Chuỗi thời gian có thể thể hiện dưới dạng đồ thị với trục hoành là thời doc

125 126

Chương 5

ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT HÀM NGẪU NHIÊN VÀO
PHÂN TÍCH SỐ LIỆU HẢI DƯONG HỌC
5.1. Phân tích chuỗi thời gian trong hải dương học
Chuỗi thời gian là tuần tự các giá trị của một yếu tố quan trắc sắp
xếp theo thứ tự thời gian. Thường khoảng thời gian giữa các quan trắc
(khoảng gián đoạn quan trắc,
tΔ
) không đổi. Trong hải dương học và khí
tượng thủy văn nói chung, khoảng gián đoạn có thể bằng từ phần của
giây (khi nghiên cứu rối) đến nhiều năm (khi nghiên cứu dao động quy
mô khí hậu).

Hình 5.1. Nhiệt độ nước mặt biển tại trạm Phú Quý theo số liệu ngày
Chuỗi thời gian có thể thể hiện dưới dạng đồ thị với trục hoành là
thời gian (giây, giờ, ngày, tháng hoặc năm), trục tung là giá trị quan trắc.
Phân tích sơ bộ các chuỗi thời gian của các yếu tố khí tượng thủy
văn, ta có thể dễ nhận thấy diễn biến chung, hay biến thiên của chúng,
gồm tổng một số dao động có tính chất tuần hoàn hoặc không tuần hoàn.
Trên hình 5.1 thể hiện biế
n thiên của nhiệt độ nước mặt biển từng ngày
tại trạm Phú Quý quan trắc trong giai đoạn 1979-1990. Thấy rằng, nhiệt
độ nước có thể tăng hoặc giảm từ ngày này sang ngày khác trong một số
ngày, dao động có chu kỳ năm (biến trình năm) thể hiện khá rõ nét, ngoài
ra, nhiệt độ có vẻ cao hơn hoặc thấp hơn ở những năm khác nhau, tức dao
động giữa các năm.
Phân tích thống kê đối với chu
ỗi thời gian nhằm tìm hiểu những tính

chất cơ bản của chuỗi thời gian – độ biến động và các đặc trưng của dao
động tuần hoàn và không tuần hoàn; những tính chất đó sẽ giúp tìm hiểu
đặc điểm và nguyên nhân biến thiên, góp phần giải quyết bài toán cơ bản
dự báo diễn biến của chuỗi thời gian trong tương lai.
Mặc dù chuỗi thời gian các quan trắc khí tượng thủy văn dao động
thăng giáng rất phức tạp, không trật tự, song những đặc trưng thống kê
nhất định thường giữ không đổi trong các giai đoạn của chuỗi thời gian.
Khi phân tích các chuỗi thời gian của một yếu tố khí tượng thủy văn,
người ta sử dụng những phương pháp của lý thuyết hàm ngẫu nhiên dừng
egođic đã tổng quan ở chương 4.
Trong các mục tiếp theo chúng ta sẽ xét các bài toán ứng dụ
ng
những phương pháp hàm ngẫu nhiên vào phân tích số liệu hải dương học.
Các công thức lý thuyết sẽ được triển khai trong thực hành và ngoài ra,
chú trọng lý giải nội hàm các kết quả phân tích để chứng minh tính hiệu
quả của các phương pháp thống kê.

127 128
5.1.1. Phân tích các chu trình tuần hoàn
Biến trình năm của yếu tố khí tượng thủy văn có thể dễ dàng phân
tích nếu tính các giá trị trung bình của yếu tố cho từng tháng hoặc từng
mùa và biểu diễn các giá trị trung bình tháng (biến trình năm) trên đồ thị
thời gian (hình 5.2). Xem đồ thị biến trình năm, ta có được khái niệm về
tính chất biến thiên trong năm của yếu tố. Tương tự, có thể vẽ đồ thị giá
trị nhiệt
độ trung bình từng ngày của năm. Tuy nhiên, chuỗi từng ngày có
thể có những thăng giáng ngẫu nhiên do những dao động không điều hòa
chu kỳ ngắn như đã nhận xét theo hình 5.1, gây khó khăn cho sự phân
tích.
Trong khí tượng thủy văn, người ta phân biệt giá trị trung bình

tháng tính cho một năm cụ thể với giá trị trung bình tháng tính theo số
liệu một số năm quan trắc, gọi là trung bình tháng nhiều năm hay chuẩn
tháng. Bảng 5.1 dẫn các giá tr
ị trung bình tháng và trung bình tháng
nhiều năm của nhiệt độ nước mặt biển trạm Phú Quý thời kỳ 1979-1990
tính theo số liệu trung bình ngày. Tương tự, ta có trung bình mùa, trung
bình mùa nhiều năm và trung bình năm, trung bình năm nhiều năm,
nhưng người ta ít khi tính giá trị trung bình ngày nhiều năm.
Trong bảng 5.1, giá trị trung bình tháng nhiều năm ghi ở dòng cuối
cùng. Cột cuối cùng ghi các giá trị trung bình năm. Giá trị ở góc dưới
cùng bên phải bảng
)C5,27(
o
là chuẩn năm. Dòng ký hiệu bằng T
δ
cho
thấy dị thường của nhiệt độ so với chuẩn tháng. Thí dụ, ta thấy các năm
1981-1984 có tháng giêng lạnh hơn chuẩn từ 0,1 đến 0,8
C
o
, còn các năm
1987-1990, tháng giêng ấm hơn chuẩn cũng khoảng 0,1 đến 0,7
C
o
.



Bảng 5.1. Nhiệt độ nước mặt biển trung bình tháng trạm Phú Quý
T h á n g

Năm
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
TBN
1979 29,4 28,4 28,2 29,6 27,3 26,6 24,9 27,8
T
δ

0,7 0,0 0,0 0,8 -1,1 -0,5 -0,3
1980 25,0 25,6 27,7 28,6 30,2 29,4 28,7 28,4 28,6 28,5 27,1 25,4 27,8
T
δ

0,2 0,0 0,7 0,1 0,7 0,8 0,4 0,2 -0,2 0,1 0,1 0,2
1981 24,4 25,7 27,5 29,4 30,4 28,3 28,8 28,3 29,5 29,2 27,5 25,2 27,9
T
δ

-0,4 0,0 0,5 0,9 0,8 -0,4 0,4 0,1 0,7 0,8 0,5 0,0
1982 24,5 25,6 27,6 28,0 29,5 27,2 27,8 28,3 28,8 27,8 25,2 27,3
T
δ

-0,3 0,0 0,6 -0,5 0,0 -1,2 -0,4 -0,5 0,4 0,7 0,0
1983 24,7 25,5 26,5 28,8 29,6 29,3 28,6 28,6 29,5 28,2 26,4 24,9 27,6
T
δ

-0,1 -0,1 -0,5 0,2 0,1 0,6 0,2 0,4 0,7 -0,2 -0,6 -0,3
1984 24,1 24,8 26,7 29,0 29,1 28,0 28,4 27,4 28,4 28,4 26,9 25,4 27,2
T

δ

-0,8 -0,8 -0,3 0,5 -0,5 -0,7 0,0 -0,8 -0,4 0,0 -0,2 0,1
1985 25,0 26,5 26,7 27,6 28,9 27,7 28,1 28,0 28,6 28,4 27,0 25,8 27,4
T
δ

0,2 0,8 -0,3 -0,9 -0,6 -1,0 -0,3 -0,2 -0,3 0,0 0,0 0,5
1986 24,5 25,6 26,1 28,1 28,8 28,9 28,4 27,4 28,3 28,5 26,7 25,6 27,2
T
δ

-0,4 -0,1 -0,8 -0,4 -0,8 0,2 0,0 -0,8 -0,5 0,2 -0,3 0,3
1987 24,9 25,5 27,8 29,0 30,2 29,3 28,4 29,0 28,8 29,3 28,5 25,3 28,0
T
δ

0,1 -0,2 0,8 0,5 0,7 0,6 0,0 0,8 0,0 0,9 1,4 0,1
1988 25,5 26,4 27,0 27,5 29,4 28,1 28,6 29,2 29,6 28,0 25,9 24,5 27,5
T
δ

0,7 0,8 0,0 -1,0 -0,1 -0,6 0,3 1,0 0,8 -0,4 -1,2 -0,7
1989 25,2 24,8 26,0 28,7 29,1 28,6 28,3 28,0 28,5 28,0 27,1 25,1 27,3
T
δ

0,3 -0,8 -1,0 0,2 -0,4 -0,1 -0,1 -0,1 -0,3 -0,3 0,0 -0,1
1990 25,4 26,1 27,1 29,1 29,6 28,6 28,6 27,9 27,9 27,9 27,0 25,5 27,6
T

δ

0,6 0,4 0,2 0,5 0,1 -0,1 0,2 -0,3 -0,9 -0,5 0,0 0,3
NN 24,8 25,6 27,0 28,5 29,5 28,7 28,4 28,2 28,8 28,4 27,0 25,2 27,5
Trên hình 5.2, biến trình năm của từng năm cụ thể được biểu diễn
bằng các đường cong mảnh màu xanh, riêng năm 1980 bằng đường đậm
nét màu đỏ. Biến trình năm trung bình nhiều năm được biểu diễn bằng
đường gạch nối đậm nét. Phân tích sơ bộ bảng 5.1 và hình 5.2 đã giúp ta
thấy được một cách định tính rằng các giá trị nhiệt độ trung bình từng
129 130
tháng và biến trình năm ở các năm khác nhau có khác nhau.

Hình 5.2. Biến trình năm của nhiệt độ nước mặt biển trạm Phú Quý
(vẽ theo giá trị nhiệt độ trung bình tháng thời kỳ 1980-1990)

Mục tiếp sau giới thiệu phương pháp áp dụng phép khai triển hàm
thời gian đối với chuỗi giá trị nhiệt độ trung bình tháng cho phép ta xác
định được các đặc trưng định lượng của dao động năm của nhiệt độ nước
biển.
5.1.2. Xác định các chu trình tuần hoàn bằng phương pháp
phân tích điều hòa
Trong khí tượng thủy văn, việc khai triển hàm thời gian theo công
thức (4.30) được gọi là phân tích điều hòa.
Đối với trường hợp các quan trắc được thực hiện sau những khoảng
gián đoạn
tΔ
đều nhau, nếu trong khoảng thời gian quan trắc
P
hàm
X

chỉ có
N hữu hạn lần quan trắc, thì dấu tổng
Σ
trong công thức khai
triển (4.30) chỉ tính tới một số hữu hạn các số hạng sin và cosin. Cụ thể là
1
2
−
N
số hạng chứa hàm sin và
2
N
số hạng chứa hàm cosin. Thí dụ, nếu
nhiệt độ cho bằng chuỗi 12 giá trị trung bình tháng, thì biến trình năm
được mô tả bằng một giá trị trung bình năm, 5 số hạng chứa hàm sin và 6
số hạng chứa hàm cosin. Với chuỗi ngày có 24 giá trị giờ - một giá trị
trung bình ngày, 11 số hạng chứa sin và 12 số hạng chứa cosin. Viết lại
công thức (4.30) thành
2
2
cos2
2
sin
2
cos
2
sin
2211
+++++= t

P
Bt
P
At
P
Bt
P
AXX
π
π
π
π

Như đã nói, trong tổng này có
1
2
−
N
số hạng chứa hàm sin và
2
N

số hạng chứa hàm cosin (
2/N
A luôn bằng không). Do đó, ta viết
∑
=
⎟
⎠
⎞

⎜
⎝
⎛
++=
2/
1
2
cos
2
sin
N
i
ii
it
P
Bit
P
AXX
ππ
. (5.1)
Trong công thức này
−
P
chu kỳ cơ bản, hay chu kỳ đầy đủ của
hàm tuần hoàn, đơn vị đo là các đơn vị thời gian.
P
không luôn luôn
bằng
N , nó chỉ bằng N về trị số khi khoảng gián đoạn quan trắc bằng
1=Δt . Đại lượng

i
gọi là số hiệu của hài điều hòa và là số nguyên giữa
1 và
2
N
. Đơn vị đo của t và P phải cùng là một. Vậy hai số hạng đầu
tiên trong dấu tổng biến thiên một chu trình đầy đủ trong một chu kỳ cơ
bản. Các số hạng thứ 3 và 4 biến thiên nhanh gấp đôi, hoàn thành một
chu trình đầy đủ trong thời gian nửa chu kỳ cơ bản. Số hạng cuối cùng có
chu kỳ biến thiên
N
P2
. Nếu cho 12 giá trị tháng, hài điều hòa cuối cùng
có chu kỳ bằng 2 tháng.
131 132
Các hệ số khai triển
A và
B
trong công thức (4.40) được tìm theo
các công thức phân tích điều hòa:
1
2
,,2,1,
2
sin
2
1
−=
⎟
⎠

⎞
⎜
⎝
⎛
=
∑
=
N
iit
P
X
N
A
N
t
ti
π
, (5.2a)
1
2
,,2,1,
2
cos
2
1
−=
⎟
⎠
⎞
⎜

⎝
⎛
=
∑
=
N
iit
P
X
N
B
N
t
ti
π
, (5.2b)
0
2/
=
N
A , (5.2c)
∑
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=

N
t
tN
t
P
N
X
N
B
1
2/
cos
1
π
. (5.2d)
Chú ý việc chọn điểm gốc thời gian đo của chuỗi
X
không có ý
nghĩa quyết định đối với giá trị của các hệ số
i
A và
i
B và biên độ chung
của hài điều hòa, nhưng phải nhớ rằng khi phân tích kết quả phải sử dụng
cùng một mốc gốc thời gian như khi tính
i
A và
i
B . Thí dụ, nếu giá trị
tháng giêng của

X
quy ước ứng với 1
=
t , tháng hai 2
=
−
t , v.v , thì
gốc tính thời gian
)0(
=
t là giữa tháng mười hai.
Để thuận tiện giải thích kết quả phân tích điều hòa, các số hạng chứa
sin và cosin cùng số hiệu
i
có thể cộng lại, ta có
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−=+ )(
2
cos
2
cos
2
sin
iiii
t

P
i
Cit
P
Bit
P
A
τ
π
ππ
,
trong đó
22
iii
BAC += và
i
i
i
B
A
i
P
arctg
2
π
τ
= . (5.3)
i
C gọi là biên độ của hài thứ
i

, còn
−
i
τ
pha của hài
i
, chính là
thời điểm mà hài thứ
i
đạt cực đại trong biến thiên của nó. Ta giải thích
ý nghĩa của các đại lượng
i
C và
i
τ
như sau: hài thứ i có biên độ dao
động bằng
i
C và pha ban đầu (thời gian đạt cực đại của hàm cosin) bằng
i
τ
. Vậy dao động với số hiệu i đóng góp vào phương sai chung của hàm
X
một lượng bằng 2/
2
i
C , ngoại trừ hài cuối cùng, bằng
2
i
C . Mỗi hài

góp một phần riêng vào phương sai chung của hàm
X
.
Trong thực tế phân tích điều hòa, người ta có thể chỉ tính một số hài
điều hòa đầu tiên, nếu tỷ phần đóng góp tổng cộng của chúng chiếm phần
lớn phương sai của hàm
X
, phần phương sai nhỏ còn lại được xem là
không đáng kể, do những dao động nhiễu bởi sai số quan trắc.
Thí dụ 5.1: Phân tích điều hòa biến trình năm nhiệt độ nước biển.
Cho 12 giá trị nhiệt độ nước mặt biển trung bình tháng nhiều năm tại
trạm Phú Quý (xem dòng cuối cùng của bảng 5.1). Thực hiện phân tích
điều hòa theo các công thức 5.2a-d) để xác định đặc điểm dao động năm
c
ủa nhiệt độ tại trạm.
Giải: Tính
X
,
x
D , được 5,27=X , 2,2
=
x
D .
85,1)6888,1()7525,0(
22
1
=+=C )C(
o
,
8,6

6888,1
7525,0
arctg
2
12
1
=
−
−
=
π
τ
(tháng),
71,1
2
2
1
=
C
)C(
2o
,
%78,77100
2,22
85,1
2
2
2
1
=

×
=
x
D
C
.
Trong thực hành tính toán, nếu không dùng máy tính, ta có thể ghi
các phép tính trung gian khi tính các hệ số
i
A và
i
B thành dạng bảng
như sau (thí dụ với
1
=
i để tính
1
A và
1
B ):
133 134
t

t
X

t
N 12
2
sin

2
π

t
N
X
t
12
2
sin
2
π
×

t
N 12
2
cos
2
π

t
N
X
t
12
2
cos
2
π

×

(1) (2) (3) (4) = (2) × (3) (5) (6) = (2)
×
(5)
1 24,8 0,0833 2,0667 0,1443 3,5796
2 25,6 0,1443 3,6950 0,0833 2,1333
3 27,0 0,1667 4,5000 0,0000 0,0000
4 28,5 0,1443 4,1136 -0,0833 -2,3750
5 29,5 0,0833 2,4583 -0,1443 -4,2580
6 28,7 0,0000 0,0000 -0,1667 -4,7833
7 28,4 -0,0833 -2,3667 -0,1443 -4,0992
8 28,2 -0,1443 -4,0703 -0,0833 -2,3500
9 28,8 -0,1667 -4,8000 0,0000 0,0000
10 28,4 -0,1443 -4,0992 0,0833 2,3667
11 27,0 -0,0833 -2,2500 0,1443 3,8971
12 25,2 0,0000 0,0000 0,1667 4,2000
=X

27,5
=Σ=
)4(1
A -0,7525
=
Σ
=
)6(1
B -1,6888
Chú ý rằng trong bảng trên, người ta đã tính sẵn các đại lượng
it

N 12
2
sin
2
π
và it
N 12
2
cos
2
π
của các công thức (5.2a-b) và ghi vào các
cột (3) và (5). Do đó, tổng các cột (4) và (6) tuần tự cho ngay giá trị
i
A ,
i
B .
Thực hiện tính toán tương tự, ta được kết quả đối với tất cả các hài
điều hòa số hiệu cao hơn được ghi trong bảng 5.2.
Như vậy, ta đã khai triển biến trình năm của nhiệt độ nước biển trạm
Phú Quý thành tổng gồm một giá trị nhiệt độ trung bình năm
5,27=X
và sáu hàm điều hòa như sau:
)].00,1(180cos[08,0)]25,2(150cos[08,0
)]66,1(120cos[09,0)]54,1(90cos[18,0
)]11,4(60cos[01,1)]80,6(30cos[85,1
5,27)(
2
cos)(
6

1
−+−+
−+−+
−+−+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−+=
∑
=
tt
tt
tt
t
P
i
CXtX
i
ii
oo
oo
oo
τ
π

Bảng 5.2. Kết quả phân tích điều hòa biến trình năm

nhiệt độ nước mặt biển trạm Phú Quý
i
i
A
i
B
i
C ( C
o
)
i
τ
(tháng)
%
2
2
x
D
C

1 -0,7525 -1,6888 1,85 6,80 77,8
2 -0,9238 -0,4000 1,01 4,11 22,6
3 0,1167 -0,1333 0,18 1,54 0,7
4 -0,0289 -0,0833 0,09 1,66 0,2
5 -0,0308 0,0721 0,08 2,25 0,1
6 0,0000 -0,0750 0,08 1,00 0,2
Thấy rằng biến trình năm của nhiệt độ nước chủ yếu do hai dao
động điều hòa quyết định: dao động thứ nhất ứng với số hiệu
1=i , có
chu kỳ bằng 12 tháng (tốc độ góc bằng

o
30 /tháng), biên độ bằng
C85,1
o
, pha ban đầu bằng 6,8 tháng, tức dao động này cực đại vào
khoảng giữa tháng 7 của năm, dao động này gây nên hơn 77 % phương
sai chung của dao động năm. Dao động thứ hai ứng với số hiệu
2=i
, có
chu kỳ 6 tháng, tốc độ góc
o
60 /tháng, thực hiện hai chu trình trong một
năm, pha ban đầu 4,11 tháng, đạt cực đại thứ nhất vào khoảng giữa tháng
4, cực đại thứ hai vào khoảng giữa tháng 10, góp hơn 22 % vào phương
sai chung của dao động năm. Hai dao động này đóng góp 99 % phương
sai vào dao động năm. Kết hợp hai dao động này tạo nên biến trình năm
135 136
điển hình gồm hai cực đại nhiệt độ ở đầu và cuối hè ở vùng nhiệt đới.
Bốn dao động còn lại có tần số cao hơn chỉ đóng góp tỷ phần khoảng 1 %
phương sai. Trên hình 5.3 biểu diễn dao động của hài thứ nhất (đường
cong 1), hài thứ 2 (đường cong 2), tổng của nhiệt độ trung bình và hai hài
này (đường cong 3) và biến trình năm xuất phát (đường cong 4). Thấy rõ
rằng, chỉ cần tính đế
n 2 số hạng của chuỗi khai triển (đường cong 3) gần
như hoàn toàn trùng khớp quan trắc thực (đường cong 4). Những dao
động cao tần của bốn hài điều hòa còn lại chỉ làm sai lệch chút ít, được
xem là các nhiễu ngẫu nhiên trong bối cảnh hiện tại.

Hình 5.3. Diễn biến của các hài điều hòa và
biến trình nhiệt độ nước biển trạm Phú Quý

Tuy nhiên, nếu quan niệm phần phương sai dư sau khi đã loại bỏ giá
trị của hai hài chính khỏi chuỗi thời gian như trong thí dụ này không phải
là những nhiễu ngẫu nhiên, mà là những dao động tần cao trong chuỗi
thời gian, thì việc khảo sát tiếp chuỗi phần dư sẽ có ý nghĩa. Quan niệm
này là cơ sở để người ta lọc bỏ biến trình năm hiển nhiên khỏi chuỗi thời
gian xuất phát nhằm mụ
c đích nghiên cứu các dao động với tần số cao
hơn, tức các dao động quy mô một số ngày, quy mô synop, trong hải
dương học.
Trong mục 5.3 sẽ xét các phương pháp loại bỏ các chu trình tuần
hoàn khỏi chuỗi thời gian.
5.2. Phổ phương sai của chuỗi thời gian
Như đã thấy từ mục 5.1.2, đại lượng nửa bình phương biên độ
(
2/
2
i
C ) của các hài tuần hoàn thứ i trong chuỗi khai triển chính là phần
đóng góp của dao động với chu kỳ tương ứng
iP / vào phương sai chung
của hàm thời gian. Ta có thể biểu diễn tất cả các giá trị
2/
2
C của từng
hài theo chu kỳ trên một đồ thị gọi là phổ phương sai của hàm thời gian.
Nó cho ta khái niệm về sự phân bố phương sai của hàm thời gian theo các
tần số (hoặc chu kỳ) của các dao động thành phần khác nhau, tức cho
khái niệm về cấu trúc tần số của dao động trong hàm thời gian. Thí dụ,
hình 5.4 thể hiện phân bố phương sai của biến thiên năm của nhiệt độ
nước m

ặt biển trạm Phú Quý theo kết quả phân tích điều hòa ở mục 5.1.2.
Trên hình 5.4 hoành độ được biểu diễn bằng thang logarit để thu
gọn độ dài của trục ngang. Tung độ có thể biểu diễn trực tiếp bằng nửa
bình phương của biên độ
2/
2
C hoặc tỉ số giữa nửa bình phương biên độ
và phương sai
x
DC 2/
2
(cột cuối cùng của bảng 5.2, trường hợp này
cho ta đồ thị phổ phương sai chuẩn hóa).
Chú ý rằng, các công thức khai triển 5.2–5.3 áp dụng đối với chuỗi
thời gian độ dài
N bất kỳ. Trên hình 5.5 thể hiện phân bố phương sai
theo các chu kỳ dao động khác nhau theo kết quả áp dụng các công thức
5.2–5.3 đối với chuỗi giá trị ngày của nhiệt độ nước trạm Côn Đảo quan
trắc trong thời gian 12 năm (từ 1979 đến 1990). Độ dài chuỗi thời gian
137 138
trong trường hợp này bằng
4230=N ngày, chu kỳ cơ bản 4230
=
P
ngày (
1=Δt ngày). Đồ thị này giúp ta thấy rằng hai chu kỳ năm và nửa
năm chiếm phần phương sai áp đảo. Có biểu hiện tồn tại những chu kỳ
dài hơn, ở khoảng hơn 2 năm và một số năm, nhưng chúng không thể nổi
rõ trên đồ thị.

Hình 5.4. Phổ phương sai của nhiệt độ nước trạm Phú Quý

Trong mục tiếp sau sẽ xét những phương pháp loại bỏ các chu trình
năm và nửa năm được xem là hiển nhiên, để nghiên cứu những dao động
với chu kỳ nhỏ hơn (cỡ một số ngày), hoặc lớn hơn (cỡ một số năm)
trong các chuỗi thời gian.
Phụ lục 5.A giới thiệu mã Fortran của thủ tục để phân tích phổ
thông qua phân tích điều hòa đối với chuỗi thời gian trong trườ
ng hợp độ
dài chuỗi
N bất kỳ và độ gián đoạn về thời gian quan trắc t
Δ
bất kỳ.

Hình 5.5. Phổ phương sai của nhiệt độ nước trạm Côn Đảo
(tính theo chuỗi giá trị ngày, quan trắc năm 1979-1990)
5.3. Loại bỏ chu trình tuần hoàn khỏi chuỗi thời gian
5.3.1. Loại bỏ chu trình tuần hoàn bằng phân tích điều hòa
Trong hải dương học thường có nhu cầu loại bỏ biến trình ngày khỏi
các chuỗi quan trắc với độ gián đoạn thời gian cỡ giờ và dưới giờ để khảo
sát các dao động quy mô dưới ngày. Biến trình năm thường bị loại khỏi
các chuỗi quan trắc có độ gián đoạn ngày hay một vài ngày để nghiên
139 140
cứu các dao động quy mô synop, những thăng giáng không tuần hoàn
giữa các ngày trong năm. Ta xét phương pháp loại bỏ các chu trình tuần
hoàn khỏi chuỗi thời gian thông qua thí dụ dưới đây.
Thí dụ 5.2: Loại bỏ biến trình năm khỏi chuỗi số liệu ngày. Số liệu
xuất phát là 366 giá trị từng ngày của nhiệt độ nước biển trạm Phú Quý,
quan trắc trong năm 1980. Đồ thị thời gian của chuỗi này thể hiện trên

hình 5.6a v
ới biến trình năm nổi lên rất rõ nét.
Ta xác định chu trình năm của nhiệt độ nước biển ứng với năm 1980
bằng phân tích điều hòa theo sơ đồ đã trình bày chi tiết trong thí dụ 5.1
đối với chuỗi giá trị trung bình tháng của năm 1980 (lấy từ bảng 5.1). Kết
quả phân tích điều hòa được hai chu trình năm và nửa năm như sau:
- Các đặc trưng thống kê: trung bình
C78,27
o
=X , phương sai
2
)C(52,2
o
=
x
D , độ lệch chuẩn C59,1
o
=
x
σ
.
- Chu trình năm: biên độ:
9797,1
1
=
C
,
pha:
5777,6
1

=
τ
tháng.
- Chu trình nửa năm: biên độ:
0010,1
2
=
C ,
pha:
2507,4
2
=
τ
tháng.
Để tương ứng với bước thời gian một ngày của chuỗi thời gian giá
trị ngày, các pha dao động tính bằng tháng trên đây phải chuyển đổi
thành ngày như sau:
ngày 62200
tháng12
ngày366
tháng5777,6
1
,=×=
τ
,
ngày 65129
tháng12
ngày366
tháng2507,4
2

,=×=
τ
.
Loại bỏ biến trình năm bằng cách lấy các giá trị quan trắc từng ngày
)(tX trừ đi tổng hai chu trình năm và nửa năm. Ta có chuỗi lọc )(tX
′
:
.366 ,,2,1
),(
366
4
cos)(
366
2
cos
2211
=
−−−−−=
′
t
tCtCXXX
tt
τ
π
τ
π
(5.4)
Sau khi lọc, các đặc trưng thống kê của chuỗi thời gian giá trị ngày
)(tX
′

có trung bình C02,0
o
=
′
X , phương sai
2
)C(87,0
o
=
′
x
D và độ
lệch chuẩn
C93,0
o
=
′
x
σ
.
Như vậy phương sai của chuỗi lọc đã giảm đi đáng kể.
Chuỗi giá trị ngày nhiệt độ nước trạm Phú Quý sau khi loại bỏ các
chu trình tuần hoàn năm và nửa năm được thể hiện trên đồ thị hình 5.6c.
Theo hai đồ thị 5.6a và 5.6c trên hình 5.6, ta thấy một cách trực quan
rằng biến trình năm đã bị loại bỏ khá tốt. Phần phương sai dư
2
)C(87,0
o

thuộc về những biến thiên thăng giáng không tuần hoàn hoặc tuần hoàn

với chu kỳ nhỏ hơn so với dao động năm và nửa năm.
Thủ tục phân tích chuỗi quan trắc và loại bỏ dao động ngày hoàn
toàn tương tự. Thực tế cho thấy dao động ngày thường biểu hiện chủ yếu
bằng hài điều hòa thứ nhất (
1
=
i ) với chu kỳ 24 giờ.
Phương pháp loại bỏ dao động năm trên đây có nhược điểm là tính
toán chi tiết, phức tạp. Trong thực hành xử lý số liệu, người ta có thể loại
bỏ dao động năm một cách đơn giản hơn, bằng cách lấy giá trị quan trắc
từng ngày trừ đi các giá trị trung bình tháng tương ứng.
Trên hình 5.6b dẫn đồ thị thời gian của chuỗi nhiệt độ nướ
c trạm
Phú Quý được lọc biến trình năm bằng cách lấy tung độ của chuỗi xuất
phát
)(tX trừ đi các giá trị nhiệt độ trung bình tháng tương ứng.

141 142
(a)

(b)

(c)

Hình 5.6. Biến thiên nhiệt độ ngày trạm Phú Quý trong năm 1980:
a - trước lọc, b - lọc bằng trừ các giá trị trung bình tháng và c -
lọc bằng cách loại bỏ các dao động điều hòa năm và nửa năm
5.3.2. Loại bỏ biến trình năm từ chuỗi quan trắc năm
Cách lọc này cũng thường hay được dùng trong xử lý số liệu khí
tượng thủy văn. Tuy nhiên, dễ nhận thấy rằng loại bỏ biến trình năm theo

kiểu này khác với sử dụng công thức (5.4) ở chỗ các giá trị trung bình
tháng có tính bậc thang (12 giá trị trung bình tháng), còn công thức (5.4)
cho các giá trị trơn đều của hai hàm điều hòa năm và nửa năm ứng từng
ngày trong năm. Ngoài ra, hai phép lọc có ý nghĩa khác nhau tùy thuộc
vào mục đích xử lý s
ố liệu.
5.3.3. Loại bỏ chu trình tuần hoàn và phân tích các chu trình
không tuần hoàn trong thực tế xử lý số liệu
Trong thực tế, việc loại bỏ các chu trình tuần hoàn thường nhằm
mục đích nghiên cứu phân tích các dao động không tuần hoàn. Do đó,
việc loại bỏ chu trình tuần hoàn có thể thực hiện ngay từ giai đoạn tổ
chức quan trắc. Một số phương pháp giới thiệu dưới đây thường rất hiệu
quả và đơn giản.
1) Nếu chu kỳ của chu trình tuần hoàn ngắn hơn so vớ
i các chu kỳ
dao động không tuần hoàn, có thể sử dụng một trong hai cách sau:
a) Sử dụng những quan trắc vào cùng một thời điểm của chu trình
tuần hoàn; thí dụ, để tránh ảnh hưởng của biến trình ngày đêm tới chuỗi
nhiệt độ, chúng ta có thể chỉ sử dụng các quan trắc nhiệt độ vào giữa
đêm.
b) Sử dụng các giá trị trung bình từ tất cả các quan trắc trong một
chu trình tuần hoàn đầy
đủ; thí dụ nếu muốn tránh ảnh hưởng của biến
trình ngày đêm của nhiệt độ, chúng ta chỉ sử dụng các nhiệt độ trung bình
ngày.
2) Nếu chu kỳ của chu trình tuần hoàn dài hơn so với các chu kỳ
dao động không tuần hoàn, mỗi quan trắc có thể được biểu diễn như là độ
lệch khỏi giá trị trung bình hay khỏi chuẩn khí hậu. Thí dụ, nếu chuỗi
thời gian gồm các nhiệt độ
trung bình tháng, ta thay thế chuỗi đó bằng

hiệu giữa nhiệt độ trung bình tháng và chuẩn khí hậu của nhiệt độ của
143 144
chính tháng đó.
Chuỗi thời gian còn lại sau khi loại bỏ các dao động tuần hoàn từ
chuỗi xuất phát gọi là chuỗi thứ sinh, hay chuỗi dư, hay chuỗi thời gian
không tuần hoàn. Chuỗi như vậy được xem là không có tính tuần hoàn và
trong nó không có những chu trình tuần hoàn biểu hiện rõ rệt. Tuy nhiên,
không phụ thuộc vào chỗ thang thời gian quan trắc là giây, giờ, ngày,
tháng hay năm, chuỗi dư vẫn thường bao gồm một số kiểu dao động:
1) Những thăng giáng chu kỳ ngắn có quy mô thời gian bé hơn
một nửa độ gián đoạn quan trắc
tΔ . Vì độ gián đoạn quan trắc lớn hơn
quy mô thời gian của những thăng giáng, nên không thể nghiên cứu được
những dao động đó. Nhưng có thể loại bỏ ảnh hưởng của các thăng giáng
chu kỳ ngắn bằng một kỹ thuật lấy trung bình khá đơn giản.
Thí dụ, nếu có chuỗi gồm
n quan trắc
1
v ,
2
v , ,
n
v , có thể thay
thế chuỗi này bằng chuỗi các giá trị trung bình như sau:
3
321
1
vvv
x
+

+
=
,
3
432
2
vvv
x
++
=
, ,
3
12
2
nnn
n
vvv
x
+
+
=
−−
−
.
Trong thực tế, chuỗi như vậy được là trơn rất đáng kể, nó loại bỏ
những thăng giáng chu kỳ ngắn mà ta không quan tâm và không thể khảo
sát được.
Trong thí dụ này, ta đã lấy trung bình của ba giá trị đầu của chuỗi
xuất phát làm giá trị thứ nhất của chuỗi mới, trung bình của ba giá trị sau
giá trị thứ nhất của chuỗi xuất phát làm giá trị thứ hai của chuỗi mới,

v.v Giá trị cuối cùng của chuỗi mới bằng trung bình của ba giá trị cuối
cùng của chuỗi xuất phát. Kiểu lấy trung bình như vậy gọi là trung bình
trượt. Ở đây chu kỳ lấy trung bình trượt
T
bằng 3. Độ dài của chuỗi mới
ngắn hơn chuỗi xuất phát hai giá trị.
Ta viết công thức tổng quát tính trung bình trượt như sau:
∑
−+
=
=
1
1
Ti
ik
ki
v
T
x , (5.5)
trong đó
1)2div(2 ,,1
+
= Ti
nếu
T
chẵn;
)2div(2 ,,1 Ti = nếu
T
lẻ.
Chu kỳ lấy trung bình trượt

T
được chọn tùy thuộc vào những quy
mô thăng giáng nào cần loại bỏ.
Thí dụ, trong hải dương học, nếu cần loại bỏ thủy triều khỏi các
chuỗi mực nước biển quan trắc từng giờ, ta có thể lấy chu kỳ trung bình
trượt bằng 25 giờ, bởi vì các dao động triều có chu kỳ xấp xỉ bằng 25 giờ
và các ước số của 25 giờ. Với cách này, ta được chuỗi mự
c nước không
còn phản ánh dao động triều để phân tích sự biến thiên mực nước biển do
những nguyên nhân khác như dâng, rút trong trường gió thay đổi từ ngày
này sang ngày khác, dao động áp suất khí quyển, tác động của lũ, giáng
thủy
Khi sử dụng kỹ thuật trung bình trượt với chu kỳ lấy trung bình
T
,
phải lưu ý rằng chuỗi dư
i
x không còn mang thông tin về những thăng
giáng chu kỳ ngắn hơn
T
, nhưng đồng thời mỗi giá trị của chuỗi dư cũng
đã bị là trơn.
Là trơn bằng lấy trung bình trượt có tỷ trọng. Kỹ thuật này áp dụng
khi muốn nhận được chuỗi thứ sinh để xử lý tiếp như phân tích phổ. Thí
dụ, lọc chuỗi số liệu xuất phát để áp dụng cho điều kiện chuỗi có biến
thiên cao tần áp đảo, ta có thể dùng công thứ
c (5.5) cải biên dưới dạng
như sau:
∑
−=

+
=
2/
2/
T
Tj
jiji
vax ; với
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+= j
TT
a
j
π
2
cos1
1
, (5.5a)
145 146
trong đó:
−
i
x các trị số của chuỗi đã được lọc;
−
i

v các trị số của chuỗi
thực đo;
−
j
a hàm lọc; −
T
độ dài khoảng lấy trung bình trượt. Khoảng
lấy trung bình trượt
T
có thể chọn lựa bằng những trị số khác nhau nhằm
hạn chế các dao động chu kỳ ngày và nửa ngày hiển nhiên tồn tại hoặc
hạn chế một số khoảng tần và làm nổi rõ những khoảng tần khác.
Khi sử dụng kỹ thuật là trơn tỷ trọng, thường người ta phải khảo sát
đồ thị đường cong đặc trưng phổ của hàm lọc này, tức khảo sát sự
biến
đổi của biên độ của mỗi dao động tùy thuộc vào tích giữa độ dài khoảng
là trơn
T
và tần số dao động
f
. Được biết, biên độ của những dao động
với tần số
Tf /1
=
sau khi là trơn sẽ giảm đi hai lần, còn những dao
động với tần số lớn hơn
T/2 thực tế sẽ bằng không.
Nếu là trơn chuỗi xuất phát với tham số
T
đủ lớn, chúng ta sẽ nhận

được chuỗi thứ sinh với những thành phần dao động tần thấp. Nếu lấy
chuỗi xuất phát trừ đi chuỗi tần thấp này chúng ta sẽ nhận được chuỗi thứ
sinh thứ hai gồm những thành phần cao tần áp đảo hơn. Để lọc hiệu quả,
thường phải thí nghiệm với
T
khác nhau.
Tính chất này của hàm lọc được dùng để hạn chế các dao động triều
hiển nhiên tồn tại áp đảo trong các chuỗi đo mực nước ở biển Đông và
làm nổi hơn những dao động với tần số cao hơn các dao động toàn nhật
và bán nhật triều. Trường hợp với mực nước có thể thử lọc như vậy với
các trị số của tham số
T
bằng từ 4 đến 25 [2].
2) Xu thế (trend). Đó là sự biến đổi chậm từ từ của yếu tố quan trắc
trong suốt thời kỳ quan trắc. Thực chất trend cũng là một bộ phận của
dao động thăng giáng, nhưng với chu kỳ dài so sánh được với khoảng
thời gian quan trắc.
3) Những dao động không tuần toàn với quy mô thời gian chuyển
tiếp giữa thăng giáng ng
ắn hạn và trend.
Trend có thể được tách và phân tích bằng phương pháp bình phương
nhỏ nhất.
Trong trường hợp đơn giản nhất, trend có dạng biến thiên tuyến
tính. Đường thẳng biểu diễn trend có thể chọn nhờ phương pháp bình
phương nhỏ nhất. Độ nghiêng của đường thẳng hồi quy giữa biến
X
và
thời gian
t được tính theo công thức [4]:
22

)(tt
tXXt
k
−
−
=
, (5.6)
ở đây dấu gạch ngang bên trên các ký hiệu chỉ phép lấy trung bình.
Phương trình hồi quy có dạng
)( ttmXX −=− . (5.7)
Khi trend có dạng cong, ta xấp xỉ phương trình đường cong trend
dưới dạng parabôn:
2
ctbtaX ++= . (5.8)
Các hệ số
a
,
b
và
c
tính được bằng cách giải các phương trình
.
;
;
4322
32
2
∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑

∑
∑
++=
++=
++=
tctbtaXt
tctbtaXt
tctbNaX
(5.9)
5.4. Hàm tương quan và hàm phổ đối với chuỗi thời gian các
yếu tố hải dương học
Trong trường hợp hàm thời gian
)(tX được quan trắc tại N thời
điểm cách đều nhau, độ gián đoạn quan trắc
const,
=
Δ
t
công thức tính
hàm tương quan (4.37) viết lại thành dạng tiện lợi tính bằng máy tính như
sau:
147 148
mi
xxxx
in
R
jj
in
j
ijjijj

i
,,1,0,
1
1
1
=
−
−
=
+
−
=
++
∑
σσ

,
1
,
1
11
∑∑
+=
+
−
=
−
=
−
=

n
ik
kij
in
k
kj
x
in
xx
in
x (5.10)
.)(
1
,)(
1
1
2
1
2
∑∑
+=
+
−
=
−
=
−
=
n
ik

kij
in
k
kj
x
in
x
in
σσ

Thủ tục Fortran để tính hàm tương quan theo công thức (5.10) có
trong phụ lục 5C.
Trong khí tượng thủy văn, mỗi giá trị của hàm tương quan ứng với
chỉ số
i cụ thể thường được gọi là hệ số tự tương quan với bước trễ i .
Hệ số tự tương quan
i
R phản ánh mức độ liên hệ tuyến tính giữa các giá
trị của hàm
X
ở các thời điểm quan trắc cách nhau một bước trễ tương
ứng. Nếu bước trễ bằng không, hệ số tự tương quan bằng 1. Nếu bước trễ
nhỏ, hệ số tự tương quan của các yếu tố khí tượng thủy văn thường mang
giá trị dương. Nói cách khác, các yếu tố khí tượng thủy văn có tính ổn
định tương đối: thí dụ, nếu hôm nay nhiệt độ cao h
ơn chuẩn, thì một vài
ngày tới thường cũng cao hơn chuẩn. Khi bước trễ tăng dần, hệ số tự
tương quan giảm và thậm chí có thể có giá trị âm. Điều đó có nghĩa rằng
nếu hôm nay nhiệt độ cao hơn chuẩn, thì sau một thời gian nhất định
nhiệt độ rất có thể trở nên thấp hơn chuẩn.

Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộ
c giữa hệ số tự tương quan và bước trễ
gọi là đồ thị tương quan. Dạng tiêu biểu của đồ thị tương quan của các
yếu tố khí tượng thủy văn là tại một vài bước trễ nhỏ, hệ số tự tương quan
có giá trị dương, sau đó giảm nhanh, tiệm cận tới trục hoành hoặc dao
động xung quanh trục hoành tại các bước trễ tương đối lớ
n (hình 5.7).
R
i
0,5

0
1

Hình 5.7. Đồ thị hàm tương quan
Trong thực hành tính toán các hệ số tự tương quan theo công thức
(5.10), bước trễ tối đa
m cần được chọn theo mục đích của nhiệm vụ
nghiên cứu. Khi phân tích các chuỗi thời gian quy mô mùa hoặc năm,
chúng ta thường gặp khó khăn về độ dài chuỗi thời gian. Phần lớn các đại
lượng khí tượng thủy văn thường chỉ mới được quan trắc trong vài chục
năm gần đây. Trong điều kiện như vậy, ước lượng các hệ số tự tương
quan vớ
i bước trễ lớn rất ít tin cậy. Chúng ta chỉ có thể ước lượng một vài
hệ số tự tương quan với bước trễ nhỏ, cỡ một vài năm. Những hệ số tự
tương quan đó có một ý nghĩa dự báo nhất định, thường dùng để thiết lập
các mối phụ thuộc dự báo thống kê. Khi cần nghiên cứu cấu trúc tần số
trong sự biến thiên c
ủa hàm thời gian, như nhiệm vụ tính hàm mật độ phổ
ở phần tiếp sau của mục này, thì một vài hệ số tự tương quan ở các bước

trễ nhỏ hoàn toàn không đủ. Với các quá trình quy mô nhỏ, độ dài của
các chuỗi thời gian thường có thể tạm đáp ứng yêu cầu phân tích.
Từ chương 4 đã biết rằng hàm tương quan có thể khai triển phổ theo
một công thức khai triển Fourier đối vớ
i hàm chẵn (công thức 4.39). Với
trường hợp hàm tương quan tính đến bước trễ
m theo công thức (5.10),
ta viết lại công thức tính hàm phổ dưới dạng thuận lợi cho lập chương
trình máy tính. Hàm chẵn có thể biểu diễn thành tổng của giá trị trung
149 150
bình và một chuỗi chỉ chứa hàm cosin. Nếu hàm tương quan tính tới bước
trễ
m , chu kỳ cơ bản của hài thứ nhất bằng m2 , chu kỳ của hài thứ hai
bằng
m
, chu kỳ của hài thứ ba bằng
3
2m
, v.v Các hệ số khai triển
i
B ở
đây được viết bằng ký hiệu
i
S sẽ tính theo công thức

i
m
m
j
ji

m
R
ij
m
R
mm
R
S )1(
2
2
cos
2
1
1
0
−++=
∑
−
=
π
. (5.11)
Các giá trị
0
S và
m
S nhận được theo công thức này phải được chia
đôi.
Nếu ta vẽ đồ thị
i
S như một hàm của

tm
i
Δ
2
, thì đường cong nhận
được sẽ là ước lượng phổ chuẩn hóa là trơn của chuỗi xuất phát
2
2
2
x
i
C
σ

như đã thấy ở mục 5.2.
Thông số
m
càng nhỏ so với độ dài chuỗi
n
thì phổ
i
S càng được
là trơn. Tuy nhiên, khi
m
trở thành đại lượng bé, thì hàm
i
S ít mang
thông tin về các dao động chu kỳ dài, bởi vì chu kỳ cơ bản bằng
tm
Δ

2
.







Phụ lục chương 5
A. Mã Fortran của thủ tục phân tích điều hòa
SUBROUTINE PTDH (n,x,deltat,k,c,to,p)
! Phân tích chuỗi
X
dài N , độ gián đoạn DeltaT
! Cho ra
k giá trị biên độ C và pha
T
, chu kỳ cơ bản
P

PARAMETER (n0 = 100000, pi = 3.141593)
REAL x(n0),c(n0/2),to(n0/2),deltat,p
INTEGER n,k
k = n/2
p = n*deltat
g3 = 2*pi*deltat/p
g4 = p/(2*pi)
DO i = 1, k-1
g2 = g3*i

g = g4/i
a = 0.0
b = 0.0
DO j = 1, n
g1 = g2*j
a = a+x(j)*SIN(g1)
b = b+x(j)*COS(g1)
ENDDO
a = 2*a/n
b = 2*b/n
c(i) = SQRT(a*a+b*b)
to(i) = p/(2*pi*i)*Goclg(a,b)
151 152
ENDDO
a = 0.0
b = 0.0
g2 = g3*k
g = g4/k
DO j = 1, n
g1 = g2*j
b = b+x(j)*COS(g1)
ENDDO
b = b/n
c(k) = SQRT(b*b)
to(k) = p/(2*pi*k)*Goclg(0.0,b)
RETURN
END

FUNCTION Goclg (s,c)
PARAMETER (pi=3.141593)

REAL s,c
IF (c.EQ.0.0) THEN
IF (s.GE.0.0) THEN
g = 0.5*pi
ELSE
g = 1.5*pi
ENDIF
ELSE
g = ABS(s/c)
IF (c.GT.0.0) THEN
IF (s.GE.0.0) THEN
g = ATAN(g)
ELSE
g = 2*pi-ATAN(g)
ENDIF
ELSE
IF (s.GE.0.0) THEN
g = pi-ATAN(g)
ELSE
g = pi+ATAN(g)
ENDIF
ENDIF
ENDIF
Goclg = g
RETURN
END

B. Mã Fortran của thủ tục lọc trung binh trượt

SUBROUTINE LocTBT (ic,n,x,t)

! Từ chuỗi
X
xuất phát dài N , cho
X
dài 2/2 tN
×
−
nếu
!
t lẻ, hoặc 12/2
+
×
−
tN nếu t chẵn,
−
t chu kỳ lấy trung
! bình trượt.
!
ic mã chỉ định kiểu lọc tần thấp ( 1
=
ic ), lọc tần cao
! (
2
=
ic
)
PARAMETER (n0 = 100000)
INTEGER ic,n,t
REAL x(n0),x1(n0)
153 154

m = t/2
n = n-2*m
IF (MOD(t,2).EQ.0) n = n+1
DO i = 1, n
x1(i) = x(i)
DO j = 2, t
x1(i)=x1(i)+ x(i+j-1)
ENDDO
x1(i) = x1(i)/t
ENDDO
IF (ic.EQ.1) THEN
DO i = 1, n
x(i) = x1(i)
ENDDO
ELSE IF (ic.EQ.2) THEN
IF (MOD(t,2).NE.0) THEN
DO i = 1, n
x(i) = x(i+m)-x1(i)
ENDDO
ELSE
DO i = 1, n
j = i+m
x(i) = 0.5*(x(j-1)+x(j))-x1(i)
ENDDO
ENDIF
ENDIF
RETURN
END

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Kazakevich Đ.I. Cơ sở lý thuyết hàm ngẫu nhiên và ứng dụng trong
khí tượng thủy văn (Biên dịch: Phạm Văn Huấn, Nguyễn Thanh Sơn,
Phan Văn Tân). Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, 2005
2. Phạm Văn Huấn. Phổ dao động mực nước ở biển Đông. Thông báo
Khoa học của các trường đại học, số 2, 1992, tr. 109-113
3. Hans A. Panofsky, Glenn W. Brier. Some applications of statistics to
meteorology. University Park, Pennsylvania, 1958
4.
Хемминг Р. В. Численные методы для научных работников
и инженеров. Наука, М., 1979
5. Ямпольский A. Д. О спектральных методах исследования
океанологических процессов. Океанoлoгия. T 5, вып. 5, 1965