y − 74 = 0.
Hướng dẫn giải :
x = 0
Ta có y ′ = −3 x 2 + 6mx = −3 x ( x − 2m ) ⇒ y ′ = 0 ⇔ 
 x = 2m
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇒ m ≠ 0
Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn

16

Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831

Facebook: LyHung95


Khi dó, các điểm cực trị của hàm số là A(0; −3m − 1), B(2m;4m3 − 3m − 1) ⇒ AB(2m;4m3 )
Trung điểm I của AB có toạ độ I (m; 2m3 − 3m − 1)


Đường thẳng d: ( d ) : x + 8 y − 74 = 0 có một véc tơ chỉ phương u = (8; −1) .

m + 8(2m3 − 3m − 1) − 74 = 0
I ∈ d
⇔   
⇔m=2
A và B đối xứng với nhau qua d ⇔ ( d ) ⇔ 
 AB ⊥ d
 AB.u = 0
Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.
3m 2
x + 3 ( m − 1) x + 1
Ví dụ 5: Cho hàm số y = x 3 −
2
Tìm m để
a) hàm số có cực đại, cực tiểu.
b) hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2.
c) hàm số đạt cực đại tại x = 0.
d) hàm số khơng có cực đại, cực tiểu.

e) đường thẳng qua các điểm cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng d: y = 9x + 1
Hướng dẫn giải :
m
3 2
x + 3 ( m − 1) x + 1 ⇒ y ′ = 3x 2 − 3mx + 3 ( m − 1) = 3 x 2 − mx + m − 1
a) Ta có y = x3 −
2
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt.

(

)

Ta có điều kiện ∆ > 0 ⇔ ( m − 2 ) > 0 ⇔ m ≠ 2.

www.VNMATH.com

2

Vậy với m ≠ 2 thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu.

 y′(2) = 0
b) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2 khi hệ sau có nghiệm 
, (I )
 y′′(2) > 0
 4 − 2m + m − 1 = 0
m = 3
Ta có y′′ = 6x – 3m, khi đó ( I ) ⇔ 
⇔
⇒m=3

12 − 3m > 0
m < 4
Giá trị m = 3 thỏa mãn điều kiện (*) nên là giá trị cần tìm.
 y′(0) = 0
c) Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0 khi hệ sau có nghiệm 
, (I )
 y′′(0) > 0
m − 1 = 0 m = 1
Ta có y′′ = 6x – 3m, khi đó hệ ( I ) ⇔ 
⇔
⇒ m =1
 −3m < 0
m > 0
Giá trị m = 1 thỏa mãn điều kiện (*) nên là giá trị cần tìm.
d) Hàm số khơng có cực đại, cực tiểu khi y′ không đổi dấu ⇔ y′ = 0 vô nghiệm ⇔ ∆ ≤ 0 ⇔ (m – 2)2 ≤ 0
Bất phương trình trên chỉ có nghiệm duy nhất m =2.
Vậy với m = 2 thì hàm số đã cho khơng có cực trị.
e) Xét phương trình y’ = 0 ta được x2 – mx + m – 1 = 0
3m − 2

m+m−2

x1 =
= m − 1  y1 =

2
2
2
∆ = ( m − 2) ⇒ 
⇒

m
m
−
+
2
3m 2 − 5m + 4

x =
=
1
y
=
 2
 2
2
2
 
3m 2 − 8m + 6 
Gọi A(x1, y1) và B(x2, y2) là các điểm cực đại, cực tiểu. Khi đó AB =  2 − m;

2


Đường thẳng qua các điểm cực đại, cực tiểu song song với d : y = 9x + 1 khi
3m 2 − 8m + 6
 
2−m
2
AB / / ud ⇔
=

⇔ 2m − 4 = 9 3m 2 − 8m + 6 ⇔ 27 m 2 − 74m + 58 = 0 
→ vno
9
−1
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
( 2m − 1) x 2
1
Bài 1: Cho hàm số y = x3 −
− 2(2m + 1) x + 3.
3
2
Tìm giá trị của m để
a) hàm số có cực đại, cực tiểu.
b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hồnh âm.

(

)

Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn

17


Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831

Facebook: LyHung95

c) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hồnh độ x1 ; x2 thỏa mãn x14 + x24 > 17
d) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hồnh độ x1 ; x2 thỏa mãn 2 x12 + x22 = 12

( 3m + 1) x
1
Bài 2: Cho hàm số y = x3 −
− (2m 2 + m) x − 2.
3
2
Tìm giá trị của m để
a) hàm số có cực đại, cực tiểu.
b) hàm số đạt cực đại tại điểm x = 3.
c) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hồnh độ x1 ; x2 thỏa mãn x12 − x22 = 40
d) hàm số đạt cực đại, cực tiểu đồng thời các điểm cực đại, cực tiểu nằm hai phía của trục Oy.
Bài 3: Cho hàm số y = x3 − 3mx + 2
a) Tìm m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của hàm số cắt đường tròn tâm I(1; 1) bán kính bằng 1 tại
hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất.
b) Tìm m để hàm số có CĐ, CT và khoảng cách từ O đến đường thẳng đi qua CĐ, CT lớn nhất.
2

Lấy y chia cho y′ ta được y = y′.g ( x) + ax + b, khi đó đường thẳng d : y = ax + b chính là đường thẳng đi qua các
điểm cực đại, cực tiểu của hàm số.
Tác dụng lớn nhất của việc tìm được phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu là lấy được tung độ của
chúng. Thật vậy, gọi M, N là các điểm cực đại, cực tiểu thì M ( x1 ; ax1 + b ) , N ( x2 ; ax2 + b ) , trong đó x1 ; x2 là hai
nghiệm của phương trình y′ = 0 và ta có thể dùng Vi-et được.

Ví dụ 1: Cho hàm số y = − x 3 + 3mx 2 + 3(1 − m 2 ) x + m 3 − m 2
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. Khi đó, hãy viết phương trình đường thẳng qua các điểm đó.
Hướng dẫn giải :
2
2
2

Ta có y ′ = −3 x + 6mx + 3(1 − m ) ⇒ y ′ = 0 ⇔ x − 2mx + m 2 − 1 = 0
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ = 1 > 0, ∀m
Vậy hàm số luôn có cực đại, cực tiểu với mọi giá trị của m.
m
1
Chia y cho y′ ta được y =  x −  y ′ + 2 x − m 2 + m
3
3

m
1
2
 y1 =  3 x1 − 3  y(′x1 ) + 2 x1 − m + m
Gọi A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) là các điểm cực trị, khi đó 
 y2 =  1 x2 − m  y ′ + 2 x2 − m 2 + m

3  ( x2 )
3
 y = 2 x1 − m 2 + m
Do y(′x1 ) = y(′x2 ) = 0 ⇒  1
⇔ A, B ∈ ( d ) : y = 2 x − m 2 + m
2
 y2 = 2 x2 − m + m
Vậy, phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho là y = 2 x − m 2 + m .
Ví dụ 2: Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 − mx + 2
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị song song với đường thẳng
d: y = −4x + 3.
Hướng dẫn giải :
Ta có y ′ = 3x 2 − 6 x − m
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ > 0 ⇔ 9 + 3m > 0 ⇔ m > −3, (*)

1
m
1
 2m


Chia y cho y′ ta được y =  x −  y′ − 
+ 2 x +  2 − 
3
3
3
 3


Gọi A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) là các điểm cực trị, khi đó phương trình đường thẳng qua A, B là

( ∆ ) : y = − 

2m
m

+ 2 x + 2 −
3
 3


  2m

−  3 + 2  = −4


⇔m=3
Theo bài ta có d / / ∆ : y = −4 x + 3 ⇒⇔  
2 − m ≠ 3

3
Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn

18

www.VNMATH.com

Tính chất 6: Phương trình đường thẳng qua cực đại, cực tiểu và một số ứng dụng điển hình


Bài giảng trọng tâm Hàm số – Thầy Đặng Việt Hùng – Tel: 0985.074.831

Facebook: LyHung95

Đối chiếu với (*) ta được m = 3 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 3: Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 − mx + 2
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này cách đều đường thẳng (d): y = x − 1.
Hướng dẫn giải :
2
′
Ta có y = 3x − 6 x − m
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ > 0 ⇔ 9 + 3m > 0 ⇔ m > −3,

( *)

1
m
1
 2m


Chia y cho y′ ta được y =  x −  y′ − 
+ 2 x +  2 − 
3
3
3
 3


Gọi A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) là các điểm cực trị, khi đó phương trình đường thẳng qua A, B là
2m
m

+ 2 x + 2 −
3
 3

Các điểm cực trị cách đều đường thẳng (d) : y = x − 1 nên xảy ra 1 trong 2 trường hợp:

TH1: Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trùng với đường thẳng (d)
3
 2m

⇔ −
+ 2  = 1 ⇔ m = − , (thỏa mãn)
2

 3

y + y2 x1 + x2
=
−1

TH2: Trung điểm I của AB nằm trên đường thẳng ( d ) ⇔ yI = xI − 1 ⇔ 1
2
2
m
2m
 2m


 2m

⇔ −
+ 2  ( x1 + x2 ) + 2  2 −  = ( x1 + x2 ) − 2 ⇔ 
+ 3  .2 = 6 −
⇔m=0
3
3
 3


 3

3
Vậy m = 0; m = − là các giá trị cần tìm.
2
Ví dụ 4: Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 + mx

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua (d): x − 2y − 5 = 0.
Hướng dẫn giải :
2
Ta có y ′ = 3x − 6 x + m
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi y′ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ > 0 ⇔ 9 − 3m > 0 ⇔ m < 3, (*)

1
1
1
2

Chia y cho y′ ta được y =  x −  y ′ +  m − 2  x + m
3
3
3
3

1
2
2

Gọi A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) là các điểm cực trị, khi đó ( AB ) : y =  m − 2  x + m ⇒ k AB = m − 2
3
3

3
1
Ta có ( d ) : x − 2 y − 5 = 0 ⇒ kd =
2
1 2


A, B đối xứng nhau qua (d) thì ta phải có ( AB ) ⊥ ( d ) ⇔ k AB .kd = −1 ⇔  m − 2  = −1 ⇔ m = 0
2 3

Với m = 0 thì đồ thị có hai điểm cực trị là (0; 0) và (2; –4), nên trung điểm của chúng là I(1; –2).
Ta thấy I ∈ (d), do đó hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua (d).
Vậy m = 0 là giá trị cần tìm.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1: Cho hàm số y = x3 − 3(m + 1) x 2 + 9 x + m − 2
1
Tìm m để hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng ( d ) : y = x.
2
Đ/s: m = 1
Bài 2: Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 − mx + 2
Tìm m để hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu và đường thẳng qua các điểm đó tạo với đường thẳng
( d ) : x + 4 y − 5 = 0 một góc 450.
1
Đ/s: m = − .
2
Bài 3: Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 + m 2 x + m

Tham gia khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán trở lên trong kỳ TSĐH 2014 – www.moon.vn

19

www.VNMATH.com

( AB ) : y = − 