Chương 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH DÒNG KHÔNG ỔN ĐỊNH SAINT VENANT 2.1. Các dạng chuyển pptx

Chương 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH DỊNG KHƠNG ỔN ĐỊNH SAINT
VENANT
2.1. Các dạng chuyển động của chất lỏng trong kênh hở
Khác với dịng chảy trong ống, có mực nước tự do, chịu tác dụng của
áp lực khơng khí, tính tốn dịng chảy khó khăn phức tạp, mực nước thay đổi
theo thời gian khơng gian, h, Q, i, đáy kênh... có quan hệ với nhau và có thể
phân ra bài tốn 1, 2, 3 chiều - nhưng thực tế bài toán thuỷ lực chỉ hạn chế 1
chiều với Q và h.
Dựa theo sự thay đổi độ sâu dòng chảy theo thời gian và khơng gian
phân dịng chảy thành: ổn định và khơng ổn định.
2.1.1. Dịng ổn định
Dịng ổn định là dịng có độ sâu h, có tốc độ V và mặt cắt ω khơng thay
đổi theo thời gian. Dịng ổn định có dịng đều và dịng khơng đều.
Dịng đều là dịng có các đặc trưng thuỷ lực như mặt cắt, tốc độ khơng
đổi theo đường đi.
Dịng đều: theo chiều dài dịng chảy là dịng có tốc độ, diện tích mặt cắt
khơng thay đổi theo chiều dài, có nghĩa là V = const, ω = const theo s.
Dịng khơng đều là dịng có các đặc trưng thuỷ lực thay đổi theo S.
Dịng khơng đều: V = f1 (S), ω = f2 (S).
Dịng khơng ổn định là dịng có v, ω thay đổi theo khơng gian và thời
gian.
Dịng khơng ổn định: V = f1 (S, t) ω = f2 (S, t).
Dịng khơng đều: có dòng thay đổi chậm và dòng thay đổi gấp.
Chuyển động của sóng lũ trong sơng là chuyển động khơng ổn định, là
dịng khơng đều thay đổi chậm.
Chuyển động của nước xả từ thượng lưu cơng trình tràn vệ hạ lưu như
nhà máy thuỷ điện Hồ Bình là dịng khơng đều thay đổi gấp.
31


2.1.2. Chuyển động khơng ổn định

-Dịng khơng ổn định là dịng có v, ω thay đổi theo khơng gian và thời
gian.
-Dịng khơng ổn định: V = f1 (S, t) ω = f2 (S, t).
-Dịng khơng đều: có dịng thay đổi chậm và dòng thay đổi gấp.
1. Các loại chuyển động khơng ổn định trong kênh hở :
Trong trường hợp dịng khơng ổn định, mực nước có dạng sóng. Sóng nước
chuyển động là sóng dài, có độ cong nhỏ, độ dài sóng gấp 100 - 10.000 lần độ
cao của sóng.
Khác sóng gió trong hồ, biển, sóng trong kênh hở vận chuyển có lưu lượng
nước lớn (sóng chuyển). Có nhiều loại sóng trong kênh hở:
- Sóng thuận: truyền theo dịng chảy.
- Sóng nghịch: ngược chiều dịng chảy.
2. Các đặc điểm sóng xả, sóng lũ, sóng triều trong sơng.
- Sóng xả: tăng giảm lưu lượng, có mực nước nhiễu động.
- Sóng lũ: khơng có mực nước nhiễu động là sóng thay đổi chậm.
- Sóng triều: lên xuống có chu kỳ, mực nước là mực nước nhiễu động.
3.Quan hệ lưu lượng - mực nước trong dịng khơng ổn định
Dịng ổn định, quan hệ Q = f (Z) lớn nhất
Dịng khơng ổn định; khi nước lên: Q - Z có dạng vịng dây có thể có một
hoặc nhiều vịng dây.
Đối với sóng vùng triều: quan hệ Q - Z có dạng xoắn ốc.
2.2. Phương trình vi phân cơ bản của dịng khơng ổn định thay đổi chậm
2.2.1. Phương trình liên tục
Phương trình liên tục thể hiện mối quan hệ giữa các yếu tố thuỷ lực liên tục
trong môi trường chất lỏng thường áp dụng cho bài tốn 1 chiều có nghĩa là
đối với 1 mực nước có các đặc trưng, các thơng số sau: lưu lượng, tốc độ
trung bình mặt cắt, bán kính thuỷ lực và .v.v...là hàm 1 biến theo dọc sông L.
Trong giai đoạn lũ, phương trình liên tục có 2 biến là L và t.
Giả thiết, Q: lưu lượng, ω: diện tích mực nước, dl cho 1 đoạn sông, dt - thời
gian. Xem một đoạn sơng có Qdt ( lượng vào) và

32


∂Q ⎞
⎛
dl⎟ dt: lưu lượng xuất lưu.
⎜Q +
⎝
∂l ⎠
∂Q
Rõ ràng ⎛ Q + dl ⎞ là lưu lượng mực nước cửa ra.
⎟
⎜
∂l

⎝

⎠

Do đó, tổng lượng nước trong đoạn sơng biến đổi
∂Q
∂Q
dldt
Qdt - ⎛ Q + dl ⎞dt = ⎜
⎟
∂l

⎝

⎠

(2.1)

∂l

Nếu có dòng chảy gia nhập q cho 1 thời gian trên 1 chiều dài sóng là q dldt,
khi đó biến đổi tổng lượng trong đoạn sông với thời gian dt sẽ là
q dldt -

∂Q
dldt
∂l

(2.2)

Nó làm thay đổi mực nước với trị số

∂Q
dl , trên 1 đoạn sơng có dạng hình chữ
∂l

nhật
∂ω
∂Q
dldt =
∂t
∂l

Lấy (2.2) bằng (2.3) và đơn giản dl dt ta có
∂ω ∂Q

+
=q
∂t
∂l

(2.4)

Nếu khơng có lượng gia nhập ta có:
∂ω ∂Q
+
=0
∂t ∂l

(2.5)

Đây là phương trình Saint Venant thứ 1 và là phương trình liên tục của dịng
chảy.
* Nếu thay Q = V . ω thì (2.5) có dạng:
∂ (Vω )
∂H
+B
=0
∂l
∂t

Hoặc
ω∂V V∂ω
∂H
+
+B

=0
∂l
∂l
∂t

2.2.2. Phương trình cân bằng động lực của dịng khơng ổn định
Phương trình chuyển động của sóng lũ (đưa ra bởi Bussinet) cho rằng tổng tất
cả các lực trên 1 đơn vị khối lượng là bằng 0
Cụ thể là:
-gI + u + F = 0

(2.6)
33


Trong đó:

g -gia tốc trọng trường
I - độ dốc mực nước
u - lực quán tính
F - lực ma sát

Độ dốc có thể chia thành 2 thành phần: độ dốc i trong chuyển động ổn định và
độ dốc phụ gia
I=i-

dh
xuất hiện khi chuyển động lũ, như vậy:
dl

dh
dl

(2.7)

h - độ sâu dòng chảy
Đối với dịng sơng có tốc độ lớn có thể cơng nhận định luật bình phương theo
cơng thức chezy
V = C RI

(2.8)

V - tốc độ trung bình trong mặt cắt, R - bán kính thủy lực, C - hệ số chezy
Khi đó lực ma sát bằng tích trọng lực đơn vị nước trên độ dốc với 1 đơn vị
khối lượng nhận được:
F=

gV 2
C2 R

(2.9)

Lực qn tính, theo phương trình Bussinet có thể đặc trưng bởi 2 thành phần:
U=

∂v
∂V
+V
∂t
∂l

(2.10)

Lực ban đầu, để khắc phục ma sát trong mặt cắt, lực thứ 2 để khắc phục sự
biến đổi tốc độ theo chiều dài dịng chảy.
Như vậy, tính đến lực qn tính phương trình động lực có dạng
i−

dh
V2
1 ∂V V ∂V
= 2 +
+
dl C K g ∂t
g ∂t

(2.11)

Phương trình (2.11) là phương trình thứ 2 của Saint- Venant có thể dùng tính
tốn chuyển động sóng lũ cho các vùng khác nhau.
* Lúc dịng chảy theo 2 chiều (chảy ngược, chảy xuôi) như các sóng chịu ảnh
hưởng thủy triều thì phương trình động lực có dạng
i−

1 ∂V ∂ V 2
dh V V
= 2 +
+
dl C K g ∂t ∂l 2 g

(2.12)

Phương trình (2.12) là phương trình 2 của Saint Venant đề xuất 1871.
Tất nhiên, có 4 thành phần là cơ bản: (1) độ dốc mực nước, (2) độ dốc ma sát
34


(3) độ dốc quán tính (4) độ dốc đối lưu; trong một số trường hợp cụ thể cần
thêm: lực do xốy (Se), lực do gió (Wf).
Độ dốc tổn thất xốy được xác định bởi 2.13
Ke ∂ (Q / A) 2
2g
∂x

Se =

(2.13)

Trong đó: Ke - hệ số phân tán hay tập trung, dấu - là phân tán (khi ∂
(Q/A)2/∂x là âm) và ngược lại là tập trung.
Độ dốc do gió: sinh ra để chống lại lực cản của gió trên mặt nước được xác
định bởi 2.14.
Fw = τw Bdx

(2.14)

τw - ứng suất cắt của gió, có thể viết đại thể như sau:
τw =

− pCf Vr Vr

2

(2.15)

Trong đó Vr tốc độ chất lỏng, ký hiệu |Vr|Vr để sử dụng khi τw với chiều
ngược phương của Vr và Cf là hệ số của ứng xuất cắt, tốc độ trung bình của
nước là Q/A hợp với phương tốc độ gió là Vw với phương của góc ω, như
vậy tốc độ của nước quan hệ với khơng khí là
Vr =

Q
− Vw cos ω
A

(2.16)

Và lực gió:
Fw =

− pVCf Vr VrBdx
2

= −WfBpdx (2.17)

Trong đó yếu tố lực cắt của gió là Wf
Wf = Cf Vr Vr / 2

(2.18)

Ghi chú chiều của gió là ngược với chiều của dịng chảy.

2.2.3. Phân loại mơ hình diện tốn phân phối
Theo ý nghĩa vật lý phương trình moment được phân thành:
- Loại thành phần gia tăng cho địa phương; nó diễn tả biến đổi moment bằng
biến đổi tốc độ theo thời gian.
- Loại thành phần gia tăng đối lưu, nó diễn tả biến đổi tốc độ dọc sông.
- Loại thành phần lực áp, nó tương quan với chiều sâu theo kênh.
- Loại thành phần trọng lực, nó tương quan với độ dốc sức cản Sf.
35


Trường hợp hệ phương trình Saint venant (bỏ qua q, Fw, Fe, β = 1) thì viết
theo phương trình liên tục:
- Dạng bảo tồn:

∂Q ∂A
+
=0
∂x ∂t

(2.19)

- Dạng khơng bảo tồn
V

∂y
∂v ∂ y
+y +
=0
∂l
∂x ∂ t

(2.20)

- Dạng khơng bảo tồn (với đơn vị chiều rộng)
∂V
∂V
∂y
+V
+ g − g ( So − Sf ) = 0
∂t
∂x
∂x

(2.22)

------------ Sóng động lực.
------------------ Sóng khuếch tán (p/tr trạng thái tức thời).
-------------------------- Sóng động lượng.
Thành phần gia tăng địa phương, gia tăng dòng thẳng mang hiệu ứng
quán tính dịng chảy.
Trường hợp có hiệu ứng mức bù, khơng ảnh hưởng tới các phương
pháp diễn tốn. Phương pháp tích phân chập khơng thể thực hiện được trong
tính tốn dịng chảy khi có hiệu ứng nước bù và khơng có cơ học, thủy lực để
diễn tả sự ảnh hưởng biến đổi dịng chảy ở trong sơng theo moment.
Mơ hình diễn tốn phân phối đơn giản nhất là mơ hình sống động lực, bỏ qua
các gia tăng g(So - Sf), giả sử So = Sf (Độ dốc thủy lực và độ dốc ma sát cân
bằng với nhau).
Mơ hình sóng khuếch tán: hợp nhất thêm với giá trị áp suất (bỏ qua gia
tăng g

∂y
)
∂χ

Mơ hình sóng động lượng: giữ lại tất cả giá trị gia tăng tốc độ và áp suất trong
phương trình moment.
Phương trình moment có thể viết dưới dạng tính tốn, thí dụ như dịng chảy
ổn định hoặc khơng ổn định và đồng dạng hoặc đa dạng. Trong phương trình
liên tục

∂A
= 0 cho dòng ổn định và gia nhập khu giữa q = 0 cho các dạng sau:
∂t

Dạng bảo toàn:
1 ∂Q 1 ∂ (Q 2 / A) ∂y
−
−
+So = Sf
gA ∂t gA
∂x
∂u

(2.23)

36


Dạng khơng bảo tồn:
−

1 ∂V V ∂V ∂y
−
−
+ So = ςf
g ∂t g ∂x ∂x

(2.24)

------ổn định dòng chảy đồng dạng
------------ổn định và dịng chảy đa dạng
----------------------khơng ổn định, dịng chảy đa dạng
2.2.4. Năm giả thiết của phương trình
1. Xem như chuyển động chất lỏng 1 chiều. Với ý nghĩa là coi như chuyển
động nằm ngang và thẳng đứng là không đáng kể so với dọc sơng. Do đó độ
dốc dịng chảy là giống nhau trong các mặt cắt. Giả thiết như vậy có ý nghĩa
là khơng có độ dốc nằm ngang.
2. Chuyển động theo giả thuyết là thay đổi chậm, với ý nghĩa khơng có tổn
thất độ dốc địa phương.
3. Giả thiết là sóng dài, như vậy độ sâu mặt nước rất nhỏ so với chiều độ dài
của sóng, một vài tác giả gọi là lý thuyết nước nơng.
Điều đó dẫn tới phân phối định luật áp lực thuỷ tĩnh theo chiều sâu, có nghĩa
là bỏ bớt áp lực dư do gia tốc nước theo chiều thẳng đứng.
4. Lực cản trong phương trình có dạng như chuyển động ổn định.
1.

Độ dốc đáy sông là rất nhỏ.

2.3 Xấp xỉ của sai phân (Sai phân hóa)
2.3.1. Khái niệm chung

Phương trình Saint Venant cho diễn tốn khơng có phương pháp giải
tích phân (trừ 1 vài trường hợp đặc biệt). Nó là phương trình vi phân từng
phần (đạo hàm riêng) nói chung có thể giải bằng phương pháp số trị và
phương pháp đặc trưng.
Trong các phương pháp trực tiếp (số trị) xây dựng từ phương trình sai
phân ban đầu từ phương trình liên tục và phương trình moment.
Lời giải cho các đặc trưng dịng chảy được nhận từ bước không gian
Δl và bước thời gian Δt.
Trong phương pháp đặc trưng, phương trình đạo hàm riêng đầu tiên
chuyển sang dạng đặc trưng, và sau đó phương trình đặc trưng được giải theo
37


phương pháp phân tích, như trong việc giải sóng động học, hoặc sử dụng
phương trình đạo hàm riêng.
Trong phương pháp số để giải bài toán đạo hàm riêng, việc giải đưa
sang việc giải bằng lưới X - t. Lưới X - t được xác định bởi bước khoảng cách
Δx và bước thời gian Δt. Như trong hình 2.1, những điểm lưới được chỉ theo
ký hiệu i (theo khoảng cách), theo thời gian là j. Đường theo thời gian là
vng góc với x.
Sơ đồ số trị chuyển phương trình đạo hàm riêng tới hàng loạt phương
trình vi phân đại số hữu hạn. Phương trình vi phân hữu hạn trình bày sai phân
riêng và tạm thời trong các điểm chưa biết trên đường thời gian tương lai j
+1, và đường thời gian hiện tại j. Trong đó tất cả giá trị khơng biết được tính
từ tính tốn bước ban đầu (xem hình 2.1).
x
x
x
x

t
ΔS01

2
1

ΔS02

Δt
0

1

2

3

4

s

Hình 2.1 Sơ đồ lưới sai phân.
Lời giải của Saint Venant biết trước từ thời gian này đến thời gian sau
được tính một cách liên tục.
2.3.2- Phương pháp sai phân
Có thể sai phân hóa trực tiếp hệ phương trình cơ bản để giải mà khơng
cần chuyển qua phương trình đặc trưng. Tất nhiên, cách giải như thế đòi hỏi
một khối lượng tính tốn rất lớn nhưng nhờ có máy tính điện tử nên việc giải
quyết rất thuận tiện. Nhờ cách này có thể tính được các trường hợp rất phức
tạp, sơng có bãi, sơng có mặt cắt thay đổi, lưới sông phức tạp .v.v. mà các

phương pháp khác hầu như không thể giải quyết được. Trong những năm gần
đây, người ta thường dùng phương pháp sai phân để giải các bài tốn dịng
38


khơng ổn định trong thực tiễn và nói chung là giải bằng máy tính điện tử.Đặc
điểm chung của phương pháp sai phân là chia kênh ra thành những đoạn ngắn
ΔS và chia thời gian thành những thời gian nhỏ Δt. Như vậy, trong tọa độ (s-t)
được chia thành các ô lưới, trên đó ta sẽ xác định được các yếu tố của chúng
tại các nút của lưới, tức là tại các mặt cắt định trước và vào các thời điểm định
trước (xem Hình 2.1).
Trên mỗi ơ lưới như thế, các đạo hàm riêng trong hệ phương trình cơ
bản sẽ được thay bằng tỷ số các gia số.Sai phân có thể nhận được từ hàm
U(x).Trong Hình 2.2, phương trình Taylor của U(x) từ x+Δx.
1
2

1
6

U(x+Δx)= U(x) + Δx U’ (x) + Δ x 2 .U(x)+ Δ x3.U(x)+...
U' (x) = ∂4/∂x, U"(x) = ∂2U/∂x2 ... Liệt Taylor từ x = Δx là
U (x - Δx) = U (x) - Δx U'(x) +

1 2
1
Δx U "( x ) − Δx 3U "( x )t
2
6

Sai phân trọng tâm tương tự dùng (2.2) trừ (2.1)
U (x + Δx) - U (x - Δx)= 2Δx U' (x) + 0 (Δx3)
Trong đó: 0 (Δx3) là dư thừa của bậc 3 và bậc lớn hơn
Giả thiết U' (x), giả sử 0(Δx3) = 0, còn lại
U' (x) =

U ( x + Δx ) − U ( x − Δx )
3
+ 0( Δ x )
2 Δx

Nó có sai số tương tự bậc Δx2, đây là sai số, do dừng ở bậc cao, như sai
số cắt cụt. Sai số tiến tương tự như xác định trừ U(x) từ (2.1)
U (x + Δx) - (U(x) = Δx U'(x) + 0 (Δx2)
u
u(x+Δx)
i+1
u(x)
u(x-Δx)
i-1
Hình 2.2 x-Δx

x
x

x+Δx
39


Giả thiết bậc hai và cao hơn là không đáng kể - Ta có:

U ( x + Δx ) − U ( x )
2
+ o(Δ x )
Δx

U' (x) =

Với sai số tương tự như bậc của Δx
Sai số lùi, tương tự như dùng như sai số từ (2.2) trừ U(x)
U(x) - U(x - Δx) = U(x) . U'(x) + 0(Δx2)
Giải cho U'(x) được
U'(x) =

U ( x ) − U ( x − Δx )
+ 0( Δx 2 )
Δx

Có nhiều sơ đồ sai phân có thể chia thành hai loại sơ đồ:
Sơ đồ sai phân hiện và sơ đồ sai phân ẩn sự khác nhau giữa chúng là:
sơ đồ hiện là giải ẩn trong một q trình dưới một ơ lưới hoặc hai ơ lưới gắn
nhau để tính các ú tố thuỷ lực trong từng nút.
Sơ đồ sai phân hiện có điều kiện là không sử dụng Δx, Δt nhỏ để cho
bài toán hội tụ.
Sơ đồ sai phân ẩn : với Δx, Δt lớn khơng địi hỏi điều kiện.
Sơ đồ hiện
Sơ đồ sai phân hiện là sơ đồ mà sau khi sai phân hố hệ phương trình (2.1)
(2.2) ta được hệ hai phương trình đại số với hai ẩn số Q, ω ở một nút chưa
biết và do đó có thể giải ngay ra các ẩn số đó.
Ví dụ sơ đồ hình thoi (2.3). Sơ đồ này địi hỏi khoảng cách giữa các mặt cắt
Δs phải bằng nhau, thời đoạn tính toán Δt phải cố định.

Thay đạo hàm riêng bằng các biểu thức sai phân sau đây:
∂ω ω B −ω A
=
∂t
2Δt
∂ω ωD − ωC
=
2Δs
∂s
∂Q
=
∂t

Q −Q

∂Q
=
∂s

Q

B

A

2Δt
sD

− QC

2Δs

Nếu đặc trưng tại hai lớp thời gian trước (nút A, C, D) đã biết thì khi
40


sai phân hố hệ phương trình Saint venant ta được hai phương trình ẩn số bậc
nhất với hai ẩn số là QB, ωB tại nút B ở lớp thời gian sau. Giải hệ này ta tìm ra
ngay được các đặc trưng QB, ωB.
Như vậy bằng sơ đồ sai phân này ta có thể tìm được các đặc trưng chưa
biết ở lớp thời gian sau khi đặc trưng của hai lớp thời gian trước đã biết. Bằng
việc cho trước các đặc trưng Q, ω của hai lớp thời gian ban đầu (điều kiện ban
đầu) ta tìm các đặc trưng chưa biết lần lượt lớp thời gian này tới lớp thời gian
khác.

ở các nút biên chưa được chọn làm đỉnh

của hình thoi người ta cần

phải thay đổi sơ đồ chút ít (ví dụ như dùng sơ đồ của hình thoi hay bỏ qua
khơng tính một đặc trưng cịn thiếu ở nút biên. . . ).
Ưu điểm của sơ đồ hiện là thuật tốn đơn giản, dễ lập chương trình cho
máy tính điện tử tiện dùng cho cả hệ thống mạng kênh (sông) phức tạp.
Nhược điểm của sơ đồ hiện là bước thời gian tính tốn bị hạn chế bởi điều
kiện:
Δt = inf

ΔL
W

(*)

tức là bước thời gian phải nhỏ hơn giới hạn dưới của khoảng cách thời gian
truyền ảnh hưởng từ mặt cắt này sang mặt cắt khác.
Sở dĩ có hạn chế đó là vì trong q trình tính tốn ta ln ln phạm phải
sai số (do độ chính xác của tài liệu đưa vào, do thay thế vi phân bằng sai
phân, do độ sai số của máy tính có hạn...). Nếu sơ đồ tính để cho các sai số bị
tích luỹ và khuếch đại trong q trình tính thì sơ đồ đó khơng bền vững.
Ngược lại nếu trong q trình tính sai số ban đầu giảm dần, các sai số phạm
phải không bị tích luỹ lại thì sơ đồ là bền vững. Người ta đã chứng minh rằng
sơ đồ tính chỉ bền vững khi sơ đồ tính tốn đáp ứng đIều kiện trên.
1.

Sơ đồ ẩn.
Sơ đồ sai phân ẩn là sai phân mà trong q trình tính ở lớp thời gian có từ

hai nút trở lên và các đặc trưng Q, ω ở đây cần tìm. Sau khi sai phân hố hệ
phương trình Saint venant ta chỉ có được hai phương trình đại số, trong lúc đó
ẩn số lớn hơn hay bằng 4. Từng hệ phương trình riêng rẽ như vậy khơng kín
và ta khơng thể giải ngay để tìm các hàm ẩn được. Chỉ khi sai phân hoá theo
sơ đồ đã chọn cho mọi nút ở thời gian sau, kết hợp với điều kiện biên, ta mới
41


có một hệ kín và giải đồng thời ra nghiệm Q, ω cho tất cả các nút ở lớp thời
gian sau.
Các nút A, B nằm ở lớp thời gian trước, các đặc trưng ở đây đã biết. Các
nút C, D nằm ở lớp thời gian sau, các đặc trưng ở đây cần tìm. ta thay đạo
hàm riêng bằng các biểu thức sai phân sau đây:
ωC − ω bA

∂ω
ω −ω B
=γ
+ (1 − γ ) bD
∂t
Δt
Δt
∂ω
ω − ω C + (1 − θ ) ω B − ω sA
= θ sD
∂s
Δs
Δs
∂Q
=γ
∂t

Q −Q
C

Δt

A

+ (1 − γ )

Q −Q
D

(**)

B

Δt

QD − QC
QB − − Q A
∂Q
=θ
+ (1 − θ )
∂s
Δs
Δs
ở đây 0 ≤ γ, θ ≤ 1 và gọi là các hệ số thiên lệch ( có nghĩa là khi sai phân hố
ta lấy thiên về phía cạnh nào của hình chữ nhật ABCD).
Thường người ta chọn γ = 1/ 2 và để cho sơ đồ tính ln ln bền vững
lấy θ> 1/ 2 ( tức là đạo hàm theo s lấy thiên về thời gian sau).
Sai phân hố hệ phương trình Saint Venant theo biểu thức (**) ta được
hai phương trình đại số với 4 ẩn ωC, QC, ωD, QD.
Nếu đoạn sơng tính toán chia làm n đoạn nhỏ bằng n+1 mặt cắt thì áp
dụng sơ đồ này ta được 2n phương trình đại số. kể cả hai điều kiện bien ta có
tất cả 2n+2 phương trình. Số nút ở lớp thời gian sau là n+1, số ẩn số là
2(n+1), vừa bằng số phương trình.
Giải hệ 2n+2 phương trình này ta có đồng thời tất cả các đặc trưng cần
tìm ở lớp thời gian sau (lợi dụng tính chất riêng của hệ phương trình này trong
mỗi phương trình chỉ có mặt 4 ẩn số, người ta dùng phương pháp khử đuổi
này để giải ra nhanh chóng và đơn giản hơn).
Chú ý do hệ phương trình Sant Venant là phi tuyến nên nói chung hệ
phương trình đại số nhận được cũng là phi tuyến. Do đó mà phải kết hợp cách
giải hệ phương trình đại số tuyến tính với phép tính đúng dần (tính lặp).

Ưu điểm của sơ đồ này là với θ> 1/ 2, bước thời gian tính tốn Δt
khơng bị hạn chế, sơ đồ ln bền vững.
Nhược điểm là thuật tốn phức tạp, khó lập chương trình cho máy tính
42


điện tử hơn, và khi áp dụng cho mạng lưới kênh (sơng) thì rất phiền phức.
Trong đó phải giải phương trình sai phân cho tất cả các đoạn kênh đồng
thời, mới có thể tìm được các yếu tố thuỷ lực ở các nút.Ta nghiên cứu sơ đồ
ẩn trước, vì trong đó việc chuyển từ phương trình vi phân sang phương trình
sai phân rất tự nhiên và logic, tuy cách giải số có phần phức tạp hơn sơ đồ
hiện.Trong sai phân ở đây, chúng ta sẽ lấy lưu lượng Q và mực nước Z làm
hàm số ẩn. Chú ý: trong sơ đồ sai phân toạ độ của nút được xác định là giá trị
lưu lượng Q và diện tích mặt cắt ω. Ta có thể thay toạ độ bằng (Q,z) vì ω có
quan hệ với z.
t

O
Δt

Δt
C

Δs
B

A

Δs

D

S

Hình 2.3- Sơ đồ sai phân hình thoi.
Δt
A

C

Δs
S

B

D

Hình 2.4-Sơ đồ sai phân ẩn hình chữ nhật.
43


2.3.3 Hệ số trọng lượng của sơ đồ ẩn
Phương pháp sai phân trong sơ đồ ẩn để giải phương trình Saint Venant
là một tiến bộ lớn. Nó có thể dùng để giải cho các bước thời gian khá dài (1h)
và dài hơn
j +1

j −1

∂U

U −U i
= θ i +1
∂x
Δ
θ= t
Δt

U
+ (1 − θ )

j

j

−U i
Δx

i +1

'

θ = 0, điểm M ở đường j th là hoàn toàn sơ đồ ẩn
θ = 1 điểm M ở đường (j+1) là hoàn toàn sơ đồ hiện.(Xem hình 2.3)
Và
j +1

j _ +1

j

j

∂U U i + U i +1 − U i − U i +1
=
∂+
2 Δt

2.3.4 Phương trình cơ bản viết với hàm số ẩn Q,Z trong trường hợp
tổng quát.
Ta viết lại hệ phương trình Saint Venant lấy hàm ẩn là lưu lượng Q và
mực nước Z (cao độ với mặt chuẩn cố định nằm ngang) trong trường hợp tổng
quát.
Khi viết quan hệ giữa lưu lượng Q và lưu tốc trung bình của mặt cắt V
di chuyển từ hệ phương trình (2.1, 2.4, 2.5) sang dạng này, ta cần chú ý
trường hợp những kênh thông với những khu chứa nước ở ven bờ, ở đó nước
coi như khơng chảy, nhưng mực nước thay đổi theo mực nước của dòng kênh.
Trong trường hợp này, lưu tốc trong hình của mặt cắt V chỉ tính cho phần mặt
cắt ngang của dòng chảy V, kể cả bãi sâu, trên đó lưu tốc có thể phân bố
khơng dài (các hệ số hiệu chỉnh αo và α có thể lớn hơn 1 một cách đáng kể)
phần mặt cắt ngang này có chiều rộng là B. Trong khi đó diện tích mặt cắt
tham gia phương trình liên tục ωo phải kể cả khu chứa, và chiều rộng mặt cắt
kể cả khu chứa là Bo (xem hình 2.4).
Như vậy phương trình liên tục (2.4) viết là:
gZ
∂Q ∂ω ∂Q
+
=
+ Bc
= q'
∂S ∂t

∂S
∂t

(2.24)

44


Trong phương trình động lực các số hạng

αo ∂V αo ∂V
, V
được biến đổi
g ∂t g ∂S

như sau:
gian

j+1
j

1
N-1

2

3

4

i-1

i

i+1

i+2

N-2
Khoảng cách
cáchS

Hình 2.5 Sơ đồ sai phân.
Bc
h

B

B
Hình 2.6 Mặt cắt ngang sơng
45


αo ∂V αo ∂ ⎛ Q ⎞ α o ∂Q α o ∂ω
−
=
=
Q
⎜ ⎟−
g ∂t

g ∂t ⎝ ω ⎠ gω ∂t gω 2 ∂t
αo ∂Q α o
∂z
−
QB
2
∂T
gω ∂T gω
α ∂V α Q ∂ ⎛ Q ⎞ α Q ∂Q α Q 2 ∂ω
=
V
−
⎜ ⎟=
g ω ∂s ⎝ ω ⎠ g ω 2 ∂S g ω 3 ∂S
g ∂S
=

Riêng trường hợp kênh lăng trụ thì số hạng
α Q 2 ∂ω
cịn có thể viết là
g ω 3 ∂S
−

α Q 2 ∂ω
αQ 2 ∂h
∂h
=−
= − Fr
B
3

3
∂S
∂S
g ω ∂S
gω

Trong đó Fr là hệ số F rút.
Phương trình động lực (2.11) sẽ viết thành
∂Z αo ∂Q αo
∂Z α Q ∂ Q
+
−
+
2 QB
∂S gω ∂t gω
∂t gω 2 ∂S
−

αQ2 ∂ω − Q|Q|
=
gω 3 ∂S
K2

(2.25)

∂Q
từ phương trình liên tục (2.24)
∂S
∂Q
∂Z

= q '− Bc
∂S
∂t

Nếu rút

Và thay vào (2.25) sẽ được
∂Z αo QQ αBc + αo B ∂Z
.Q
+
−
+
∂S gω ∂t
∂t
gω 2
αQ
α Q 2 ∂ω − Q|Q|
=
q '−
gω 2
g ω 3 ∂S
K2

(2.26)

Xét kỹ hơn nữa phương trình động lực, nếu cho rằng lượng bổ sung dọc
đường q' và lượng nước đi từ khu chứa tham gia dòng chảy (Bc - B)

∂Z
cùng

∂t

đi từ nơi có lưu tốc hướng dọc bằng khơng gia nhập dịng chảy đang có lưu
tốc V1 thì trong phương trình động lực phải kể đến phần năng lượng cần lấy
từ dịng chính để đưa khối lượng đó tham gia vào dòng chảy của (2.26) phải
đưa thêm số hạng.
46


∂Z ⎤ V
⎡
⎢q '− ( Bc _ B) ∂t ⎥ gω
⎣
⎦

Tuy nhiên thực tế dòng chảy bổ sung đi từ bờ hoặc từ khu chứa không
phải là từ chỗ lưu tốc hướng dọc hồn tồn bằng khơng rơi ngay vào dịng
chảy dạng có lưu tốc hiệu chỉnh j < 1.
Như vậy, phương trình động lực trong trường hợp tổng quát là:
∂Z αo ∂Q − Bc + αo B ∂Z α + j
.
.Q
+
−
+
xQq '
∂S gω ∂t
∂t
gω 2
gω 2

αQ 2 ∂ω j ( Bc − B ) ∂Z − Q|Q|
−
−
=
Q
∂t
gω 3 ∂S
gω 2
K2

(2.27)

Trong vế trái, nói chung số hạng thứ nhất là quan trọng nhất rồi lần lượt
đến số hạng thứ 2 và số hạng thứ 3. Tuỳ trường hợp cụ thể có thể bỏ qua 1
trong 3 số hạng cuối của vế trái. Chẳng hạn khi lưu lượng bổ sung q' nhỏ thì
bỏ qua số hạng thứ 4, khi lưu tốc trong kênh nhỏ so với tốc độ truyền sóng (số
Frút Fr =

αQ 2 B
rất nhỏ so với 1) thì có thể bỏ qua số hạng thứ 5. Trái lại khi
gω 3

dòng chảy là chảy xiết hoặc gần bằng trạng thái phân giới (số Fr lớn hơn hoặc
gần bằng 1) thì số hạng thứ 5 -

αQ 2 ∂ω
.
lại trở thành quan trọng khơng thể bỏ
gω 3 ∂S

qua được.
t

3
2
1
0

ΔS1 1 ΔS2 2

n-1

n

Hình 2.7 Sơ đồ sai phân ẩn.
47


Tuy nhiên phần sau, chúng tôi sẽ bỏ qua số hạng thứ 6 là số hạng
thường nhỏ nhất trong vế trái, và cho j = 0 trong số hạng thứ 4 để diễn giải
phương pháp sai phân. Như vậy phương trình tổng quát được dùng vẫn là
2.26.
Trường hợp riêng khi tính theo trạng thái tức thời thì bỏ qua số hạng
thứ 2 và số hạng thứ ba của vế trái, khi đó có thể bỏ qua ln cả số hạng thứ 4
và số thứ 5 cho tiện, và phương trình động lực để tính trong trạng thái tức thời
chỉ cịn
∂Z − Q|Q|
=
∂S
K2

(2.28)

2.3.5 Sơ đồ sai phân ẩn
1. Công thức sai phân chia kênh thành từng đoạn ngắn ΔS sao cho mỗi
đoạn có các đặc trưng mặt cắt: ω, B, Bc, n... tương đối đều đặn, biến đổi từ từ,
và không có kênh ngắn, lớn chảy vào, có thể có các nhánh rất nhỏ coi như lưu
lượng phân bố dọc đường q' - các đoạn có thể dài ngắn khác nhau. Ta chia
thời gian thành những thời gian Δt (dài bằng nhau cho tiện)
Ta có lưới sai phân như hình (2.5)
Biết các yếu tố thuỷ lực Q,Z tại các mặt cắt lúc ban đầu (tại các nút của
hàng thứ nhất t = 0) ta sẽ dùng các phương trình sơ đồ tính ra các trị số Q, Z
tại mặt cắt cuối thời đoạn (các nút ở hàng thứ 2 t = 1Δt)... lần lượt ta sẽ tính
được Q và Z lại tất cả các nút trên lưới.
Để tiện theo dõi, ta ký hiệu cho mỗi yếu tố thuỷ lực tại mỗi nút 2 chỉ số
i, j như Qij, Zij...
Chỉ số thứ 1 chỉ vị trí mặt cắt i = 1, 2, 3,... n
Chỉ số thứ 2 chỉ thời điểm j = 1, 2, 3, ...
Đoạn kênh từ mặt cắt thứ (i - 1) đến mặt cắt thứ (i ) gọi là đoạn kênh
thứ i (hình 2.5 ).
Ta viết các đạo hàm riêng của một đại lượng F nào đó ra dạng sai phân
như sau:
Xét đoạn kênh [(i-1), i] và thời đoạn [(j-1),j]
(Xem hình 2.8 )
Ta có thể thay

∂F
bằng
∂t

48


∂F
1 ⎡ Fi −1 j + Fij Fi−1 , j−1 + Fi , j−1 ⎤
≈
−
⎥=
∂t Δt ⎢
2
2
⎣
⎦

≈

[

]

1 ⎡ Fi −1 , j − Fi1 , j−1
Fi , j − Fi , j−1 ⎤
⎢
⎥
+
Δt
Δt
2⎣
⎢
⎥

⎦

(2.29)

Một cách tổng quát hơn, cũng có thể sai phân hóa

∂F
cho đoạn
∂t

(i-1,j)thiên về đầu trên (i-1) hoặc thiên về đầu dưới (i), nghĩa là lấy
∂F
Fi − 1, j − Fi − 1, j − 1
Fi , j − Fi , j + 1
+γ
≈ (1 − V )
Δt
Δt
∂t

(2.30)

Với 0 < V < 1
Lấy ν= 1 tức là lấy

∂F
∂F
ở đầu dưới (mặt cắt i). Lấy ν = 0 tức là lấy
∂t
∂t

ở đầu trên (mặt cắt i - 1).
Nói chung lấy ν =

1
tức là dùng công thức (2.24) là hợp lý nhất. Sau
2

∂Q
∂Z
và
theo (2.29)
∂t
∂T
∂F
bằng:
Cũng như vậy, ta sai phân hóa
∂S

này ta sẽ sai phân hóa

Fi , j− 1 − Fi−1 , j− 1
Fi , j − Fi − 1 , j
∂F
= (1 − θ )
+θ
ΔS
ΔS
∂S

(2.31)

Với 0 < θ < 1
Lấy θ = 0 tức là thay đạo hàm riêng

∂F
ở ô lưới tính tốn bằng đạo
∂S

hàm theo S vào lúc đầu thời đoạn (j-1) trái lại, lấy θ = 1 tức là thay đạo hàm
riêng

∂F
ở ơ lưới tính tốn bằng đạo hàm theo S vào lúc cuối thời đoạn (j).
∂S

Q
kết quả tính với
θ=11/2

đường
trung

Hình 2.8
t

49


Trực quan ta thấy rằng lấy θ =

1
là lôgic hơn cả; tuy nhiên, theo lý luận
2

phương pháp tính cũng như theo kinh nghiệm tính tốn lấy θ =

1
khơng hẳn
2

dẫn đến kết quả tính bằng số sát nhất với nghiệm đúng của hệ phương trình
đạo hàm riêng và các khả năng hội tụ.
Trong một sơ đồ sai phân có thể lấy cho
và cho

∂Q
trong phương trình liên tục
∂S

∂Z
trong phương trình động lực 2 trị số θ1 và θ2 khác nhau.
∂S

Trong phương trình liên tục (2.4) nếu ta sai phân hóa

∂Q
1
với θ = thì
∂S

2

hợp lý nhất, tuy nhiên nghiệm tính ra sẽ bị giao động quanh trị số trung bình
như hình (2.8).
Khi tính xong trị số Q, Z của các thời đoạn ta cần hiệu chỉnh lại, bằng
cách lấy kết quả theo 1 đường cong trơn trung bình.
Đối với phương trình động lực (2.28) để sai phân hóa
phải lấy θ2 >

∂Z
, nhất thiết
∂t

1
1
. Trị số θ2 = là giới hạn dưới của sự sử dụng của nghiệm.
2
2

Kinh nghiệm tính tốn cho thấy rằng nếu lấy θ2 khoảng 2/3 ÷ 1 (sai phân hóa
∂Z
với θ2 = 1 tức là lấy độ dốc mực nước tức thời, lúc cuối thời đoạn t = j).
∂t

Dưới đây sẽ trình bày các cơng thức so với θ 1 = θ 2 = 1 _Trong phương
trình liên tục sai số hoá

∂z
theo 2.32 và sai phân hoá.
∂tt

Qij − Qi − 1 j Bc ⎛ Zij − Zi − 1, j Zi , j − 1 + Zi − 1, j − 1⎞
+
x⎜
−
⎟ = q' t
⎠
ΔS
Δt ⎝
2
2

(2.32)

Trong đó: Bc: Chiều rộng mặt nước kể cả khu chứa, lấy trung bình trên
đoạn kênh và cùng với mực nước lúc giữa thời đoạn, tức là lấy trung bình 4
điểm.
Trong thực tế, khu chứa bao gồm bãi cạn ở bờ kênh có thơng với mặt
nước kênh, ở đó mực nước có thể lên xuống tự do theo mực nước kênh, trao
đổi nước tự do với dịng kênh nhưng lưu tốc hướng dọc khơng đáng kể.
Ta gọi tổng diện tích mực nước khu chứa nói trên trong phạm vi đoạn
50


kênh tính tốn là Ωc, Ωc ; là hàm của mực nước trung bình của đoạn kênh
(xem hình 2.9).

Ωkhu chứa

i-1

i

Bc

B

Hình 2.9 Sơ đồ đoạn kênh có khu chứa.
Theo ý nghĩa của phương trình liên tục, trị số B trong cơng thức (2.32)
phải tính bằng:
Bc = B +

πC
ΔS

(2.33)

Trong đó: B chiều rộng trung bình của dịng dẫn ứng với mực nước
trung bình của thời đoạn Z
Ωc diện tích khu chứa trong phạm vi đoạn kênh ứng với mực nước

trung bình của thời đoạn Z (trong hình 4 điểm)
Z =

1
( Zi −1 , j −1 +Z i −1 , j +Zi , j −1 + Zi , j )
4

(2.34)

Bây giờ ta tìm cơng thức sai phân cho phương trình động lực với θ2 =
1. Vì ý đồ tuyến tính hóa phương trình sai phân để sau này có thể thay giải
phương trình đạo hàm riêng phi tuyến bằng việc giải hệ phương trình đại số
tuyến tính, nên ở đây ta cần một số thủ thuật tính tốn.
Trong phương trình động lực (2.28) các đạo hàm theo thời gian được
sai phân hóa theo kiểu (2.29) cịn các hệ số của nó thì lấy trung bình 4 điểm,
51


cụ thể là:
αo ∂Q ⎛ αo ⎞ 1 ⎛ Qi , j + Qi −1 , j Qi , j −1 + Qi −1 , j −1 ⎞
⎟ ⎜
≈⎜
−
⎟
⎠
gω ∂t ⎜ gω ⎟ Δt ⎝
2
2
⎝
⎠
αBc + αoB ∂Z ⎛ αBc + αoB ⎞ 1
Q
Q⎟
≈⎜
⎟ Δt x
∂t ⎜ gω 2
gω 2
⎠
⎝

⎛ Zi , j + Zi − 1, j Zi , j − 1 + Zi − 1, j − 1⎞
−
⎜
⎟
⎝
⎠
2
2

⎡ ao ⎤ ⎡ aBc + aoB ⎤
⎥; ⎢
Q⎥
2
⎢ gω ⎥ ⎢ g x
⎥
⎣
⎦⎣
⎦

Trong đó: ⎢

Coi là các hệ số và lấy trung bình 4 điểm (ký hiệu 2 gạch trên đầu).
Còn các đạo hàm theo S như

∂Z α Q ∂ω
,
cùng với các số hạng
∂S g ω 2 ∂S

Q| Q| αq '

,
Q . Thì ở đây lấy lúc t = j (tức θ2 = 1)
K 2 gω 2
∂Z Zi , j − Zt − 1, j
≈
∂S
ΔS
Q| Q| ⎛ | Q| ⎞ Qi , j + Qi − 1, j
≈⎜ 2⎟ .
2
K2
⎝K ⎠j

αQ 2 ∂ω ⎛ αQ ⎞ ωi , j − ωi − 1, j Qi , j + Qi − 1, j
≈⎜
.
⎟
2
ΔS
gω 2 ∂S ⎝ gω 3 ⎠ j

Trong đó các hệ số có dạng ( ⎯ ) đều được lấy trung bình của đoạn kênh
vào lúc cuối thời đoạn (t=j), gọi tắt là trung bình 2 điểm sau.
Thay các số hạng đã biến đổi như trên vào (2.28) ta được
Zi , j − Zi − 1, j ⎛ αo ⎞ 1
+⎜
x
⎟
ΔS
⎝ 2 gω ⎠ Δt

x (Qi , j + Qi , j − 1 − Qi , j − 1 − Qi − 1, j − 1) −
⎛ αBc + αoB ⎞
⎟
−⎜
⎜ 2 gω 2 Q⎟ ( Zi , j + Zi − 1, J − Zi , j − 1 − Zi − 1, i − 1) −
⎝
⎠
⎛ αQ ⎞ COi , j − COi − 1, j
−⎜
x
(Qi , j + Qi − 1, j ) +
3⎟
ΔS
⎝ 2 gω ⎠ j
⎛ αq ' ⎞
⎛ | Q| ⎞
+⎜
⎟ (Qi , j + Qi − 1, j ) = ⎜
⎟ (Qi , j + Qi − 1, j )
2
2
⎝ 2 gω ⎠ j
⎝ 2K ⎠ j

(2.35)
52


Để viết(2.27) và (2.35) thành một hệ phương trình đại số tuyến tính đối
với các đại lượng cần tìm Qi,j; Qi-1,j; Zi,j; Zi-1,j ta nhân 2 vế của các

phương trình với ΔS và đặt
⎛ αo ⎞ ΔS
⎟
d =⎜
⎜ 2 gω ⎟ Δt
⎝
⎠

(2.36)

⎛ αBc + αoB ⎞ ΔS
e=⎜
Q⎟
⎜ 2 gω 2
⎟ Δt
⎝
⎠

(2.37)

⎛ αQ ⎞
⎟ (ωi−1 − ωi ) j
fr = ⎜
⎜ 2 gω 2 ⎟
⎝
⎠j

(2.38)

⎛ αq ' ΔS ⎞

j=⎜
⎟
⎝ 2 gω 2 ⎠ j

(2.39)

⎛ | Q| ΔS ⎞
⎟ = | Qi , j + Qi − 1, j| ΔS (240)
k =⎜
2 ⎟
⎜ 2K
4K2 j
⎝
⎠j

Rồi sắp xếp lại ta được
Bc Δs
Bc Δs
⋅ ( zi , j + zi −1, j ) =
+z
(z
) + q j ⋅ Δs
Qi,j - Qi-1,j + 2 Δt
2 Δt i , j −1 i −1, j −1

và
zi , j − zi −1, j + d ( Qi , j + Qi −1, j ) − e( zi , j + zi − 1, j ) + fr ( Qi , j + Qi − 1, j ) + γ ( Qi , j + Qi −1, j ) + k ( Qi , j + Qi − 1, j ) =
d ( Qi , j −1 − Qi −1, j −1 ) e( zi , j −1 + zi −1, j −1 )

Sắp xếp lại theo thứ tự các tử số Qi-1,j; Zi-1,j; Qi,j; Zi,j ta được

− Qi −1 , j +

=

Bc ΔS
Bc ΔS
Zi −1 , j +Qi , j +
Zi , j =
2 Δt
2 Δt

Bc ΔS
( Zi , j−1 + Zi −1 , j−1 ) + q j ΔS
2 Δt

53


Qi −1 , j −

−1− e
Z , j +Qi , j +
k +d + γ + fr i −1

+

1− 2
Zi , j ≈
k +d +γ + f

≈

d (Qi , j−1Qi −1 , j−1 )e( Zi , j−1 + Zi −1 , j−1
k +d + γ + fr

A=

Bc Δ S
2 Δt

( 2 .41)

C =

−1− 2
k +d + γ + fr

( 2 .42 )

D =

1− 2
k +d + γ + fr

( 2 .43)

M = A( Zi , j − 1 + Z i − 1 , j − 1 ) + q ' + Δ S
N =

( 2 .44 )

d ( Qi , j − 1 + Q i − 1 , j − 1 − e ( Zi , j − 1 + Z i − 1 , j − 1 )
k +d + γ + fr

( 2 .45)

Ta được hệ phương trình đại số tuyến tính để tính Q và Z là t = j
-1Qi-1 + Ai Zi-1+1Qi+Ai Zi = Mi
1Qi-1 + Ci Zi-1 + 1Qi+Di Zi = Ni

(2.46)

Trong ( 2.46) các ẩn số đầu vào lúc cuối thời đoạn t=j; từ đây trở đi, để
cho gọn ta không ghi chú chữ số j nữa. Các yếu tố lúc đầu thời đoạn (t=i-1)
đều đã được đưa sang về phải, coi như đã biết.
Cần nhắc lại rằng trong các hệ số A, C, D.., các đại lượng Bc, d, e phải
lấy trung bình 4 điểm, cịn các đại lượng k, γ, fr thì lấy trung bình 2 điểm lúc
cuối thời đoạn. Như vậy các hệ số của phương trình lại phụ thuộc ẩn số cần
tìm Q, Z lúc t = j. Ta phải giải quyết điều đó bằng thuật tốn tính lặp, cụ thể
là: lần đầu tạm tính các hệ số đó theo các yếu tố bước đầu thời đoạn t=j-1 (là
các yếu tố đã biết) dựa vào phương trình và giải ra được các nghiệm số gần
đúng lần thứ 1; từ đó sẽ tính lại các hệ số rồi đưa vào phương trình để giải lần
54


thứ 2 tìm nghiệm số đúng hơn. Cứ làm như thế cho đến khi kết quả hai lần
tính lặp liên tiếp chỉ còn sai khác nhau nhỏ hơn sai số cho phép là được.
-Giả sử δQ, δ Z là sai số cho phép về lưu lượng và mực nước, khi tính lặp đến
lần thứ k, được Qk, Zk ta dùng các trị số đó để tính lại các hệ số của hệ
phương trình rồi giải lại lần thứ kt1, ta được Qkt1, Zkt1.

Nếu thấy:
|Qk - Qkt1| ≤ δQ
|Zk - Zkt1| ≤ δZ

(2.47)

có thể coi là được.
Với cách tính lặp đã nói trên, trong mỗi lần tính ta đều coi các hệ số A,
C, D, M, N là các hằng số đã biết.
Bây giờ ta nghiên cứu cách giải các phương trình đại số bậc nhất
( 2.46).
Mỗi hệ phương trình (2.46) thuộc đoạn thứ i là 2 phương trình và chứa
4 ẩn số: Qi-1, Zi-1,Qi, Zi.
Tồn kênh cần tính tốn đã được chia thành n đoạn, từ mặt cắt 0-0 đến
mặt cắt n-n, mỗi đoạn có 2 phương trình (2.46), tất cả có 2n phương trình đại
số tuyến tính, sắp xếp lại như sau:
Đoạn 0-1:
-1Qo +A1Zo + 1Q1 + A1Z1 = M1
+ 1Qo + C1Zo + 1Q1 + D1 Z1 = N1
Đoạn 0-2:
-1Q1 + A2Z1 + 1Q2 + A2Z2= M2
-1Q1 + C2Z1 + 1Q2 + D2Z2= N2
Đoạn n-1,n:

(2.48)

-1Qn-1 + AnZn-1+1Qn+AnZn=Mn
+1Qn-1 + CnZn-1+1Qn+DnZn=Nn

Ta phải tìm tất cả (2n + 2) ẩn số Q và Z tại (n + 1) mặt cắt. Cần kết hợp

2n phương trình (2.42) với 2 điều kiện ở hai đầu. Giả sử điều kiện đã cho là:
"biết đường quá trình lưu lượng ở đầu trên và đường quá trình mực nước ở
đầu dưới", tức là đã biết Qo và Zn, ta sẽ còn lại 2n ẩn số là Zo, Q1, Z1, Q2,... Zn1,

Qn, lúc đố hệ (2.42) đủ để giải. Hai điều kiện tự nhiên ở 2 đầu cũng có thể

cho dưới dạng phương trình quan hệ Qo = t (Zo) hoặc Qn = f (Zn), cùng với
(2.42), cũng thành 1 hệ 2n+2 phương trình để giải ra 2n+2 ẩn.
55