CHUYÊN ĐỀ : GÓC TRONG KHÔNG GIAN VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN pps

A
A'
CHUY ÊN Đ : Ề
GÓC TRONG KHÔNG GIAN
VÀ M T S D NG TOÁN LIÊN QUANỘ Ố Ạ
A.Tóm t t lí thuy t:ắ ế
I.Góc gi a hai đ ng th ng:ữ ườ ẳ
1.Góc gi a hai đ ng th ng a và b đ c đ nh nghĩa b ng góc gi a hai đ ngữ ườ ẳ ượ ị ằ ữ ườ
th ng ẳ
a’ và b’ cùng đi qua m t đi m O và l n l t song song v i a và b.ộ ể ầ ượ ớ
2.
// '
// '
a a
b b



thì góc gi a hai đ ng th ng a và b b ng góc gi a hai đ ng th ng a’vàữ ườ ẳ ằ ữ ườ ẳ
b’
3.Góc gi a hai đ ng th ng luôn không tù.ữ ườ ẳ
II.Góc gi a đ ng th ng và m t ph ng:ữ ườ ẳ ặ ẳ
1. Cho đ ng th ngườ ẳ
V
và m t ph ng ặ ẳ
( )
α
. N u ế
V
không vuông góc v i ớ
( )

α
, khi
đó góc gi a chúng đ c đ nh nghĩa b ng góc gi a ữ ượ ị ằ ữ
V
và hình chi u vuông gócế
V
’ c a ủ
V
lên m t ph ng ặ ẳ
( )
α
.
2. Góc gi a m t đ ng th ng và m t m t ph ng luôn tù.ữ ộ ườ ẳ ộ ặ ẳ
3. Cho m là m t đ ng th ng b t kì trong m t ph ng ộ ườ ẳ ấ ặ ẳ
( )
α
.khi đó
góc gi a đ ng th ng ữ ườ ẳ
∆
và
( )
α
không l n h n góc gi a hai đ ng th ng ∆ớ ơ ữ ườ ẳ

và
m.
1
m
b
a

O
D u đ ng th c x y ra khi và ch khi ho c ∆ ấ ẳ ứ ả ỉ ặ
⊥
(α) ho c m // ∆’ ( đó ∆’ làặ ở
hình chi u vuông góc c a ∆ lên (α)). ế ủ
4. N u ∆ // a và (α) // (P) thì góc gi a đ ng th ng ∆ và (α) b ng góc gi aế ữ ườ ẳ ằ ữ
đ ng th ng a và (P).ườ ẳ
5. Cho đ ng th ng a vuông góc v i m t ph ng (α). Khi đó v i m i đ ng th ngườ ẳ ớ ặ ẳ ớ ọ ườ ẳ
∆ ta có t ng góc gi a đ ng th ng ∆ và m t ph ng (α) và góc gi a hai đ ngổ ữ ườ ẳ ặ ẳ ữ ườ
th ng ∆ và a b ng ẳ ằ
90
o
.


·
( )
·
( ,( )) , 90
o
a
α
+ =
V V
6 .Cho hai m t ph ng (ặ ẳ α) và (β) vuông góc v i nhau. Khi đó v i m i đ ng th ngớ ớ ọ ườ ẳ
∆ ta có:
·
·
( ,( )) ( ,( )) 90
o

α β
+ =
V V
.
7. G i A’,B’ l n l t là hình chi u vuông góc c a A, B xu ng m t ph ng (ọ ầ ượ ế ủ ố ặ ẳ α). Khi
đó
¼
' ' cos( ,( ))A B AB AB
α
=
. Do đó
' 'A B AB
≤
, d u b ng x y ra khi và ch khi ABấ ằ ả ỉ
song song v i (ớ α) ho c n m trên (ặ ằ α).
III.Góc gi a hai m t ph ng:ữ ặ ẳ
1.Cho hai m t ph ng (ặ ẳ α) và (β).
a) N u (ế α) và (β) trùng nhau ho c song song v i nhau, ặ ớ
ta nói góc gi a chúng b ng 0.ữ ằ
b) N u (ế α) và (β) c t nhau theo giao tuy n m. ắ ế
L y hai đ ng th ng a và b l n l t thu c (ấ ườ ẳ ầ ượ ộ α) và (β)
và vùng vuông góc v i đ ng th ng m t i O.ớ ườ ẳ ạ
Khi đó góc gi a (ữ α) và (β) đ c đ nh nghĩa b ng góc gi a hai đ ngượ ị ằ ữ ườ
th ng a và b.ẳ
2.Góc gi a hai đ ng th ng luông không tù.ữ ườ ẳ
3. N u ế
( )//( ')
( ) //( ')
α α
β β




Thì
·
·
(( ),( )) (( '),( '))
α β α β
=
.
4.N u ế
( )
( )a
α
β
⊥


⊥

V
thì
¶
·
( , ) (( ),( ))a
α β
=
V
.
5.N u ế

( ) ( )
α β
⊥
thì
·
0
(( ),( )) 90
α β
=
.
6.Trong m t ph ng (ặ ẳ β) cho hình H có di n tích S(ệ H). G i ọ H’ là hình chi uế
vuông góc c a ủ H xu ng m t ph ng (ố ặ ẳ α). Khi đó di n tích S(ệ H’) c a ủ H’ đ cượ
tính b ng công th c ằ ứ
S(H) = S(H’).
·
os(( ),( ))C
α β
.
Do đó S(H)
≤
S(H’).
2
P
M
O
N
B
D
C
A

S
H
B.M t s d ng toán liên quan:ộ ố ạ
I.GÓC GI A Đ NG TH NG VÀ M T PH NG:Ữ ƯỜ Ẳ Ặ Ẳ
Bài 1:
Cho hình chóp đ u S.ABCD, đáy có c nh b ng a và có tâm O.G i M,N l n l tề ạ ằ ọ ầ ượ
là trung đi m c a SA,BC.Bi t góc gi a MN và (ABCD) b ng ể ủ ế ữ ằ
60
o
.
Tính MN,SO và
·
( ,( ))MN SAO
.
H ng d n gi i:ướ ẫ ả
G i P là trung đi m AO.ọ ể
Khi đó MP // SO và SO
⊥
(ABCD) do đó:
·
·
( ,( D)) 60 .MN ABC MNP= =
o

Trong
V
NCP theo đ nh lí hàm s cosin ta cóị ố
2
2 2 2
5

2 . .cos 45 .
8
a
NP CN CP CN CP= + − =
o
Trong tam giác vuông MNP ta có
5
os60 2
PN
MN a
c
= =
o
và PM=PN.tan
60
o
15 15
2
8 2
a SO MP a= ⇒ = =
.
G i H là trung đi m c a OC.Suy ra NH // BD mà BDọ ể ủ
⊥
(SAC).
3
a
b
P
N
M

M'
A
C
B'
C'
A'
B
Do đó
·
·
( ,( )) .MN SAC NMH=
Ta có
1 2 5
, .
2 4 2
a
NH OB MN a= = =
Do đó trong tam giác vuông MHN ta có
·
1
sin .
2 5
NH
NMH
MN
= =
V y góc gi a MN và m t ph ng (SAC) b ng ậ ữ ặ ẳ ằ
α
th a mãn ỏ
1

sin ,0 .
2
2 5
π
α α
= ≤ ≤
Bài 2 :
Cho hình lăng tr đ u ABC.A’B’C’, đáy có c nh b ng a,c nh bên có đ dàiụ ề ạ ằ ạ ộ
b ng b.G i M là trung đi m c a AB và ằ ọ ể ủ
α
là góc t o b i đ ng th ng MC’ vàạ ở ườ ẳ
m t ph ng (BCC’B’).Tính tanặ ẳ
α
.
H ng d n gi i:ướ ẫ ả
G i M’,N l n l t là trung đi m c a A’B’ và BC.ọ ầ ượ ể ủ
G i P là trung đi m c a BM.ọ ể ủ
Ta có AN
⊥
BC và AN
⊥
BB’ nên AN
⊥
(BCC’B’).
Do đó
α
=
·
'MC P
.

Ta có
1 3
.
2 4
a
MP AN= =
2
2 2 2
2
2
3a
' ' ' '
4
9a
' .
16
MC MM M C b
PC b
= + = +
⇒ = +
4
P
N'
M'
B
C
A
C'
A'
B'

D'
D
M
N
Trong tam giác vuông C’PM ta có tan
α
=
2 2
3
.
'
16 9a
MP a
PC
b
=
+
Bài 3:
Cho hình l p ph ng ABCD.A’B’C’D’ c nh a. Đi m M thu c BC’, N’ thu cậ ươ ạ ể ộ ộ
đo n AB’. Đ ng th ng MN t o v i m t ph ng (ABCD) góc α. Ch ng minhạ ườ ẳ ạ ớ ặ ẳ ứ
r ng :ằ
2 os +sin
a
MN
c
α α
≥
H ng d n gi i:ướ ẫ ả
G i M’, N’ l n l t là hình chi u c a M,N trên (ABCD). Không m t tính t ng quát giọ ầ ượ ế ủ ấ ổ ả
s ử

' 'MM NN
<
.
{ }
' 'P MN M N= ∩
.
Khi đó:
MM’=BM’, NN’=AN’=a – BN’, MN=PN – PM
⇒
MNcosα = ( PN – PM )cosα
= PNcosα – PMcosα
= PN’ – PM’ = M’N’.
⇒
M’N’= MNcosα
Do đó : M’N’ =
2 2
' 'BN BM+
= MNcosα (1)
Ta có
MNsinα = PNsinα – PMsinα = NN’ – MM’
=a – BN’ – BM’ = a- (BN’ + BM’) (2)
T (1) và (2) suy raừ
2 2
( 2 os sin ) 2( ' ' ) ( ' ')MN c BN BM a BN BM
α α
+ = + + − +

( ' ') ( ' ')BN BM a BN BM a≥ + + − + =

5

A
B
C
OI
S
( do
2 2 2
2( ) ( )a b a b+ ≥ +
)
⇒

2 os +sin
a
MN
c
α α
≥
(đpcm)
Bài 4:
Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác cân AB=AC=a.
·
BAC
=
α
,bi tế
SA,SB,SC đ u h p v i mp(ABC) góc ề ợ ớ
α
.G i O là tâm vòng (ABC).ọ
a)CM: O trùng v i hc c a S lên mp(ABC)ớ ủ
b)Tính d(S,(ABC)).

H ng d n gi i:ướ ẫ ả

a) G i I là hinh chi u c a S lên (ABC), theo gi thi t, ta có:ọ ế ủ ả ế

·
· ·
= = = αSAI SBI SCI
(1)
Các tam giác SAI,SBI,SCI có chung c nh góc vuông SI và th a (1) nên b ng nhau .ạ ỏ ằ
V y IA=IB=ICậ
⇒
I O≡
.
b) Ta có :
AC=2R.sinB (Đl hàm sin trong
ABCV
)
⇒
a=2R.sin(
90
2
α
−
o
)=
2R. os
2
c
α
⇒

R=
2 os
2
a
c
α

6
N
M
I
C
B
A'
C'
B'
A

⇒
IB=
2 os
2
a
c
α
( ,( ))d S ABC SO=

( ( ))SO ABC⊥
= IB tan α (
#

SOB vuông)
=
2a sin os asin
a tan
2 2 2
os
2 os 2 os os
2 2
c
c
c c c
α α α
α
α α
α
α
= =
Bài 5:
Cho hình lăng tr ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đ u c nh a.ụ ề ạ
AA’
⊥
(ABC).Đ ng chéo BC’ c a m t bên BCC’B’ h p v i (ABB’A’) góc ườ ủ ặ ợ ớ
30
o
.
G i M,N l n l t là trung đi m c a AC và BB’.ọ ầ ượ ể ủ
a)Tính AA’
b) góc[MN,(BA’C’)].
H ng d n gi i:ướ ẫ ả
Tính AA’:

G i I là trung đi m A’B’, ta có:ọ ể
C’I
⊥
A’B’ (
' ' 'A B CV
đ u)ề
Mà C’I
⊥
AA’ (AA’
⊥
(A’B’C’))
V y C’Iậ
⊥
(ABB’A’) (1)
⇒
/( ' )
'
ABB C
BI hcBC=

⇒
·
' 30IBC
°
=
M t khác (1) ặ
⇒
C’I
⊥
IB

⇒

'IC BV
vuông t i I ạ
⇒

'
' 3
sin 30
C I
BC a
°
= =
' 'BB CV
vuông:
7
K
N
J
M
A
C
B'
A'
C'
B
H
⇒
BB’=
2 2 2 2

' ' ' 3a 2.BC B C a a− = − =
b)Tính góc[MN,(BA’C’)].
G i J là trung đi m c a A’C’ H là hình chi u c a M lên BJ.ọ ể ủ ế ủ
Trong hình thang BNJM,MN c t BJ t i K.K cũngắ ạ
là giao di m c a MN và(B’A’C’).ể ủ
M t khác , ặ
/( ' ')BA C
hcM H BJ= ∈
⇒
góc [MN,(BA’C’)]=
·
·
,MKH MN BJ=
uuuur uuur
Ta có
. ( ).( . ')MN BJ MB BN BM BB= +
uuuur uuur uuur uuur uuuuruuur

2 2
2
. . ' . . '
3a
0 0
4 4
MB BM MB BB BN BM BN BB
a
a
= + + +
−
= + + + =

uuur uuuur uuur uuur uuuruuuur uuur uuur
⇒
MN.BJ.cos(
,MN BJ
uuuur uuur
)=
2
4
a
(2)
Mà :
2 2
2 2
2
2 2 2
3a a 5
4 2 2
3a 11
2a
4 2
a
MN BM BN
a
BJ BM MJ
= + = + =
= + = + =

V y (3) ậ
⇒

2
55
4
a
.cos(
,MN BJ
uuuur uuur
)=
2
4
a

8
M
J
N
I
C
B
A'
C'
B'
A

⇒
cos(
,MN BJ
uuuur uuur
)=
1

55
>0.
V y góc[MN,(BA’C’)] = góc(ậ
,MN BJ
uuuur uuur
) = arccos
1
55
.
Bài 6:
Cho hình lăng tr ABC,A’B’C’ đáy ABC vuông cân t i A.ụ ạ
AA’
⊥
(ABC).G i M,N l n l t là trung đi m c a AB và B’C’.Bi t r ng MN=aọ ầ ượ ể ủ ế ằ
và góc[MN,(ABC)]=
α
, góc[MN,(BCC’B’)]=
β
.
a)Tính các c nh đáy và c nh bên c a lăng tr theo a, ạ ạ ủ ụ
α
.
b)CMR: cos
α
=
2 sin
β
.
H ng d n gi i:ướ ẫ ả
a/ G i I là trung đi m BC,ọ ể

Ta có MN
⊥
(ABC)
⇒
/( )ABC
MI hcMN=
⇒
·
IMN
α
=
·
IMN
α
=
MINV
MINV
vuông t i I.ạ
⇒
MI=MN.cos
α
=a.cos
α
(1)
IN=MN.sin
α
=a.sin
α
(2)
T (1) ừ

⇒
AB=2a.cos
α

( MI là đ ng trung bình ườ
ABCV
)
BC=2a
2
.cos
α
(3) (
ABCV
vuông cân)
T (2) ừ
⇒
AA’=BB’=CC’=a.sin
α
.( IN = AA’)
b)Ta có:
MI // AC, MI=AC/2
⇒
MI
⊥
AB,MI=MB
⇒
MIBV
vuông cân (4)
G i J là trung đi m BI thì MJ ọ ể
⊥

BI
Mà MJ
⊥
BB’ (BB’
⊥
(ABC))
Do đó MJ
⊥
(BCC’B’)
⇒
/( ' ')BCC B
JN hcMN=

⇒

·
MNJ
β
=
.
Ta có
MJNV
vuông
⇒
MJ=MN.sin
β
=a.sin
β
9
I

J
B
A
C
M
K
L
H
D

⇒
BI=2MJ=2asin
β
(do (4))

⇒
BC=2BI=4asin
β
(5)
T (3) và (5) ừ
⇒
2a
2
.cos
α
= 4asin
β


⇒

cos
α
=
2 sin
β
.
Bài 7:
Cho t di n ABCD có ba m t ABC,ACD,ADB vuông t i A.M là m t đi m ứ ệ ặ ạ ộ ể ở
trong tam giác BCD.G i ọ
α
,
β
,
γ
l n l t là góc gi a AM và các m t ph ngầ ượ ữ ặ ẳ
(ABC),(ACD),(ADB).
CMR:
2 2 2
sin sin sin 1
α β λ
+ + =
.
H ng d n gi i:ướ ẫ ả
T M d ng các đo n vuông góc MH,MK,ML t M đ n các m t ph ng (ABC),(ACD),ừ ự ạ ừ ế ặ ẳ
(ADB) theo th t .ứ ự
Ta có:
/( )
/( D)
/( )
ABC

AC
ABD
AH hcAM
AK hcAM
AL hcAM
=
=
=
⇒
·
·
·
α = β = λ =MAH, MAK, MAL
Các tam giác vuông MAH,MAK,MAL cho:
sin ,sin ,sin
MA MK ML
AM AM AM
α β λ
= = =
⇒
2 2 2
2 2 2
2
sin sin sin
MH MK ML
AM
α β λ
+ +
+ + =
L n l t d ng các đo ng vuông góc HJ,HI t H đ n AB,AC thì AJHI là hình ch nh t.ầ ượ ự ạ ừ ế ữ ậ

M t khác, ta có HIặ
⊥
AC
Mà HI
⊥
AD (AD
⊥
(ABC))
Do đó HI
⊥
(ACD)
⇒
HI là kho ng cách T I đ n (ACD)ả ừ ế
⇒
HI = MK (MK//AD
⇒
MH // (ACD) )
T ng t : HJ = MLươ ự
T đó ừ
2 2 2
2 2 2
2
sin sin sin
MH MK ML
AM
α β λ
+ +
+ + =

2 2 2

2
MH HI HJ
AM
+ +
=
10
x
y
D
B
C
A
M
N
S

2 2
2
1
MH AH
AM
+
= =
(
AMH∆
vuông).
II.GÓC GI A HAI M T PH NG:Ữ Ặ Ẳ
Bài 8:
Cho hình vuông ABCD c nh a, trong mp(P).Hai đi m M,N di đ ng trên CB vàạ ể ộ
CD, Đ t CM=x,CN=y.Trên đ ng th ng At vuông góc v i (P) l y đi m S.Tìmặ ườ ẳ ớ ấ ể

liên h gi a x,y đ ệ ữ ể
a) (SAM) và (SAN) t o nhau góc ạ
45
o
b) (SAM)
⊥
(SMN).
H ng d n gi i:ướ ẫ ả
a) Do SA
⊥
(ABCD) nên SA
⊥
AM và
SA
⊥
AN.
Suy ra
·
MAN
là góc gi a hai m t ph ng (SAM) và (SAN).ữ ặ ẳ

⇒
·
45MAN =
o
.
Ta có
·
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2

. . os
( ) ( ) 2( ( ) )( ( ) ).
MN MA AN MA NA c MAN
MN a a x a a y a a x a a y
= + −
= + − + + − − + − + −
Mà MN
2
=
2 2
x y+
nên
11
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 3 2
x 4 2ax 2a 2( ( ) )( ( ) )
2( ( ) )( ( ) ) 4 2ax 2a .
4a ( ) 4 2ax ( ).
y a x y y a a x a a y
a a x a a y a y
x y x y a y x y
+ = + + − − − + − + −
⇔ + − + − = − −
⇔ + + = + +
b) Do (SAM)
⊥
(SMN) và MN
⊥
SA

⇒
MN
⊥
(SMA)
⇒
MN
⊥
AM.
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2
( ) ( )
2a 2a 2a 2ax 2x
( ).
AN AM MN
a a y a a x x y
y y y
x a x y
⇒ = +
⇒ + − = + − + +
⇒ − + = − + +
⇒ = −
V y đ (SAM) ậ ể
⊥
(SMN) thì
2
( )x a x y= −
(x>y).
Bài 9:

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân với AB =
AC = a, góc
·
o
BAC 120=
, cạnh bên BB' = a. Gọi I là trung điểm CC'.
Chứng minh
∆
AB'I vuông tại A và tính cosin của góc giữa hai mặt
phẳng (ABC) và (AB'I).
H ng d n gi i:ướ ẫ ả
Cách 1 :
Gọi H là trung điểm
BC AH BC.⇒ ⊥
∆
ABH là nửa tam giác đều cạnh AB = a ⇒
a
AH
2
=
và
a 3
BH BC a 3
2
= ⇒ =
/ /
IB C∆
vuông có:
2 2
/2 /2 / /2 2

a 13a
IB IC B C 3a
4 4
= + = + =
∆
AIC vuông có:
2 2
2 2 2 2
a 5a
AI IC AC a
4 4
= + = + =
Ta có:
2 2
2 /2 2 /2
5a 13a
AI AB 2a IB
4 4
+ = + = =

(AB
/
là đường chéo của hình vuông AA
/
B
/
B cạnh a)
Vậy,
∆
AB

/
I vuông tại A.
Ta có:
/
2
/
AB I
1 1 a 5 a 10
S .AI.AB . .a 2
2 2 2 4
= = =
2
ABC
1 1 a a 3
S .AH.BC . .a 3
2 2 2 4
= = =
12
A
/
B
/
C
/
A
B
C
30
o
H

I
Gọi
α
là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB
/
I), theo công thức chiếu, ta
có:
/
2 2
ABC
AB I
S a 3 a 10 30
cos :
S 4 4 10
α = = =
Cách 2 :
Gọi H là trung điểm BC ⇒
AH BC⊥
∆
ABH là nửa tam giác đều cạnh AB = a
a
AH
2
⇒ =
và
a 3
BH BC a 3
2
= ⇒ =
Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az

đôi một vuông góc,
A(0; 0; 0),
/
/ /
a 3 a a 3 a
B ; ; 0 , C ; ; 0 , A (0; 0; a),
2 2 2 2
a 3 a a 3 a a 3 a a
B ; ; a ,C ; ; a , I ; ;
2 2 2 2 2 2 2
   
−
 ÷  ÷
   
     
− −
 ÷  ÷  ÷
     
/
a 3 a a 3 a a
AB ; ; a , AI ; ;
2 2 2 2 2
   
= = −
 ÷  ÷
   
uuur uur
Ta có:
2 2 2
/

a 3 a 3 a a a 3a a 2a
AB .AI . . a. 0
2 2 2 2 2 4 4 4
 
= − + + = − + + =
 ÷
 
uuur uur
/
AB AI.⇒ ⊥
uuur uur
Vậy,
∆
AB
/
I vuông tại A.
* Phương trình mp(ABC): z = 0 có pháp vectơ
1
n (0; 0;1)=
r
* mp (AB
/
I) có cặp vectơ chỉ phương
/
AB , AI
uuur uur
, nên có pháp vectơ:
2 2 2 2 2
/
2

a 3a 3 2a 3 a a
[AB ; AI] ; ; (1; 3 3; 2 3) .n
4 4 4 4 4
 
= − − = − − = −
 ÷
 
uuur uur
r

với
2
n (1; 3 3; 2 3)= −
r
.
Gọi
α
là góc giữa (ABC) và (AB
/
I), ta có:
0 0 2 3
2 3 30
cos .
10
0 0 1. 1 27 12 40
+ −
α = = =
+ + + +
Bài 10:
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vng t i B, có AB = a, ạ

·
BAC
α
=
,
( )SA ABC⊥
, SA = a, góc gi a hai m t ph ng (SAC) và (SBC) là β.ữ ặ ẳ
13
60
o
B
/
A
/
C
/
z
a
B
C
A
H
I
y
z
A
C
B
S
H

K
I
A
B
D
C
H
S
E
P
Q
a) Ch ng minh ứ
2
2
1 os
tan .tan
os
c
c
α
α β
α
+
=
.
b) Tam giác ABC th a mãn đi u gì đ ỏ ề ể
0
60
β
=

.
H ng d n gi i:ướ ẫ ả
Qua A h ạ
,AH SB AK SC⊥ ⊥
.
DO
( )SA ABC⊥
và
( )BC AB BC SAB⊥ => ⊥
=>
( )BC AH AH SBC AH SC⊥ => ⊥ => ⊥
( )SC AHK SC KH=> ⊥ => ⊥
¼
AKH
β
=> =
(do
¼
AKH
<
0
90
)
Ta có
tan tan . .
BC AH AH BC
AB HK AB HK
α β
= =
.

Do
~
AH SH
ABH SAH
AB SA
=> =# #
.
~
BC SC
SHK SCB
HK SH
=> =# #
Ta có
tan tan .
SH SC SC
SA SH SA
α β
= =
.
Mà
2
1 os
os os
a a c
AC SC
c c
α
α α
+
= => =

2 2 2
2
1 os 1 os 1 os
tan tan
os os os
SC c c c
SA c c c
α α α
α β
α α α
+ + +
=> = => = =
b) Do
0
60
β
=
nên
tan tan 3 tan
α β α
=
Theo câu a)
2
2
2 2
1 os 1
3 tan 1 tan 2
os os
c
c c

α
α α
α α
+
=> = = + = +
2 2 2
tan 2 3tan tan 1 tan 1
α α α α
=> + = => = => = ±
Do
0 90
o o
α
< <
tan 1 45
o
α α
=> = => =
V y tam giác ABC vuông cân t i B.ậ ạ
Bài 11:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là n a l c giác đ u n i ti p đ ng trònữ ụ ề ộ ế ườ
đ ng kính AB = 2a, SA vuông góc v i m t ph ng (ABCD) và ườ ớ ặ ẳ
3SA a=
.
a) Tính góc gi a (SAD) và (SBC)ữ
b) Tính góc gi a (SBC) và (SCD)ữ
H ng d n gi i:ướ ẫ ả
14
a) G i ọ
I AD BC= ∩

=>SI là giao tuy n c a (SAD) và (SBC)ế ủ
Ta có :
( )
BD AD
BD SAD BD SI
BD SA
⊥

=> ⊥ => ⊥

⊥

D ng ự
DE SI
⊥
t i E.ạ
=>
( )BDE SI⊥
Suy ra
·
BED
là góc gi a (SAD) và (SBC).ữ
M c khác ặ
AIB#
là tam giác đ u (do ề
·
·
60
o
IAB IBA= =

)
Nên AI = AB = 2a
2 2 2 2
7SI SA AI a= + =
=>
7SI a=
~SAI DEI# #
(do 2 tam giác vuông có góc nh n I chung)ọ
=>
1
7 7
DE DI a
SA SI
a
= = =
=>
3
7 7
SA a
DE = =
Ta có
( )BD SAD⊥
nên
BD DE⊥
.
Trong
BDE#
, ta có :
3
tan 7

3
7
BD a
BED
BE
a
= = =
=>
·
arctan 7BED =
.
V y ậ
·
(( ,( )) arctan 7SAD SBC =
.
b) D ng ự
AP SH⊥
t i P, khi đó ta cũng có ạ
AP CD⊥
( do
( )CD SAH⊥
)
Nên
( )AP SCD⊥
.
T ng t d ng ươ ự ự
AQ SC⊥
t i Q thì ạ
( )AQ SBC⊥
15

O
B
A
C
I
H
Do đó
·
·
(( ),( ))PAQ SBC SCD=
Xét
#
vuông SAH, ta có :

2 2 2 2
1 1 1 5
AS 3AP AH a
= + =
=>
3
5
AP a=
.
#
SAC có
SA AC
⊥
, SA = SC =
3a
nên

#
SAC vuông cân t i Aạ
=>
1 2 6
2 2 2
a
AQ SC SA= = =
AP
⊥
(SCD) nên AP
⊥
PQ.
Trong
#
vuông APQ, ta có:
cosPAQ =
3
10
5
5
6
2
a
a
=
Suy ra :
·
10
arccos
5

PAQ =
V y ậ
·
10
(( ),( )) arccos
5
SBC SCD =
.
Bài 12:
Cho t di n OABC có OA, OB, OC đôi m t vuông góc. Bi t OA = a, OB = b, OCứ ệ ộ ế
= c và kho ng cách t O đ n m t ph ng (ABC) = h. G i α, β, γ là các góc t oả ừ ế ặ ẳ ọ ạ
b i (ABC) v i cái m t ph ng (OAB), (OBC), (OCA). Ch ng minh r ng :ở ớ ặ ẳ ứ ằ
a)
2 2 2
os os os 1c c c
α β γ
+ + =
.
b)
os +cos +cos 3c
α β γ
≤
.
H ng d n gi i:ướ ẫ ả
a) K ẻ
( )OH ABC⊥
t i H. Kéo dài ạ
{ }
CH AB I∩ =
Ta có :

( )
OC OA
OC OAB OC AB
OC OB
⊥

=> ⊥ => ⊥

⊥

(1)
L i có : ạ
( )OH ABC OH AB⊥ => ⊥
(2)
T (1),(2) =>ừ
( )AB OCI⊥
=>
AB CI⊥
và
AB OI⊥
(3)
OCI#
vuông O, đ ng cao OH, ta có:ườ
16
I
A
C
B
D
J

2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
OH OI OC OA OB OC
= + = + +
HAY :
2 2 2 2
1 1 1 1
h a b c
= + +
.
T (3), ta có: ừ
·
·
CIO COH
α
= =
(c nh t/ vuông góc).ạ ư
=>
OH
os osCOH=
OC
h
c c
c
α
= =
.
T ng t : ươ ự
h
os , os =

b
h
c c
a
β γ
=
.
=>
2 2 2 2
2 2 2
1 1 1
os os os 1c c c h
a b c
α β γ
 
+ + = + + =
 ÷
 
.
b) Áp d ng b t đ ng th c Bunhicopski,ta có:ụ ấ ẳ ứ
( )
( )
2
2 2 2
os +cos +cos 3 os os os =3c c c c
α β γ α β γ
≤ + +
V y ậ
os +cos +cos 3c
α β γ

≤
.(đpcm)
Bài 13:
Cho t di n ABCD có DAứ ệ
⊥
(ABC), tam giác ABC vuông t i B, ạ
·
45
o
BDC =
. G iọ
·
ADB
α
=
. Xác đ nh α đ góc gi a 2 m t ph ng (ADC) và (BDC) b ng ị ể ữ ặ ẳ ằ
60
o
.
H ng d n gi i:ướ ẫ ả
D ng ự
BI AC⊥
.
Ta có :
( ( ))BI DA DA ABC⊥ ⊥
=>
( )
BI DAC⊥
=>
BI DC

⊥
D ng ự
( IJ)BJ DC DC B⊥ => ⊥
V y ậ
( )
·
·
( ),( )ADC BDC BJI=
.
17
H
C
B
A
I
Ta có
#
BJI vuông t i I (ạ
( )
BI DAC⊥
).
Theo đ bài ề
·
60
o
BJI =
nên
#
BJI là n a tam giác đ u.ử ề
Suy ra

2 2
3 1 4
2 3
BI BJ
BI BJ
= => =
M t khácặ
#
DBC vuông t i B và ạ
·
45
o
BDC =
=>
#
DBC vuông cân t i B=>BD = BCạ
Ta có:
AB AB
Sin AB BC sin
BD BC
α α
= = => = =
H n n a trong ơ ữ
#
ABC vuông t i B, ta có :ạ
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
1
BI AB BC BC sin
α

 
= + = +
 ÷
 
Trong
#
DJB vuông t i J có ạ
·
45
o
JDB =
nên
DJB#
vuông cân t i J, do đó:ạ
2 2 2
1 2 2
2DB BJ
BJ DB BC
= => = =
=>
2 2 2
1 1 4 2
1 .
3BC sin BC
α
 
+ =
 ÷
 
2

1 8 15
1
3 5
sin
sin
α
α
 
=> + = => =
 ÷
 
V y ậ
15
arcsin
5
α
=> =
.
Bài 14:
Cho
#
ABC vuông t i A có BC là c nh huy n thu c m t ph ng (P). G i β,γ l nạ ạ ề ộ ặ ẳ ọ ầ
l t là góc h p b i 2 đ ng th ng AB,AC v i m t ph ng (P). G i α là góc h pượ ợ ở ườ ẳ ớ ặ ẳ ọ ợ
b i m t ph ng(ABC) v i m t ph ng (P).Ch ng mình r ng:ở ặ ẳ ớ ặ ẳ ứ ằ

2 2 2
Sin Sin Sin
α β γ
= +
.

H ng d n gi i:ướ ẫ ả
K ẻ
( )AH P⊥
·
·
,ABH ACH
β γ
=> = =
K ẻ
HI BC⊥
Mà
HI AH⊥
=>
AI BC
⊥
( đ nh lí 3 đ ng vuông góc)ị ườ
=>
·
AIH
α
=
Trong
#
ABC vuông t i A, ta có:ạ
2 2 2
1 1 1
IA AB AC
= +
2 2 2
2 2 2

AH AH AH
IA AB AC
=> = +
V y ậ
2 2 2
Sin Sin Sin
α β γ
= +
.
18
I
K
B
A
S
D
C
H
A
C
B
S
Bài 15:
Cho hình chóp S.ABCD có dáy là hình thang vuông t i A,B v iạ ớ
AB=BC=a,AD=2a,SA
⊥
(ABCD) và SA=a
2
.G i I là trung đi m c a SC.ọ ể ủ
a) Ch ng minh AIứ

⊥
(SCD).
b) Tính góc
α
gi a hai mp (ABCD) và (SCD), góc ữ
β
gi a hai mp (SAB) vàữ
(SCD).
H ng d n gi i:ướ ẫ ả
a) SA
⊥
(ABCD)
⇒
SA
⊥
AC,SA=AC= a
2
.
Tam giác SAC vuông cân t i A nên AI ạ
⊥
SC.
G i K là trung đi m c a AD, ọ ể ủ
t giác ABCK là hình vuông nên:ứ
CK=KA=KD=a
⇒
tam giác ACD vuông t i Cạ
⇒
CD
⊥
AC. Mà CD

⊥
AS, do SA
⊥
(ABCD) nên:
CD
⊥
(SAC)
⇒
CD
⊥
AI.
Ta có: AI
⊥
SC và CD
⇒
AI
⊥
(SCD).
b) Ta có giao tuy n c a (ABCD) và (SCD) là CD.ế ủ
Theo câu a), CD
⊥
(SAC) nên CD
⊥
AC và CD
⊥
SC.
Do đó góc gi a (ABCD) và (SCD) là ữ
α
=
·

SCA
.
Mà tam giác SAC vuông cân t i A nênạ
α
=
45
o
.
Ta có AD
⊥
AB và SA,nên AD
⊥
(SAB).
Theo cmt, AI
⊥
(SCD).V y góc gi a (SAB) và (SCD) là ậ ữ
β
=góc (AI,AD).
Vì AI
⊥
(SDC) nên AI
⊥
ID.Tam giác AID vuông t i I và ạ
·
cosIAD
=
AI
AD

v i AD=2a,AI=ớ

SC
2
=
1
AC 2
2
=a.V y ậ
·
cosIAD
=
1
2

⇒
β
=
60
o
.
Bài 16:
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân t i B và BA=BC=a, SA vuôngạ
góc v i đáy ,SA=a.Tính góc ớ
α
gi a hai m t ph ng (SAC) và (SBC).ữ ặ ẳ
H ng d n gi i:ướ ẫ ả
19
O
C'
H
A

C
B
A'
I
G i H là trung đi m c a AC, ta có BHọ ể ủ
⊥
AC
Ta có BH
⊥
SA vì SA
⊥
(ABC), nên BH
⊥
(SAC).
Ta cũng có tam giác SHC là hình chi u c a tam giác SBC lên (SAC).ế ủ
V y ậ
αcos
=
SHC
SBC
S
S
SHC
S
=
1
2
SA.HC=
1
2

a.
a 2
2
=
2
a 2
4
.
Vì BC
⊥
AB và BC
⊥
SA nên tam giác SBC vuông t i B.ạ
Ta có :
SBC
S
=
1
2
SB.BC=
1
2
AB
2
.BC=
2
a 2
2
.
V y ậ

αcos
=
SHC
SBC
S
S
=
1
2

⇒
α
=
60
o
.
Câu 17:
Cho tam giác đ u ABC c nh a. D ng hai đo n AA’,CC cùng vuông góc v iề ạ ự ạ ớ
(ABC) và n m cùng phía đ i v i (ABC), AA = CC ’= a. Tính góc gi a hai mpằ ố ớ ữ
(A’BC) và (C’BA).
H ng d n gi i:ướ ẫ ả
G i O là giao đi m c a AC’ và CA’; H là trung đi m c a AC.ọ ể ủ ể ủ
Ta có: AC
⊥
OB.H HIạ
⊥
OB, suy ra OB
⊥
(ACI) và góc gi a (A’BC) và (C’BA) là gócữ
gi a IA và IC.ữ

Ta có: OH//AA’
⇒
OH
⊥
(ABC)
⇒
OH
⊥
BH.
2 2 2 2
1 1 1 16 3
3a 4
a
HI
HI HB HO
= + = ⇒ =
.
· ·
·
·
= = > ⇒ >
⇒ = ⇒ = π −
o
AH 2
tanAIH 1 AIH 45
IH
3
2 2
AIH arctan AIC 2arctan .
3 3

Bài 18:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD c nh a, Sa vuông góc v i mpạ ớ
đáy và SA=x. Tính x đ hai mp (SBC) và (SDC) t o v i nhau gócể ạ ớ
60
o
.
H ng d n gi i:ướ ẫ ả
20
D
B
C
A
S
M
N
D
B
C
A
S
N
M
H AMạ
⊥
SB,ta ch ng minh đ c AMứ ượ
⊥
(SBC).
T ng t h ANươ ự ạ
⊥
SD, ta có AN

⊥
(SCD) và AM=AN.
Suy ra: góc[(SBC),(SCD)]=
60
o
⇔
góc (AM,AN)=
60
o
⇔
tam giác AMN đ u ề
⇔
MN=AM.
Ta tính đ c AM=ượ
2 2
ax
a x+
,
2
2 2 2
.
D
MN SM SM SB x
B SB SB a x
= = =
+
2.MN a⇒ =
2 2
ax
a x+

.
V y MN=AMậ
⇔
x=a.
Bài 19:
Cho hình chóp S.ABCD có hai mp (SBC) và (SAD) cùng vuông góc v iớ
mp(ABCD), đáy ABCD là hình vuông. G i M, N l n l t là hai đi m di đ ngọ ầ ượ ể ộ
trên BA,BC sao cho
. , .BM k BC BN k BA= =
uuuur uuur uuur uuur
, xác đ nh k đ (SDN) ị ể
⊥
(SAM).
H ng d n gi i:ướ ẫ ả
Ta có
(SAB)
⊥
(ABCD)
(SAD)
⊥
(ABCD)
⇒
SA
⊥
(ABCD)
⇒
(SAM)
⊥
(ABCD) ,
(ABCD)

∩
(SDN)=DN
Do đó
(SAM)
⊥
(SDN) (SA
⊥
DM)
. 0
AM DM
AM DN
⇔ ⊥
⇔ =
uuuuruuur
(*)
Đ t ặ
, ,BA a BC c AM m= = =
uuur r uuur r
.
Ta có
.AM AB BM a k c= + = − +
uuuur uuur uuuur r r
và
( 1)DN DA AN DA BN BA c k a= + = + − = − + −
uuur uuur uuur uuur uuur uuur r r
(*)
⇔
(
.a k c− +
r r

)(
( 1).c k a− + −
r r
)=0
4 2
(1 ) 0k a km⇔ − − =


⇔
k=
1
2
.(
a
r
.
c
r
=0,
2 2
2
.a c m=
r r
).
V y khi k=ậ
1
2
thì (SAM)
⊥
(SDN).

Bài 20:
21
C'
D'
B'
D
B
C
A
A'
Cho t di n ABCD có các c p c nh đ i b ng nhau.G i ứ ệ ặ ạ ố ằ ọ
, ,
α β λ
l n l t là sầ ượ ố
đo c a các góc gi a mp(ABC) v i các mp (DBC),(DCA),(DAB).Ch ng minh:ủ ữ ớ ứ
a)
1
os . os . os
27
c c c
α β λ
≤
b)
2 2 2
1
os os os
3
c c c
α β λ
+ + ≥

.
H ng d n gi i:ướ ẫ ả
a) G i H là hình chi u c a D trên (ABC). Qua A,B,C d ng các đ ng th ng songọ ế ủ ự ườ ẳ
song v i các c nh c a tam giác ABC thì ta đ c m t t di n DMNP có cácớ ạ ủ ượ ộ ứ ệ
c nh MD,DN,DP vuông góc v i nhau t ng đôi m t, do đó H n m trên mi nạ ớ ừ ộ ằ ề
trong tam giác MNP.
Đ t S=ặ
DAB DBC DAC ABC
S S S S= = =
* N u H ế
∈
ABCV
thì

D
os ,
os
os
CB
CAH
ABH
S Sc
S Sc
S Sc
α
β
λ
=
=
=

.
Do đó:
ABC
S S=
=
DCB
S
+
CAH
S
+
ABH
S
=S(
osc
α
+
osc
β
+
osc
λ
).
⇒
osc
α
+
osc
β
+

osc
λ
=1
Áp d ng BĐT Cauchy cho 3 s không âm ta đ c ụ ố ượ
1
os . os . os
27
c c c
α β λ
≤
.
* N u Hế
∉
ABCV
thì H thu c m t trong ba tam giác ABM,BCN,CAP.ộ ộ
Khi đó m t trong các góc ộ
, ,
α β λ
tù
⇒

osc
α
,
osc
β
,
osc
λ
có 1 giá tr âm,2 giá tr d ng nên ta cũng thu đ c k t quị ị ươ ượ ế ả

trên.
b) Áp dung BĐT B.C.S:
2 2 2
os os osc c c
α β λ
+ +
2
( os os os ) 1
3 3
c c c
α β γ
+ +
≥ =
.
Bài 21:
Cho hình h p ch nh t ABCD.A’B’C’D’. G i ộ ữ ậ ọ
, ,
α β λ
l n l t là các góc gi aầ ượ ữ
mp (ACB’) v i các m t (BCB’),(ABC) và (BAB’).Ch ng minh:ớ ặ ứ
a)
os . osc c
α β
+
os . osc c
λ β
+
os . osc c
α λ

1≤
.
b) N u BD’ ế
⊥
(ACB’) thì hình h p đã cho là hình l p ph ng.ộ ậ ươ
H ng d n gi i:ướ ẫ ả
22
x
z
y
I
O
A
B
C
a) Ta cm đ c :ượ
osc
α
+
osc
β
+
osc
λ
=1
Áp dung B.C.S
⇒
đpcm.
b) BD’
⊥

(ACB’)
⇒
BD’
⊥
AC, ta l i có ACạ
⊥
BB’,AC
⊥
BD’,
do đó AC
⊥
(BB’D’D)
⇒
AC
⊥
BD nên ABCD là hình vuông
⇒
AB=BC
Cm t ng t ta có BC=BB’ươ ự
Suy ra hình h p đã cho là hình l p ph ng.ộ ậ ươ
Bài 22:
Cho ba tia Ox,Oy,Oz không cùng n m trên m t m t ph ng th a đi u ki n:ằ ộ ặ ẳ ỏ ề ệ
·
xOy
=
o
90
,
·
·

= =
o
xOz yOz 60
.Tìm s đo c a góc gi a hai m t ph ng (xOz) vàố ủ ữ ặ ẳ
(yOz).
H ng d n gi i:ướ ẫ ả
Trên Ox, Oy l y A,B sao cho OA=OB=a.ấ
V ACẽ
⊥
Oz, ta có hai tam giác OAC và OBC b ng nhau (vì OA=OB,OC chung,ằ
·
·
= =
o
AOC BOC 60
).
⇒
BC
⊥
Oz.
Do đó
α
=(CA,CB) là góc t o b i hai m t ph ng (xOz) và (yOz).ạ ở ặ ẳ
Trong tam giác ABC:
·
·
2 2 2
2 2 2
2A . . os
os

2A .
AB AB BC C BC c AOB
AB BC AB
c AOB
C BC
= + −
+ −
⇔ =
23
z
x
y
O
A
C
B
V i AB=ớ
3
2,
2
a
a AC BC= =
⇒
·
osc AOB =
1
3
−
.
V y góc gi a hai mp (xOz) và (yOz) có s đo là ậ ữ ố

α
xác đ nh b i ị ở
1
os
3
c
α
=
hay
α
=acrcos
1
3
.
Bài 23:
Cho 3 tia Ox, Oy, Oz không cùng n m trong 1 m t ph ng th aằ ặ ẳ ỏ
·
·
·
90 , 60
o o
xOy xOz yOz= = =
.Tính góc t o b i (xOz) và (yOz).ạ ở
H ng d n gi i: ướ ẫ ả
G i α là góc t o b i (xOz) và (yOz).ọ ạ ở
L y ấ
Ox,B OyA∈ ∈
sao cho OA = OB = a.
D ng ự
AC Oz⊥

.
Ta có :
OAC OBC
=
# #
( OA = OB, OC c nh chung, ạ

·
·
60
o
AOC BOC= =
)
=>
BC Oz⊥
.
V y ậ
·
ACB
α
=
.
Xét
ABC#
, ta có :
2 2 2
2 .AB AC BC AC BCCOS
α
= + −
2 2 2

os =
2 .
AC BC AB
c
AC BC
α
+ −
⇔
V i ớ
2 2
2AB OB OA a= + =
(
#
OAB vuông t i O)ạ
3
sin 60
2
o
a
AC BC OB= = =
(
#
OBC vuông t i C)ạ
24
x
y
C
1
A
C

B
A'
C'
-1
os =
3
c
α
=>
-1
=arccos
3
α
 
=>
 ÷
 
.
V y ậ
( ) ( )
( )
·
-1
xOz , =arccos
3
yOz
 
 ÷
 
.

Bài 24:
Cho tam giác ABC vuông t i B, AB=2a, BC=a. Trên 2 tia Ax,Cy vuông góc v iạ ớ
mp(ABC) và cùng phía đ i v i (ABC), l n l t l y 2 đi m A’ và C’ sao choở ố ớ ầ ượ ấ ể
AA’=2a, CC’=x.
a) Xác đ nh x sao choị
·
' ' 90A BC =
o
.
b) Xác đ nh x sao choị
·
' 90BA C =
o
.
c) Cho x=4a. Tính
osc
ϕ
v iớ
ϕ
là góc gi a 2 mp(ABC) và (A’BC’)ữ
H ng d n gi i:ướ ẫ ả
a) Trên Cy l y Cấ
1
sao cho CC
1
=2a
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1

' ' 8a
' '
' ' ' ' 5a (2a ) 4ax 9a
A B A A AB
BC BC CC a x
A C A C C C x x
= + =
= + = +
= + = + − = − +
·
2 2 2
2 2 2 2 2
' ' 90
' ' ' '
4 9 8
0
A BC
BC A B A C
x ax a a a x
x
=
⇔ = +
⇔ − + = + +
⇔ =
o
b)
·
2 2 2
' 90 ' ' ' 'BA C BC A B A C= ⇔ = +
o

2 2 2 2 2
2
8 4 9
4 16 4
a x a x ax a
ax a x a
⇔ + = + − +
⇔ = ⇔ =
c)
4ax
=
, khi đó:
2 2 2 2 2 2
1 1
2
' '
2
2
' '
' ' ' ' 5 4 9 ' ' 3
1 1
' . ' ' .2 . 2.3 3 2
2 2
1 2
cos
6
3 2 3 2
A BC
ABC

A BC
A C C C C C a a a A C a
S A B A C a a a
S
a
S
a
ϕ
+ + = + = ⇒ =
= = =
= = = =
25