mot so dang toan ve lien quan gtln gtnn trong khong gian oxyz mot so dang toan lien quan den gtlggtnn trong khong gian oxyzy
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (464.92 KB, 19 trang )
Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ LIÊN QUAN GTLN- GTNN
TRONG KHƠNG GIAN OXYZ
Dạng 1: Trong khơng gian Oxyz cho các điểm A1; A2; A3;…; An.Xét ve tơ:
w k1 MA1 k2 MA2 k3 MA3 ... kn MAn và mp(P): ax + by + cz = d = 0
Trong đó k1; k2; k3;...; kn R vàk1 k2 k3 ... kn 0 . Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao
cho w nhỏ nhất.
PP:
+Gọi G là điểm thỏa mãn: k1GA1 k2 GA2 k3 GA3 ... kn GAn 0 . Xác định điểm G
+Ta có: MAk MG GAk với i =1, 2, 3,…,n
i
i
w (k1 k2 k3 ... kn ) MG k1GA1 k2 GA2 k3 GA3 ... kn GAn
+ w = (k1 k2 k3 ... kn ) MG.
w k1 k2 k3 ... kn MG .
+Vì k1 k2 k3 ... kn là hằng số khác khơng nên w có giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi
MG nhỏ nhất, mà M (P) nê
n M=hc( P)G
Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz cho các điểm A(1; 0; -1); B(2; -2; 1); C(0; -1; 0) và mặt
phẳng (P): x – 2y + 2z + 6 = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho:
2MA 4MB 3MC đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:
Gọi G(xG; yG; zG) là điểm thỏa mãn: 2GA 4GB 3GC 0 G(6;5; 6)
Ta có: 2MA 4MB 3MC MG 2GA 4GB 3GC MG
2MA 4MB 3MC
MG
min
min
M hc( P)G
Gọi (d) làđườ
ng thẳ
ng đi qua G vàvuô
ng gó
c vớ
i mp(P) vtcp u( d ) vtpt n( P) (1; 2;2)
x 6 y 5 z 6
x 6 y 5 z 6
Tọa độđiể
mM : 1
2
2
( d) :
1
2
2
x – 2y 2z 6 0
32
x 9
32 1 10
1
Vậ
y: M
; ;
y
9
9 9
9
10
z 9
Dạng 2: Trong khơng gian Oxyz cho các điểm A1; A2; A3;…; An. Xét biểu thức:
T k1MA12 k2 MA22 k3 MA32 ... kn MAN2
Trong đó k1; k1; k1;...; k1 R . Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho:
a) T có giá trị nhỏ nhất biết: k1 k2 k3 ... kn > 0
b) T có giá trị lớn nhất biết: k1 k2 k3 ... kn < 0
PP:
Người thực hiện:
Nguyễn Bá Tường
- Trang 1 -
Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
+Gọi G là điểm thỏa mãn: k1GA1 k2 GA2 k3 GA3 ... kn GAn 0 . Xác định điểm G
+Ta có: MAk MG GAk với i =1, 2, 3,…,n
i
MA MG GA
2
ki
ki
i
2
MG2 2MG.GA GA2
Do đó
: T= k1 k2 k3 ... kn MG2 k1GA12 k2GA22 k3GA32 ... knGAn2
Vì k1GA12 k2GA22 k3GA32 ... knGAn2 khô
ng đổ
i nê
n:
a)k1 k2 k3 ... kn 0; T đạt giátr ònhỏnhấ
t MG nhỏnhấ
t
b)k1 k2 k3 ... kn 0; T đạt giátròlớ
n nhấ
t MG nhỏnhấ
t
màM (P) nê
n MG nhỏnhấ
t M hc( P )G
Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz cho các điểm A(1; 4; 5); B(0; 3; 1); C(2; -1; 0) và mặt phẳng
(P): 3x - 3y -2z - 15 = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho:
a) MA2 + MB2 + MC2 có giá trị nhỏ nhất
b) MA2 + 2MB2 – 4 MC2 có giá trị lớn nhất.
Giải:
a) Gọi G(xG; yG; zG) là điểm thỏa mãn: GA GB GC 0 G(1;2;2)
Ta có: MA2 MB2 MC2 3MG2 GA2 GB2 GC2
MA2 MB2 MC2 MG nhỏnhấ
t M hc( P)G M (4; 1; 0)
min
b) Gọi G(xG; yG; zG) là điểm thỏa mãn:
GA 2GB 4GC 0 G(7; 14; 7)
Ta có: MA2 2MB2 4 MC2 MG2 GA2 2GB2 4GC2
MA2 2MB2 4 MC2 MG nhỏnhấ
t M hc( P)G
m ã
16 61 15
M
;
;
11 11 11
Dạng 3: Trong khơng gian Oxyz cho các điểm A(xA;yA;zA), B(xB;yB;zB) và mp
(P):ax + by + cz + d =0. Tìm điểm M thuộc mp(P) sao cho:
a)MA + MB nhỏ nhất
b) MA MB lớn nhất với d( A,(P)) d( A,(P))
PP:
- Xét vị trí các điểm A,B so với mp(P).
+ Nếu (axA + byA + czA + d )( axB + byB + czB + d) > 0 thì hai điểm A, B cùng
phía với mp(P).
+ Nếu (axA + byA + czA + d )( axB + byB + czB + d) < 0 thì hai điểm A, B khác
phía với mp(P).
a)MA + MB nhỏ nhất
Dựa vào bất đẳng thức tam giác MA + MB AB dấu đẳng thức xãy ra
A, M, B thẳng hàng và điểm M thuộc đoạn AB.
Trường hợp 1: Hai điểm A, B khác phía với mp(P).
Vì A, B khác phía với mp(P) nên min(MA+MB) = AB M AB (P)
Người thực hiện:
Nguyễn Bá Tường
- Trang 2 -
Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
Trường hợp 2: Hai điểm A, B cùng phía với mp(P).
Khi đó MA + MB AB vẫn đúng nhưng khơng có dấu đẳng thức.
- Gọi A’ =Đ(P)A khi đó A’ và B khác phía với mp(P) và MA’ = MA
nên MA + MB = MA’ + MB A' B ; min(MA + MB) = A’B M A' B (P)
b) MA MB lớn nhất
Dựa vào bất đẳng thức tam giác MA MB AB dấu đẳng thức xãy ra
A, M, B thẳng hàng và điểm M thuộc đường thẳng AB.
Trường hợp 1: Hai điểm A, B cùng phía với mp(P).
- Vì A, B cùng phía với mp(P) nên max MA MB = AB
M AB
(P)
Trường hợp 2: Hai điểm A, B khác phía với mp(P).
Khi đó MA MB AB vẫn đúng nhưng khơng có dấu đẳng thức.
- Gọi A’ =Đ(P)A khi đó A’ và B cùng phía với mp(P) và MA’ = MA
nên MA MB = MA ' MB A’B max MA MB = A’B M A' B (P)
Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz cho các điểm A(1; -1; 2); B(-2; 1; 0); C(2; 0; 1) và mặt
phẳng (P): 2x - y -z +3 = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho:
a) MA + MB có giá trị nhỏ nhất
b) MA MC có giá trị lớn nhất
c) MA + MC có giá trị nhỏ nhất
d) MA MB có giá trị lớn nhất.
Giải:
Đặt f(x;y;x) = 2x - y -z +3;
f(xA;yA;xA) = 4 > 0 ; f(xB;yB;xB) = -2 < 0; f(xC;yC;xC) = 5 > 0
Các điểm A, C nằm cùng phía với mm (P); A, B nằm khác phía với mp (P)
a) MA + MB có giá trị nhỏ nhất
Ta có MA + MB AB và A, B nằm khác phía với mp (P)
nên min(MA + MA) = AB M AB (P)
x 1 y 1 z 2
3
2
2
x 1
x 1 y 1 z 2
1
1 2
Tọa độđiể
m M 3
y điể
m M 1; ;
2
2 y Vậ
3
3 3
2x y z3 0
2
z
3
AB (3;2; 2) ( AB) :
b) MA MC có giá trị lớn nhất
Ta có MA MC AC và A, C nằm cùng phía với mp (P)
nên max( MA MC ) = AC M AC (P)
Người thực hiện:
Nguyễn Bá Tường
- Trang 3 -
Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
x 1 y 1 z 2
1
1
1
x 1
x 1 y 1 z 2
Tọa độđiể
mM 1
y điể
m M 1; 3; 4)
1
1 y 3 Vậ
2x y z3 0 z 4
AC (1;1; 1) ( AC) :
c) MA + MC có giá trị nhỏ nhất
Ta có MA + MC AC và A, C nằm cùng phía với mp (P)
Gọi H(x;y;z) = hc(P)A ; (d) là đường thẳng đi qua A vả vng góc với mp(P)
Ta cóu( d ) vtptn( P) (2; 1; 1) ( d) :
x 1 y 1 z 2
2
1
1
Ta cóH=hc( P) A H (d) ( P)
1
x
3
x 1 y 1 z 2
1 1 8
1
Tọa độđiể
m H: 2
H ; ;
1
1 y
3
3 3 3
2x y z3 0
8
z
3
5 1 10
Gọi A ' Đ( P ) A A ' ; ;
3 3 3
Ta có: MA + MC = MA’ + MC A’C vì A, C nằm cùng phía với mp (P) nên A’, C khác
phía với mp(P). nên min(MA + MC) = A’C M A' C ( P) .
11 1 7
x 2 y 1 z 1
; ; ) (A 'C) :
3 3 3
11
1
7
x 2 y 1 z 1
Tọa độđiể
m M 11
1
7
2x y z 3 0
A 'C (
1
x
5
1 1 12
1
y Vậ
y điể
mM ; ;
5
5 5 5
12
z 5
d) MA MB có giá trị lớn nhất
5 1 10
Gọi A' Đ( P) A A ' ; ; , vì A,B ở khác phía với mp(P) nên A’, B ở cùng
3 3 3
phía
Người thực hiện:
Nguyễn Bá Tường
- Trang 4 -
Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
Ta có
: MA MB MA ' MB A ' B nê
n max( MA MB ) A ' B
M ( A ' B) ( P)
1 2 10
x 2 y 1 z
Ta có: A ' B ; ;
( A ' B) :
1
2 10
3 3 3
7
x 3
x 2 y 1 z
7 5 10
5
Tọa độđiể
mM 1
Vậ
y điể
mM ; ;
2 10 y
3
3 3 3
2x y z3 0
10
z 3
Dạng 4: Trong khơng gian Oxyz cho các điểm: A, B, A1, A2, A3,…, An.và đường thẳng
x x 0 ta1
d : y y 0 ta2
z z ta
0
3
1)Xét w k1 MA1 k2 MA2 k3 MA3 ... kn MAn Trong đó
k1; k2; k3;...; kn R vàk1 k2 k3 ... kn 0 . Tìm điểm M thuộc đường thẳng (d) sao cho w
nhỏ nhất.
2)Xét biểu thức: T k1MA 12 k 2MA 22 ... k nMA 2n . Tìm điểm M thuộc đường thẳng (d) để
a)T có giá trị nhỏ nhất biết: k1 k2 k3 ... kn > 0
b)T có giá trị lớn nhất biết: k1 k2 k3 ... kn < 0
3) Tìm điểm M thuộc đường thẳng (d)để diện tích tam giác MAB nhỏ nhất(AB, (d) chéo
nhau)
PP:
Vì điểm M (d) M(x0 ta1;y0 ta2;z0 ta3 ) . Tính w , T, diện tích tam giác MAB ta được
một biểu thức theo t, bài tốn đưa về tình GTNN, GTLN của một biểu thức theo t.
Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz cho các điểm: A(1;4;2), B(-1;2;4) và đường thẳng
d : x11 y 1 2 2z . Tìm điểm M thuộc
đường thẳng (d) sao cho
a) w 3OM 2AM 4BM nhỏ nhất
b) T = MA2 + MB2 nhỏ nhất
c) Diện tích tam giác MAB nhỏ nhất.
Giải:
Người thực hiện:
Nguyễn Bá Tường
- Trang 5 -
Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
a)Vì M (d) M(1 t; 2 t;2t),t R
Ta có
: OM=(1 t; 2 t;2t); AM ( t; t 6;2t 2); BM (2 t; t 4;2t 4)
w 3OM 2AM 4BM (5 t; t 2;2t 12)
2
3 319
319
w 6t 54t 173 6 t
t R
2
2
2
2
min w
5 7
319
3
t
M ; ; 3
2
2
2 2
b)Ta có: MA=(-t;6-t;2-2t); MB=(t-2;4-t;4-2t)
2
T=MA 2 +MB 12t 2 48t 76 12(t 2)2 28 28, t R
minT 28 t 2 M(1;0;4)
c)Ta có
: AM=(-t;t-6;2t-2);AB=(-2;-2;2) AM,AB (6t 16; 4 2t; 4t 12)
2
S( MAB)
19 24
1
1
1
24
AM,AB
56t 304t 416
56 t
2
2
2
7
7
7
minS( MAB)
12 5 38
24
19
t
M
; ;
7
7
7
7 7
Dạng 5: Trong khơng gian với hệ Oxyz cho hai điểm A(xA;yA;zA), B(xB;yB;zB) và đường
x x 0 ta1
thẳng d : y y 0 ta2 . Tìm điểm M trên (d) sao cho
z z ta
0
3
a) MA + MB nhỏ nhất.
b) MA MB lớn nhất
PP:
M (d) M(x 0 ta1; y 0 ta2 ;z0 ta3 )
a)MA MB k (t a)2 m2 (t b)2 n2
Trong mp Oxy xé
t điể
m N(t;0) Ox, H(a;m); K(b;n) vớ
i m.n<0
HN (t a)2 m2 ;KN (t b)2 n2
MA MB k HN KN kHK; min(MA MB) HK
N,H,K thẳ
ng hà
ng
N Ox KH
H,
K
nằ
m
hai
phía
trụ
c
Ox
Người thực hiện:
Nguyễn Bá Tường
- Trang 6 -
Gia sư Thành Được
b) MA MB k
www.daythem.edu.vn
(t a)2 m2 (t b)2 n2
Trong mp Oxy xé
t điể
m N(t;0) Ox, H(a;m); K(b;n) vớ
i m.n>0(m n)
MA MB k HN KN kHK; max( MA MB ) HK
N,H,K thẳ
ng hà
ng
N Ox KH
H,K
nằ
m
cù
n
g
phía
trụ
c
Ox
VD1: Trong hệ Oxyz cho các điểm A(1; 5; 0); B(3; 3; 6) và đường thẳng
x 1 2t
(d) : y 1 t Tìm điểm M trên (d) Sao cho MA + MB nhỏ nhất.
z 2t
Giải:
M (d) M( 1 2t;1 t;2t)
20
20
MA MB 9t 2 20 9t 2 36t 56=3 t 2
(t 2)2
9
9
Trong mp Oxy chọn điể
m N(t;0) Ox; H(0;
20
20
);K(2;
)
3
3
20
20
(t 2)2
MA MB 3(HN KN) 3HK
9
9
H,N,K thẳ
ng hà
ng
min(MA MB) 3HK
N HK Ox
m hai phía trục Ox
vì H, K nằ
HN KN t 2
(HK) : 20x 3y 20 0 N(1; 0) N(t; 0) t 1
Vậ
y điể
m M(1;0;2)
VD2: Trong hệ Oxyz cho các điểm A(-1; -1; 0); B(5; 2; -3) và đường thẳng
x 1 t
(d) : y 2t
Tìm điểm M trên (d) Sao cho
z 1 t
MA MB lớn nhất.
Giải:
M (d) M(1 t;2t; 1 t)
MA MB
1
35
1
35
6t 2 2t 6 6t 2 4t 24 = 6 (t )2
(t )2
6
36
3
9
1 35
1 35
Trong mp Oxy chọn điể
m N(t;0) Ox; H( ;
); K( ;
)
6 6
3 3
1
35
1
35
HN KN (t )2
(t )2
MA MB 6( HN KN ) 6HK
6
36
3
9
Người thực hiện:
Nguyễn Bá Tường
- Trang 7 -
Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
H,N,K thẳ
ng hà
ng
max( MA MB ) 6HK
N HK
m cù
ng phía trục Ox
vì H, K nằ
2
2
(HK) : 6 35x 18y 4 35 0 N( ; 0) N(t; 0) t
3
3
1 4 1
Vậ
y điể
m M( ; ; )
3 3 3
Ox
Dạng 6: Trong khơng gian với hệ Oxyz Cho hai điểm phân biệt A và B. Viết phương trình
mặt phẳng (P) chứa B và cách A một khoảng lớn nhất.
PP:
Gọi H là hình chiếu của A lên (P),
khi đó tam giác ABH vng tại H
d A; P AH AB maxd A; P = AB H B
Khi đó (P) là mặt phẳng đi qua B và vng góc với AB
Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm B(1; 2; -1) và cách gốc toạ độ một khoảng
lớn nhất.
Giải:
Gọi H là hình chiếu của A trên mp(P) cần tìm, khi đó OH OB
d O; P OH OB maxd O; P = OB
Vậy mp(P) đi qua B(1; 2; -1) và nhận OB (1; 2; 1) làm véc tơ pháp tuyến.
mp(P) : 1(x – 1) + 2(y – 2) – 1(z + 1) = 0 x 2 y z 6 0
Dạng7: Trong khơng gian với hệ Oxyz cho điểm A(xA;yA;zA) và đường thẳng
x x 0 ta1
d : y y 0 ta2 .
z z ta
0
3
a) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A , song song với (d) và d( (d),(P)) lớn nhất.
b) Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) sao cho d (A, (P)) là lớn nhất
PP:
a) + Gọi H là hình chiếu của A trên (d),
+ mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d nên d (d,(P)) = d (H, (P)) = HI( Với I là hình chiếu
của H lên (P))
+ Ta có : HI AH = const HI lớn nhất khi A I. Khi đó (P) đi qua A và nhận
AH làm véc tơ pháp tuyến
b) + Gọi H là hình chiếu của A lên (d); K là hình chiếu của A lên mp(P)
+ Ta có: d (A,(P)) = AK AH (tính chất đường vng góc và đường xiên). Do đó
d(A,(P)) max AK = AH K H
+ Viết PT mp (P) đi qua H và nhận AH làm VTPT
Người thực hiện:
Nguyễn Bá Tường
- Trang 8 -
Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
VD: Trong khơng gian Oxyz cho A(10; 2; -1) và đường thẳng (d) có phương trình :
x 1 y z 1
2
1
3
a) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A , song song với (d) và d( (d),(P))
lớn nhất
b) Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) sao cho d (A, (P)) là lớn nhất
Giải:
a) + Gọi (Q) là mp đi qua A và vng góc (d) vtpt n(Q) vtcp u(d) (2;1;3)
(Q): 2x + y + 3z - 19 = 0; H = hc(d)A
x 3
x 1 y z 1
H (Q) (d); Tọa độđiể
mH 2
y 1 H(3;1; 4)
1
3
2x y 3z 19 0 z 4
+ Mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d nên d (d,(P)) = d (H, (P)) = HI( Với I là hình
chiếu của H lên (P))
+ Ta có : HI AH = const d (d,(P)) lớn nhất HI lớn nhất A I. Khi đó
(P) đi qua A và nhận AH làm véc tơ pháp tuyến. Ta có AH = (-7 ; -1 ; 5)
(P) : -7( x -10) - ( y - 2) + 5( z + 1) = 0
7x + y - 5z – 77 = 0
b)Gọi H là hình chiếu của A lên (d); K là hình chiếu của A lên mp(P).
Ta có: d (A,(P)) = AK AH (tính chất đường vng góc và đường xiên).
Do đó max d(A,(P))= AH K H; mp (P) đi qua H và nhận AH = (-7 ; -1 ; 5)
làm VTPT (P): 7x + y - 5z - 2 = 0
Dạng 8: Trong khơng gian với hệ Oxyz cho mp (Q); 2 đường thẳng (d) và (d’). Lập
phương trình mp(P) chứa (d) sao cho
a) Góc giữa mp(P) và mp(Q) nhỏ nhất ((d) khơng vng góc với mp(Q)).
b) Góc giữa mp(P) và (d’) lớn nhất ( (d) và (d’) chéo nhau)
PP:
a) Gọi phương trình mặt phẳng (P): ax + by + cz + d = 0 ( a 2 b 2 c 2 0 ) chứa (d)
Lấy M (d ) M (P) ta có một phương trình (1)
Vec tơ pháp tuyến của (P) :
n(P) (a; b; c) và véc tơ chỉ phương VTCP u(d) vng góc với
nhau ta có phương trình (2)
VTPT:
n(Q)
H = cos ( P , Q ) = cos(nP ,nQ ) (3)
1 2 3 H phương trình 2 ẩn
Góc giữa (P) và (Q) nhỏ nhất khi H max .
b) Gọi phương trình mặt phẳng (P): ax + by + cz + d = 0 ( a 2 b 2 c 2 0 ) chứa (d)
Lấy M (d ) M (P) ta có một phương trình (1)
Vec tơ pháp tuyến của (P) : n(P) (a; b; c) và véc tơ chỉ phương VTCP u(d) vng góc với
nhau ta có phương trình (2)
VTCP (d’):
u(d')
K = sin ( P , d’ ) = cos(nP , ud' ) (3)
Người thực hiện:
Nguyễn Bá Tường
- Trang 9 -
Gia s Thnh c
www.daythem.edu.vn
1 2 3 H phng trỡnh 2 n
Gúc gia (P) v (d) ln nht nht khi Kmax
x t
VD: Trong khụng gian vi h Oxyz cho 2 ng thng (d) y 1 2t ;
z 2 t
(d) x 1 y 2 z 3 v mp(Q): 2x y 2z 2 = 0. Vit phng trỡnh mp(P) cha ng
1
1
1
thng (d)
a) To vi mp(Q) mt gúc nh nht
b) To vi (d) mt gúc ln nht
Gii:
Gi (P): ax + by + cz + d = 0 (a2 + b2 + c2 0) cha (d).
a)M 0; 1; 2 (d) M (P) b 2c d 0 d b 2c(1)
vtpt n(P) (a; b; c); vtcp u(d) ( 1;2;1);(P) (d) n(P) u(d) a 2b c 0
a 2b c(2)
vtpt n(Q) (2; 1; 2) cos((P),(Q)) cos(n(P) ,n(Q) )
(2)(3) cos((P),(Q))
2a b 2c
3 a b c
2
2
2
(3);
3b
3 5b2 4b 2c2
b 0 cos((P),(Q)) 0 ((P),(Q)) 900
1
b 0 cos((P),(Q))
2
1
2
c
c
2 4 5
b
b
((P),(Q))min cos((P),(Q))
max
1
3
c
2 1 3
b
1
c
cos((P),(Q))
1
b
3
a=1
b c; Choùn b=1;c=-1
; Vaọ
y(P) : x y z 3 0
d=3
b)vtcp u(d') (1;1;1) sin((P),(d') cos(n(P) ,u(d') )
(2)(3') sin((P),(d'))
Ngi thc hin:
3b 2c
15b2 12bc 6c2
Nguyeón Baự Tửụứng
- Trang 10 -
a b c
3 a b c
2
2
2
(3')
Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
2c
b 0 sin((P),(d')
6c2
2
3
2
b 0 K sin((P),(d'))
c
3
b
2x 3
2
6x 2 12x 15
c
c
6 12 15
b
b
(x
c
R)
b
4x 2 12x 9
4x 2 12x 9
24x 2 12x 72
; Dặ
t f (x)
f '(x)
2
6x 2 12x 15
6x 2 12x 15
6x 2 12x 15
x 2
f '(x) 0 24x 12x 72 0
x 3
2
2
BBT
3
2
-
x
f’(x)
f(x)
-
+
2
0
+
2
3
0
7
9
2
3
0
((P),(d'))max Maxf (x)
a 4
7
c
x 2 2; chọn b=1;c=2
9
b
d 3
Vậ
y(P) : 4x y 2z 3 0
Dạng 9: Trong khơng gian với hệ Oxyz cho mp (P); điểm A (P), điểm B≠A, đường thẳng
(d’) cắt (P). Lập phương trình đường thẳng (d) nằm trong mp(P) và thỏa
a) (d) đi qua A và cách điểm B một khoảng nhỏ nhất, lớn nhất.
b) (d) đi qua A và khoảng cách giữa (d) và (d’) là lớn nhất ( (d’) khơng đi qua A)
c) (d) đi qua A và tạo với (d’) một góc nhỏ nhất, lớn nhất.
PP:
a) (d) nằm trong mp(P) đi qua A và cách điểm B một khoảng nhỏ nhất, lớn nhất.
Người thực hiện:
Nguyễn Bá Tường
- Trang 11 -
Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
Gọi u(d) (a; b; c)làmộ
t VTCP củ
a (d)(a2 +b2 +c2 >0)
Vì d (P) u(d) n(P) (1); TìmAB; u(d) ,AB
u(d) ,AB
d(B,(d))
(2)
u(d)
(1)(2) d(B,(d)) f (a,b) (cóthểtheo a, c hoặ
c b, c)
+ xé
t b=0 d(B,(d))
c
d(B,(d)) f (t)
b
a
Tìm Max f(t); min f(t) t b pt(d)
c
xé
t b 0 đặ
t t=
b) (d) nằm trong mp(P) đi qua A và khoảng cách giữa (d) và (d’) là lớn nhất
Gọi u(d) (a; b; c)làmộ
t VTCP củ
a (d)(a2 +b2 +c2 >0)
Vì d (P) u(d) n(P) (1); Tìm u(d) ,u(d') ; Lấ
y M (d')
Tìm AM vàtính u(d) ,u(d') AM
u(d) ,u(d') AM
d((d),(d'))
(2)
u(d) ,u(d')
(1)(2) d((d),(d')) f (a,b) (cóthểtheo a, c hoặ
c b, c)
+ xé
t b=0 d(B,(d))
xé
t b 0 đặ
t t=
c
d(B,(d)) f (t)
b
a
Tìm Max f(t); t b pt(d)
c
c) nằm trong mp(P) đi qua A và tạo với (d’) một góc nhỏ nhất, lớn nhất.
* Vì ln tồn tại đường thẳng (d) đi qua A và tạo với đường thẳng (d’) một góc 900,
nên Max((d),(d')) 90 VTCP u(d) n(P) ,u(d)
0
Người thực hiện:
Nguyễn Bá Tường
- Trang 12 -
Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
Gọi u(d) (a; b; c)làmộ
t VTCP củ
a (d)(a2 +b2 +c2 >0)
Vì d (P) u(d) n(P) (1)
Tìm cos((d),(d')
u(d) .u(d')
(2)
u(d) . u(d')
(1)(2) cos((d),(d') f (a,b) (cóthểtheo a, c hoặ
c b, c)
+ xé
t b=0 cos((d),(d')
xé
t b 0 đặ
t t=
c
d(B,(d)) f (t)
b
a
Tìm Max f(t);min f(t) t b pt(d)
c
VD: Trong khơng gian Oxyz cho (P): x + 2y – z – 1 = 0; điểm A(1; 0; 0)và
B(0; 2; -3)
a)Viết phương trình của đường thẳng (d) (P) đi qua điểm Avà d(B,(d)) lớn nhất, nhỏ
nhất.
b) Viết phương trình của đường thẳng (d) (P) đi qua điểm A và cách
(d’):
x 1 y 1 z
một khoảng lớn nhất.
1
2 1
c) Viết phương trình của đường thẳng (d) (P) đi qua điểm A và tạo với đường thẳng
(d’):
x 1 y 1 z
một góc lớn nhất, nhỏ nhất.
1
2 1
Giải:
a)Ta cóVTPT n(P) (1;2; 1).
Gọi u(d) (a; b; c)làVTCP củ
a (d) (a2 +b2 +c2 >0)
Ta cód (P) u(d) n(P) a 2b c 0 c a 2b(1)
u(d) (a; b;a 2b)
AB (1;2; 3); u(d) ,AB (2a 7b;2a 2b;2a b)
u(d) ,AB
(2a 7b)2 (2a 2b)2 (2a b)2
d(B,(d))
a2 b2 (a 2b)2
u(d)
12a2 24ab 54b2
2a2 4ab 5b2
Người thực hiện:
Nguyễn Bá Tường
- Trang 13 -
Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
Nế
u b=0(a 0) d(B,(d)) 6
12t 2 24t 54
a
Nế
u b 0 d(B,(d))
(vớ
i
t=
R)
b
2t 2 4t 5
12t 2 24t 54
96t 96
Đặ
t f(t)=
f
'(t)
2t 2 4t 5
(2t 2 4t 5)2
f '(t) 0 t 1
BBT t
-
f’(t)
f(t)
+
-1
+
0
14
-
6
6
6 d(B,(d)) 14
max d(B,(d)) 14 t 1
a
1 a b
b
chọn a=1;b=-1; c=1
(d):
x 1 y
z
1
1 1
min d(B,(d))
6 b 0 chọn a=1; c=1
b)Ta cóVTPT n(P) (1;2; 1). VTCP u(d') (1; 2;1);d' M(1; 1; 0)
Gọi u(d) (a; b; c)làVTCP củ
a (d) (a2 +b2 +c2 >0)
Ta cód (P) u(d) n(P) a 2b c 0 c a 2b(1)
u(d) (a; b;a 2b); u(d) ,u(d') (2a 5b;2b; 2a b); AM (0; 1; 0)
u(d) ,u(d') AM 2b
u(d) ,u(d') AM
2b
4b2
d((d),(d'))
2
2
8a2 24ab 30b2
u(d) ,u(d')
8a 24ab 30b
Nế
u b=0(a 0) d((d),(d')) 0
Nế
u b 0 d((d),(d'))
Người thực hiện:
2
a
(vớ
i
t=
R)
b
4t 2 12t 15
Nguyễn Bá Tường
- Trang 14 -
Gia sư Thành Được
đặ
t f(t)=
BBT
www.daythem.edu.vn
2
2(8t 12)
3
f '(t)
; f '(t) 0 t
2
2
2
4t 12t 15
(4t 12t 15)
2
-
t
f’(t)
+
3
2
+
0
-
4
3
f(t)
0
0
4
3
a 3
3b
t
a
3
2
b 2
2
x 1 y
z
Chọn a=3; b=-2; c=-1 (d):
3
2 1
c)Ta cóV TPT n(P) (1;2; 1). VTCP u(d') (1; 2;1);d' M(1; 1; 0)
Maxd((d), (d'))
Gọi u(d) (a; b; c)làVTCP củ
a (d) (a2 +b2 +c2 >0)
Ta cód (P) u(d) n(P) a 2b c 0 c a 2b(1)
u(d) (a; b;a 2b)
Gọi (d,d') cos
u(d) .u(d')
u(d) . u(d')
Nế
u b=0(a 0) cos=
2a
2a2
6a2 12ab 15b2
6 2a2 4ab 5b2
3
3
2t 2
a
Nế
u b 0 cos
(vớ
i t= R)
2
b
6t 12t 15
2
2t
60t 24
Đặ
t f(t)= 2
f '(t) 2
6t 12t 15
(6t 12t 15)2
f '(t) 0 t
BBT:
t
-
f’(t)
f(t)
2
5
1
3
2
5
0
+
+
1
3
8
279
Người thực hiện:
Nguyễn Bá Tường
- Trang 15 -
Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
2 62
3
cos
93
3
max cos
3
b 0 nhỏnhấ
t
3
x 1 t
Chọn a=1; c=1 (d) y 0 t R
z t
2 62
2
a 2
2b
t
a
lớ
n nhấ
t
93
5
b 5
5
chọn a=2; b=-5; c=-8
mincos
(d):
x 1 y
z
2
5 8
Dạng 10: Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng (d1), (d2)và hai điểm A,B (A (d1) ).
Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua A cắt (d1) và thỏa
a) (d) cách điểm B một khoảng nhỏ nhất, lớn nhất.
b) Khoảng cách giữa (d) và (d2) là lớn nhất
c) (d) tạo với (d2) một góc nhỏ nhất, lớn nhất.
PP:
a)Giảsử(d) (d1) M Tọa độđiể
m M theo t
VTCP u(d) AM; AB; AM,AB
AM,AB
d(B,(d))
=f(t)
AM
Tìm maxf(t); min f(t) t (d)
b)Giảsử(d) (d1) M Tọa độđiể
m M theo t
VTCP u(d) AM; d2 M 0 (x 0 ; y 0;z0 ); VTCP u(d2 )
Tính u(d2 ) AM ; AM 0; u(d2 ) AM AM 0
u(d2 ) AM AM 0
d(d,d2 )
f (t)
u(d2 ) AM
Tìm maxf(t) t (d)
Người thực hiện:
Nguyễn Bá Tường
- Trang 16 -
Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
c)Giảsử(d) (d1 ) M Tọa độđiể
m M theo t
VTCP u(d) AM; d2 M 0 (x 0 ; y 0 ;z0 ); VTCP u(d2 )
AM.u(d2 )
(d,d2 ) cos cos(AM,u(d2 ) )
f (t)
AM . u(d2 )
Tìm min f(t); max f(t) t (d)
VD: Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng (d1):
x 1 y z 2
x5 y z
và
, (d2):
2
1
1
2
2 1
hai điểm A0;-1;2), B(2;1;1). Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua A cắt (d1) và thỏa
a) (d) cách điểm B một khoảng nhỏ nhất, lớn nhất.
b) Khoảng cách giữa (d) và (d2) là lớn nhất
c)(d) tạo với (d2) một góc nhỏ nhất, lớn nhất.
Giải:
a)Giảsử(d) (d1 ) M M(1 2t; t;2 t),t R
VTCP u(d) AM (2t 1; t 1; t); AB (2;2; 1) AM,AB (t 1; 1;2t 4
d(B,(d))
AM,AB
AM
5t 2 18t 18
=
6t 2 2t 2
5t 2 18t 18
98(2t 1)
Đặ
t f (t)
f '(t)
2
2
6t 2t 2
6t 2 2t 2
f '(t) 0 t
BBT: t
1
2
1
2
-
f’(t)
+
0
+
-
41
10
f(t)
5
6
5
6
+ khơng tồn tại min f(t)
x 0
3
y 1 t
1 41
3 1
2
+max f(t)=f( )= VTCP u(d) =(0; ; ) (d):
2 10
2 2
1
z
2
t
2
Người thực hiện:
Nguyễn Bá Tường
- Trang 17 -
Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
b)Giảsử(d) (d1 ) M M( 1 2t; t;2 t),t R
VTCP u(d) AM (2t 1; t 1; t)
d2 N(5; 0; 0); VTCP u(d2 ) (2; 2;1)
u(d2 ) AM (t 1; 4t 1;6t); AM 0 (5;1; 2); u(d2 ) AM AM 0 6 3t
u(d2 ) AM AM 0
6 3t
t 2 4t 4
d(d,d2 )
3
2
53t 2 10t 2
u(d2 ) AM
53t 10t 2
t 2 4t 4
48t 2 420t 222
đặ
t f (t)
f '(t)
53t 2 10t 2
(53t 2 10t 2)2
1
37
f '(t) 0 t
hoặ
ct
2
4
1
2
-
BBT: t
f’(t)
+
0
-
+
0
+
1
9
f(t)
1
53
225
7901
1
53
max f(t)=f(
37
4
x y 1 z 2
1 1
1 1
)= u(d) =(-2; ; ) (d) :
1
1
2
2
9
2 2
2
2
b)Giảsử(d) (d1 ) M M( 1 2t; t;2 t),t R
VTCP u(d) AM (2t 1; t 1; t)
VTCP u(d2 ) (2; 2;1)
(d,d2 ) cos cos(u(d) ,u(d2 ) )
u(d) .u(d2 )
u(d) u(d2 )
t4
3 6t 2 2t 2
1 t 2 8t 16
t 2 8t 16
16t 2 188t 46
Đặ
t f (t) 2
f '(t)
3 6t 2 2t 2
6t 2t 2
(6t 2 2t 2)2
1
23
f '(t) 0 t hoặ
c t=
4
2
Người thực hiện:
Nguyễn Bá Tường
- Trang 18 -
Gia sư Thành Được
BBT: t
1
4
f’(t)
www.daythem.edu.vn
+
0
23
2
-
+
0
+
15
2
f(t)
1
6
1
6
15
206
1 15
1 5 1
x y 1 z 2
+ max f(t)=f( )= u(d) ( ; ; ) (d) :
1
5
1
4
2
2 4 4
2
4
4
23
15
25 23
x y 1 z 2
u(d) (22; ;
) (d) :
+min f(t)=f( )=
25
23
2
206
2 2
22
2
2
Người thực hiện:
Nguyeãn Baù Töôøng
- Trang 19 -
